Mouvement brownien Turinici dec 2016

Éléments de calcul stochastique pour l’évaluation et
la couverture des actifs dérivés
Avec exercices corrigés, travaux pratiques et études de cas
Imen Ben Tahar, José Trashorras et Gabriel Turinici

Avant-propos
Un actif contingent est un contrat financier entre deux parties, un acheteur
et un vendeur, qui donne lieu à des flux monétaires futurs dépendant d’événe-
ments incertains. On parle également de produit dérivé, contrat dont la valeur
dérive de la valeur future d’un sous-jacent. Le sous-jacent peut être un actif
financier (prix d’une action), une matière première (prix du blé), une créance,
etc.
L’existence de tels produits n’est pas un fait récent. La création de contrats
permettant de se prémunir contre les risques futurs (ou de faire de la spécula-
tion) a accompagné les activités commerciales depuis des siècles. Cependant,
le XXesiècle, notamment à partir des années 1970, a connu un développement
spectaculaire du marché des produits dérivés. Plusieurs auteurs s’accordent
à citer, parmi les facteurs principaux de cette évolution, l’élaboration d’une
méthodologie permettant de donner, dans le cadre de modèles mathématiques,
une réponse au problème d’évaluation des actifs contingents.
L’objectif de ce livre est de présenter le modèle de Black-Merton-Scholes
pour l’évaluation et la couverture de produits dérivés. Ce modèle procède de
la méthodologie d’évaluation par réplication en absence d’opportunités d’arbi-
trage. Il repose sur la modélisation des processus de prix des actifs financiers
par des processus stochastiques en temps continu et fait appel notamment au
Mouvement brownien et au calcul d’Itô.
Nous commençons par exposer, dans le chapitre 1, la méthodologie d’éva-
luation par réplication en absence d’opportunités d’arbitrage dans le cadre
d’un modèle de marché financier en temps discret. La modélisation en temps
discret des transactions financières est assez intuitive. Elle permet de présen-

iv AVANT-PROPOS
ter dans un cadre simple des notions de base, qui seront étendues dans les
chapitres suivants au temps continu. Le chapitre 2 est consacré au mouvement
brownien et au calcul d’Itô. Nous y présentons les outils du calcul stochastique
indispensables pour aborder le chapitre 3. Dans ce dernier chapitre nous décri-
vons le modèle de Black-Merton-Scholes et nous examinons, dans le cadre de
ce modèle, le problème d’évaluation d’actifs contingents. Finalement, des ap-
plications (travaux pratiques, études de cas) font l’objet des derniers chapitres
de l’ouvrage.

Table des matières
1 Absence d’opportunités d’arbitrage, probabilité risque neutre
et évaluation en temps discret 1
1.1 Modèle de marché financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Stratégie financière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Processus de gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Stratégie autofinancée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Portefeuilles admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Contraintes de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Opportunités d’arbitrage et leurs absences . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Opportunités d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Conséquences de l’A.O.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Caractérisation de la condition A.O.A. . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Réplication d’actifs et évaluation sous la condition A.O.A. . . . 12
1.5 Arbrebinomial ........................... 13
1.5.1 Modélisation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Évaluation de produits dérivés dans le modèle binomial 15
1.6 Exercices .............................. 20
2 Mouvement brownien et calcul d’Itô 25
2.1 Processus stochastiques en temps continu . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Filtrations et mesurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Martingales en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35