Probabilités Kara-Zaitri Lydia École préparatoire en sciences et techniques d’Oran Programme de première année / 2 Chapitre 4 Lois de probabilité usuelles 4.1 Lois usuelles discrètes 1. Loi uniforme discrète : Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont équiprobables. c.à.d : X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) = 1 n. On note X ; U {k1 , k2 , · · · , kn } . Propriétés. Soit X une v.a.d : (a) si X ; U {a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors : E(X) = a+b 2 V ar(X) = et (b − a)(b − a + 2) . 12 (b) si X ; U {1, 2, 3, · · · , n}, alors : E(X) = n+1 2 et Var = n2 − 1 . 12 2. Loi de Bernoulli de paramètre p : Soit p ∈ [0, 1]. On dit que la v.a X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, si elle n’admet que deux résultats possibles : • le succés qui prend la valeur 1 avec une probabilité p, • l’échec qui prend la valeur 0 avec une probabilité q = 1 − p. c.à.d : X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = pk (1 − p)1−k . On note X ; B(p). 3 CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.1. LOIS USUELLES DISCRÈTES Propriétés. si X ; B(p), alors : E(X) = p et Var = pq. 3. Loi Binomiale de paramètres n et p : Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]. On dit que la v.a X suit la loi Binomiale de paramètres n et p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n fois une expérience de Bernoulli de paramètre p de manières indépendantes. On note X ; B(n, p) . Propriétés. Si X ; B(n, p), alors : • X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n}, • ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k , • E(X) = n p, • Var(X) = n p q. 4. Loi de Poisson de paramètre λ : Soit λ > 0. On dit que la v.a X suit la loi de Poisson de paramètre λ, si elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit sur une periode donnée ( une surface, un volume), sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne sur cette même période ( surface, volume). On note X ; P(λ). Propriétés. Si X ; P(λ), alors : • X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N, • ∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ λk , k! • E(X) = λ , • Var(X) = λ. Exemple. Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents par semaine. • Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait trois accidents ? • Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident aujourd’hui ? Exemple. Un réservoir d’eau de 2000 litres contient en moyenne 3 bactéries par litre. Si vous buvez un litre de ce réservoir, quelle est la probabilité que vous avaliez 8 bactéries ? 4 CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.2 4.2. LOIS USUELLES CONTINUES Lois usuelles continues 1. Loi uniforme continue : Soient a, b ∈ R tels que a < b. On dit que la v.a X suit la loi uniforme continue sur [a, b] si elle admet pour densité de probabilité la fonction : f (x) = 1 b−a si x ∈ [a, b], 0 sinon. On note X ; U[a, b] . Propriétés. Si X ; U[a, b], alors : • E(X) = a+b 2 • V ar(X) = , (b−a)2 12 . 2. Loi exponentielle de paramètre λ : Soit λ > 0. On dit que la v.a X suit la loi exponentielle de paramètre λ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction : f (x) = −λx λe si x > 0, 0 sinon. On note X ; E(λ) . Propriétés. Si X ; E(λ), alors : 1 , λ 1 • V ar(X) = 2 . λ • E(X) = 3. Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) : (a) Loi Normale centrée et réduite : On dit que la v.a X suit la loi Normale centrée et réduite, si elle admet pour densité de probabilité la fonction : 1 2 1 f (x) = √ e− 2 x 2π ∀x ∈ R. , On note X ; N (0, 1) . Fonction de répartition : F (x) = Rx −∞ Graphiquement : 5 √1 2π 1 2 e− 2 t dt = ? CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.2. LOIS USUELLES CONTINUES Cloche symétrique par rapport à l’axe des y . Propriétés. Si X ; N (0, 1), alors : • E(X) = 0 . • V ar(X) = 1 . • F (−x) = P(X ≤ −x) = P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 − F (x). (b) Loi Normale de paramètres µ et σ : On dit que la v.a X suit la loi Normale de paramètres µ et σ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction : f (x) = σ 1 √ e− 2 ( 1 2π x−µ σ ) 2 , ∀x ∈ R. On note X ; N (µ, σ) . Graphiquement : Cloche symétrique par rapport à l’axe (x = µ). Pointue pour σ petit, aplatie pour σ grand. Propriétés. Si X ; N (µ, σ), alors : • E(X) = µ . • V ar(X) = σ 2 . X −µ • La v.a X ∗ = ; N (0, 1). σ 6 CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.3 4.3. APPROXIMATIONS Approximations 1. Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson : Soit X ; B(n; p) . Si n ≥ 30 ; p ≤ 0, 1 et np ≤ 15, nous pouvons approcher la loi Binomiale B(n; p) par la loi de Poisson P(np) . 2. Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale : Soit X ; B(n; p) . Si n ≥ 30 ; np ≥ 15 et npq ≥ 5, nous pouvons approcher la loi Binomiale B(n; p) par la loi √ Normale N (np ; npq) . 3. Correction de continuité : Si X ; B(n; p) et qu’on l’approche par la loi Normale N (np ; Pour calculer P (X = k) avec la loi Normale, il faut calculer P (k − 7 1 2 <X ≤k+ 1 2) . √ npq).