Probabilités-Lois-usuelles

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 4
Lois de probabilité usuelles
4.1 Lois usuelles discrètes
1. Loi uniforme discrète : Soit n∈N∗. On dit que la v.a Xsuit la loi uniforme discrète sur
l’ensemble {k1, k2,··· , kn}si les kisont équiprobables. c.à.d :
X(Ω) = {k1, k2,··· , kn}et ∀k∈X(Ω) : P(X=ki) = 1
n.
On note X;U{k1, k2,··· , kn}.
Propriétés. Soit Xune v.a.d :
(a) si X;U{a, a + 1, a + 2,··· , b}, alors :
E(X) = a+b
2et V ar(X) = (b−a)(b−a+ 2) 12 .
(b) si X;U{1,2,3,··· , n}, alors :
E(X) = n+ 1
2et Var =n2−1 12 .
2. Loi de Bernoulli de paramètre p:Soit p∈[0,1]. On dit que la v.a Xsuit la loi de Ber-
noulli de paramètre p, si elle n’admet que deux résultats possibles :
•le succés qui prend la valeur 1 avec une probabilité p,
•l’échec qui prend la valeur 0 avec une probabilité q= 1 −p.
c.à.d :
X(Ω) = {0,1}, et ∀k∈X(Ω) : P(X=k) = pk(1 −p)1−k.
On note X;B(p).
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CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.1. LOIS USUELLES DISCRÈTES
Propriétés. si X;B(p), alors :
E(X) = pet Var =pq.
3. Loi Binomiale de paramètres net p:Soient n∈N∗et p∈[0,1]. On dit que la v.a Xsuit
la loi Binomiale de paramètres net p, si elle donne le nombre de succés quand on répète nfois
une expérience de Bernoulli de paramètre pde manières indépendantes.
On note X;B(n, p).
Propriétés. Si X;B(n, p), alors :
•X(Ω) = {0,1,2,··· , n},
• ∀k∈X(Ω) : P(X=k) = Ck
npk(1 −p)n−k,
•E(X) = n p,
•Var(X) = n p q.
4. Loi de Poisson de paramètre λ:Soit λ > 0. On dit que la v.a Xsuit la loi de Poisson
de paramètre λ, si elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit sur une periode
donnée ( une surface, un volume), sachant que cet événement se produit λfois en moyenne sur
cette même période ( surface, volume).
On note X;P(λ).
Propriétés. Si X;P(λ), alors :
•X(Ω) = {0,1,2,··· ,}=N,
• ∀k∈N:P(X=k) = e−λλk
k!,
•E(X) = λ,
•Var(X) = λ.
Exemple. Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents par semaine.
•Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait trois accidents ?
•Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident aujourd’hui ?
Exemple. Un réservoir d’eau de 2000 litres contient en moyenne 3 bactéries par litre. Si vous
buvez un litre de ce réservoir, quelle est la probabilité que vous avaliez 8 bactéries ?
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CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 4.2. LOIS USUELLES CONTINUES
4.2 Lois usuelles continues
1. Loi uniforme continue : Soient a, b ∈Rtels que a < b. On dit que la v.a Xsuit la loi
uniforme continue sur [a, b]si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f(x) =
1
b−asi x∈[a, b],
0sinon.
On note X;U[a, b].
Propriétés. Si X;U[a, b], alors :
•E(X) = a+b
2,
•V ar(X) = (b−a)2
12 .
2. Loi exponentielle de paramètre λ:Soit λ > 0. On dit que la v.a Xsuit la loi exponentielle
de paramètre λ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f(x) =
λe−λx si x > 0,
0sinon.
On note X;E(λ).
Propriétés. Si X;E(λ), alors :
•E(X) = 1
λ,
•V ar(X) = 1
λ2.
3. Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) :
(a) Loi Normale centrée et réduite : On dit que la v.a Xsuit la loi Normale centrée et
réduite, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f(x) = 1
√2πe−1
2x2
,∀x∈R.
On note X;N(0,1) .
Fonction de répartition : F(x) = Rx
−∞
1
√2πe−1
2t2dt =?
Graphiquement :
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