Chapitre 1 Systèmes linéaires

Chapitre 1
Systèmes linéaires
1.1 Introduction
Dans ce premier chapitre, nous introduisons les principales méthodes de résolution de systèmes
linéaires. Un système linéaire est un système d’équations du type suivant :
a11 x1+a12x2+.... +a1nxn=b1
a21 x1+a22x2+.... +a2nxn=b2
.
.
ap1x1+ap2x2+.... +apnxn=bp
que l’on écrit plus simplement sous la forme : Ax =bavec :
A=
a11 a12 . . a1n
. a22 . . .
. . . . .
. . . . .
ap1. . . apn
x=
x1
.
.
.
xn
et b =
b1
.
.
.
bp
Dans les problèmes à traiter en Analyse numérique, le plus souvent p=nc’est-à-dire Aest une
matrice carrée.
Exemple 1.1.1.
10x1+x2+ 4x3= 15
x1+ 10x2+ 5x3−x4= 15
4x1+ 5x2+ 10x3+ 7x4= 26
−x2+ 7x3+ 9x4= 15
10 1 4 0
1 10 5 −1
4 5 10 7
0−1 7 9
x1
x2
x3
x4
=
15
15
26
15
1.2 Matrices
1.2.1 Rappels et définitions
Définition 1.2.1. Soient K(muni de + et .), un corps (Rou C), Vet W2K-espaces vectoriels
de dimension respective net p. L’application u définie de Vvers West une application linéaire
si et seulement si :
(a) ∀x, y ∈V, u(x+y) = u(x) + u(y)
1

(b) ∀α∈K, ∀x∈V, u(αx) = αu(x)
Ces deux propriétés sont équivalentes à la suivante :
(c) ∀α, β ∈Ket ∀x, y ∈V, u(αx +βy) = αu(x) + βu(y)
Toute application linéaire peut-être représentée par une matrice d’ordre p(dim W)×n(dim V).
A=
a11 a12 . . a1n
a21 a22 .
. .
. .
ap1. . . apn
= (aij )1≤i≤p,1≤j≤n= (aij )avec aij ∈K
Ainsi, ∀x∈V, u(x) = Ax. On en déduit que toute propriété de uest traduite par une propriété
équivalente sur la matrice associée : A.
Exemple 1.2.2.1. Si u:Rn7−→ Rnalors A∈mn(R) = Rn×nEnsembles des matrices carrées
d’ordre nà coefficients réels.
2. Si de plus, uest bijective (automorphisme) ⇐⇒ detA 6= 0. A est dit alors non singulière.
On note I=In, la matrice identité d’ordre navec Iij = 0 si i6=jet Iij = 1si i=j..
Matrice qui est l’élément neutre de la multiplication matricielle c’est-à-dire ∀A, matrice carrée
d’ordre n,AI =IA =Aet la matrice inverse de Anotée A−1est telle que :AA−1=A−1A=I.
Exemple 1.2.3.I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
≡
1
1
1
En adoptant la convention très utilisée ici : ne pas écrire les coefficients nulles d’une matrice.
Définition 1.2.4. Déterminant d’une matrice
det(A) = 
a11 si n = 1
n
P
j=1
(−1)i+jaij det(Aij )pour i = 1 ou 2...ou n
où Aij est la matrice carrée d’ordre (n−1) ×(n−1) obtenue en effaçant la i-iéme ligne et la
j-iéme colonne de A.
Remarque 1.2.5. 1. On peut commuter i avec j. La procédure de réduction peut-être faite
par ligne ou par colonne.
2. Si A est une matrice carrée d’ordre 2 alors det(A) = a11a22 −a12a21.
Exemple 1.2.6.Calculons le déterminant de la matrice de l’introduction.
det(A) =
10 1 4 0
1 10 5 −1
4 5 10 7
0−1 7 9
.
On choisit : i= 1
det(A) = (−1)(1+1) ∗10 ∗
10 5 −1
5 10 7
−1 7 9
+ (−1)(1+2) ∗(1) ∗
1 5 −1
4 10 7
0 7 9
+ (−1)(1+3) ∗4∗
1 10 −1
4 5 7
0−1 9
2

= 10 ∗
10 5 −1
5 10 7
−1 7 9
−
1 5 −1
4 10 7
0 7 9
+ 4 ∗
1 10 −1
4 5 7
0−1 9
=.... = 10 ∗105 −(−167) + 4 ∗(−304) = 1
On voit que le calcul de l’inverse d’une matrice coute très cher en temps de calcul
quand nest grand.
Exercice 1.2.7. Applications
Montrer que : 
10 5 −1
5 10 7
−1 7 9
= 105 
1 5 −1
4 10 7
0 7 9
=−167 
1 10 −1
4 5 7
0−1 9
=−304
Soient A,B, 2 matrices carrées d’ordre net α, un scalaire quelconque, le déterminant d’une
matrice vérifie les propriétés suivantes :
1. det(AB) = det(BA)
2. det(At) = det(A)
3. det(αA) = αndet(A)
4. det(I) = 1
Rappels et définitions
On s’intéresse dorénavant aux matrices carrées réelles ou complexes d’ordre n(nentier positif).
1. Rang d’une matrice
On appelle rang de A (noté : r(A)), l’ordre du plus grand sous-matrice ou mineur de A
dont le déterminant est non nul. Cette sous-matrice est associée au sous-espace vectoriel
de Wsuivant : Imu =ImA ={y∈W/ ∃x∈V, y =Ax =u(x)}. r(A)≡r(u)est aussi
la dimension de Imu.
2. Trace de A
On appelle, trace de A : la somme des éléments de sa diagonale : tr(A) = P
i
aii
Exemple 1.2.8.tr(A) = 10 + 10 + 10 + 9 = 39
3. Matrice à diagonale dominante
A est à diagonale (respectivement strictement) dominante si et seulement si :
|aii| ≥ X
j=1
j6=i
|aij|(resp. >)pour tout i = 1,2,3, ..., n
Exemple 1.2.9.10 >5; 10 >7; mais 10 <16 et 9>8
Cette matrice n’est pas à diagonale dominante
4. Valeur propre Vecteur propre
Les valeurs propres de A et donc de u, sont les nombres complexes λtels que :
det(A−λI) = 0 ou sont les racines de son polynôme caractéristique :
P(X) = det[(A−XI)].
λest valeur propre non nul de A si et seulement si ∃au moins x∈Rn, x 6=→ 0tel que :
Ax =λx. Le sous-espace de Vcontenant tous les vecteurs vérifiant la relation ci-dessus
pour λfixé est le sous-espace de Vassocié à la valeur propre λ. Ces vecteurs seront
appelés : Vecteurs Propres et le sous-espace : Espace Propre.
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5. Ordre de multiplicité
On appelle ordre de multiplicité de la valeur propre λid’une matrice A : l’ordre de
multiplicité de λien tant que racine de son polynôme caractéristique c’est-à-dire le nombre
entier αitel que : P(X) = β
l
Q
i=1
(X−λi)αi(l: nombre de valeur propre de A). Si A est
diagonalisable, c’est aussi la dimension du sous-espace propre de λi(noté Vi)
6. Spectre, Rayon spectral
Le spectre d’une matrice A est l’ensemble des valeurs propres de A :
σ(A) = Sp(A) = {λ∈C/det(A−λI) = 0}
Son rayon spectral, noté : ρ(A), est le nombre réel positif défini par : ρ(A) = Max
λ∈σ(A)|λ|
Exemple 1.2.10.Sp(A) = {47
87972 ,3085 343 ,1393 128 ,13271 694 } ≃ {0.0005,8.9942,10.8828,19.1225}
et ρ(A) = 19.1225
7. 2 Relations importantes : tr(A) =
l
P
i=1
λiet det(A) =
l
Q
i=1
λi.Les λisont à compter avec
leur ordre de multiplicité.
8. Matrice semblable
Soient A et B, les matrices de urelativement à la base (ei), respectivement à la base (fi),
∃P une matrice carrée inversible telle que : B=P−1AP .
On dit alors que A et B sont semblables i.e identique en tant que matrice de la même
application linéaire.
P : Mat(fi)/à la base(ei), Matrice de passage de (ei)→f(i).
On peut alors rechercher un changement de base pour que B soit le plus simple possible.
C’est le problème des réductions de matrices.
9. Diagonalisation de matrice
Une matrice A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale :
∆ = diag(λi) = P−1AP
Dans ce cas, l’espace vectoriel, V, se décompose en somme directe de ses sous-espaces :
V=
l
L
i=1
Vi.Vi: sous-espace propre associée à la valeur propre λi.
Exemple 1.2.11.On se donne la matrice suivante :
A=
1 2 3
3 2 1
4 1 2
La commande matlab : [v,d]=eig(A) donne :
v=
0.5575 0.7282 0.0764
0.5325 −0.3653 −0.8290
0.6369 −0.5799 0.5541
et d=
6.3374 0 0
0−2.3926 0
0 0 1.0552
La matrice dcontient les 3 valeurs propres de Aet la matrice vcontient 3 vecteurs propres de
A(sous forme de colonne). Soit vj, la j-iéme colonne de la matrice valors
A∗v1= 6.3374 ∗v1A∗v2=−2.3926 ∗v2A∗v3= 1.0552 ∗v3
L’inverse de v est obtenue avec la commande matlab : vi=inv(v) :
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v=
0.6929 0.4541 0.5839
0.8347 −0.2640 −0.5100
0.0772 −0.7983 0.5998
On vérifie par le calcul que : v∗d∗vi =Asoit V D V −1=Aou V−1A V =D
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