MATHÉMATIQUES Chapitre : Trigonométrie Guiga Karim 3ème Maths Sousse - Nabeul - Bardo Sfax-Menzah- Ezzahra Bizerte - Kairouan - Kebili Monastir - CUN- Gabes 73832000 www.takiacademy.com [email protected] 2021/22 Guiga Karim Niveau : 3ème Maths Exercice N°1 : Trigonométrie et 1) 25 mn 5 POINTS Pour tout réel x on pose : Série N°1 A x sin 18 x sin x sin x sin x 2 2 21 7 B x sin 3 x sin x cos x cos x . 2 2 a. Montrer que pour tout réel x on a : A x cos 2x . b. Montrer que pour tout réel x on a : B x sin 2x . 2) Soit f x cos 2x sin 2x 17 a. Calculer f . 12 b. Montrer que pour tout réel x on a : f x 2 cos 2x . 4 3) Résoudre dans ℝ puis dans 0 ,2 , l’équation : f x 1 . 4) Résoudre dans ℝ, l’équation : Exercice N°2 : 4 POINTS B x A x 3. 15 mn 1) Montrer que pour tout réel x on a : cos 2x 3 sin 2x 2 cos 2x . 3 2) On donne A x 1 cos 2x 3 sin 2x . a. Montrer que A x 1 4 cos 2 x . 6 b. Calculer A . En déduire cos 2 . 12 12 3) Résoudre dans ℝ puis dans [0 , 2π[ l’équation A(x) = 0. 1 Exercice N°3 : 25 mn 5 POINTS Pour tout réel x on pose f x 4 sin x cos 3 x sin2x 1) Montrer que pour tout réel x on a : f x 1 sin 4x. 2 Calculer f et f . 16 12 2) Soit g la fonction définie sur \ k, k par : g x f x 2 sin x . 2 1 a. Montrer que g g . 3 5 4 b. Exprimer g(x) en l’aide de cos x. En déduire que de l’équation : 1 et cos sont des solutions 2 5 8X3– 4X – 1=0 c. Calculer alors cos . 5 Exercice N°4 : 1) 4 POINTS 20 mn Soit dans l’équation (E) : x2 + 2x – 1 = 0. a. Montrer que tan est une solution de (E). 8 b. En déduire que tan 2 1 . 8 2) Soit f x 2 1 cos 2x sin 2x , pour tout x . cos 2x 8 a. Montrer que f x . cos 8 b. Résoudre dans , l’équation f(x) = 0. Exercice N°5 : 4 POINTS 20 mn Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin(2 ) − sin 1) Calculer f( 2) . ) et f( ). a. Résoudre dans ℝ l’équation f(x) = 0. b. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 3) a. Résoudre dans [0,2 ] chacune de deux inéquations suivantes : i) ≥ b. Vérifier que ( ) = ( ii) 2cos − ) ≤ 1. . c. Résoudre alors dans [0,2 ] l’inéquation : f(x) ≥ 0. 2 Exercice N°6 : 30 mn 5 POINTS Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i , j , et C est le cercle trigonométrique de centre O. Soient A(–1 , 0) ; B(2, 0) et C 0, 3 et M le point de C tel que i,OM 2 , où est un réel. a. Calculer cos AB, AC et sin AB, AC . b. En déduire une mesure de : AB, AC . 1) a. Déterminer les composantes de chacun des vecteurs OM et BM . b. Montrer que : OM.BM 1 2 cos . c. En déduire les valeurs de pour lesquelles la droite (BM) est tangente à C. a. Montrer que dét AM, AC 3 2 sin . 3 b. En déduire les valeurs de pour lesquelles les points A, C et M soient alignes. 2) 3) a. Montrer que : AM 2 2 cos . 4) b. Déterminer et représenter l’ensemble E des points M du cercle C tels que AM 3 . 5 POINTS Exercice N°7 : 25 mn Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i , j . On donne les points A et B de coordonnées 5 polaires : A 2, 2 et B 3 ,1 . On pose i, AB 2 avec , . 4 1) Déterminer les coordonnées polaires des points A et B. 7 7 2) Calculer alors cos et cos . 12 12 3) a. Vérifier que AB 2 6 . 4) Exercice N°8 : 5 POINTS b. Calculer alors cos 2 . En déduire i, AB . 25 mn 2 2 Pour tout réel x, on pose f x 2cos x 2 sin x 2 . 4 1) a. Montrer que pour tout réel x, f x sin 2x cos 2x . b. En déduire que pour tout réel x, f x f x 0 . 2 2) 2 3 2 a. Calculer f et en déduire que cos . 4 3 12 6 2 b. Montrer alors que : cos . 4 12 3) 3 a. Vérifier que pour tout réel x : f x 2 cos 2x . 4 b. Résoudre dans l’équation : f x 1 3 . 2 3 30 mn 5 POINTS Exercice N°9 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé R O,i , j , et on considère les points A(1 , 1) ; B(4 , 2) et C(5 , 5). On note par la mesure principale de l’angle orienté i ,OB . Les deux parties I/ et II/ de cet exercice sont indépendantes. I/ Choisir la bonne réponse. 15 11 sin 1) Soit S cos 7 sin . Alors : 2 2 a. cos b. cos c. 2cos d. sin . 2) Soit B’ l’image de B par une homothétie de centre O et de rapport (–2). Les coordonnées polaires de B’ sont : a. 4 5 , 3) sin AB ,AC b. 4 5 , a. 2 b. 7 c. 2 5 , 1 c. 5 2 5 2 d. d. 2 14 5 , . . II/ Représenter dans le repère R les ensembles E1 et E2. 3 avec r [1,2[ . E1 M de coordonnées polaires r , 4 E2 M de coordonnées polaires r , avec r [2,4] et , . 6 3 30 mn Exercice N°10 : 5 POINTS Pour tout réel x 0, , on pose f x 2 1) Calculer f 0 ; f 2 et 5 f 2 cos 2x 2 2 sin 2x et g x 1 sin 2x 2 2 sin 2x . . 2) Montrer que pour tout 0, , f 2 x g2 x 1 . 2 3) a. Montrer que : cos x sin x 2 1 sin 2x ; . 2 cos x cos x sin x 4 2 et 2 sin x cos x sin x . 4 2 b. Déduire que f x cos x et que g x sin x . 4 4 1 4) Montrer que f x .g x cos 2x et que f x g x 2 cos x . 2 3 5 5) Calculer f , en déduire cos , sin et cos . 8 8 8 8 4 www.TakiAcademy.com Sousse - Nabeul - Bardo – SfaxMenzah- Ezzahra - BizerteKairouan Monastir - CUN- Gabes Kebili 73832000 www.takiacademy.com [email protected]
