Maths-Série Trigonométrie

Sousse - Nabeul - Bardo
Sfax-Menzah- Ezzahra
Bizerte - Kairouan - Kebili
Monastir - CUN- Gabes
[e-mail]
www.takiacademy.com
73832000
MATH
É
MATIQUES
Chapitre :
Trigonométrie
Guiga Karim
3
ème
Maths
2021/22

1
Pour tout réel x on pose :
A x sin 18 x sin x sin x sin x
2 2
et
21 7
B x sin 3 x sin x cos x cos x .
2 2
1) a. Montrer que pour tout réel x on a : A x cos 2x .
b. Montrer que pour tout réel x on a : B x sin 2x . 
2) Soit f x cos 2x sin 2x 
a. Calculer 17
f12
  .
b. Montrer que pour tout réel x on a :
f x 2 cos 2x 4
  .
3) Résoudre dans ℝ puis dans 0 ,2
  , l’équation :
f x 1.
4) Résoudre dans ℝ, l’équation :
B x 3
A x   .
1) Montrer que pour tout réel x on a :
cos 2x 3 sin 2x 2 cos 2x 3
  .
2) On donne
A x 1 cos 2x 3 sin 2x   .
a. Montrer que
2
A x 1 4 cos x 6
  .
b. Calculer A12
  . En déduire 2
cos 12
  .
3) Résoudre dans ℝ puis dans [0 , 2π[ l’équation A(x) = 0.
Trigonométrie
Série N°1
Niveau
: 3
ème
Maths
Guiga Karim
Exercice N°1 : 5 POINTS 25 mn
Exercice N°2 : 4 POINTS
15 mn

2
Pour tout réel x on pose
3
f x 4 sin x cos x sin2x 
1) Montrer que pour tout réel x on a :
1
f x sin 4x.
2
 Calculer f16
  et f12   .
2) Soit g la fonction définie sur \ k , k   par :
f x
g x 2 sin x .
a. Montrer que 2 1
g g
3 5 4
    .
b. Exprimer g ( x ) en l’aide de cos x . En déduire que 1
2
 et cos 5
  sont des solutions
de l’équation : 8 X
3 – 4
X – 1 = 0
c. Calculer alors cos 5
  .
1) Soit dans  l’équation (E) : x2 + 2x – 1 = 0.
a. Montrer que tan 8
  est une solution de (E).
b. En déduire que tan 2 1
8
  .
2) Soit
f x 2 1 cos 2x sin 2x   , pour tout x.
a. Montrer que
cos 2x
8
f x
cos 8
.
b. Résoudre dans , l’équation f(x) = 0.
Soit la fonction f définie sur ℝ parf(x)= sin(2)− sin .
1) Calculer f(
) et f( ).
2) a. Résoudre dans ℝ l’équation f(x) = 0.
b. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique.
3) a. Résoudre dans [0,2] chacune de deux inéquations suivantes :
i)   ≥  ii) 2cos  ≤ 1.
b. Vérifier que()= (  − ) .
c. Résoudre alors dans [0,2] l’inéquation : f(x)≥ 0.
Exercice N°3 : 5 POINTS
25 mn
Exercice N°4 : 4 POINTS
20 mn
Exercice N°5 : 4 POINTS
20 mn

3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
O,i , j , et C est le cercle trigonométrique de centre O.
Soient A(–1 , 0) ; B(2, 0) et
C 0, 3 et M le point de C tel que
i,OM 2 , où est un réel.
1) a. Calculer
cos AB, AC et sin AB, AC .
b. En déduire une mesure de :
AB, AC .
2) a. Déterminer les composantes de chacun des vecteurs
OM et BM .
b. Montrer que :  
OM.BM 1 2 cos
.
c. En déduire les valeurs de pour lesquelles la droite (BM) est tangente à C.
3) a. Montrer que dét
AM, AC 3 2 sin
3
.
b. En déduire les valeurs de pour lesquelles les points A, C et M soient alignes.
4) a. Montrer que :  AM 2 2cos .
b. Déterminer et représenter l’ensemble E des points M du cercle C tels que AM 3 .
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
O,i , j . On donne les points A et B de coordonnées
polaires :
A 2, 2 et B 3 ,1 . On pose
i, AB 2 avec  
5
,4
.
1) Déterminer les coordonnées polaires des points A et B.
2) Calculer alors 
7
cos 12 et 
7
cos 12 .
3) a. Vérifier que  AB 2 6 . b. Calculer alors cos 2 . En déduire i, AB .
4)
Pour tout réel x, on pose
2 2
f x 2cos x 2sin x 2
4.
1) a. Montrer que pour tout réel x,
 f x sin 2x cos 2x .
b. En déduire que pour tout réel x,
f x f x 0
2.
2) a. Calculer 
f3 et en déduire que  
22 3
cos 12 4 .
b. Montrer alors que :  
6 2
cos 12 4 .
3) a. Vérifier que pour tout réel x :
3
f x 2 cos 2x 4.
b. Résoudre dans  l’équation :
1 3 f x 2.
Exercice N°6 : 5 POINTS 30 mn
Exercice N°8 : 5 POINTS
25 mn
Exercice N°7 : 5 POINTS
25 mn

4
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R
O,i , j , et on considère les points A(1 , 1) ; B(4 , 2)
et C(5 , 5).
On note par  la mesure principale de l’angle orienté
i ,OB .
Les deux parties I/ et II/ de cet exercice sont indépendantes.
I/ Choisir la bonne réponse.
1) Soit
11 15
S cos 7 sin sin
2 2 . Alors :
a. cos b.  cos c. 2cos d. sin .
2) Soit B’ l’image de B par une homothétie de centre O et de rapport (–2).
Les coordonnées polaires de B’ sont :
a.
  4 5 , b.  4 5 , c. 2 5 , d.   2 5 , .
3)
sin AB ,AC a. 2
7 b. 1 5 c. 2 5 d. 2 14 .
II/ Représenter dans le repère R les ensembles E1 et E2.
E1  
3
M de coordonnées polaires r , avec r [1,2[
4.
E2
M de coordonnées polaires r , avec r [2,4] et ,
6 3 .
Pour tout réel x 
0, 2, on pose
cos 2x
f x 2 2 sin 2x et
1 sin 2x
g x 2 2 sin 2x .
1) Calculer
5
f 0 ; f et f
2 2
.
2) Montrer que pour tout 
0, 2,
2 2
f x g x 1 .
3) a. Montrer que :
2
cos x sinx 1 sin 2x ; .
2 2
cos x cos x sin x et sin x cos x sin x
4 2 4 2 .
b. Déduire que
f x cos x et que g x sin x
4 4
.
4) Montrer que
1
f x .g x cos 2x et que f x g x 2 cos x
2.
5) Calculer  
f8
, en déduire      
3 5
cos , sin et cos
8 8 8
.
Exercice N°9 : 5 POINTS 30 mn
Exercice N°10 :
5 POINTS 30 mn