1-LES OUTILS MATHEMATIQUES 16-17-2

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M. DIENG
QUELQUES OUTILS MATHEMATIQUES POUR LA PHYSIQUE
I. Les grandeurs physiques
1. Définition
On appelle grandeur physique toute propriété rattachée à l’étude d’un phénomène (mesure
ou calcul) qui peut s’évaluer, se quantifier, et s’exprimer par un nombre généralement associé
à une unité de mesure et d’une dimension.
Exemple : la masse, la longueur, l’indice de réfraction, la densité
Il existe deux types de grandeurs physiques : les grandeurs fondamentales ou de base et les
grandeurs dérivées.
2. Symbole, unités et dimensions
Grandeurs physiques Symboles Unités (SI) Dimensions
Grandeurs fondamentales
Distance et longueur l m L
Durée et temps t s T
Masse m kg M
température K θ
Quantité de matière n mol n
Intensité du courant
électrique
I A I
Tension U V M.L
2
.T
-
3
.I
-
1
Intensité lumineuse, flux
lumineux
Lm J
Eclairement lumineux E Lx J.L
-
2
Grandeurs dérivées
superficie s m
2
L
2
Volume V m
3
L
3
Angle α, β, γ rad -
fréquence f Hz T
-
1

2
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Vitesse v m s-1 L.T
-
1
accélération a m s-2 L.T
-
2
Vitesse angulaire w rad s-1 T
-
1
Energie, travail E J M.T
-
2
.L
2
Masse volumique ρ, μ Kg m3 M.L
-
3
Pression P Pa M.L
-
1
.T
-
2
Force F N M.L.T
-
2
Quantité de mouvement p N s M.L.T
-
1
puissance P W M.L
2
.T
-
3
Les dimensions des grandeurs dérivées sont déterminées à partir des équations contenant les
grandeurs dont on connaît déjà les dimensions suivant l’exemple ci-dessous :
Exemple :
- L’énergie cinétique :
2
1
2
C
E mV
=
[
]
2 2
. .
C
E M L T
−
=
- constante de raideur d’un ressort
F
K
x
=
[ ]
[
]
[ ]
F
K
x
=
[ ]
2
2
. .
.
M L T
K M T
L
−
−
= =
II. Système de coordonnées et repères
1. Coordonnées planes
a. repère cartésien
Le plan est rapporté aux axes
(
)
,
O x
et
(
)
,
O y
dans la base du repère
(
)
, ,
R O i j
Le vecteur
OM xi yj
= +
x: est la projection du vecteur
OM
sur l’axe
(
)
,
O x
et parallèle à
(
)
,
O y
y: est la projection du vecteur
OM
sur l’axe
(
)
,
O y
et parallèle à
(
)
,
O x
Remarque :
- si les vecteurs
i
et
j
sont perpendiculaires le repère est dit repère orthonormé

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- si y=0 le plan devient une droite le vecteur
OM
est porté par l’axe
(
)
,
O x
b. Repère polaire
le vecteur
r
OM re
=
r OM
=
: rayon polaire
(
)
,
i OM
θ =
: angle polaire
cos sin
r
e i j
θ θ
= +
sin cos
e i j
θ
θ θ
= − +
2. Coordonnées dans l’espace
a. Coordonnées cartésiennes dans le repère
(
)
, , ,
R O i j k
OM xi yj zk
= + +
1
i j k
= = =
: vecteur unitaire
0
i j i k j k
⋅ = ⋅ = ⋅ =

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2. Coordonnées cylindriques
Le point M est repéré par les coordonnées polaires :
ρ
,
θ
et
z
ρ
: rayon de la surface de base du cylindre
(
)
, '
i OM
θ =
où M’ est la projection orthogonal du point M
sur le plan
(
)
xOy
z
: hauteur du cylindre
La base formée par
(
)
, ,
e e k
ρ θ
est une base orthonormée
directe
e
ρ
: vecteur unitaire porté par
'
OM
e
θ
: vecteur unitaire perpendiculaire à
e
ρ
allant dans le sens positif de
θ
0
ρ
≥
,
0 2
θ π
≤ ≤
et
z
−∞ ≤ ≤ +∞
' '
OM OM M M e zk
ρ
ρ
= + = +
Dans le repère cartésien :
cos sin
e i j
ρ
θ θ
= +
(
)
cos sin cos sin
OM e zk i j zk e i j zk
ρ ρ
ρ ρ θ θ ρ θ ρ θ
= + = + + = = + +

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cos
sin
x
OM y
z z
ρ θ
ρ θ
=
= =
=
3. Coordonnées sphériques
Le point M est repéré par les coordonnées sphériques :
r
,
θ
et
ϕ
r
: rayon de la sphère
(
)
,
k OM
θ =
(
)
, '
i OM
ϕ =
où M’ est la projection orthogonale du
point M sur le plan
(
)
xOy
0
r
≥
, 0
θ π
≤ ≤
et
0 2
ϕ π
≤ ≤
Soit le vecteur
u
tel que
'
'
OM
u
OM
=
La base formée par
(
)
, ,
r
e e e
θ ϕ
est une base orthonormée directe
r
e
: vecteur unitaire porté par
OM
e
θ
: vecteur unitaire perpendiculaire à
r
e
allant dans le sens positif de
θ
e
ϕ
: vecteur unitaire perpendiculaire à
u
allant dans le sens positif de
θ
cos sin
u i j
ϕ ϕ
= +
sin cos
e i j
ϕ
ϕ ϕ
= − +
cos sin
e u k
θ
θ θ
= −
sin cos
r
e u k
θ θ
= +