Variable complexe agreg

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE
1. Dérivabilité
2. Analyticité
3. Théorie de Cauchy: premiers résultats
4. Théorie de Cauchy: extension des résultats
5. Points singuliers isolés. Théorème des résidus
6. Suites et séries de fonctions holomorphes
7. Produits infinis de fonctions holomorphes
8. Fonctions définies par une intégrale
9. Fonction de deux variables réelles associée à une fonction de la variable complexe
10. Logarithmes et puissances complexes
11. Fonctions méromorphes
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FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE
Dans toute la suite, Ω désigne un ouvert non vide de C , et les fonctions considérées sont à valeurs complexes.
1) DERIVABILITE.
a) Définitions :
Soit f : Ω → C, et z ∈ Ω; f est dite dérivable en z si lim
u→0
u∈C*
f(z+u) - f(z)
u existe dans C , i.e. s'il existe a complexe
tel que f(z+u) - f(z) - a.u = ou→0( | u | ); le cas échéant, a est appelé dérivée de f en z et noté f '(z).
La dérivabilité de f en z équivaut à sa "C -différentiabilité" en z, i.e. à sa différentiabilité en tant qu'application
de l'ouvert Ω du C-ev C dans le C-ev C (tout comme la dérivabilité d'une fonction de la variable réelle à
valeurs dans un R-ev équivaut à sa "R-différentiabilité").
On trouvera par exemple dans [Cartan. Cours de calcul différentiel] les propriétés relatives à la différentiabilité
d'une application f : Ω → F où E et F sont des espaces de Banach (tous deux réels ou tous deux complexes) et Ω
un ouvert non vide de E: f est différentiable en z ∈ Ω ⇔ ∃g ∈ Lc(E,F) tq: ||f(z+u) - f(z) - g(u)|| = ou→0( ||u|| ).
Dans le cadre qui nous occupe, l'application g = df(z) n'est autre que la multiplication par f '(z), tout comme dans
le cas de la variable réelle.
La dérivabilité de f en z entraîne la continuité de f en z; on a immédiatement les notions de fonction dérivable sur
Ω , de fonction C1, Cp, C∞ sur Ω (on verra que ces notions sont équivalentes) et les propriétés concernant les
opérations usuelles: f + g , λ.f , f.g , 1/f , gof , f -1. En particulier, l'ensemble des fonctions dérivables de Ω dans C
est une C-algèbre pour les lois usuelles.
Exemples: z → zn est dérivable sur C pour n ≥ 0 , et sur C\{0} pour n < 0 , de dérivée z → n.zn-1 ; une fonction
rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. z →z
_ , z →Re z, z → Im z ne sont dérivables nulle part;
z → | z |2 = z. z est dérivable uniquement en 0; z → | z | n'est dérivable nulle part.
b) Interprétation géométrique de l'argument du complexe f '(z) pour f '(z) ≠
≠≠
≠ 0:
Soient f dérivable sur Ω et γ : [a,b] → Ω un chemin de classe C1 ; soit t ∈ [a,b] et z = γ(t) ; si z est régulier sur γ,
i.e. si γ '(t) ≠ 0, alors la tangente en z à Γ existe et est dirigée par u d'affixe γ '(t); de même, la tangente en f(z) à
f(Γ ) existe et est dirigée par v d'affixe f '(z).γ '(t); ainsi:
(u,v) = arg f '(z) [2π
ππ
π].
Soient maintenant deux chemins γ1 et γ2 de classe C1 sur [a,b] , et z = γ1(t1) = γ2(t2) régulier sur γ1 et γ2 ; avec les
notations naturelles, on obtient: arg f '(z) = (u1,v1) = (u2,v2) [2π] , et donc:
(v1,v2) = (u1,u2) [2π
ππ
π]: les angles orientés de courbes sont conservés.
On pourra constater la conservation de l'orthogonalité en traçant les images par une application dérivable de
droites parallèles aux axes dans le plan complexe; par exemple:
f(z) = exp(z)
f(z) = 1/z

c) La théorie des applications différentiables dans les espaces de Banach donne notamment:
IAF (inégalité des accroissements finis): si f : Ω → C est dérivable et si [a,b] ⊂ Ω , alors
|f(b) - f(a)| ≤ |b-a|. Sup
z∈[a,b]|f ’(z)|.
Une conséquence: une fonction dérivable et de dérivée nulle sur Ω convexe est constante; extension à
Ω connexe car une fonction continue et localement constante y est constante.
On verra que la borne supérieure de | f ’| sur [a,b], a priori dans [0,+∞] , est en fait finie (f ' est continue).
On obtiendra directement l’IAF sur un ouvert connexe avec la théorie de Cauchy (grâce à une
expression intégrale de f(z)).
L’égalité des accroissements finis, réservée aux fonctions réelles de la variable réelle , et déjà fausse
pour les fonctions vectorielles d’une variable réelle, l’est tout autant ici (voir par exemple z → ez sur le
segment [0,2iπ] ).
Les formules de Taylor (Taylor reste intégral ; inégalité de Taylor-Lagrange ; Taylor-Young) sont
valables, mais l'analyticité des fonctions dérivables donnera directement des résultats plus pratiques.
TIL (théorème d'inversion locale): si f ∈ C1(Ω) et si zo ∈ Ω est tel que f '(zo) ≠ 0, alors f réalise
un C1-difféomorphisme local aux voisinages de zo et f(zo).
La théorie des résidus va fournir un résultat plus général :
Si f est dérivable et non constante au voisinage d’un point zo ∈ Ω, alors m = min {p≥1, f(p)(zo) ≠ 0}
existe et il existe un voisinage ouvert V de zo dans Ω et un voisinage ouvert W de f(zo) dans C tels que
pour tout Z dans W-{f(zo)}, l'équation f(z) = Z admet exactement m solutions dans V-{zo}.
(le principe des zéros isolés va montrer que l'on peut écrire f(z) = f(zo) + (z-zo)m.g(z) où g est dérivable
et g(zo) ≠ 0 ; d’où l’existence de m, appelé ordre de multiplicité du zéro zo de f -f(zo)).
Il découle de ceci que si f est dérivable et injective sur un ouvert Ω, alors sa dérivée ne s’annule pas.
TIO (théorème de l'image ouverte): si f ∈ C1(Ω) et si f ' ne s'annule pas sur Ω, alors f(Ω) est ouvert
dans C .
C'est une conséquence immédiate du TIL.
Le résultat en bleu précédent montre que si f est dérivable et non constante sur un ouvert connexe Ω,
alors f(Ω) est ouvert.
TIG (théorème d'inversion globale): Si f ∈ C1(Ω) est injective et si f ' ne s'annule pas sur Ω, alors f est
un C1-difféomorphisme de Ω sur f(Ω) ( et [ f -1 ] ' = 1
f 'of -1 ).
D’après ce qui précède, l’injectivité de f entraîne le fait que f’ ne s’annule pas sur Ω.
On définira grâce à ce résultat les logarithmes et les puissances complexes.
TW (théorème de Weierstrass): si (fn) est une suite de fonctions dérivables sur Ω , convergeant
simplement vers f sur Ω (ou même seulement en un point de Ω), et si la suite (f 'n) converge
uniformément sur tout compact de Ω vers une fonctions g, alors f est dérivable sur Ω et f ' = g.
Encore une fois, on prouvera un résultat beaucoup plus performant grâce au théorème de Morera:
Si les fn sont holomorphes et si (fn) converge uniformément sur tout compact de Ω vers f, alors f est
holomorphe sur Ω et pour tout entier k, la suite (f(k)
n) converge uniformément sur tout compact de Ω
vers f (k).

Fonctions définies par une intégrale :
Ω ouvert non vide de C ; I intervalle de R ; g : Ω×I → C , (z,t) → g(z,t); f : z → ⌡
⌠
I
g(z,t) dt;
1) Intégrale de Riemann I = [a,b]:
i ) Si g est continue sur Ω×I, alors f est définie et continue sur Ω (résultat de topologie générale).
ii ) Si de plus: ∀t ∈ I, z → g(z,t) est dérivable sur Ω (sa dérivée en z étant notée δg
δz (z,t) ), et si
δg
δz est continue sur Ω × I, alors f est dérivable sur Ω et ∀z ∈ Ω: f ' (z) = ⌡
⌠
I
δg
δz(z,t) dt.
Les deux résultats précédents s'étendent facilement aux intégrales curvilignes ⌡
⌠
γ
h(z,u).du où
γ : [a,b] → C est un chemin, et h une application de Ω×γ([a,b]) dans C .
2) Intégrale de Riemann généralisée: I non compact (i.e. non fermé ou non borné):
Mêmes résultats en ajoutant respectivement les hypothèses suivante:
i ) ajouter la cvu/z des ⌡
⌠
I
g(z,t).dt sur tout compact K de Ω.
ii ) ajouter la convergence des intégrales ⌡
⌠
I
g(z,t).dt et la cvu/z des intégrales ⌡
⌠
I
δg
δz(z,t) dt sur tout
compact de Ω.
Ces résultats se déduisent du cas précédent à l'aide du théorème de la double limite.
Dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue, on établira un résultat plus puissant et plus facile à utiliser.
d) Cas de la somme d'une série entière: Soit f la somme d'une série entière ∑
∑∑
∑an.zn de RCV R ∈ ]0,+∞] ; alors:
1) f est de classe C∞ sur le disque ouvert de convergence;
2) les dérivées successives de f s'obtiennent par dérivation terme à terme;
3) ∀p ≥ 0 , ap = f(p)(0)
p! : f est la somme sur D(0,R) de sa série de Taylor en 0.
Démonstration:
* On considère connu le résultat suivant: ∀α ∈ R : RCV ( ∑
∑∑
∑n.an.zn) = RCV ( ∑
∑∑
∑ an.zn):
* Soient zo ∈ D(O,R) et ρ > 0 tel que |zo| < ρ < R ; pour | z | ≤ ρ , z ≠ zo : f(z) - f(zo)
z - zo = n=1
∑
∑∑
∑
+∞ gn(z) avec
gn(z) = an.k=0
∑
∑∑
∑
n-1 zok.zn-1-k ; la continuité des gn en zo et la cvn de ∑
∑∑
∑gn sur { | z | ≤ ρ } (utiliser les propriétés
connues des séries entières) permettent d'obtenir la dérivabilité de f en zo et l'expression attendue de
f ' (zo). La suite s'obtient par récurrence.
Remarque: on a le même résultat (avec la même démonstration) pour les séries entières de la variable
réelle sur l'intervalle ouvert de convergence.
Exemple: z → exp z = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ zn
n! est dérivable sur C et exp ' = exp; à partir de l'exponentielle, on définit
les fonctions entières (i.e.sommes d'une série entière de RCV infini) sin , cos , ch , sh, ....
On consultera par exemple [Rudin- Analyse réelle et complexe- p.1, 2, 3] pour la définition de π, de
l'argument d'une nombre complexe non nul, les propriétés de z → exp(z) et de t → exp(i.t).
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2) ANALYTICITE.
a) Définition :
Soit f : Ω → C ; f est dite analytique sur Ω si pour tout zo de Ω, f est développable en série entière de la
variable (z – zo) dans un voisinage de zo , i.e.: ∃(an)∈ C N , ∃r > 0,∀z ∈ C , | z | < r ⇒ f(z) =n=0
∑
∑∑
∑
+∞ an.(z –zo)n.
Exemple: z → 1
1-z est analytique sur C -{1} : si zo ≠ 1: 1
1-z = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ (z-zo)n
(1-zo)n+1 sur D(zo, |1-zo| ); en
particulier, on retrouve 1
1-z = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ zn sur D(0,1) pour zo = 0.
Propriétés concernant les opérations usuelles: f+g , f.g , λ.f ; les fonctions polynomiales sont évidemment
analytiques sur C , et on vérifie facilement que les fonctions rationnelles le sont sur leur ensemble de définition
(par décomposition en éléments simples).
D'après les résultats prouvés pour les séries entières dans le paragraphe précédent, on obtient:
Si f est analytique sur Ω, alors elle est de classe C∞ sur Ω et pour tout zo dans Ω, f est la somme de sa
série de Taylor dans un voisinage de zo ; i.e. , avec les notations ci-dessus: ∀n , an = f (n) (zo)
n! .
De plus, les dérivées successives de f sont analytiques sur Ω.
b) Cas de la somme d'une série entière:
Soit n=0
∑
∑∑
∑
+∞ an.zn une série entière de RCV R ∈ ]0,+∞] et f sa somme sur D(O,R); alors f est analytique
dans D(O,R), et l'on peut ici préciser: si zo ∈ D(O,R), alors f est la somme de sa série de Taylor en (z-zo)
sur D(zo, R - |zo| ).
Démonstration: soit zo ∈ D(O,R); on montre que f est d.s.e. en (z – zo) dans D(zo , R- |zo| ) (le d.s.e.
sera le développement de Taylor): pour |z-zo| < R - |zo| , il vient : f(z) = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ p=0
∑
∑∑
∑
+∞ bn,p avec
bn,p = Cp
n.an.zon-p.(z – zo)p si 0 ≤ p ≤ n , et 0 si n < p ;
n=0
∑
∑∑
∑
+∞ p=0
∑
∑∑
∑
+∞ |bn,p| = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ |an|. ( |zo| + |z-zo| )n < +∞ car |zo| + |z-zo| < R , donc on peut intervertir:
f(z) =p=0
∑
∑∑
∑
+∞ n=0
∑
∑∑
∑
+∞ bn,p = p=0
∑
∑∑
∑
+∞ n=p
∑
∑∑
∑
+∞ Cp
n.an.zon-p.(z – zo)p = p=0
∑
∑∑
∑
+∞ [ n=p
∑
∑∑
∑
+∞ Cp
n.an.zon-p].(z – zo)p.
Remarques:
! La série de Taylor de f en zo peut avoir un RCV > R - |zo| : par exemple avec ∑
∑∑
∑zn , le RCV de la
série de Taylor de f en zo ∈ D(O,1) est |1 – zo| valeur strictement plus grande que 1 - |zo| dès que zo
n'est pas dans [0,1[ .
! Le résultat va se généraliser : si f ∈ H(Ω), f est la somme de sa série de Taylor sur le plus grand
disque ouvert centré en zo et inclus dans Ω.
c) Zéros d'une fonction analytique: