Serie d'exercices Corrigés - Math - Complexes (2) - 4ème Math (2009-2010) (1)

Nombres complexes (2)
4ème année
Maths
Octobre 2009
A. LAATAOUI
Exercice n°1 : ©
r r
Dans la figure ci contre, R = O, u , v est
(
)
un repère orthonormé direct du plan
complexe. z est le cercle de centre O et
de rayon 2 et B est un point d’affixe zB.
1. Déterminer par lecture graphique
le module et un argument de zB.
En déduire que zB = -1 + i 3 .
2. a) Placer sur la figure le point C
d’affixe zC = 1 + i
3.
b) Montrer que le quadrilatère
OACB est un losange.
3. On se propose de déterminer l’ensemble E des points
M d’affixe z tels que z3 soit un réel positif ou nul.
a) Vérifier que les points O, A et B appartiennent à E.
b) Prouver que tout point M de la demi – droite [OB) appartient à E.
c) Soit z un nombre complexe non nul, de module r et d’argument q.
Montrer que z3 est un réel positif si et seulement si q =
2kp
, k Î ¢.
3
d) En déduire que E est la réunion de trois demi – droites que l’on déterminera. Représenter E sur
la figure.
Exercice n°2 :
(
r r
)
On donne un plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct O, u, v et un réel q dans ]-p , p [
On pose z =
1.
2
1
1 + eiq )
(
2
(
)
a) Calculer 1 + eiq e
1
-i
q
2
(
)
,en déduire que arg 1 + eiq º
q
[2p ]
2
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b) Déterminer z et arg(z)
c) Représenter dans le plan P l’image du nombre complexe z pour q =
p
3
2. On pose M le point d’affixe z et A le point d’affixe 1, N le projeté orthogonal de A sur la droite (OM)
a) Déterminer et construire l’ensemble E des points N lorsque q varie.
b) Calculer NM
é p pù
3. Donner une construction ( point par point ) de l’ensemble E ' des points M pour q Î ê - , ú puis pour
ë 2 2û
p é ùp é
ù
q Î ú -p , - ê È ú , p ê . Tracer E’.
2ë û2 ë
û
Exercice n°3 :
r r
R = O, u , v est un repère orthonormé direct du plan complexe.
(
)
A, B, M et M’ sont les points d’affixes respectives : 3, 2i, z différent de 3 et z ' =
1. Déterminer z pour que l’on ait : z ' =
iz + 2
.
2z - 6
1
.
z
2. a) Montrer que pour z ¹ 3 , on a : z ' =
MB
2 MA
.
b) Montrer que pour z Î £ \ {3, 2i} , on a : arg( z ') º
p
2
(
uur L uur
+ MA, MB
) [2p ] .
{
3. Déterminer et construire chacun des ensembles suivants : E = M ( z ) / z ' =
1
2
}
, F = {M ( z ) / z ' Î ¡ + }
Exercice n°4 :
r r
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct O, u , v , on considère les points A, B et C
(
)
d’affixes respectives : 1, - sin a + i cos a et - sin a - i cos a a Î [ 0, p ] .
1. Ecrire sous forme trigonométrique z A , zB et zC .
2. Montrer que : AB = AC.
uuur uuur
3. Déterminer en fonction de a , une mesure de l’angle orienté AB, AC .
(
)
4. Déterminer a pour que ABC soit équilatéral.
Exercice n°5 :
r r
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé directe O, u , v , on associe à tout point M
(
)
1
d’affixe z , nombre complexe non nul, le point M’ d’affixe z ' = - .
z
1- Montrer que O, M et M’ sont alignés
2- Donner une relation entre argz’ et arg z.
2
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1
3- Montrer que z '+ 1 = ( z - 1)
z
4- Soit z le cercle de centre W (1, 0) et passant par O. On suppose que M Î z \ {O} .
a- Montrer que z - 1 = 1 . En déduire que z '+ 1 = z '
Interpréter géométriquement ce résultat.
b- En déduire une construction géométrique du point M’ à partir du point M.
Exercice n°6 :
r r
Dans le plan complexe rapporté à un R.O.N.D (O , u, v ) , on donne les points A(eiq ) et B(e -iq ) où
p
q Î]0, [ . Soit f l’application du plan dans le plan qui à tout point M ( z ) on associe M '( z ') tel que
2
z'=
z² -1
2 z - 2 cos q
où z ¹ cos q .
1.
Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation
( E ) : z ² - (2 cos q ) z + 1 = 0 , puis résoudre ( E )
2. a) Montrer que pour tout z ¹ cosq et z ¹ e
- iq
on a :
z '- eiq
z '- e -iq
æ z - e iq ö
=ç
- iq ÷
è z -e ø
uuuuur uuuuur
2
2
uuur uuur
æ MA ö
b) En déduire que si M ¹ A et M ¹ B on a
=ç
÷ et M ' B, M ' A º 2 MB, MA [ 2p ]
M ' B è MB ø
3. a) Montrer que si M appartient au cercle (z ) de diamètre [ AB ] alors M ' Î [ AB ] .
M 'A
(
) (
)
r
b) (z ) coupe (O, u ) en E et F . Montrer que E et F ont la même image par f qu’on précisera.
Exercice n°7 ©
Dans l’ensemble £ des nombres complexes on considère l’équation
( E ) : z 3 - ( 2 + 5i ) z 2 + (8i - 5 ) z + 3 ( 2 - i ) = 0
1. a) Montrer que ( E ) admet une solution imaginaire pure que l’on déterminera.
b) Résoudre ( E ) dans £ .
rr
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) . (Unité graphique : 1.5 cm), on
considère les points A, B et C d’affixes respectives 1 + 2i , 1 et 3i .
A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z ' par l’application f qui admet pour
écriture complexe : z ' =
( 3 + 4i ) z + 5 z .
6
Déterminer les affixes des points A’, B’ et C’ images respectives de A, B et C par f .
Placer les points A, B, C, A’, B’ et C’.
3. On pose z = x + iy (avec x et y réels).
3
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Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ' en fonction de x et y .
4. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite ( D ) d’équation y =
1
2
x.
Tracer ( D ) . Quelle remarque peut – on faire ?
5. Soit M un point quelconque du plan et M’ son image par f .Montrer que M’ appartient à la droite ( D ) .
6. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z :
z '- z
zA
=
z+z
6
+i
z-z
3
. En déduire que le nombre
z '- z
zA
est réel.
b) En déduire, lorsque M ' ¹ M , la position relative des droites (OA) et (MM’).
7. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N’ ? (on étudiera deux cas suivant
que N appartient ou non à ( D ) ). Effectuer la construction sur la figure.
8. Soit M un point d’affixe z = 1 + eiq , q Î [ 0, p [ .
a) Donner la forme exponentielle de z.
b) Déterminer par son équation cartésienne l’ensemble des points M, lorsque q décrit [ 0, p [ .
c) Déterminer z pour que M soit invariant par f .
4
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Nombres complexes (2)
4ème année
Maths
Octobre 2009
A. LAATAOUI
Corrigé
Exercice n°1 :
1. B Î z Þ |zB| = OB = 2.
Ù
r uuu
r
2p
Arg(zB) º u , OB [ 2p ] º
[ 2p ] .
3
(
)
2p
2p
æ
zB = 2 ç cos
+ i sin
3
3
è
æ 1
3ö
ö
=
2
+
i
ç
÷ = -1 + i 3 .
÷
ç 2
2 ÷ø
ø
è
3 Þ |zC| = OC = 2
2. a) zC = 1 + i
Ù
r uuur
p
et arg(zC) º u , OC [ 2p ] º [ 2p ] .
3
(
)
b) OA = OB = 2 ; BC = | zC - zB | = 2 ;
AC = | zC – zA | = | 1 + i
3 - 2| = | -1 + i 3 | = 2
OA = OB = BC = OC Þ OACB est un losange.
3. E = { M(z) tels que : z3 Î IR+ }.
3
(
3
a) 0 = 0 Î IR+ Þ O Î E ; 2 = 8 Î IR+ Þ A Î E ; -1 + i 3
)
3
3
æ 2i p3 ö
= ç 2e ÷ = 8e 2ip = 8 Î IR+ Þ B Î E.
è
ø
uuuur
uuur
b) M Î [OB) Û OM = kOB, k Î IR + Û z = k ´ zB , k Î IR + Þ z3 = k3 ´ zB3 Î IR+ Þ M Î E.
c) Soit z = reiq.
z3 Î IR+ Û (reiq)3 Î IR+ Û r3 e3iq Î IR+ Û 3q = 2kp, k Î ¢ Û q =
2kp
, k Î ¢.
3
d) M(z) Î E Û z3 Î IR+ Û
ì
ì
ïz = 0
ïz = 0
ï
ï
Û
Û íou
íou
ï
ï
2kp
2kp
ï z = reiq , avec q =
ï z = reiq , avec q =
k Î ¢
k Î {0,1, 2}
3
3
î
î
M Î [OA) (k = 0) ou M Î [OB) (k = 1) ou M Î [OB¢) (k = 2) où B¢ est le symétrique du point B par
r
rapport à O, u
( )
5
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Exercice n°7 :
( E ) : z 3 - ( 2 + 5i ) z 2 + (8i - 5 ) z + 3 ( 2 - i ) = 0
1) a) Soit ia, a Î IR, une solution imaginaire pur de ( E )
Þ ( ia ) - ( 2 + 5i ) ( ia ) + ( 8i - 5) ia + 3 ( 2 - i ) = 0
3
2
Þ -ia 3 + ( 2 + 5i ) a 2 + ( -8 - 5i ) a + 3 ( 2 - i ) = 0
Þ -ia 3 + 2a 2 + 5ia 2 - 8a - 5ia + 6 - 3i = 0
(
)
Þ 2a 2 - 8a + 6 + i -a 3 + 5a 2 - 5a - 3 = 0 , a Î IR
ìï2a 2 - 8a + 6 = 0
Þí 3
Þa =3
2
ïî-a + 5a - 5a - 3 = 0
Ainsi 3i est une solution imaginaire pur de ( E ).
b) Résolution de ( E )
(
z 3 - ( 2 + 5i ) z 2 + ( 8i - 5 ) z + 3 ( 2 - i ) = ( z - 3i ) z 2 + bz + c
)
= z 3 + ( b - 3i ) z 2 + ( c - 3ib ) z - 3ic
Par identification :
ìb - 3i = -2 - 5i
ìb = -2 - 2i
ï
íc - 3ib = -5 + 8i Û í
îc = 1 + 2i
ï-3ic = 3 2 - i
( )
î
( E ) : z - ( 2 + 5i ) z + (8i - 5 ) z + 3 ( 2 - i ) = ( z - 3i ) ( z 2 - 2(1 + i) z + 1 + 2i ) = 0
3
2
Û z = 3i ou z 2 - 2(1 + i ) z + 1 + 2i = 0 ( a + b + c = 0 Þ z = 1 ou z = 1 + 2i)
S £ = {1,3i,1 + 2i} .
2) A( 1 + 2i ) ; B( 1 ) ; C( 3i ).
z'=
6
( 3 + 4i ) z + 5 z
6
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·
z A' =
·
zB ' =
·
zC ' =
( 3 + 4i ) (1 + 2i ) + 5 (1 + 2i ) -5 + 10i + 5 - 10i
=
6
6
= 0 Þ A ¢ = f(A) = O.
( 3 + 4i ) ´1 + 5 ´1 8 + 4i 4 2
=
6
=
6
æ4 2ö
+ i Þ f(B) = B ¢ ç , ÷ .
3 3
è3 3ø
( 3 + 4i ) ´ 3i + 5 ´ ( -3i ) -12 - 6i
6
=
6
= -2 - i Þ f( C ) = C ¢ (-2, -1).
3) z = x + iy
z'=
( 3 + 4i ) ( x + iy ) + 5 ( x - iy ) 8 x - 4 y
6
Þ Ré( z ¢ ) =
=
6
+i
4x - 2 y 4x - 2 y 2 x - y
=
+i
6
3
3
4x - 2 y
2x - y
et Im ( z ¢ ) =
.
3
3
4) Ensemble des points invariants par f.
f(M) = M Û z ¢ = z Û
4x - 2 y
2x - y
1
1
= x et
= y Û x – 2y = 0 Û y = x . Ainsi Inv(f) = (D) : y = x .
3
3
2
2
On remarque que Les points A ¢, B ¢ et C ¢ sont sur la droite (D).
7
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C'est-à-dire A ¢, B ¢ et C ¢ sont trois points invariants par f.
5) Soit M ¢ = f(M) et M(x, y) Þ M ¢ (
4x - 2 y 2x - y
,
)
3
3
Les coordonnées du point M ¢ vérifient l’équation Y =
z '- z
6) a) z A
( 3 + 4i ) z + 5 z
6
=
=
-z
1 + 2i
=
1
2
X de la droite (D) Þ M ¢ Î (D).
(-3 + 4i ) z + 5 z (-3 + 4i)(1 - 2i ) z + 5(1 - 2i) z
=
6(1 + 2i)
30
5(1 + 2i ) z + 5(1 - 2i) z (1 + 2i) z + (1 - 2i) z z + z
z-z
=
=
+i
30
6
6
3
En posant z = x + i y, on aura z + z = 2 x et z - z = 2iy Þ
b) M ' ¹ M ,
z '- z 2 x 2iy 1
2
=
+i
= x - y Î IR .
6
3
3
3
zA
uuuuur
uuur
z '- z
Î IR Þ MM ' et OA sont colinéaires Þ (MM¢) et (OA) sont parallèles.
zA
7) Construction de N ¢ à partir de N :
·
Si N Î (D) Þ N ¢ = N
·
Si N Ï (D) Þ N ¢ Î (D) (Question 5) et (NN¢) // (OA).
Il sagit bien d’une projection sur (D) parallèlement à (OA).
8) z = 1 + eiq , q Î [ 0, p [
æ
ö
q
q
ç - iq2
i ÷
æq ö i2
2
a) z = 1 + e = e ç e1
+ e3 ÷ = 2cos ç ÷ e .
424
è 23ø
ç 2cosæç q ö÷ ÷ 1424
2
è ø ø
è
q
p
> 0 car Î [0, [
iq
i
q
2
2
2
ì x = 1 + cos q
b) Soit M(x, y) Û í
, q Î [0, p [
î y = sin q
Trouvons une relation entre x et y :
cos 2 q + sin 2 q = 1 Û ( x - 1) + y ² = 1 , avec 0 < x £ 2 et 0 £ y £ 1.
2
8
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ì( x - 1)2 + y ² = 1
ïï
L’ensemble des points M(x, y) a pour équation : í0 < x £ 2
ï0 £ y £ 1
ïî
c) M est invariant par f Û M Î (D) Û y =
Þ ( x - 1) +
2
Þ x=
9
1
2
x , or
( x - 1)2 + y ² = 1
1
5
8
æ5
ö
x² = 1 Û x² - 2 x = 0 Û x ç x - 2 ÷ = 0 Û {
x = 0 ou x =
4
4
5
è4
ø
à rejeté
8
1
4
8 4
et y = x = Þ z = + i .
5
2
5
5 5
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