Mécanique L1 Esatic 2021

1
ECUE 1PHY3202
MECANIQUE DU POINT
( 2 crédits )
Enseignants
Dr BAMBA Aliou
M. SORO Yahafehe
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
2
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
3
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
4
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
5
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
6
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
7
CHAPITRE 1
ELEMENTS DE CALCUL VECTORIEL
1.1
Définition
En physique, on distingue deux types de grandeur : vecteur ou scalaire.
Un vecteur est une grandeur définie par :
-
une direction : c’est la droite qui porte le vecteur, c’est le support du vecteur
-
un sens : c’est l’orientation origine-extrémité, caractérisé par une flèche
-
une intensité : valeur de la grandeur mesurée, c’est aussi la norme du vecteur

V
A
support ou direction
O

Axe de référence
Figure 1.1 : vecteur faisant un angle  avec l’axe de référence
1.1.1 Vecteur glissant ou glisseur ou vecteur libre
C’est un vecteur dont l’origine appelée également point d’application peut-être
quelconque sur un support donné.
𝑉⃗ = 𝐴𝐵⃗ = 𝐶𝐷⃗ = 𝐸𝐹⃗

V
A
ESATIC/L1
B

V
C

V
D
Cours de Mécanique du point
E
F
2020-2021
8
1.1.2 Vecteur lié ou pointeur(𝑷, 𝑽⃗)
C’est un vecteur où le point d’application est donné.


U
V
P1
P2
P
1.2

W
Addition et soustraction des vecteurs
1.2.1 Addition





Soient deux vecteurs arbitraires A et B , la somme de A et B est un vecteur R
tel que



  
R  A  B . Les vecteurs A et B sont les composantes de R

B

A

R

A

B
Figure 1.2 : addition de deux vecteurs
1.2.2 Soustraction





Soient deux vecteurs arbitraires A et B , la différence de A et B est un vecteur D tel que
  
D A B.

 B

D

A

A

B

 B
Figure 1.3 : différence de deux vecteurs
1.2.3 Norme d’un vecteur résultant de la somme de deux vecteurs



Considérons deux vecteurs A et B comme étant les composantes d’un vecteur R .
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
9
L’intensité du vecteur 𝑅⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵⃗ est le scalaire 𝑅 défini par :
R  A 2  B 2  2 A.B. cos( )

A
(1.1)
(Identité d’Alcachi)

B

R
 
B
Figure 1.4 : intensité d’un vecteur à partir de ses composantes
1.2.4 Vecteur unitaire


Soit un vecteur R donné, on appelle vecteur unitaire, noté u le vecteur défini par

 R
(1.2)
u
R
1.2.5 Cosinus directeurs d’un vecteur

Soit un vecteur R dont les composantes dans un système d’axes de référence




Z
(O, X , Y , ), sont telles que R  Rx i  R y j  Rz k
(1.3)

On appelle angles directeurs, les angles  x ,  y et  z compris entre le vecteur R et les axes
OX , OY et OZ , respectivement.
Z
Rz
Rx
z


k
u
O


i
x j

R
y
Ry
Y
X
Figure 1.5 : angles directeurs
Le vecteur unitaire peut s’écrire




u  cos x i  cos y j  cos z k
(1.4)
D’autre part on a

 R Rx  R y  Rz 
u 
i 
j
k
R R
R
R
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
(1.5)
2020-2021
10
En comparant les relations (1.4) et (1.5), on obtient les cosinus directeurs
cos x 
Rx
R
cos  y 
Ry
R
cos z 
Rz
R
(1.6)
Il est facile de montrer que
cos 2  x  cos 2  y  cos 2  z  1
1.3
Produit scalaire
(1.7)


 
On appelle produit scalaire des vecteurs A et B , noté A.B , la grandeur scalaire définie par :
 
A.B  A.B. cos
(1.8)

A


B
A cos 
Figure 1.6 : projection de




A sur la direction de B .
Si les vecteurs A et B sont définis par leurs composantes cartésiennes dans un repère
orthonormé (O, i , j , k ) alors le produit scalaire devient
 
A.B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz
(1.9)
  
Propriété : soient A , B et C trois vecteurs donnés, on montre que
  
   
(1.10)
A.( B  C )  A.B  A.C


 
Remarque : A.u est l’intensité de la projection de A sur le support de u où u est un vecteur
unitaire.
Exemple 1





On donne A  5i  2 j  4k L’intensité de A est A 
cos x 
52  22  42  3 5
5
2
4
, cos  y 
et cos  z 
.
3
3 5
3 5
Interprétation géométrique
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
11
Le produit scalaire 𝑢⃗. 𝑣⃗ de deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ représente la projection de 𝑢⃗ sur un axe de
vecteur directeur 𝑣⃗ et vice versa. Si de plus, 𝑣⃗ est un vecteur unitaire d’un axe (∆), alors le produit
scalaire 𝑢⃗. 𝑣⃗ représente la composante 𝑢 de 𝑢⃗ sur l’axe (∆).
( )
uv

v

O

u
vu
Figure 1.7 : La norme du projeté d’un vecteur sur une direction donnée est égale au produit
scalaire de ce vecteur et d’un vecteur de cette direction.
1.4
Produit vectoriel





On appelle produit vectoriel des vecteurs A et B , noté A  B , la grandeur vectorielle C
définie par :
  


C  A  B  AB sin  n  C n
(1.11)



où le vecteur n est un vecteur unitaire normal à A et à B .
  
C  A B

n

A

B

Figure 1.7 : produit vectoriel de
 
A et B
Le vecteur 𝐶⃗ est orthogonal à la fois au vecteur 𝐴⃗ et au vecteur 𝐵⃗.
Interprétation géométrique
La norme 𝐶 = 𝐶⃗ = 𝐴𝐵|sin 𝜃| représente l’aire du parallélogramme porté par les deux
vecteurs 𝐴⃗ et 𝐵⃗.
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
12
  
C  A B

B
parallélogramme
C  ABsin

A
Figure 1.8 : la norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire du
parallélogramme formé par ces deux vecteurs.
Quelques propriétés du produit vectoriel sont :
 
 
A  B  B  A
  
A  A  0 (1.13)

   
 
A  (B  C)  A  B  A  C
(1.12)
𝑑
𝑑𝐴⃗
𝑑𝐵⃗
𝐴⃗ ∧ 𝐵⃗ =
∧ 𝐵⃗ + 𝐴⃗ ∧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

i
  
C  A  B  a1
b1
(1.14)
(1.15)

k



a3  (a 2 b3  a3b2 )i  (a1b3  a3b1 ) j  (a1b2  a 2 b1 )k
b3

j
a2
b2
(1.16)
1.5
Produit mixte
 

Soient trois vecteurs A , B et C , on appelle produit mixte, la grandeur scalaire, notée,
  
A.( B  C ) ou (𝐴⃗, 𝐵⃗, 𝐶)⃗.
  
  
A.( B  C )  A . B  C . cos 
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
13
 
B C

A

h

C

B
Figure 1.9: le produit mixte de trois vecteurs est un scalaire qui représente le volume du
parallélépipède engendré par ces trois vecteurs.
Sachant que
a1
  
A.( B  C )  b1
c1
a2
b2
c2
a3 b1
b3  c1
c3 a1
b2
c2
a2
b3 c1
c3  a1
a3 b1
c2
a2
b2
c3
a3
b3
(1.17)
on peut écrire
  
  
  
A.( B  C )  B.(C  A)  C.( A  B )
(1.18)
Ce qui peut s’écrire encore
𝐴⃗, 𝐵⃗, 𝐶⃗ = 𝐵⃗, 𝐶⃗, 𝐴⃗ = 𝐶⃗, 𝐴⃗, 𝐵⃗
(1.19)
Interprétation géométrique
Le produit mixte de trois vecteurs représente le volume du parallélépipède engendré par ces trois
vecteurs.
En effet, le volume V du parallélépipède engendré par les vecteurs 𝐴⃗, 𝐵⃗ et 𝐶⃗ est
𝑉 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙é𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 𝐵⃗ 𝑒𝑡 𝐶⃗ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 ℎ.
𝑉 = 𝐵⃗ ∧ 𝐶⃗ ℎ =
ESATIC/L1
𝐵⃗ ∧ 𝐶⃗
𝐴⃗ cos 𝜃 = 𝐵⃗ ∧ 𝐶⃗ . 𝐴⃗ = 𝐴⃗. 𝐵⃗ ∧ 𝐶⃗
Cours de Mécanique du point
2020-2021
14
1.6
Double produit vectoriel
 

On appelle double produit vectoriel formé par les vecteurs A , B et C , la grandeur
vectorielle définie par :
1.7
 

  
  
( A  B )  C  ( A.C ) B  ( B.C ) A (1.20)
Composantes tangentielle et normale d’un vecteur


Considérons un vecteur A et une direction (L)quelconque définie par un vecteur unitaire u .


- La composante de A parallèle à la direction (L) ou la projection de A sur la direction (L)
est

 
(1.21)
Au  ( A.u )u

- La composante de A normale à la direction (L) s’écrit

 

(1.22)
An  u  ( A  u )

En effet, tout vecteur A peut-être décomposé en deux composantes mutuellement
orthogonales, en d’autres termes on peut écrire
 

A  Au  An

u

Au
(L)

A

An
Figure 1.10 : décomposition d’un vecteur
En appliquant la relation (1.22)
 


      
u  ( A  u )  (u .u ) A  (u . A)u  A  Au  An (1.23)
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
15
CHAPITRE 2
VECTEURS VITESSE ET ACCELERATION D’UN POINT MATERIEL
2.1
Systèmes de Coordonnées
La cinématique est l’étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
Lorsqu’on étudie le mouvement d’un corps, on se réfère à un référentiel. Il existe plusieurs types
de systèmes de coordonnées dont les plus usuels sont les systèmes de coordonnées cartésiennes,
cylindriques et sphériques.
2.1.1 Coordonnées Cartésiennes (𝒙, 𝒚, 𝒛)
Le système de coordonnées cartésiennes se caractérise par 3 paramètres qui déterminent la
position du point dans l’espace :
M
𝑥: 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒
𝑦: 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒
dz
M
𝑧: 𝑐𝑜𝑡𝑒
z
La position du point est déterminée par le

dr
dy
dx

r
vecteur 𝑟⃗ , appelé vecteur position du point

k
M.
𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗ = 𝑥𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗
(2.1)
 O
i

j
y
x
Figure 2.1.1: Système de coordonnées cartésiennes
Si au cours du mouvement la particule se déplace du point M au point M’ infiniment voisin, alors
le vecteur déplacement élémentaire s’écrit :
𝑑𝑟⃗ = 𝑀𝑀⃗ = 𝑂𝑀⃗ − 𝑂𝑀⃗ = 𝑑𝑥𝚤⃗ + 𝑑𝑦𝚥⃗ + 𝑑𝑧𝑘⃗
Sa norme est donnée par l’expression𝑑𝑠 = 𝑑𝑟⃗. 𝑑𝑟⃗ = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧
(2.2)
(2.3)
Le volume élémentaire du parallélépipède de côtés 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 et 𝑑𝑧 s’écrit
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
ESATIC/L1
(2.4)
Cours de Mécanique du point
2020-2021
16
2.1.2 Coordonnées cylindriques (𝝆, 𝜽, 𝒛)
En système de coordonnées cylindriques, la position d’un point M est caractérisée par les trois
paramètres:
z
𝜌: 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑝𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝜃: 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑝𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑧: 𝑐𝑜𝑡𝑒
Le vecteur position est donné par
dz
𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗ = 𝜌𝑒⃗ + 𝑧𝑒⃗
(2.5)
M

r
Si le point 𝑀 se déplace en 𝑀 de façon infiniment
petit, le déplacement élémentaire s’écrit :

k
𝑑𝑟⃗ = 𝑀𝑀⃗ = 𝑑𝜌𝑒⃗ + (𝑟𝑑𝜃)𝑒⃗ + 𝑑𝑧𝑒⃗ (2.6)
O
i
La longueur élémentaire en coordonnées cylindriques
est définie par

x
𝑑𝑠 = 𝑑𝜌 + (𝜌. 𝑑𝜃) + 𝑑𝑧
d

j
y

e

e

H
(2.7)
Le volume élémentaire est donné par
𝑑𝑉 = 𝜌. 𝑑𝜌. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧
M'
d
Figure 2.1.2: Système de coordonnées
cylindriques
(2.8)
Nous savons qu’en coordonnées cartésiennes,
le vecteur position s’écrit
𝑂𝑀⃗ = 𝑥𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗ (2.9)

j
et en système de coordonnées cylindriques il s’écrit
𝑂𝑀⃗ = 𝜌𝑒⃗ + 𝑧𝑒⃗
(2.10)
Dans la base (𝚤⃗, 𝚥⃗), le vecteur unitaire 𝑒⃗ s’écrit
𝑒⃗ = (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝚤⃗ + (𝑠𝑖𝑛𝜃)𝚥⃗
(2.11)

i


e
Figure 2.1.3 : Système de coordonnées
polaires
En substituant la relation (2.11) dans l’expression (2.10), on obtient :


𝑂𝑀⃗ = 𝜌((𝑐𝑜𝑠𝜃)𝚤⃗ + (𝑠𝑖𝑛𝜃)𝚥⃗) + 𝑧𝑒⃗ , e z  k
Ce qui donne 𝑂𝑀⃗ = (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃)𝚤⃗ + (𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃)𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
(2.12)
2020-2021
17
En comparant les expressions (2.9) et (2.12) du vecteur position, on obtient la relation entre les
coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques :
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑧=𝑧
(2.13)
2.1.3 Coordonnées Sphériques(𝒓, 𝜽, 𝝋)
Dans la base vectorielle (𝑒⃗ , 𝑒⃗ , 𝑒⃗ ) liée au système de coordonnées sphériques, le vecteur
position s’écrit : 𝑟⃗ = 𝑟𝑒⃗
(2.13a)
En différentiant l’expression (2.13a) on a
z
(2.14)
𝑑𝑟⃗ = 𝑑𝑟𝑒⃗ + 𝑟𝑑𝑒⃗

er

e
Le vecteur 𝑒⃗ dépend des angles
M'
M

r

𝜃 et 𝜑 ; alors on trouve

e

𝑑𝑟⃗ = 𝑑𝑟𝑒⃗ + 𝑟𝑑𝜃𝑒⃗ +k(𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑)𝑒
⃗


i
Le volume élémentaire est donné par
y

e

H
(2.16)
𝑑𝑉 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑
j
O
(2.15)
x
La longueur élémentaire de la trajectoire
s’exprime par d𝑠 = 𝑑𝑟.⃗ 𝑑𝑟⃗, et en coordonnées
Figure 2.1.4 : Système de coordonnées sphériques
sphériques on obtient :
𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 + (𝑟𝑑𝜃) + (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑)
(2.17)
Le vecteur position en système de coordonnées sphériques peut s’écrire
  
OM  OH  HM
𝑂𝑀⃗ = (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑒 ⃗ + (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒⃗
(2.18)
Le vecteur élémentaire lié au segment 𝑂𝐻s’écrit : 𝑒⃗ = (𝑐𝑜𝑠𝜑)𝚤⃗ + (𝑠𝑖𝑛𝜑)𝚥⃗
(2.19)
En insérant (2.19) dans (2.18) on obtient𝑂𝑀⃗ = (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝜑𝚤⃗ + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝚥⃗) + (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑘⃗
Ce qui donne encore OM⃗ = (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑)𝚤⃗ + (𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑)𝚥⃗ + (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑘⃗
Et on trouve finalement
(2.20)
ESATIC/L1
𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
Cours de Mécanique du point
2020-2021
18
2.2
Vecteur vitesse
La trajectoire d’un point M est l’ensemble des points de l’espace par lesquels la particule
passe au cours de son mouvement. On peut définir la vitesse comme la distance parcourue par un
corps par unité de temps. Elle s’exprime en mètre par seconde. Elle peut s’exprimer dans d’autres
unités selon les domaines d’activité. Par exemple, dans le domaine aéronaval elle s’exprime
généralement en nœud (1 nœud=0.514𝑚/𝑠 ).
2.2.1 Vecteur vitesse dans le système cartésien
On sait que le vecteur position du point M en coordonnées cartésiennes s’écrit
𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗ = 𝑥𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗
Le vecteur vitesse instantané du point M est défini par
𝑣⃗(𝑀) =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
(2.21𝑎)
Ce qui donne
𝑣⃗(𝑀) =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝚤⃗ +
𝚥⃗ + 𝑘⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣⃗(𝑀) = 𝑥̇ 𝚤⃗ + 𝑦̇ 𝚥⃗ + 𝑧̇ 𝑘⃗
(2.21b)
Le vecteur vitesse 𝑣⃗(𝑀) est un vecteur
tangent à la trajectoire 𝑠(𝑡) au point 𝑀.
z
O
s(t )
M

v (M )
y
x
Figure 2.2.1: Coordonnées curvilignes s
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2020-2021
19
2.2.2 Vecteur vitesse dans le système cylindrique
Sachant qu’en coordonnées cylindriques, le vecteur position du point M est défini par
(2.22a)
𝑟⃗ = 𝜌𝑒 ⃗ + 𝑧𝑒 ⃗
Le vecteur vitesse du point M s’écrit donc
𝑣⃗(𝑀) =
𝑑𝑒 ⃗ 𝑑𝑧
𝑑𝑟⃗
𝑑
𝑑𝜌
=
𝜌𝑒 ⃗ + 𝑧𝑒 ⃗ =
𝑒⃗ + 𝜌
+ 𝑒⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Ce qui peut s’écrire encore,
𝑣⃗(𝑀) = 𝜌̇ 𝑒⃗ + 𝜌𝜃̇𝑒⃗ + 𝑧̇ 𝑒⃗
(2.22b)
En système de coordonnées cylindriques, les vecteurs de base dépendent 𝜃.
𝑑𝑒⃗
𝑑𝑒⃗
= 𝑒⃗ 𝑒𝑡
= −𝑒⃗
𝑑𝜃
𝑑𝜃
(2.22𝑐)
Et la norme du vecteur vitesse donne
𝑣(𝑀) =
𝜌̇ + (𝜌𝜃̇ ) + 𝑧̇
(2.23)
2.2.3 Vecteur vitesse dans le système sphérique
Le vecteur vitesse instantané du point matériel M donne
𝑣⃗(𝑀) =
𝑑𝑟⃗ 𝑑(𝑟𝑒⃗ ) 𝑑𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝜑
=
=
𝑒⃗ + 𝑟
𝑒⃗ + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑒⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
On obtient
𝑣⃗(𝑀) = 𝑟̇ 𝑒⃗ + 𝑟𝜃̇ 𝑒⃗ + 𝑟𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒⃗
(2.24)
La norme du vecteur vitesse est
𝑣(𝑀) =
𝑟̇ + (𝑟𝜃̇ ) + (𝑟𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃)²
(2.25)
2.2.4 Vecteur vitesse dans le système de coordonnées curvilignes
Considérons
deux points matériels 𝑀 et𝑀 .
Supposons que le point 𝑀 se rapproche
indéfiniment du point 𝑀 . La limite de la direction 𝑀𝑀 est ce qu’on appelle la tangente 𝑇⃗ à la
courbe au point M.
On appelle plan osculateur le plan défini par les tangentes aux points 𝑀 et 𝑀 , lorsque 𝑀 tend
vers 𝑀.
Le vecteur vitesse 𝑣⃗(𝑀) est donné par 𝑣⃗(𝑀) =
ESATIC/L1
⃗
Cours de Mécanique du point
(2.26)
2019-2020
20
Le vecteur tangent unitaire à la trajectoire est déterminé par la relation
𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗
⃗ =
=
=
𝑑𝑠 𝑑𝑟
⃗
=
𝑣⃗
𝑣
(2.27)
La distance élémentaire 𝑑𝑠 est donnée par : 𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜃
(2.28)
où 𝜌 est appelé rayon de courbure au point 𝑀.
La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à l’angle polaire est un vecteur unitaire donc
𝑛⃗ =
𝑑𝜏⃗
𝑑𝜏⃗
=𝜌
𝑑𝜃
𝑑𝑠
(2.29)
Le plan osculateur contient les vecteurs 𝜏⃗𝑒𝑡𝑛⃗
La courbure locale au point 𝑀 est définie par𝜅 =
⃗
=
1

(2.30)
La courbure caractérise la capacité de la tangente à changer de direction. Plus la courbure est
grande plus le rayon de courbure est petit.
1
1
C1
C2
2
2
𝜅=
Figure 2.2.3 : rayons de courbure
On appelle trièdre de Serret-Frenet, la base vectorielle formée par 𝜏⃗, 𝑛⃗, 𝑏⃗ avec
𝑏⃗ = 𝜏⃗  𝑛⃗.
2.3
(2.31)
Vecteur accélération
2.3.1 Système de coordonnées cartésiennes
Le vecteur accélération d’un point matériel M est défini par
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
= 𝑥̈ 𝑒⃗ + 𝑦̈ 𝑒⃗ + 𝑧̈ 𝑒⃗
𝑑𝑡
𝑎⃗(𝑀) = 𝑥̈ 𝑒⃗ + 𝑦̈ 𝑒⃗ + 𝑧̈ 𝑒⃗
ESATIC/L1
(2.32)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
21
2.3.2 Système de Coordonnées Cylindriques
En coordonnées cylindriques, le vecteur accélérateur s’exprime par
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
𝑑
= (𝜌̇ 𝑒⃗ + 𝜌𝜃̇𝑒⃗ + 𝑧̇ 𝑒⃗ )
𝑑𝑡
𝑎⃗ =
=
𝑑𝑒⃗ 𝑑𝜃
𝑑𝜌̇
𝑑𝜌
𝑑𝜃̇
𝑑𝑒⃗
𝑒⃗ + 𝜌̇
+ 𝜃̇
𝑒⃗ + 𝜌
𝑒⃗ + 𝜌𝜃̇
+ 𝑧̈ 𝑒⃗
𝑑𝑡
𝑑𝜃𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 𝜌̈ 𝑒⃗ + 2𝜌̇ 𝜃̇ 𝑒⃗ + 𝜌̇ 𝜃̈𝑒⃗ − 𝜌𝜃̇ 𝑒⃗ + 𝑧̈ 𝑒⃗
Finalement on obtient
𝑎⃗ = 𝜌̈ − 𝑟𝜃̇ 𝑒⃗ + 𝜌𝜃̈ + 2𝜌̇ 𝜃̇ 𝑒⃗ + 𝑧̈ 𝑒⃗
(2.33)
2.3.3 Système de coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques le vecteur accélération s’écrit
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑
=
𝑟̇ 𝑒⃗ + 𝑟𝜃̇𝑒⃗ + 𝑟𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡
= 𝑟̈ 𝑒⃗ + 𝑟̇
̇ 𝑑𝑒⃗
𝑑𝑒⃗
𝑑𝑒⃗
+ 𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ 𝑒⃗ + 𝑟𝜃̇
+ 𝑟̇ 𝜑̇𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑟𝜑̈ 𝑠𝜑𝑖𝑛𝜃 + 𝑟𝜑̇ 𝜃̇𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒⃗ + 𝑟𝜑𝑠𝚤𝑛𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
On obtient finalement
𝑎⃗ = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ − 𝑟𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒⃗ + (𝑟𝜑̈ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟̇ 𝜑̇𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟̇ 𝜃̇𝜑̇𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒⃗ + 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ −
(2.34)
𝑟𝜑̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒⃗
2.3.4 Système de coordonnées intrinsèques
Dans un repère local mobile, le vecteur accélération s’écrit
𝑎⃗ =
𝑑(𝑠̇ 𝜏⃗) 𝑑𝑠̇
𝑑𝜏⃗
=
𝜏⃗ + 𝑠̇
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Or on sait que
⃗
=
⃗
(2.35)
= 𝑠̇
⃗
Donc le vecteur accélération devient 𝑎⃗ = 𝑠̈ 𝜏⃗ +
𝑠̈ =
̇
𝑛⃗
(2.36)
𝑑𝑣
est la composante tangentielle du vecteur accélération
𝑑𝑡
𝑠̇
𝑣
=
représente la composante radiale du vecteur accélération.
𝜌
𝜌
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
22
2.4. Exemples de mouvements
2.4.1. Mouvement rectiligne
2.4.2. Mouvement circulaire uniforme
2.4.3. Mouvement hélicoïdal
2.4.4. Mouvement parabolique
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
23
CHAPITRE 3
COMPOSITION DE MOUVEMENT ET
MOUVEMENT A ACCELERATION CENTRALE
3.1
Mouvement absolu et mouvement relatif
Considérons deux référentiels ℛ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) et ℛ′(𝑂′ , 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ) respectivement fixe et mobile. Le
mouvement d’un corps M par rapport au repère fixe est dit mouvement absolu et le mouvement de
Mpar rapport au repère mobile est dit mouvement relatif.
Le mouvement du repère mobile ℛ′(𝑂′ , 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ )par rapport au repère fixe ℛ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) est appelé
mouvement d’entraînement.
3.2
Composition de vitesse
Les vecteurs positions des points 𝑂′ et 𝑀 dans le référentiel fixe sont respectivement
𝑂𝑂′⃗ = 𝑥 ′ 𝚤⃗ + 𝑦 ′ 𝚥⃗ + 𝑧 ′ 𝑘⃗et𝑂𝑀⃗ = 𝑥𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗ (3.2.1)
Le vecteur position du point 𝑀 dans le référentiel mobile
𝑂′𝑀⃗ = 𝑥′𝚤⃗′ + 𝑦′𝚥⃗′ + 𝑧′𝑘′⃗
(3.2.2)
Nous avons 𝑂𝑀⃗ = 𝑂𝑂′⃗ + 𝑂′𝑀⃗
Le vecteur vitesse absolue est défini par
𝑣⃗ =
𝑑𝑂𝑀⃗ 𝑑𝑂𝑂′⃗ 𝑑𝑂′𝑀⃗
=
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣⃗ =
𝑑𝑥 ′
𝑑𝑦 ′
𝑑𝑧 ′
𝑑𝑥 ′ ′ 𝑑𝑦 ′ ′ 𝑑𝑧 ′ ′
𝑑𝚤⃗′
𝑑𝚥⃗′
𝑑𝑘⃗ ′
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗ +
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗ + 𝑥 ′
+ 𝑦′
+ 𝑧′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
24
M

i'

r

k

i

j
O

r'

ro '

k'
O' 
j'

j


j

o

i

i
Figure 3.1 : repère ℛ′(𝑂′ , 𝚤⃗′ , 𝚥⃗′ , 𝑘⃗ ′ ) en mouvement par rapport au repère fixe ℛ(𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘⃗ )
On sait que
𝑑𝚤′⃗
𝑑𝚤′⃗
= 𝜑̇
= 𝜑̇ 𝚥′⃗ = 𝜑̇ 𝑘′⃗ ∧ 𝚤′⃗ = 𝜔⃗ ∧ 𝚤′⃗
𝑑𝑡
𝑑𝜑
(3.2.4)
Par analogie, on a
𝑑𝚥′⃗
= 𝜔⃗ ∧ 𝚥′⃗
𝑑𝑡
(3.2.5)
𝑑𝑘′⃗
= 𝜔⃗ ∧ 𝑘′⃗
𝑑𝑡
(3.2.6)
où
𝜔⃗ = 𝜔 𝚤⃗ + 𝜔 𝚥⃗ + 𝜔 𝑘⃗est le vecteur rotation du repère mobile par rapport au repère fixe.
En insérant les expressions (3.2.4)-(3.2.6) dans les trois derniers termes de la relation (3.3) et en
arrangeant on obtient
𝑣⃗ = 𝑣⃗
′ /ℛ
+ 𝑣⃗
/ℛ′
+ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′𝑀⃗
(3.2.7)
avec
𝑣⃗
′ /ℛ
=
𝑑𝑥 ′
𝑑𝑦 ′
𝑑𝑧 ′
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
(3.2.8)
2019-2020
25
𝑣⃗
/ℛ′
𝑑𝑥 ′ ′ 𝑑𝑦 ′ ′ 𝑑𝑧 ′ ′
=
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(3.2.9)
𝑑𝚤⃗′
𝑑𝚥⃗′
𝑑𝑘⃗ ′
′
′
𝑥
+𝑦
+𝑧
= 𝑥 ′ 𝜔⃗ ∧ 𝚤⃗′ + 𝑦′𝜔⃗ ∧ 𝚥⃗′ + 𝑧 ′ 𝜔⃗ ∧ 𝑘⃗′ = 𝜔⃗ ∧ 𝑂′ 𝑀⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
′
(3.2.10)
L’expression (3.7) peut s’écrire encore
𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑣⃗
(3.2.11)
avec
𝑣⃗ = 𝑣⃗
(3.2.12)
/ℛ′
désigne la vitesse relative
𝑣⃗ = 𝑣⃗
′ /ℛ
+ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′𝑀⃗
(3.2.13)
est défini comme la vitesse d’entraînement.
Le vecteur vitesse d’entraînement 𝑣⃗ est la vitesse d’un point 𝑀⋆ lié au repère mobile (appelé “point
coïncidant“ ) et qui à l’instant 𝑡 coïncide avec la particule 𝑀.
Si le vecteur 𝜔⃗ = 0⃗ c’est-à-dire lorsque le repère mobile n’est pas en rotation, en d’autres termes
lorsque le repère mobile est en mouvement suivant une trajectoire donnée non circulaire, alors la
vitesse alors la vitesse absolue s’écrit
𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑣⃗
(3.2.14)
′ /ℛ
Considérons deux points A et B en mouvement non rotatif ,l’un par rapport à l’autre dans un
repère fixe. Le vecteur 𝑟⃗ / désigne le vecteur position de A par rapport à B.
A

j
O

rA

rA / B

 rB
i

j

i
B
Figure 3.2: repère mobile en translation par rapport au repère fixe.
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
26
Les vecteurs positions sont liés par la relation
𝑟⃗ = 𝑟⃗ + 𝑟⃗
(3.2.15)
/
En dérivant la relation (3.15) par rapport au temps on obtient la vitesse absolue du point A
𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑣⃗
(3.2.16)
/
où le vecteur 𝑣⃗ / = 𝑣⃗ est la vitesse relative de A par rapport à B ; le vecteur 𝑣⃗ est le vitesse du
repère mobile attaché à B.
3.3
Composition d’accélération
Nous savons que le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.
Nous allons donc déterminer les composantes du vecteur accélération absolue à partir de la
relation (3.2.7)
On a
𝑣⃗ = 𝑣⃗
′ /ℛ
+ 𝑣⃗
/ℛ′
+ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′𝑀⃗
(3.3.1)
Le vecteur accélération absolue s’écrit
𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗
𝑑
=
𝑣⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
′ /ℜ
+
𝑑
𝑣⃗
𝑑𝑡
/ℜ′
+
𝑑
𝜔⃗ ∧ 𝑂′𝑀⃗
𝑑𝑡
(3.3.2)
La dérivée de chaque terme de l’expression ( 3.3.2) s’écrit
𝑑
𝑣⃗
𝑑𝑡
𝑑
𝑣⃗
𝑑𝑡
′ /ℜ
=
𝑑
𝑥̇ ′ 𝚤⃗ + 𝑦̇ ′ 𝚥⃗ + 𝑧̇ ′ 𝑘⃗ = 𝑎⃗
𝑑𝑡
/ℜ′
=
𝑑 ̇ ′ ⃗′
⃗′
𝑥 𝚤 + 𝑦̇ ′ + 𝑧̇ ′
𝑑𝑡
⃗′
′ /ℛ
= 𝑎⃗ + 𝜔⃗ ∧ 𝑣⃗
𝑑
𝑑𝜔⃗
𝑑𝑂′𝑀⃗
𝜔⃗ ∧ 𝑂′ 𝑀⃗ =
∧ 𝑂′ 𝑀⃗ + 𝜔⃗ ∧
= 𝜔⃗̇ ∧ 𝑂′𝑀⃗ + 𝜔⃗ ∧ 𝑣⃗ + 𝜔⃗ ∧ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′ 𝑀⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
En insérant les relations (3.3.3)-(3.3.5) dans la relation (3.3.2)
On obtient
𝑎⃗ = 𝑎⃗ + 2𝜔⃗ ∧ 𝑣⃗ + 𝑎⃗
ESATIC/L1
′ /ℜ
+ 𝜔⃗̇ ∧ 𝑂′𝑀⃗ + 𝜔⃗ ∧ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′ 𝑀⃗
Cours de Mécanique du point
(3.3.6)
2019-2020
27
Ce qui peut encore s’écrire
𝑎⃗ = 𝑎⃗ + 𝑎⃗ + 𝑎⃗ (3.3.7)
Où
𝑎⃗ = 2𝜔⃗ ∧ 𝑣⃗
(3.3.8)
est appelé vecteur accélération de Coriolis
et
𝑎⃗ = 𝑎⃗
′ /ℜ
+ 𝜔⃗̇ ∧ 𝑂′𝑀⃗ + 𝜔⃗ ∧ 𝜔⃗ ∧ 𝑂′ 𝑀⃗
(3.3.9)
désigne le vecteur accélération d’entraînement.
3.4
Mouvement à accélération centrale
Le mouvement d’un point matériel M est à accélération centrale, s’il existe un point fixe O,
appelé centre du mouvement, tel que le vecteur 𝑂𝑀⃗ et le vecteur accélération 𝑎⃗ soient
constamment colinéaires. Ceci se traduit par la relation
𝑂𝑀⃗˄𝑎⃗ = 0⃗(3.4.1)
Par exemple, la Terre tourne autour du Soleil
sous l’action d’une force attractive dont la
direction passe toujours par le centre du
Soleil. Son accélération passe par leur centre
de masse qui peut être considéré comme fixe.
Le mouvement d’un pendule, est aussi un
mouvement à accélération centrale.
Remarque :
Une force est dite centrale quand, à chaque
instant, la direction de cette force passe
constamment par un point fixe O. Si l’on
considère un système de coordonnées
sphériques d’origine O, la force centrale en
un point M ne dépend que de la première
coordonnée sphérique c’est-à-dire 𝑟 et s’écrit
alors
𝑓⃗ = 𝑓(𝑟)𝑒⃗
ESATIC/L1
(3.4.2)
L’énergie potentielle élémentaire ne dépend
également que de 𝑟 et s’écrit
𝑑𝐸 (𝑟) = −𝑓(𝑟)𝑑𝑟
M
z

a
r
O
(3.4.3)
M'
d
y
x
Figure 3.3 mouvement à accélération
centrale
Cours de Mécanique du point
2019-2020
28
Par exemple, la force de gravitation entre un astre fixe de masse M et un astre mobile de masse 𝑚
est donnée par
𝑓⃗ = −
𝐺𝑀𝑚
𝑒⃗
𝑟
(3.4.4)
C’est la première loi de Képler.
et l’énergie potentielle élémentaire s’écrit
𝑑𝐸 =
𝐺𝑀𝑚
𝑑𝑟
𝑟
(3.4.5)
ce qui donne
𝐸 =−
𝐺𝑀𝑚
+𝐸
𝑟
(3.4.6)
3.4.1 Loi des aires
Tout comme les vecteurs 𝑇⃗ et 𝑁⃗ définissent le plan osculateur, les vecteurs 𝑣⃗ et 𝑎⃗ définissent le plan
de la trajectoire pendant une durée 𝑑𝑡. Le plan de la trajectoire défini par les vecteurs position𝑟⃗ et
accélération 𝑎⃗ est constamment orthogonal à un vecteur 𝐶⃗ constant.
Pour un mouvement à accélération centrale, nous avons
𝑟⃗˄𝑎⃗ = 𝑟⃗˄
𝑑𝑣⃗
𝑑
𝑑𝑟⃗
𝑑
= (𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗) −
∧ 𝑣⃗ = (𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗) = 0⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(3.4.7)
On en déduit que le plan de la trajectoire est orthogonal à un vecteur constant indépendant du
temps défini par
𝐶⃗ = 𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗
(3.4.8)
On rappelle que le vecteur position ou rayon vecteur 𝑂𝑀⃗ et le vecteur vitesse 𝑣⃗ en coordonnées
polaires s’écrivent
𝑟⃗ = 𝑟𝑒⃗
𝑣⃗ = 𝑟̇ 𝑒⃗ + 𝑟𝜑̇ 𝑒⃗
En insérant les expressions ci-dessus dans l’expression 𝐶⃗ on obtient,
𝐶⃗ = (𝑟𝑒⃗ ) ∧ 𝑟̇ 𝑒⃗ + 𝑟𝜑̇ 𝑒⃗
= 𝑟 𝜑̇ 𝑒⃗
(3.4.9)
On conclut que lorsque le mouvement est à accélération centrale, on a
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
29
𝑟 𝜑̇ = 𝑐𝑡𝑒
(3.4.10)
Cette propriété est appelée la loi des aires.
En effet, l’aire définie par le contour 𝑂𝑀𝑀′ est donnée pa
𝑑𝐴 =
𝑟
𝑑𝜑
2
(3.4.11)
Ce qui peut s’écrire encore
𝑑𝐴 =
𝐶
𝑑𝑡
2
(3.4.12)
On appelle vitesse aérolaire à l’instant 𝑡, la dérivée par rapport au temps de l’aire balayée par le
rayon vecteur 𝑂𝑀⃗, soit
𝑑𝐴 𝐶 𝑅 𝜑̇
= =
𝑑𝑡 2
2
(3.4.13)
Cette vitesse est constante pour un mouvement à accélération centrale.
L’aire balayée au cours du mouvement s’écrit
𝐴=
𝐶
1
𝑑𝑡 = 𝐶(𝑡 − 𝑡 )
2
2
A2
(3.4.14)
A1
Figure 3.4 : loi des aires : les deux aires 𝐴 et 𝐴 sont identiques.
La vitesse de la particule augmente quand elle se rapproche du centre attracteur.
Exercice
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
30
Montrer que pour un mouvement à accélération centrale, en posant
1
𝐾
𝑢 = 𝑒𝑡𝑓 = 𝑜ù𝐾 = −𝐺𝑀𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
𝑟
𝑟
on peut écrire
𝑣 =𝐶
𝑢 +
𝑎⃗ = −𝐶 𝑢
𝐸 =
1
𝑚𝐶
2
𝑑𝑢
𝑑𝜑
(3.4.15)
𝑢+
𝑑 𝑢
𝑒⃗
𝑑𝜑
𝑑𝑢
𝑑𝜑
+
(3.4.16)
𝑚𝐶 𝑢
+ 𝐾𝑢
2
(3.4.17)
où désigne 𝐸 l’énergie mécanique.
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
31
CHAPITRE 4
DYNAMIQUE DES PARTICULES
Les chapitres précédents sont consacrés essentiellement au calcul de vitesse et d’accélération du
mouvement d’une particule, c’est-à-dire à la cinématique. Dans le présent chapitre, nous allons
étudier les causes qui provoquent le mouvement, c’est-à-dire les forces.
4.1
Moment d’une force par rapport à un point
Le mouvement est l’interaction entre un corps et son environnement. La force est donc une
interaction entre un corps et son environnement, capable de générer ou modifier le mouvement, ou
de provoquer des déformations.
Il y a essentiellement deux types de forces les forces à distance (forces de volume) et les forces de
contact (forces de surface). Parmi les forces de volume nous avons la force de gravité, les forces
électromagnétiques. Les forces de frottement, de traction, de compression, de torsion représentent
des exemples de forces de surface.
Considérons une force 𝐹⃗ qui s’applique en un point M. On appelle moment de la force 𝑭⃗ par
rapport à un point O, le vecteur
𝑀 𝐹⃗ = 𝑂𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
(4.1.1)
Le module du moment d’une force par rapport à un
point est égal au produit du module de cette force et
du bras de levier.
O
d
𝑀⃗ (𝐹⃗ ) = 𝑂𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗ = 𝑂𝑀⃗ 𝐹⃗ |𝑠𝑖𝑛 𝜙| = 𝐹𝑑
Pour que le moment soit maximal, il faut que la
force 𝐹⃗ soit orthogonale à 𝑂𝑀⃗ . Par exemple pour
desserrer un écrou avec moins d’effort à l’aide
d’une clé, il faut que votre bras soit orthogonal à la
clé pour exercer


F
M
Figure 4.1.1 : Moment d’une force par
rapport à un point
Si une force 𝐹⃗ est la résultante de 𝑛 forces 𝐹⃗ , c’est-à-dire si
𝐹⃗ =
𝐹⃗
alors on peut écrire
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
32
𝑀 𝐹⃗ = 𝑂𝑀⃗ ∧ ∑
𝑀 𝐹⃗ =
𝑂𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
𝑀 𝐹⃗ =
𝑀⃗
𝐹⃗
𝐹⃗
(4.1.2)
Le moment de la résultante 𝐹⃗ d’un système de forces par rapport au point O, est égal à la somme
des moments de ses composantes par au point O. C’est de théorème de Varignon.
Si les forces sont concourantes en un point O, c’est-à-dire que le point d’intersection des directions
de ces forces est le point O, alors
𝑀
𝐹⃗ = 𝑂⃗
(4.1.3)
Soit un couple de forces, c’est-à-dire deux forces 𝐹⃗ et −𝐹⃗ de directions parallèles, de sens
opposés et de même module; de points d’application respectifs A et B. Le moment du couple de
forces par rapport à un point O, noté 𝐶⃗ s’écrit
O
𝐶⃗ = 𝑂𝐴⃗ ∧ 𝐹⃗ + 𝑂𝐵⃗ ∧ −𝐹⃗
A

F
= 𝑂𝐴⃗ ∧ 𝐹⃗ + 𝐵𝑂⃗ ∧ 𝐹⃗ = 𝐵𝐴⃗ ∧ 𝐹⃗
d’où
B
𝐶⃗ = 𝐵𝐴⃗ ∧ 𝐹⃗
4.2

F
(4.1.4)
Figure 4.1.2 : moment d’un couple de
forces
Moment d’une force par rapport à un axe
Soit 𝑢⃗ un vecteur unitaire de l’axe (Δ) passant par un point O. On appelle moment d’une force 𝐹⃗
par rapport à l’axe (Δ), le scalaire
𝑀 𝐹⃗ = 𝑀 𝐹⃗ . 𝑢⃗
Exercice
Soient 𝑂′ et O deux points quelconques de
l’axe (Δ), montrer que le moment d’une force
ESATIC/L1
(4.2.1)
𝐹⃗ par rapport à l’axe (Δ) est indépendant du
point choisi sur l’axe, c’est-à-dire
𝑀 𝐹⃗ = 𝑀 𝐹⃗ . 𝑢⃗ = 𝑀
Cours de Mécanique du point
′
𝐹⃗ . 𝑢⃗ (4.2.2)
2019-2020
33
()

u
O'

F
O

M
Figure 4.4 : moment en O et O’
Comme le moment d’une force par rapport à un axe ne dépend pas du point choisi sur l’axe, on peut écrire
()
𝑀 𝐹⃗ = 𝐻𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗ . 𝑢⃗

u
= 𝐻𝑀 × 𝐹 × 𝑠𝑖𝑛(𝐻𝑀⃗, 𝐹⃗ )
d’où
H
𝑀 𝐹⃗ = ∓𝑑 × 𝐹

F
(4.2.3)
d
Le moment d’une force 𝐹⃗ par rapport à un axe (Δ)
est égal au produit de l’intensité de cette force par
la distance entre l’axe (Δ) et le support de la force.
4.3
M
Figure 4.5 : moment d’une force par rapport à
un axe
Quantité de Mouvement et Principe Fondamentale de la Dynamique
Soit une particule matérielle M de masse 𝑚 animée d’une vitesse 𝑣⃗ par rapport à un référentiel
R fixe. On appelle quantité de mouvement, le vecteur 𝑝⃗, défini par
𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗
(4.3.1)
La résultante des forces 𝐹⃗ = ∑ 𝑓⃗ qui s’exercent sur une particule animée d’une vitesse 𝑣⃗, est
donnée par la relation
𝐹⃗ =
𝑑𝑝⃗ 𝑑(𝑚𝑣⃗)
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.3.2)
𝑑(𝑚𝑣⃗)
= 𝑚̇𝑣⃗ + 𝑚𝑣⃗̇ = 𝑚̇𝑣⃗ + 𝑚𝑎⃗
𝑑𝑡
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
34
donc
𝐹⃗ = 𝑚̇𝑣⃗ + 𝑚𝑎⃗
(4.3.3)
Dans notre étude, la masse de la particule est constante, et la relation (4.3.3) donne
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
(4.3.4)
C’est le principe fondamental de la dynamique.
La dérivée de la quantité de mouvement 𝑝⃗ d’un corps par rapport au temps t est égale à la
résultante 𝐹⃗ des forces qui s’applique sur ce corps.
En absence de force, 𝑚𝑣⃗ est un vecteur constant. C’est-à-dire d’un instant 𝑡 à un instant 𝑡 , la
quantité de mouvement se conserve ;
(𝑚𝑣⃗) = (𝑚𝑣⃗) = 𝑐𝑡𝑒
(4.3.5)
La relation (4.3.2) peut s’écrire
𝐹⃗ 𝑑𝑡 = 𝑑(𝑚𝑣⃗)
ce qui donne encore, par intégration sur le temps
𝐹⃗ 𝑑𝑡 = (𝑚𝑣⃗) − (𝑚𝑣⃗)
(4.3.6)
Le membre de gauche de la relation (4.3.6)
𝐼=
𝐹⃗ 𝑑𝑡
(4.3.7)
est appelé impulsion.
Si la résultante des forces 𝐹⃗
𝐼 = 𝑝⃗ − 𝑝⃗
ESATIC/L1
(4.3.8)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
35
4.4
Moment Cinétique
Considérons un référentiel fixe, et le vecteur position 𝑟⃗, d’un point de masse 𝑚. On appelle moment
cinétique de la particule, par rapport à un point O, le vecteur 𝐿⃗ défini par :
𝐿⃗ (𝑀) = 𝑟⃗ ∧ 𝑝⃗
(4.4.1)
De même on définit le moment cinétique par rapport à un axe (𝛥) de vecteur unitaire 𝑢⃗, par le
scalaire
𝐿 (𝑀) = 𝐿⃗ (𝑀). 𝑢⃗
(4.4.2)
𝑑𝐿⃗
= 𝑟⃗̇ ∧ 𝑚𝑣⃗ + 𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑎⃗ = 𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑎⃗
𝑑𝑡
(4.4.3)
Comme
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗, alors
𝑑𝐿⃗
= 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ = 𝐶⃗
𝑑𝑡
(4.4.4)
En intégrant la relation (4.4.4) par rapport au temps ; on obtient
𝐶⃗ 𝑑𝑡 = 𝛥𝐿⃗
L’intégrale
(4.4.5)
∫ 𝐶⃗ 𝑑𝑡
est appelée impulsion angulaire.
Exercice
Montrer que pour une rotation autour d’un axe fixe, d’une particule de masse 𝑚 à la distance 𝑟⃗ de
l’axe et à la vitesse de rotation 𝜔.
𝐿 (𝑀) = ∓𝑚𝑟 𝜔
4.5
Travail et Energie
Considérons une particule de masse 𝑚 se déplaçant sur une trajectoire donnée, et soumise à une
force 𝐹⃗ . On définit le travail de la force 𝐹⃗ , qui déplace la particule de 𝑟⃗ à 𝑟⃗ + 𝑑𝑟⃗ par
𝛿𝑊 = 𝐹⃗ . 𝑑𝑟⃗
ESATIC/L1
(4.5.1)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
36
On sait que
𝐹⃗ = 𝑚𝑟⃗̈
donc
𝛿𝑊 = 𝑚
𝑑 ̇
𝑟⃗ . 𝑑𝑟⃗ = 𝑚 𝑑𝑟⃗̇. 𝑟⃗̇
𝑑𝑡
=𝑑
Ce qui donne finalement
1
𝑚𝑟⃗̇. 𝑟⃗̇ = 𝑑𝑇
2
𝛿𝑊 = 𝑑𝑇
(4.5.2)
𝑇 = 𝑚𝑟⃗̇. 𝑟⃗̇
avec
(4.5.3)
où 𝑇 désigne l’énergie cinétique d’un corps de masse 𝑚 animé du vecteur vitesse 𝑣⃗ = 𝑟⃗̇.
Le travail d’une force est un transfert d’énergie.
Lorsqu’un corps de masse 𝑚 soumis à une force 𝑓⃗ se déplace d’un point A vers un point B, il reçoit
alors un travail mécanique défini par
𝑊→ =
si
si
𝑓⃗. 𝑑𝑙⃗
(4.5.4)
𝑊 → > 0 on dit que le travail est moteur
𝑊 → < 0 le travail est dit résistant.
Si le travail d’une force ne dépend pas du chemin suivi, alors on dit que cette est force est
conservative. Quelques exemples de forces conservatives sont : la force de gravitation, la force
exercée par un ressort.
On peut définir une fonction scalaire appelée énergie potentielle 𝑉(𝑟⃗) qui ne dépend que du
vecteur position 𝑟⃗ , dont dérive la force conservative.
𝐹⃗ = −𝛻𝑉(𝑟⃗)
(4.5.5)
où 𝛻 est appelé opérateur gradient.
On définit le gradient d’une grandeur scalaire 𝑉 en :
-
coordonnées cartésiennes par
𝛻𝑉 =
ESATIC/L1
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Cours de Mécanique du point
(4.5.6)
2019-2020
37
-
Coordonnées polaires
𝛻𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑢⃗ + 𝑟
𝑢⃗
𝜕𝑟
𝜕𝜃
(4.5.7)
Le travail d’une force conservative de A vers B s’écrit alors
𝑊→ =
𝑓⃗. 𝑑𝑟⃗ =
𝛻𝑉. 𝑑𝑟⃗ = 𝑉 − 𝑉
(4.5.8)
-
Pour un ressort de raideur 𝑘 soumis à un allongement 𝑥 l’énergie potentielle est définie
par
1
𝑉 = 𝑘𝑥
(4.5.9)
2
-
Pour une particule de masse 𝑚 à une hauteur h d’un plan de référence donnée et dans le
champ gravitationnel 𝑔, on a
𝑉 = 𝑚𝑔ℎ
4.6
(4.5.10)
Théorème de l’énergie Cinétique
Lorsqu’un corps se déplace d’un point A vers un point B, sous l’action d’une force 𝑓⃗, le travail
de cette force est indépendant du chemin suivi pour passer de A à B, et est égal à la variation de
l’énergie cinétique de ce corps.
∆𝑊 → =
4.7
𝑑𝑇 = ∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇
(4.6.1)
Puissance
Pour tenir compte de la vitesse d’exécution d’un travail, on définit la puissance par
𝑃=
𝑑𝑊
𝑑𝑡
(4.7.1)
Ce qui peut s’écrire encore en utilisant la définition du travail
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
38
𝑃=
𝐹⃗ . 𝑑𝑟⃗
= 𝐹⃗ . 𝑣⃗
𝑑𝑡
(4.7.2)
D’après le théorème de l’énergie cinétique
𝑑𝑊 𝑑𝑇
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.7.3)
Il vient alors que la puissance est aussi égale à la dérivée de l’énergie cinétique T par rapport au
temps, c’est-à-dire
𝑃=
𝑑𝑇
𝑑𝑡
ESATIC/L1
(4.7.4)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
39
CHAPITRE 5
OSCILLATEURS A UN DEGRE DE LIBERTE
Ce chapitre donne aux étudiants les notions fondamentales de la théorie des vibrations
mécaniques. Les systèmes dynamiques comme les véhicules et machines sont soumis à des
vibrations mécaniques qui peuvent provoquer leur disfonctionnement. Dans ce chapitre, nous
allons donc étudier les systèmes discrets à un seul degré de liberté.
5.1
Vibrations Libres
Les mouvements oscillatoires à un degré de liberté peuvent être classés en trois catégories
a) Oscillations sans amortissement
b) Oscillations avec amortissement
c) Oscillations avec frottement
5.1.1 Oscillations sans amortissement
Considérons un corps solide de masse 𝑚 attachée à un ressort de longueur initiale 𝑙 et de raideur
𝑘 constante, en mouvement oscillatoire sans amortissement autour de son état d’équilibre.Dans
ce mouvement l’amplitude du mouvement reste constante. Il n’y a pas de frottement. L’énergie
mécanique du système se conserve.
Le corps est soumis à :
-
la force de gravité𝑃⃗ = 𝑚𝑔⃗
la réaction du support𝑅⃗ = −𝑃⃗
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
40
-
la tension du ressort𝐹⃗ = −𝑘𝑥𝑢⃗ où le vecteur unitaire 𝑢⃗ est orienté dans le sens du
mouvement, la position O est l’état d’équilibre initial au repos, et 𝑥 correspond à
l’allongement du ressort.
La relation fondamentale de la dynamique donne
(5.1)
𝑚𝑥̈ = −𝑘𝑥
Ce qui peut s’écrire encore
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
(5.2)
Une solution de cette équation est de la forme
𝑥 = 𝑋 sin 𝜔𝑡
(5.3)
où𝑋 et 𝜔 désignent respectivement l’amplitude et la pulsation du mouvement
𝜔=
= 2𝜋𝑓
(5.4)
𝑇et𝑓 sont respectivement la période et la fréquence du mouvement.
𝑇=
𝑥̇ = 𝑋𝜔 cos 𝜔𝑡
𝑥̈ = −𝑋𝜔 sin 𝜔𝑡 = −𝜔 𝑥
(5.5)
(5.6)
(5.7)
En insérant la relation (5.7) dans (5.2) on obtient
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
41
(5.8)
𝑚𝜔 = 𝑘
ce qui peut s’écrire encore
(5.9)
𝜔=
x
X
X
t
0
X
La solution générale de l’équation (5.2) s’écrire sous la forme
𝑥 = 𝑥 cos 𝜔𝑡 +
̇
(5.10)
sin 𝜔𝑡
ou encore
(5.11)
𝑥 = 𝐴 sin( 𝜔𝑡 + 𝜑)
En écrivant (5.11) sous la forme
sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎
A sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐴 sin 𝜔𝑡 cos 𝜑 + 𝐴 sin 𝜑 cos 𝜔𝑡
(5.12)
En comparant (5.10) et (5.12), on obtient
𝐴=
𝑥 +
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛
̇
(5.13)
̇
(5.14)
L’énergie potentielle du système ressort de raideur 𝑘 pour un allongement 𝑥 est donnée par la relation
𝐸 = 𝑘𝑥
(5.15)
L’énergie cinétique du système ressort s’écrit
𝐸 = 𝑚𝑥̇
ESATIC/L1
(5.16)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
42
L’énergie mécanique totale d’un système en mouvement oscillatoire non amorti est constante ce qui
s’écrit
𝐸 = 𝐸 + 𝐸 = 𝑚𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑐𝑡𝑒
(5.17)
On obtient donc
(5.18)
(𝐸 + 𝐸 ) = 0
Ce qui permet également de trouver l’équation différentielle du mouvement du système.
5.1.2 Combinaison de ressorts
Dans les applications industrielles, les ressorts sont souvent combinés en parallèle ou en série. Dans cette
section, nous allons calculer dans cas le ressort équivalent.
5.1.2.1
Ressorts en parallèle
Tous les ressorts 𝑘 subissent le même
allongement 𝑥. Donc on a
𝐹=∑
𝐹 = (𝑘 + 𝑘 + ⋯ + 𝑘 )𝑥 (5.19)
La force exercée par le ressort équivalent
s’écrit :
(5.20)
𝐹=𝑘 𝑥
En comparant les relations (5.19) et (5.20) on
obtient la raideur du ressort équivalent
𝑘 = 𝑘 + 𝑘 + ⋯+ 𝑘 = ∑
𝑘 (5.21)
La raideur du ressort équivalent est égale à la somme des raideurs des ressorts en parallèle.
5.1.2.2
Ressorts en série
Tous les ressorts sont soumis à la même force et les allongements sont différents.
On peut écrire alors
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
43
𝑥 =
𝑥=
,𝑥 =
+
, …, 𝑥 =
+ ⋯+
(5.22)
𝐹 (5.23)
En insérant la relation (5.23) dans (5.20) on obtient
=
+
(5.24)
+ ⋯+
L’inverse de la raideur du ressort équivalent est égale à la somme des inverses des raideurs des
ressorts en série.
5.1.3 Oscillations avec amortissement visqueux
Les mouvements oscillatoires avec amortissement visqueux sont des mouvements où l’amplitude diminue
progressivement jusqu’à l’arrêt total du mouvement. L’amortissement s’oppose au mouvement.
La force due à l’amortissement visqueux est proportionnelle à la vitesse.
𝐹⃗ = −𝒄𝑣⃗
(5.25)
où𝒄 est coefficient d’amortissement visqueux.
En appliquant la deuxième loi de Newton(principe fondamental de la dynamique), on obtient
𝑚𝑥̈ = −𝒄𝑥̇ − 𝑘𝑥
(5.26)
ce qui s’écrit encore
𝑚𝑥̈ + 𝒄𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0
ESATIC/L1
(5.27)
Cours de Mécanique du point
2019-2020
44
Résolution de l’équation différentielle de la forme : 𝑎𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑐𝑥 = 0
(5.28)
Equation caractéristique 𝑎𝑟² + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0(5.29)
Discriminant : Δ= 𝑏 − 4𝑎𝑐(5.29)
a) Si Δ=0 alors l’amortissement est critique (régime critique).(5.29) admet ne racine double réelle qui
s’écrit :𝑟 = 𝑟 = 𝛼
(5.30)
NB : Pour l’équation (5.27)   0  c²  4mk  0  cc  2 km désigne le coefficient d’amortissement critique
et z 
c
le taux d’amortissement.
cc
La solution générale de l’équation différentielle d’ordre 2 (5.28) s’écrit alors
(5.31)
𝑥 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒
Les paramètres 𝐴 et 𝐵sont des constantes arbitraires qui dépendent des conditions initiales.
x
t
O
b) Si Δ<0 alors l’amortissement est faible (régime pseudo-périodique). Le taux d’amortissement z< 1.
L’équation (5.29) admet deux racines complexes conjuguées qui s’écrivent :
𝑟 = 𝛼 + 𝑖𝜔et𝑟 = 𝛼 − 𝑖𝜔
(5.32)
La solution générale de l’équation différentielle d’ordre 2 (5.28) s’écrit alors
𝑥 = (𝜆𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + µ𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡)𝑒
ou𝑥 = 𝐴𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
(5.33)
(5.34)
Les paramètres 𝜆 et µ ou A et φsont des constantes arbitraires qui dépendent des conditions initiales. La
réponse du système dépend des valeurs du coefficient d’amortissement visqueux 𝒄.
  t
Xe αt
Ae
Mouvement oscillatoire avec amortissement visqueux
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
45
c) Si 𝛥 > 0alors l’amortissement est fort ; le taux d’amortissement z> 1 (régime apériodique).
(5.29) admet deux racines réelles distinctes qui s’écrivent 𝑟 et 𝑟 .
La solution générale de l’équation différentielle d’ordre 2 (5.28) s’écrit alors
𝑥=𝑋 𝑒
(5.35)
+𝑋 𝑒
x
x 𝑥 =
X1𝑋
e1𝑒t  X+2e𝑋2t𝑒
5.2 Vibrations forcées avec excitationharmonique
Considérons le système ci-dessous soumis à une force d’excitation harmonique.
En appliquant la deuxième loi de Newton on obtient l’équation du mouvement égale à
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝑣𝑡(5.36)
En supposant une solution de la forme
𝑥 = 𝑋 sin(𝑣𝑡 − 𝜙) (5.37)
𝑥̇ = 𝑋𝑣 sin(𝑣𝑡 − 𝜙 + )(5.38)
𝑥̈ = 𝑋𝑣 sin(𝑣𝑡 − 𝜙 + 𝜋)(5.39)
En insérant les équations (5.37)-(5.39) dans (5.36) on obtient
𝑚𝑋𝑣 sin(𝑣𝑡 − 𝜙 + 𝜋) + 𝑐𝑋𝑣 sin(𝑣𝑡 − 𝜙 + ) + 𝑘𝑋 sin(𝑣𝑡 − 𝜙) = 𝐹 sin 𝑣𝑡(5.48)(5.40)
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020
46
La représentation vectorielle de l’équation (5.40) donne la figure ci-dessous.
On peut écrire
(5.41)
𝐹 = (𝑘𝑥 − 𝑚𝑋𝑣 ) + (𝑐𝑋𝑣)
ou
𝑋=
(
)
(
(5.42)
)
On pose𝑋 =
=
(5.43)
(5.44)
L’amplitude 𝑋 des vibrations dépend de la pulsation propre (naturelle)𝜔 du système, de l’amplitude de la
force 𝐹et de la pulsation 𝑣 de la force d’excitation forcée. Le rapport
est appelé le facteur
d’amplification dynamique.
Le graphique ci-dessous nous montre que lorsque la pulsation de l’excitation s’approche de la valeur de la
pulsation naturelle du système, c’est-à-dire lorsque 𝑣 trend vers 𝜔 l’amplitude du mouvement s’amplifie
considérablement si le taux d’amortissement tend vers zéro. C’est le phénomène de la résonnance.
X
X s
v
w
ESATIC/L1
Cours de Mécanique du point
2019-2020