DERIVEES

CHAPITRE 1 (suite)
Produit vectoriel
Soient et deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vectoriel des vecteurs
et noté .
Calcul des produits vectoriels
Si et sont colinéaires alors = 0
..Sin ( )
Dans une base orthonormale ( , , ), pour tout vecteur, (x, y, z) et (x’, y’,z’),
on a
Application
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les trois points suivants : A
1
2
1
;
B
1
6
1
; C
2
2
2
Calcule le produit vectoriel
Eléments de réponse :
Calculons le produit vectoriel
0
4
0
;
1
0
1
=
0
4
0
1
0
1
=
4 0
0 0
0 4
=
4
0
4

CHAPITRE 2 : RAPPEL D’ANALYSE
Dérivées simples
Elle est la limite du rapport de l’accroissement d’une variable lorsque celle-ci tend vers zéro.
Rappel des formules des dérivées étudiées dans les classes antérieures.
Fonction f
Dérivée f’
validité
f(x) =k
f’(x)= 0
K est un nombre réel, x IR
f (x) = x
f'(x) = 1
x IR
f(x)=
f’(x)= 2x
x IR
f(x) = xn
f’(x)= nxn-1
x IR et n un entier naturel tel que n 2
f(x) =
f'(x) = -
X∞;0 ou 0; ∞
f(x) =
f'(x) = -
X∞;0 ou 0; ∞
f(x) =
f'(x) = √
X0; ∞
f u + v
f' u’+v’
Dérivable sur I
f= k u
f' = ku’
Dérivable sur I
f= u x v
f' = u’v + v’u
Dérivable sur I
F=
f' = -
Dérivable sur toute valeur x de I tel que u(x) est
positif
f =
f'=
Dérivable en toute valeur x de l’intervalle ou
v(n) est non nul
f = √
f'= √
Dérivable sur toute valeur de x de I tel que u(x)
est positif.
f =
f'= .
Dérivable sur toute valeur x de I
Dérivée d’une fonction a plusieurs variables
Une dérivée partielle de f par rapport à xiest obtenue en dérivant f par rapport à xien maintenant les
autres constants.
Application N° 1 :
On considère une fonction f : IR IR
f (x,y) = 3x2+ 4xy + 7y2
Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et par rapport à y.
Eléments de réponse.
- Calculons la dérivée partielle de f
* par rapport à x
x f (x, y) = x + 4y
* par rapport à y
y f(x,y) = 4x + 14y
Application N°2
On considère une fonction f : IR IR
f (x,y,z) = 5xz ln 1 7

Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et z
Eléments de réponse
Calculons la dérivée partielle de f :
-par rapport à x
x f (x, y,z) = 5z ln 1 7
- par rapport à z
z f (x,y,z) = 5x ln 1 7
Application :
On considère une fonction f : IR IR
f (x,y) = 3x2+ 4xy + 7y2
Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et par rapport à y.
Eléments de réponses.
- Calculons la dérivée partielle de f
* par rapport à x
x f (x, y) = x + 4y
* par rapport à y
y f(x,y) = 4x + 14y