Sequence 0 - Automatismes

Chapitre E
Automatismes : 1ere STD2A
Sommaire
I)
Fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Déterminer graphiquement des images et des antécédents . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type : f (x) = k, f (x) > k ...
II) Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S. BALNY
1
.
.
.
.
.
. .
. .
.
2
2
3
5
1ere STD2A
Fonctions et représentations
Automatismes : 1ere STD2A
I)
Fonctions et représentations
1)
Déterminer graphiquement des images et des antécédents
Fonction, Image, Antécédents :
Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y.
f
On note : x 7→ y ou encore f : x 7→ y ou encore y = f (x).
On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f .
Exemple :
Soit g la fonction définie par g(x) = x2 + 3.
• L’image de 5 est g(5) = 52 + 3 = 28,
• Les antécédents de 7 vérifient g(x) = 7 c’est à dire x2 + 3 = 7 soit x = −2 ou x = 2,
• Il n’y a pas d’antécédent de 1 car l’équation g(x) = 1 n’a pas de solution : x2 + 3 = 1 ⇐⇒ x2 = −2.
Exemple :
Soit h la fonction définie par la courbe bleue suivante :
4
3
2
x=5
1
3
0
0
−3
−2
0
−1
1
2
3
4
5
6
−1
y = −2
−2
−3
• L’image de 5 par h est 3.
• Les antécédents de −2 par h sont 0 et 3.
S. BALNY
2
1ere STD2A
Fonctions et représentations
Automatismes : 1ere STD2A
Exercice E1 On considère la fonction f . En voici une représentation graphique :
3
2
Cf
1
0
−2
0
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
−2
1. Déterminer les images par f de −2, 1, 4, 5, 6.
2. Déterminer les antécédents éventuels de −2, −1, 0, 2 et 3 par f
2)
Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type : f (x) = k, f (x) > k ...
Exemple :
Soit f la fonction définie par la courbe bleue suivante :
3
2
1
0
0
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
• L’équation f (x) = 0 admet deux solutions : 0 et 4.
• L’équation f (x) ¾ 1,5 admet pour ensemble solution [1; 3] car, graphiquement, l’inéquation correspond
à la partie verte de la courbe :
2
1,5
1
1
0
−1 0
−1
1
2
2
3
4
−2
−3
S. BALNY
3
1ere STD2A
Fonctions et représentations
Automatismes : 1ere STD2A
Exercice E2 Sur [−2,5; 3,5], on considère la fonction g suivante :
4
3
2
1
0
−2
0
−1
1
2
3
−1
−2
−3
1. Résoudre l’équation f (x) = 0.
2. Résoudre l’équation f (x) = −1.
3. Résoudre l’équation f (x) = −3.
4. Résoudre l’inéquation f (x) ¶ −2.
5. Résoudre l’inéquation f (x) > 1.
S. BALNY
4
1ere STD2A
Solutions des exercices
II)
Automatismes : 1ere STD2A
Solutions des exercices
Correction E1
1. L’image de −2 par f est 0. On écrit f (−2) = 0.
De même, on a f (1) = 1 ; f (4) = 3 ; f (5) = 2 et f (6) = 0.
2. −2 n’a pas d’antécédent par f .
6,5 et 8 sont les antécédents de −1 par f .
Les antécédents de 0 par f sont −2 ; 6 et environ 8,7.
Les antécédents de 2 par f sont 3 et 5. L’antécédent de 3 par f est 4.
Correction E2
Attention, la lecture graphique n’est pas exacte. Il s’agit d’être le plus précis possible mais l’exactitude est impossible.
1. L’équation f (x) = 0 admet pour solutions −2 ; −1 ; 1 et 3.
2. L’équation f (x) = −1 admet pour solutions 1,4 et 2,8.
3. L’équation f (x) = −3 n’admet pas de solution.
4. L’inéquation f (x) ¶ −2 admet pour ensemble solution [1,8; 2,6].
5. L’inéquation f (x) > 1 admet pour ensemble solution [−2,5; −2,2[∪] − 0,3; 0,4[∪]3,1; 3,5].
S. BALNY
5
1ere STD2A