157805754-Analyse-des-donnees

UNIVERSITE DE DOUALA
Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Appliquée
(FSEGA)
Département des techniques quantitatives
Année académique 2012/2013
COURS ANALYSE DES DONNEES
CF4 - ECOMO4 - FICO4 - MARKETING4
Par M. NANA YAKAM André
Email : [email protected]
Programme :
1.
2.
3.
4.
Méthodologie d’analyse des données
Analyse univariée
Analyse bivariée
Analyse multivariée
Bibliographie :
− Qu’est ce que l’analyse de données ? Jean-Pierre FENELON, édition LEFONEN
− Initiation à l’analyse des données, Jean de Lagarde, édition DUNOD
− Analyse des données multidimensionnelles, Patrice Bertier & J M Bouroche,
Presses Universitaire de France
− Statistique appliquée à la gestion, Vincent GIARD, édition ECONOMICA
− Analyse statistique des données : application et cas pour le marketing, H.
Fernneleau, édition Ellipses
CHAPITRE I :
METHODOLOGIE D’ANALYSE DES DONNEES
INTRODUCTION
L’analyse de données est un processus d’extraction des connaissances à partir des données (ECD). Elle vise
à décrire, à résumer et à interpréter des phénomènes dont le caractère essentiel est la variabilité. Elle
fournit de la manière la plus rigoureuse possible des éléments d'appréciation utiles à l'explication ou à la
prévision de ces phénomènes. L’analyse des données fournit à toutes les personnes confrontées à
l'interprétation de résultats d'observation ou d'expérimentation, un outil d'interprétation adapté aux
conditions particulières de leur domaine d'activité.
Avant de se lancer dans le processus d’analyse des données, l’analyste doit avoir un problème bien délimité
à résoudre. Il ne se lance pas dans l’analyse sans avoir une idée des objectifs de son opération et des moyens
informationnels et technologiques dont il dispose. Par exemple, il cherche des liens entre certains phénomènes.
Une fois le problème posé, la première phase vise à cibler, même de façon grossière, l’espace des données
qui va être exploré. L’analyste définit de ce fait des zones de prospection, étant persuadé que certaines régions
seront probablement vite abandonnées si elles ne recèlent aucun ou peu d’intérêt. L’acquisition met en œuvre
des méthodes pour collecter les données potentiellement utiles selon le point de vue de l’analyste.
NB : La collecte des données est la phase la plus déterminante en analyse de données, car toute analyse,
aussi sérieuse soit-elle, faite sur de données erronées ou de mauvaise qualité est biaisée d’avance et ne peut
aboutir qu’à des conclusions erronées. Par ailleurs, Le processus d’ECD n’est pas linéaire car il arrive aussi que
l’on revienne, après analyse, rechercher de nouvelles données.
A l’issue de la phase de collecte de données, il convient de les nettoyer. Par exemple, si l’une des variables
retenues s’avère peu ou mal renseignée, on peut ne pas la prendre en considération. On peut également
explicitement chercher à limiter le nombre d’enregistrements que l’on souhaite traiter. On construit alors un
filtre idoine, comme un échantillonnage selon une procédure de tirage aléatoire simple ou systématique par
exemple.
Après cette phase de pré-traitement des données, l’analyste est, a priori, en possession d’un stock de
données contenant potentiellement l’information ou la connaissance recherchée. C’est en ce moment qu’il peut
commencer son analyse. Selon que l’analyse porte sur une, deux ou plus de deux variables, et en fonction de la
nature de ces variables, de nombreux outils statistiques sont à la disposition de l’analyste pour résoudre son
problème. Le schéma suivant résume la méthodologie d’analyse des données ainsi que les outils qui seront
développés dans ce cours.
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Problème à résoudre
Origine et Collecte des Données
Prétraitement, Codification, Mise
des données en tableaux
Analyse descriptive
(Analyse Univariée)
- Estimation des paramètres de
tendance centrale (moyenne, mode,
médiane)
- Estimation et signification des
paramètres de Dispersion (variance,
écart type, intervalle interquartile)
- Graphiques
- Tests d’inférence sur une variable
- ANOVA à un facteur
Analyse Bivariée
- Test d’association,
- Test de Corrélation
- Autres tests
- ANOVA à 2 facteurs
Analyse Multivariée
- Analyse Factoriel (ACP,
AFC, ACM, Analyse
discriminante)
- Modélisation (modèle de
régression multiple)
- Modélisation (modèle de
régression, …)
- Prévision
- Prévision
ORIGINE ET METHODES DE COLLECTE DES DONNEES
1. ORIGINE
Les données utilisées en statistiques peuvent provenir d’un recensement, d’une enquête statistique, des
données administratives ou d’un entrepôt de données d’une organisation.
a) Recensement
Le recensement est une opération statistique d’observation exhaustive de tous les éléments d’une
population. Les données individuelles de tous les éléments de la population sont prises en compte pour le
caractère étudié. C’est le cas par exemple des clients d’une banque, des salariés d’une entreprise, …
b) Enquête statistique
Une enquête statistique est la collecte de données sur une partie ou la totalité des unités d'une population à
l'aide de concepts, de méthodes et de procédures bien définis. Le sondage en est l’une de ces méthodes, qui
permet de construire un échantillon et qui ne prélève qu’une partie des informations existantes.
c) Données administratives
Les organismes et les Etats recueillent des données administratives dans le cadre de leurs activités
quotidiennes, ces données peuvent être utilisées à titre de substitut pour une enquête par sondage ou pour
un recensement.
d) Entrepôt de données
Grâce à l’évolution informatique, avec la fabrication des ordinateurs ayant des grandes capacités de
stockage, les entreprises, les institutions et les organisations conservent de nos jours, des quantités
importantes d’information dans leurs bases de données. Ces entrepôts de données renferment à n’en point
douter des informations dont la fouille par les techniques d’analyse de données peut permettre d’apporter
des réponses, même aux questions les complexes que se poses ces organisations.
Remarque : Les sources potentielles peuvent être regroupée en deux : Soit les données existent déjà
quelque part et elles sont accessibles, au quel cas il faut aller à sa recherche, sinon nous devons les
collecter nous même auprès des individus concernés.
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2. METHODES DE COLLECTE DES DONNEES
La collecte des données vise à répondre aux questions suivantes : Quels sont les individus à prendre en
compte dans mon étude ? Où vais-je les retrouver ? Par quel moyen ? Combien en faut-il ? Comment vais-je les
sélectionner ? Les réponses à ces questions varient selon que les données sont dans des entrepôts de données ou
alors s’il faut les collecter auprès des individus concernés.
Très souvent, les données issues des bases de données et des enquêtes statistiques ne sont pas toutes
exploitables. On est parfois amené à procéder à une sélection pour choisir l’échantillon propice pour l’analyse.
Parmi ces méthodes d’échantillonnage nous pouvons citer :
− Echantillonnage aléatoire simple : l’échantillon est choisi de telle sorte que chaque unité de la
population ait la même probabilité d’être sélectionnée dans l’échantillon et que chaque échantillon
de même taille ait la même probabilité d’être tiré.
−
Echantillonnage Systématique : On souhaite sélectionner n individus parmi N sujets numérotés de 1 à
N
N. pour ce faire, On calcule le pas : p =
, puis on tire un nombre aléatoire entre 1 et Ent(p), c’est du
n
premier individu choisi. Les autres seront obtenus en ajoutant Ent(p) au numéro précédemment choisi.
− Échantillonnage avec probabilité proportionnelle à la taille : Si la base de sondage renferme
de l'information sur la taille de chaque unité (comme le nombre de filles) et si la taille de ces
unités varie, on peut utiliser cette information dans le cadre de la sélection de l'échantillonnage
afin d'en accroître l'efficacité.
− Échantillonnage stratifié : on divise la population en groupes homogènes appelés strates, qui
sont mutuellement exclusifs (comme l'âge, la ville de résidence, le revenu, etc.) puis on
sélectionne à partir de chaque strate des échantillons indépendants. On peut utiliser n'importe
quelle des méthodes d'échantillonnage pour sélectionner l'échantillon à l'intérieur de chaque strate.
3. PRETRAITEMENT DES DONNEES
Les données issues des entrepôts ou des enquêtes ne sont pas nécessairement toutes exploitables par des
techniques d’analyse de données. Les données acquises peuvent être de types différents pour la même variable,
on peut avoir les données manquantes ou aberrantes. Dans certaines situations, les données exigent une
transformation telle qu’un centrage par rapport à la moyenne ou une normalisation. La préparation consiste à
homogénéiser les données et à les disposer en tableau lignes/colonnes. Car il s’agit presque toujours de la
structure la mieux adaptée à l’exploitation des données. Les principales opérations de préparation peuvent être
listées comme suit :
a) Sélection de ligne/colonne.
Elle s’effectue sur des données qui sont déjà sous forme tabulaire. Il s’agit de définir un filtre qui permet de
sélectionner un sous-ensemble de lignes ou de colonnes. L’objectif étant, soit de réduire le nombre de données
soit de sélectionner les lignes ou colonnes les plus pertinentes par rapport aux préoccupations de l’utilisateur.
Les techniques mises en œuvre dans ce but relèvent des méthodes statistiques d’échantillonnage. Cette
sélection peut également s’effectuer selon des conditions exprimées par l’utilisateur. Par exemple, il peut ne
garder que les attributs dont la moyenne est supérieure à un seuil donné ou ne conserver que les attributs qui ont
un lien statistique significatif avec un attribut particulier.
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b) Le traitement des données manquantes ou aberrantes.
Certaines données peuvent être absentes ou aberrantes et gêner ainsi l’analyse. Il convient alors de définir des
règles pour gérer ces données manquantes et les valeurs aberrantes ou anormales.
i.)
Valeurs manquantes
Lorsqu’on est en face d’une donnée manquante, une des solutions consiste à supprimer l’observation
correspondante, quand on en a suffisamment. On peut aussi envisager d’estimer cette dernière. De nombreuses
solutions sont proposées, comme le remplacement, dans le cas des variables qualitatives et quantitatives
continues, de toute donnée manquante par la valeur la plus fréquente de la variable concernée. On peut
également chercher à estimer ces valeurs manquantes par des méthodes d’induction comme la régression pour
les variables quantitatives.
ii.)
Valeurs aberrantes
Selon la méthode de l’intervalle de confiance, est considérée comme valeur aberrante pour une variable
quantitative X donnée, toutes les données dont la valeur est extérieure à l’intervalle [X − 1.96σ X ; X + 1.96σ X ]
où X est la moyenne de X et σ X son écart type.
La valeur détectée comme aberrante est ramenée à la limite haute ou basse de cet intervalle de confiance. On
peut également chercher à l’estimer par des méthodes régression.
c) Les transformations de variables
Il s’agit de transformer un attribut A en une autre variable A’ qui serait, selon les objectifs de l’étude, plus
appropriée. Différentes méthodes sont pratiquées comme la discrétisation qui consiste à transformer des attributs
continus en découpant le domaine de valeurs de ces attributs en intervalles afin d’obtenir des attributs qualitatifs.
On peut également centrer les valeurs des variables continues par rapport à la moyenne et réduire par l’écart
type. Ce traitement leur confère certaines propriétés mathématiques intéressantes lors de la mise en œuvre de
méthodes d’analyse des données multidimensionnelles.
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CHAPITRE II :
ANALYSE UNIVARIEE
Introduction
L’analyse univariée porte sur une variable. Elle peut être subdivisée en deux grandes parties : l’analyse
descriptive et les tests d’inférence.
I.
ANALYSE DESCRIPTIVE
Elle comprend les étapes suivantes :
- Représentations Graphiques
- l’estimation des paramètres de tendance centrale
- l’estimation des paramètres de dispersion
- l’estimation des paramètres de forme
1. Représentations graphiques
La représentation graphique des données relatives à une variable repose sur la proportionnalité des
longueurs (ou des aires) des graphiques par rapport aux effectifs ou aux fréquences, des différentes
modalités de la variable. A chaque type de variable correspond des types de graphiques. Parmi les
graphes les plus utilisés, nous pouvons citer :
-
Diagramme en bâtons
Histogramme
Diagramme en secteurs
Courbes
Boite à moustache (ou Boxplot en Anglais)
2. Paramètres de position (ou de tendance centrale)
Ce sont principalement : la moyenne, le mode et la médiane. Ils permettent de savoir autour de quelles
valeurs se situent les modalités d'une variable statistique.
3. paramètres de dispersion
Ils permettent d’apprécier comment les valeurs d’une variable sont concentrer autour de la tendance
centrale. Il s’agit principalement de l’étendue, la variance, l’écart type et les quartiles.
4. Schéma d’un box plot
Valeurs aberrantes
Valeurs aberrantes
Minimum
Maximum
1er Quartile
Médiane
3e Quartile
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Le box plot permet d’analyser :
•
•
La symétrie de la courbe, (la symétrie du corps et la symétrie par rapport aux moustaches),
L’existence de valeurs extrêmes (aberrantes). Ces valeurs méritent une attention toute
particulière car elles pourraient représenter une erreur de mesure, d’enregistrement des
données ou d’entrée des données. Tout comme il pourrait s’agir d’une valeur légitime qui est
tout simplement (et par hasard) extrême.
NB : la moyenne, l’écart type et la variance sont largement influencés par la présence de valeurs
extrêmes.
5. Paramètres de formes
Ils permettent d’apprécier la distribution en comparaison à une loi normale de même moyenne et de
même écart-type. Ce principalement les coefficients d’asymétrie et d’aplatissement.
-
Coefficients d’asymétrie
Il existe plusieurs coefficients d'asymétrie. Les principaux sont les suivants.
Le coefficient d'asymétrie de Pearson :
X − Mo
P=
σX
Le coefficient d'asymétrie de Yule :
Q1 + Q3 − 2M e
2(Q3 − Q1 )
Lorsque le coefficient d'asymétrie est positif, la distribution est plus étalée à droite, lorsque le coefficient
d'asymétrie est négatif, la distribution est plus étalée à gauche.
Y=
-
Coefficient d'aplatissement.
Le coefficient le plus utilisé est celui de Fisher : γ 2 =
µ4 ( X )
− 3 , avec µ 4 ( X ) : le moment d’ordre 4 de
σ X4
1 n
( x i − m) 4
∑
n i =1
Il est d’autant plus grand que les valeurs de la série statistique sont plus regroupées autour de la moyenne.
• Si γ 2 = 0 , la distribution a le même aspect qu’une loi normale de même moyenne et de même
écart-type
• Si γ 2 > 0 , la distribution est moins aplatie que la loi normale
• Si γ 2 < 0 , la distribution est plus aplatie que la loi normale
X, µ 4 ( X ) =
II. UTILISATION DE TESTS STATISTIQUES
Nous conduisons une recherche de façon à déterminer l'acceptabilité d'hypothèses découlant de nos
connaissances (théories). Après avoir sélectionné une hypothèse, qui nous paraît importante, nous
récoltons des données empiriques qui devraient nous apporter des informations directes sur
l'acceptabilité de cette hypothèse. Notre décision concernant la signification des données nous conduit
soit à retenir, soit à réviser ou soit à rejeter l'hypothèse et la théorie qui en est la source.
Pour atteindre une décision objective concernant une hypothèse particulière, nous devons suivre une
procédure objective (méthodes publiques et répétables par d'autres chercheurs) permettant soit
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d'accepter soit de rejeter cette hypothèse. Cela consiste à formuler, en termes probabilistes, un jugement
sur une hypothèse relative à une population, à partir des résultats observés sur un échantillon extrait au
hasard de cette population.
Cette procédure suit les étapes suivantes :
1- établir l'hypothèse nulle (H0) [considérer l'hypothèse alternative H1].
2- choisir le test statistique approprié pour tester H0,
3- spécifier un niveau de signification ( α ) et la taille de l'échantillon (n),
4- trouver la distribution d'échantillonnage du test statistique sous H0,
5- sur la base de 2, 3, 4, définir la région de rejet, (Valeur critique)
6- calculer la valeur de la statistique du test à l'aide des données de l'échantillon.
1. L'hypothèse nulle
C'est la première étape de la procédure. L'hypothèse nulle H0 est généralement une hypothèse de non
différence « il n'y a pas de différence significative entre les échantillons A et B ». Elle est formulée de
façon à être rejetée. Dans le cas de son rejet, l'hypothèse alternative (H1) « il y a une différence
significative entre les échantillons A et B » doit être acceptée. Cette dernière est la prédiction dérivée de
la théorie à tester. Un test d'hypothèse constitue donc une sorte de démonstration par l'absurde en
probabilité.
Supposons qu'une théorie scientifique nous conduise à prédire que deux groupes spécifiques d’individus
diffèrent par le temps qu'ils passent dans une activité donnée. Cette prédiction sera notre hypothèse de
recherche. Pour tester cette hypothèse de recherche, nous la formulons en hypothèse alternative H1.
Cette dernière pose que la moyenne de temps passée dans cette activité par les membres des deux
populations est différente ( µ1 ≠ µ 2 ), alors que pour H0 la moyenne de temps passée dans cette activité
par les deux populations est la même ( µ1 = µ 2 ). Si les données nous permettent de rejeter H0, alors H1
peut être acceptée, et cela supportera l'idée de la validité de l'hypothèse de recherche et de sa théorie
sous-jacente.
La nature de l'hypothèse de recherche détermine comment H1 doit être formulée :
•
Si elle pose que deux groupes différeront simplement par leur moyenne, alors H1 est telle que
µ1 ≠ µ 2 . Les tests statistiques seront bilatéraux.
• Au contraire, si la théorie prédit la direction de la différence, c'est-à-dire qu'un des groupes
spécifiés aura une moyenne supérieure à celle de l'autre groupe, alors H1 est telle que soit µ1 > µ 2 soit
µ1 < µ 2 . Les tests applicables seront alors unilatéraux.
Les tables statistiques (et maintenant les logiciels statistiques) fournissent les valeurs statistiques
critiques dans les deux cas. Pour tous les tests, on définit donc une hypothèse nulle. Le calcul de
probabilité p correspond à la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie (ou à la probabilité de se
tromper en rejetant l'hypothèse nulle). Si p>0,05 (5%) ou p>0,01 (1%), on ne peut pas rejeter
l'hypothèse nulle. On dit qu'on a une différence non significative entre les deux échantillons.
2. Choix du test statistique
On dispose actuellement de nombreux tests statistiques différents qui peuvent être utilisés pour arriver à
une décision concernant une hypothèse. Le choix doit se faire sur des bases rationnelles.
3. Niveau de signification et la taille de l'échantillon
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L'ensemble des valeurs observées pour lesquelles l'hypothèse nulle est admissible forme la région
d'acceptation ou de non-rejet et les autres valeurs constituent la région de rejet ou domaine de rejet ou
région critique. Mais le hasard de l'échantillonnage peut fausser les conclusions. Quatre situations
doivent être envisagées :
- l'acceptation de l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie,
- le rejet de l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie,
- l'acceptation de l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse,
- le rejet de l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse.
Dans le premier et le dernier cas, la conclusion obtenue est correcte, mais pas dans les deux cas
intermédiaires. L'erreur qui consiste à rejeter une hypothèse vraie est appelée erreur de première
espèce ( α ) et celle commise en acceptant une hypothèse fausse est l'erreur de seconde espèce ( β ).
Idéalement, α et β devraient être déterminés par l'expérimentateur préalablement à la recherche, ce qui
détermine la taille de l'échantillon (N). Une diminution du risque alpha, augmente le risque bêta pour
tout échantillon donné. La probabilité de commettre l'erreur de seconde espèce décroît lorsque la taille
de l'échantillon augmente.
Pratiquement, on se donne une limite supérieure du risque de première espèce, le plus souvent 5%
(significatif), 1% (très significatif) ou l°/oo (hautement significatif). Cette limite constitue aussi le
niveau de signification du test et permet de définir la condition de rejet de l'hypothèse nulle. Le plus
souvent, les logiciels de statistique donnent le niveau de signification réel. On rejette alors l'hypothèse
nulle au niveau de signification nominal choisi (par exemple 0,05) si (et seulement si) le niveau de
signification réel est inférieur ou égal au niveau de signification nominal (p = 0,003 < 0,05, rejet de H0).
Cette attitude est dite conservatrice.
Le risque de première espèce étant donné, on peut s'efforcer de calculer le risque de deuxième espèce,
grâce à la notion de puissance de test (P = 1- β ). Mais ce problème possède rarement une solution
simple et l'on perd souvent de vue l'existence même de ce risque. Cependant, la puissance d'un test
dépend de la nature du test choisi, du niveau de signification du test, de la taille de l'échantillon, de la
vraie valeur du paramètre ou mesure testée. En particulier, elle est liée à la nature de l'hypothèse
alternative H1. Un test unilatéral est plus puissant qu'un test bilatéral. Aussi, souvent on se contente de
préciser l'importance du risque de première espèce, sans se soucier de l'existence d'une seconde
possibilité d'erreur.
4. Distribution d'échantillonnage
C'est une distribution théorique. Par exemple, celle que l'on obtiendrait si nous prenions tous les
échantillons possibles de même taille tirés chacun au hasard de la même population. Autrement dit, c'est
la distribution sous H0, de toutes les valeurs possibles qu'une statistique (ou variable statistique, la
moyenne par exemple) peut avoir lorsque cette statistique est calculée à partir d'échantillons de même
taille tirés au hasard.
5. Région de rejet
Cette région est constituée par le sous-ensemble des valeurs de la distribution d'échantillonnage qui sont
si extrêmes que lorsque H0 est vrai, la probabilité que l'échantillon observé ait une valeur parmi celles-ci
est très faible (la probabilité est α ).
La position de cette région de rejet est affectée par la nature de H1 : Dans un test unilatéral, la région de
rejet est entièrement située à une des extrémités de la distribution d'échantillonnage, alors que dans un
test bilatéral, cette région est située aux deux extrémités de la distribution.
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La taille de cette région de rejet est définie par α . Si α = 5%, la taille de la région de rejet correspond
à 5% de l'espace inclus dans la courbe de la distribution d'échantillonnage. Cela signifie que dans une
distribution suivant une loi normale, il n'y a que 5 chances sur 100 pour que l'écart entre la variable et
sa valeur moyenne dépasse 2 fois l'écart-type.
6. La décision
Si le test statistique donne une valeur comprise dans la région de rejet, nous rejetons H0 [on adopte alors
H1]. Quand la probabilité associée à une valeur du test statistique est inférieure ou égale à la valeur
alpha préalablement déterminée, nous concluons que H0 est faux. En effet, en rejetant l'hypothèse nulle
au niveau 5%, par exemple, nous avons 5 chances sur 100 seulement d'aboutir à une telle conclusion par
le simple fait du hasard. Cette valeur est dite significative.
III. CHOISIR LE TEST STATISTIQUE APPROPRIE
Le plus souvent nous disposons de différents tests pour une recherche (validation d'hypothèse) donnée,
il est alors nécessaire d'employer une méthode rationnelle pour choisir le test le plus approprié.
Nous avons vu que l'un des critères de choix est la puissance du test utilisé. Mais d'autres critères sont
importants pour déterminer l'adéquation d'un test lors de l'analyse de données particulières. Ces critères
concernent :
•
•
•
la façon dont l'échantillon a été réalisé ;
la nature de la population de laquelle a été tiré l'échantillon ;
la nature des mesures réalisées.
1. Le modèle statistique
Lorsque nous définissons la nature de la population et le mode d'échantillonnage, nous établissons un
modèle statistique (c'est à dire une formulation mathématique des hypothèses faites sur les observations).
A chaque test statistique est associé un modèle et des contraintes de mesure. Ce test n'est alors valide que
si les conditions imposées par le modèle et les contraintes de mesure sont respectées. Il est difficile de
dire si les conditions d'un modèle sont remplies, et le plus souvent nous nous contentons d'admettre
qu'elles le sont. Aussi devrions nous préciser, chaque fois : "Si le modèle utilisé et le mode de mesure
sont corrects, alors....).
Il est clair que moins les exigences imposées par le modèle sont nombreuses et restrictives, plus les
conclusions que l'on tire sont générales. De ce fait, les tests les plus puissants sont ceux qui ont les
hypothèses les plus strictes. Si ces hypothèses sont valides, ces tests sont alors les mieux à même de
rejeter H0 quand elle est fausse et de ne pas rejeter H0 quand elle est vraie.
2. Nature des observations et échelle de mesure
Il est très important de considérer la nature des données (observations) que l'on va tester. D'elle dépend la
nature des opérations possibles et donc des statistiques utilisables dans chaque situation. Les observations
peuvent être soit quantitatives soit qualitatives.
Les données quantitatives comprennent les dénombrements (ou comptages) et les mesures (ou
mensurations).
Dans le cas des dénombrements, la caractéristique étudiée est une variable discrète ou discontinue, ne
pouvant prendre que des valeurs entières non négatives (nombre d’employés par entreprise, nombre de
clients par catégorie, nombre d’articles vendus par magasins..). Il suffit de compter le nombre d'individus
affectés par chacune des valeurs (fréquences) de la variable.
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Dans le cas des mesures, la variable est de nature continue (hauteur, poids, surface, prix, température..).
Les valeurs possibles sont illimitées mais du fait des méthodes de mesures et du degré de précision de
l'appareil de mesure, les données varient toujours de façon discontinue.
Les mensurations peuvent être réalisées dans deux échelles de mesure : l'échelle de rapport et l'échelle
d'intervalle. Elles sont manipulables suivant les opérations de l'arithmétique.
Les données qualitatives peuvent être réalisées dans deux échelles de mesure : échelle de rangement et
l'échelle
nominale.
Ces
données
ne
sont
pas
manipulables
par
l'arithmétique.
Dans l'échelle ordinale (de rangement), il existe une certaine relation entre les objets du type plus grand
que, supérieur à, plus difficile que, préférée à....
Exemple : Les nombres de candidats à un examen obtenant les degrés A, B, C. Le degré A est meilleur
que le degré B, lui-même meilleur que le degré C. Une transformation ne changeant pas l'ordre des objets
est admissible. La statistique la plus appropriée pour décrire la tendance centrale des données est la
médiane.
Dans l'échelle nominale, les nombres ou symboles identifient les groupes auxquels divers objets
appartiennent. C'est le cas des numéros d'immatriculation des voitures ou de matricule d’étudiants
(chaînes de caractères). Le même nombre peut être donné aux différentes personnes habitant le même
département ou de même sexe constituant des sous-classes. Les symboles désignant les différentes sousclasses dans l'échelle nominale peuvent être modifiés sans altérer l'information essentielle de l'échelle.
Les seules statistiques descriptives utilisables dans ce cas sont le mode, la fréquence... et les tests
applicables seront centrés sur les fréquences des diverses catégories.
3. Tests paramétriques et non paramétriques : avantages et inconvénients
Un test paramétrique requiert un modèle à fortes contraintes (normalité des distributions, égalité des
variances) pour lequel les mesures doivent avoir été réalisées dans une échelle au moins d'intervalle. Ces
hypothèses sont d'autant plus difficiles à vérifier que les effectifs étudiés sont plus réduits.
Un test non paramétrique est un test dont le modèle ne précise pas les conditions que doivent remplir les
paramètres de la population dont a été extrait l'échantillon. Cependant certaines conditions d'application
doivent être vérifiées. Les échantillons considérées doivent être aléatoires et simples [tous les individus
qui doivent former l'échantillon sont prélevés indépendamment les uns des autres]. Les variables
aléatoires prises en considération sont généralement supposées continues.
3.1. Avantages des tests non paramétriques
1. Leur emploi se justifie lorsque les conditions d'applications des autres méthodes ne sont pas
satisfaites, même après d'éventuelles transformations de variables.
2. Les probabilités des résultats de la plupart des tests non paramétriques sont des probabilités
exactes quelle que soit la forme de la distribution de la population dont est tiré l'échantillon.
3. Pour des échantillons de taille très faible jusqu'à N = 6, la seule possibilité est l'utilisation d'un test
non paramétrique, sauf si la nature exacte de la distribution de la population est précisément
connue. Ceci permet une diminution du coût ou du temps nécessaire à la collecte des
informations.
4. Il existe des tests non paramétriques permettant de traiter des échantillons composés à partir
d'observations provenant de populations différentes. De telles données ne peuvent être traitées par
les tests paramétriques sans faire des hypothèses irréalistes.
5. Seuls des tests non paramétriques existent qui permettent le traitement de données qualitatives :
soit exprimées en rangs ou en plus ou moins (échelle ordinale), soit nominales.
6. Les tests non paramétriques sont plus faciles à apprendre et à appliquer que les tests
paramétriques. Leur relative simplicité résulte souvent du remplacement des valeurs observées
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soit par des variables alternatives, indiquant l'appartenance à l'une ou à l'autre classe
d'observation, soit par les rangs, c'est-à-dire les numéros d'ordre des valeurs observées rangées par
ordre croissant. C'est ainsi que la médiane est généralement préférée à la moyenne, comme
paramètre de position.
3.2. Désavantages des tests non paramétriques
1. Les tests paramétriques, quand leurs conditions sont remplies, sont les plus puissants que les tests
non paramétriques.
2. Un second inconvénient réside dans la difficulté à trouver la description des tests et de leurs tables
de valeurs significatives, surtout en langue française. Heureusement, les niveaux de significativité
sont donnés directement par les logiciels statistiques courants.
On choisira les tests appropriés en fonction du type de mesure, de la forme de la distribution de
fréquences et du nombre d'échantillons dont on dispose.
IV. Quelques applications pratiques des méthodes de statistique non paramétrique
1. Cas d'un échantillon isolé
Des tests permettent de vérifier si un échantillon observé peut être considéré comme extrait d'une
population donnée (Test d'ajustement). Ces tests peuvent permettre de répondre aux questions suivantes:
- Y a t-il une différence significative de localisation (tendance centrale) entre l'échantillon et la
population ?
- Y a t-il une différence significative entre les fréquences observées et les fréquences attendues sur
la base d'un principe ?
- Y a t-il une différence significative entre des proportions observées et des proportions espérées?
- Est-il raisonnable de penser que cet échantillon a été tiré d'une population d'une forme
particulière?
- Est-il raisonnable de penser que cet échantillon est un échantillon d'une certaine population
connue?
2. Cas de deux échantillons
Ce type de test est utile lorsque l'on veut établir si deux traitements sont différents ou si un traitement est
"meilleur" qu'un autre. Dans tous les cas, le groupe qui a subi le traitement est comparé à celui qui n'en a
pas subi, ou qui a subi un traitement différent. Ce cas se présente, par exemple, quand on compare deux
méthodes de mesure en soumettant à ces deux méthodes les mêmes individus, choisis dans une
population donnée : à chacune des méthodes correspond alors une population de mesures, mais ces
populations et les échantillons que l'on peut en extraire, ne sont pas indépendants.
Il est aussi possible de soumettre les mêmes sujets à deux traitements différents. Chaque sujet est alors
utilisé comme son propre contrôle et il suffit alors de contrebalancer l'effet d'ordre des traitements. Une
dernière façon de faire consiste à apparier des sujets et d'assigner aléatoirement les membres de chaque
paire aux deux conditions. Cet appariement est toujours délicat. Il faut sélectionner pour chaque paire
les sujets les plus semblables possibles par rapport aux variables étrangères qui pourraient affecter le
résultat de la recherche entreprise. En effet, dans de telles comparaisons de deux groupes appariés, des
différences significatives peuvent être observées qui ne sont pas le résultat du traitement.
Bien que l'utilisation de deux échantillons non indépendants soit préférable, cette méthode est
fréquemment impraticable. En effet, la nature de la variable étudiée exclue l'utilisation des sujets comme
leur propre contrôle.
12
V. TEST D’INFERENCE POUR UNE VARIABLE
1. Test d’Ajustement du Khi-2
Ce test est applicable aux variables qualitatives nominales, il consiste à analyser un échantillon
d’observation d’une variable a fin de tester l’ajustement à la distribution d’une population standard.
On peut chercher par exemple à tester si la fréquence ou la proportion observée dans les classes d’âge
des personnes interrogées lors d’une enquête sont significativement différents de celles observées
pour les mêmes classes d’âges dans la population de référence.
a) Hypothèses à tester
On teste l’hypothèse
Ho : il n’y a pas de différence significative entre les fréquences (ou proportions) observées et les
fréquences (ou proportion) théoriques.
Contre l’hypothèse
H1 : il y’a des différences significatives entre les fréquences observées et les fréquences théoriques
b) Statistique du test
La statistique du test mesure les écarts entre la distribution observée et la distribution théorique.
Elle est donnée par :
k
(O − T )2
χ2 = ∑ i i
Ti
i =1
Où Ti est la fréquence théorique de la catégorie i,
Oi, la fréquence observée de la catégorie i
et k, le nombre total de catégories
c) Valeur critique
Sous l’hypothèse Ho, la statistique χ 2 suit une loi de Khi-2 à (k-1) degrés de liberté. Ainsi, Pour
un coefficient de risque α fixé, la valeur critique : χ α (k - 1) est lue dans la table du Khi-2 à (k-1)
degrés de liberté.
2
d) Règle de Décision
On compare χ 2 à la valeur critique :
•
•
Si χ 2 > χ α (k - 1) , on rejette Ho
Si non on accepte Ho
2
e) Exemple :
On voudrait savoir si les clients de ce magasin apprécient plus les produits Alimentaires ou non.
Or les clients de ce magasin peuvent acheter, soit uniquement les produits Alimentaires, soit les
produits non alimentaires ou alors les deux. On veut tester si la fréquence d’achat est répartie de
façon égale dans ces trois niveaux de fréquence. Une enquête faite sur un échantillon de 60 clients de
ce magasin à permis d’avoir les résultats suivants :
13
Produits achetés
Alimentaire
Non Alimentaire
Les deux
Fréquences observées
26
18
16
Résolution :
Produits achetés
Alimentaire
Non Alimentaire
Les deux
Fréquences observées Fréquences théoriques
26
20
18
20
16
20
Ici, k = 3, n = 60
(26 − 20) 2 (18 − 20) 2 (16 − 20) 2
χ2 =
+
+
= 2,8
20
20
20
2
2
Pour α = 5%, χ α (k - 1) = χ α (2) = 5,9
Pour α = 1%, χ α (k - 1) = χ α (2) = 9,21
2
2
On a χ 2 < χ α (k - 1) donc on accepte Ho. En d’autres termes, les clients de ce supermarché achètent
à égale fréquence les produits alimentaires, les produits non alimentaires ou alors les deux. On ne peut
donc conclure qu’ils apprécient plus les produits Alimentaires.
2
2. Test de Kolmogorov-Smirnov
C’est un test d’ajustement tout comme le test du Khi-2, qui s’applique aux variables qualitatives
ordinales.
a) Hypothèses à tester
Les hypothèses à tester sont les suivantes :
Ho : les valeurs observées dans l’échantillon ne sont pas significativement différentes des valeurs
théoriques.
H1 : ces valeurs sont significativement différentes.
b) Statistique du test
Le principe du test consiste à calculer la distribution cumulée des proportions théoriques et à la
comparer avec celles observées de l’échantillon. On considère comme statistique du test : D, l’écart
maximum en valeur absolue entre les proportions cumulées observées et les proportions cumulées
théoriques
D = max[ PcO − PcT ] .
c) Valeur critique
La valeur critique : Dα , au seuil α, pour un échantillon de taille n (n > 35) est donnée par :
α
Dα
1%
1.63
n
5%
1.36
n
14
d) Règle de décision :
Si D > Dα , on rejette Ho, si non, on accepte Ho
NB. Le Test de Kolmogorov-Smirnov s’applique aussi pour déterminer si les fréquences observées
pour deux échantillons indépendants sont significativement différentes.
a) Exemple :
On veut tester si la répartition des fréquences d’achat d’un produit est significativement différente
d’une répartition théorique où les produits seraient achetés à proportion égale à chaque niveau de
fréquence. Une enquête sur un échantillon de 46 consommateurs de ce produit a donné les résultats
suivants :
Niveau
Une fois
Fréquence
21
Très peu souvent
16
De temps en temps
8
Régulièrement
1
Résolution :
Fréquence Proportion
Proportion
Proportion
Proportion
Diff.
Observée Observée Observée cumulée Théorique Théorique cumulée
1
21
0.46
0.46
0.25
0.25
0.21
2
16
0.35
0.81
0.25
0.50
0.31
3
8
0.17
0.98
0.25
0.75
0.23
4
1
0.02
1
0.25
1
0
1.63
D = 0.31 pour α = 1% , Dα =
= 0.24
46
D > Dα , donc on rejette Ho, en d’autre termes la répartition des achats est significativement plus
importante chez les personnes dont les fréquences d’achats sont faibles.
Niveau
3. Tests utilisant la loi normale ou de Student
Les tests de loi normale (Z) ou de Student permettent d’évaluer si la tendance centrale des données
d’un échantillon de taille n est significativement différente d’une norme standard. Ces tests
s’appliquent pour les variables quantitatives.
Le test de loi normale est approprié dans le cas où n>30 dans le cas contraire, on utilise le test de
Student.
a) Cas de la moyenne
Soit à tester l’hypothèse Ho : X = m contre H1 : X ≠ m
X −m
X −m
On prend comme statistique du test : Z =
pour n>30 ou T =
pour n<30
S n
S n −1
1 n
Où S est l’écart type observé à partir de l’échantillon. ( S 2 = ∑ ( xi − X ) 2 )
n i =1
La règle de décision est la suivante :
Pour n>30, Si Z > Z α / 2 on rejette Ho, si non, on accepte Ho
Pour n<30, si T > tα / 2 ( n − 1) on rejette Ho, si non, on accepte Ho
15
Où Z α / 2 et tα / 2 (n − 1) sont respectivement les fractiles de la loi normale et de la loi de Student.
α
Zα 2
1%
2.576
5%
1.960
10%
1.645
b) Exemple
Sur un échantillon de 90 emballages, tiré de la production d’une entreprise, on a observé que le
poids moyen est de 22,84 kg, avec un écart type de 3,22 kg on voudrait savoir si la production de cette
entreprise est conforme à la norme qui fixe le poids de l’emballage en question à 22 kg.
Résolution
Ici, n = 90 > 30,
22.84 − 22
Z=
= 2.47
3.22 90
Au seuil α = 5% , Z α 2 = 1,96
On a Z > Z α 2 , on rejette Ho
Donc le poids moyen des emballages fabriqués par cette entreprise est significativement différent de
la norme.
4. Analyse de variance à un facteur pour échantillons indépendants.
Hypothèses à tester :
L'hypothèse nulle () est l'égalité des moyennes des populations dont sont extraits les échantillons :
H0 : m1 = m2 = m3 =... = mk
L’hypothèse alternative (H1) est l’inégalité d’au moins deux de ces moyennes
H1 : il ∃i, j (i ≠ j ) tel que mi ≠ m j
Statistique du test :
Considérons que le nombre d'échantillons est noté k, le nombre de mesures par échantillon est désigné par
n et le nombre total de mesures, kn. Le tableau des données étant le suivant :
échantillon 1
échantillon j
échantillon k
x11
x1 j
x1k
x 21
x2 j
x2k
...
...
...
La détermination de la statistique du test passe par la construction du tableau d’analyse de la variance qui
se présente ainsi qu’il suit :
Source de variation
ddl
SCE
Effet facteur
k-1
SF
Effet Résiduel
kn-k
SR
Total
kn-1
ST
CM (Variance)
S
VF = F
k −1
VR =
F
V
F= F
VR
SR
kn − k
16
Avec :
S F = ∑ n j (x j − x )
k
n
j =1
n
k
n
2
i =1 j =1
k
k
2
i =1 j =1
n
1
1
xij
x j = ∑ xij
∑∑
kn i =1 j =1
n i =1
ST = SF + SR
VF , est la variance inter-groupe et VR, la variance intra-groupe
x=
NB :
S T = ∑∑ (xij − x )
S R = ∑∑ (xij − x j )
2
Manuellement, les calculs intermédiaires à réaliser pour construire le tableau de l’analyse de la variance
sont les suivants :
échantillon 1
échantillon j
échantillon k
x11
x1 j
x1k
x 21
x2 j
x2k
...
...
...
xi1
x ij
xik
...
...
...
x n1
x nj
x nk
Total
T1
Tj
Tk
G = ∑∑ xij
n
∑x
i =1
n
ij
i =1
T2
n
T12
n
T j2
n
n
n
∑ x ij2
∑ x 2i1
i =1
SF =
n
∑ x 2ij
i =1
∑T
n
2
−
G2
kn
i =1

 ∑T 2
S R = ∑  ∑ xij2  −
n


Tk2
n
n
∑ x 2ik
i =1
∑T
2
n
 n 2 
x1 j 
∑  ∑
i =1


 G2
S T = ∑  ∑ xij2  −

 kn
Seuil critique :
Pour un seuil α fixé, la valeur critique est donnée par la table de Fisher Snedecor à [(k-1), (kn-k)] ddl.
Flu = Fα [(k - 1), (kn - k)]
Règle de décision :
Si F > Flu, on rejette H0 .Si non on l’accepte
Exemple :
On veut savoir si les intérêts boursiers varient d'une place boursière à l'autre. Pour cela, on prélève les
intérêts mensuels moyens enregistrés lors des 10 premiers mois de l’année (n = 10) dans 3 places
boursières différentes (k = 3). Les données se présentent comme suit :
17
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
1ère place B 2e place B
50
162
52
350
123
125
100
320
200
112
250
200
220
40
220
162
300
160
220
250
3e place B
120
120
122
221
253
141
182
175
160
214
Résolution :
1ère place B
2e place B
3e place B
50
52
123
100
200
250
220
220
300
220
162
350
125
320
112
200
40
162
160
250
120
120
122
221
253
141
182
175
160
214
Total
1735
1881
1708
5324
n
∑x
T=
i =1
ij
T2
n
301022,5
353816,1
291726,4
946565
368033
435257
311560
1114850
n
∑x
i =1
2
ij
S F = 1732,47
S R = 168285
S T = 170017,47
Tableau d’analyse de la variance :
Source de variation
Effet place boursière
Effet Résiduel
Total
ddl
2
27
29
SCE
1732,47
168285
170017,47
CM
866,24
6232,78
F
0,14
Pour α = 5% , Flu = Fα [2, 27] = 3,35
F < Flu on accepte H0, donc il n’y a pas de différence significative entre les intérêts des trois places
boursières
18
CHAPITRE III :
ANALYSE BIVARIEE
Lorsque qu’une étude statistique porte sur deux variables, on parle d’analyse bivariée. Il est généralement
question ici de décrire l’évolution commune des deux variables, de rechercher d’éventuels liens entres
elles ou alors d’expliquer une variable par l’autre. Selon l’objectif de l’étude et de la nature des variables,
les techniques utilisées dans ce cas sont les suivantes :
Variable à Expliquer (Y)
Qualitative
Correspondance
Tableaux d’effectifs (tableau croisé)
Test d’association (Chi-2)
Description – modélisation - prévision
Variable explicative (X)
Qualitative
Tableau des moyennes
Analyse de la variance
Test de Fisher
Modélisation - Prévision
Corrélation
Comparaison
Tableau de moyennes
Analyse de la variance (ANOVA)
Test de Fisher
Modélisation - Prévision
Quantitative
I.
Quantitative
Comparaison
Nuage de points
Test de corrélation
Modélisation - Prévision
THEORIE DE LA CORRELATION
Lorsque deux phénomènes ont une évolution commune, nous disons qu’ils sont corrélés. La
corrélation simple mesure le degré de liaison existant entre ces deux phénomènes. Cette corrélation peut
être linéaire ou non, négative ou positive.
1. Coefficient de corrélation linéaire simple
Soient X et Y deux variables aléatoires quantitatives, le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y
est donné par la relation :
∑ (X
n
rXY =
cov( X , Y )
σ XσY
=
i =1
∑ (X
n
i =1
i
− X )(Yi − Y )
i − X)
2
n
∑ (Y − Y )
n
i =1
2
i
=
n
n
i =1
i =1
n ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi
i =1
 n

n∑ X −  ∑ X i 
i =1
 i =1 
n
2
2
i
 n 
n ∑ Yi −  ∑ Yi 
i =1
 i =1 
n
2
2
On démontre que ce coefficient est compris entre -l et +1.
•
•
•
S’il est proche de +1, les variables X et Y sont corrélés positivement
S’il est proche de -1 les variables X et Y sont corrélés négativement
S’il est proche de 0, les variables X et Y ne sont pas corrélés
Dans la pratique, ce coefficient est rarement proche de ces trois valeurs, on est alors amené à procéder
à un test pour vérifier la corrélation entre deux variables.
19
2. Test de corrélation
•
Les hypothèses à tester sont les suivantes
Ho : rXY = 0
H1 : rXY ≠ 0
•
La statistique du test est donnée par : t =
rXY
1 − rXY2
n−2
•
On démontre que, sous l’hypothèse Ho, t suit une loi de Student, à n-2 degrés de liberté. Pour un
seuil α fixé, la valeur critique du test est donnée par :
t0 = tα ( n − 2)
2
•
Si t > t 0 , on rejette Ho. Si non on l’accepte
II. MODELE DE REGRESSION SIMPLE
Ayant détecté une corrélation entre deux variables quantitatives X et Y, on peut matérialiser le lien sous
forme d’une équation mathématique : c’est la modélisation. Un des modèles qui s’adaptent sur la plupart
des données économiques est le modèle de régression simple.
Il est question ici de rechercher un lien entre X et Y sous la forme : Y = aX + b + ε (1)
où a et b sont les coefficients inconnus du modèle, et ε, une perturbation aléatoire, appelée aléa ou résidu.
On peut considérer que le terme aléatoire: rassemble toutes les influences autres que celle de la variable
explicative : X d’incidence secondaire sur la variable à expliquer: Y, et non explicitement prises en compte
dans le modèle.
~,
1. Estimation des coefficients du modèle
Ayant supposé X et Y liés par le modèle précédent, c’est à dire chaque couple d’observations dans
une relation : yi = = a.xi + b + εi
où les valeurs de a, b et εi sont à déterminer.
À partir des n couples de données observées: (x1,y), il faut estimer ces différentes quantités, et
juger de la pertinence du modèle.
On montre, par la méthode des moindres canés ordinaires, que les coefficients a et b peuvent être
estimés respectivement par :
n
•
cov( x, y )
aˆ =
=
var( x)
∑x y
i =1
n
∑x
i =1
•
i
2
i
i
− n xy
−nx2
bˆ = y − aˆ.x
(
)
On suppose que les aléas: ε i , suivent la même loi normale: N 0, σ 2 et sont indépendants.
Remarque: L’estimateur des MCO est unique, sans biais et de moindre variance parmi les estimateurs
linéaires.
Après avoir estimé les coefficients a et b, il reste à vérifier s’ils peuvent être considérés comme
nuls ou pas. Pour cela on possède au test de Student.
20
2. Test de Student pour la significativité des coefficients a et b
a) hypothèses
Ayant obtenu le modèle (1) de la régression linéaire précédente, on désire tester les hypothèses
HO : a = 0 (resp. b = 0) contre
H1 : a ≠ 0 (resp. b ≠ 0)
b) Statistique du test
Soient:
1 n 2
σˆ 2 =
∑ ε i , une estimation de la variance du résidu (ε )
n − 2 i =1
σˆ a 2 =
σˆ 2
∑ (x
n
i =1
σˆ b 2
− x)
, l’estimateur empirique de la variance du coefficient a
2
i


x2
2 1
= σˆ
+ n
n
(xi − x )2

∑
i =1



 , l’estimateur empirique de la variance du coefficient b



La statistique du test est : t * a =
aˆ
σˆ a
ˆ

 resp. t * b = b

σˆ b





c) Valeur critique
On démontre que, sous H0 ,
aˆ − a
bˆ − b
suivent une loi de Student à n- 2 degrés de liberté
et
σˆ a
σˆ b
La valeur critique du test est donnée par : t 0 = tα (n − 2)
2
d) Règle de décision
Pour un seuil α fixé,
- Si | t * a | > tα (n − 2) , on rejette l’hypothèse Ho, et donc a est significativement différent de zéro.
2
- Si − tα (n − 2 ) ≤ t * a ≤ tα (n − 2 ) , on accepte Ho
2
2
Il en est de même pour b
L’intervalle de confiance de a, au seuil α, est donné par a = aˆ ± σˆ a .tα (n − 2)
2
e) Exemple
Revenu (X)
Consommation (Y)
8
7.5
9
8.2
9.5
8.0
9.5
8.6
9.8
8.8
11
10.5
12
10.6
13
11.5
15
12
16
14.8
Test de corrélation
∑ X = 112.8
∑X
2
= 1336.54
∑ Y = 100.5
∑Y
2
= 1056.79
∑ XY = 1186.74
rxy = 0.969
t = 11.17
21
tα (n − 2) = 2.3 (α = 5% et n = 10)
2
t > tα (n − 2) , donc X et Y sont corrélées.
2
Estimation des coefficients de corrélation
a = 0,828
b = 0,714
Test de Student
n
∑ε
i =1
2
i
= 2,82
σˆ 2 = 0,35196501
σˆ 2 a = 0,00548608
σˆ 2 b = 0,43221304
t * (a ) = 11,1744494
t * (b ) = 1,085886884
t*(a) > tα (n − 2) , donc a est significativement différent de zéro
2
t*(b)<) tα (n − 2) , donc b est n’est pas significativement différent de zéro
2
Le modèle de régression de la consommation en fonction du revenu est donc: Y = 0.828 X + ε
III.
MESURE D’ASSOCIATION POUR DEUX VARIABLES QUALITATIVES
1. Test d’association du Khi-2
Etant donné deux variables qualitatives nominales X et Y, observées sur un échantillon de taille n,
l’on désire savoir si ces deux variables sont indépendantes ou s’il existe une liaison entre elles. Le test de
khi-2 permet de mettre en évidence une éventuelle liaison entre les deux variables.
a) Tableau de contingence
Supposons que la variable X ait k catégories : X1, X2, .,Xk et que Y ait , m catégories : Y1, …, Ym. La
première étape du test consiste à construire le tableau de contingence (ou tableau croisé) de la manière
suivante :
X
Xj
Xk
X1
X2
…
…
Total
Y
O1 j
O1k
Y1
O11
O12
n1
…
…
.
Y2
…
Yi
…
Ym
Total
…
…
…
…
…
O2 j
…
Oi 1
…
Om1
O22
…
Oi 2
…
…
t1
t2
…
O 21
…
O mj
…
…
…
…
…
O2 k
…
Oik
…
Omk
n2
…
ni
…
nm
tj
…
tk
n
…
Oij
22
Où Oij est l’effectif observé de la catégorie ( Yi , X j ),
t j , l’effectif total observé de la catégorie X j ,
ni, l’effectif total observé de la catégorie Yi
b) Construction du test
• Les hypothèses à tester sont les suivantes :
Ho : les deux variables X et Y sont indépendantes
H1 : les variables X et Y ne sont pas indépendantes
•
La statistique du test est donnée par :
 k (Oij − Tij )2 

χ = ∑∑


T
i =1
ij
 j =1

m
2
Où, Tij =
ni t j
n
, est l’effectif théorique de la catégorie (X j , Yi )
On démontre que, sous l’hypothèse Ho, la statistique du test suit une loi de Khi-2 à v degrés de liberté.
(Avec v = (k-1)(m-1)).
•
•
Pour un coefficient de risque α fixé, la valeur critique du test est donnée par :
χ 02 = χ α 2 (ν ) , valeur lue dans la table du Khi2 à v degrés de liberté
(
)
Si χ 2 ≥ χ 0 , on rejette Ho , Si non on l’accepte.
2
c) Exemple
Une enquête a été réalisée auprès de 332 touristes auxquels on a demandé leurs modes d’hébergement
durant le séjours dans un pays. Les données obtenues pour chaque catégorie socio professionnelle (CSP)
des personnes interrogées se présentent ainsi qu’il suit :
CSP
Hébergement
Camping
Famille / amis
Hôtel
Location / gîte
Agriculteur
Cadre
Ouvrier
Profession libérale
Autre
2
6
1
2
17
32
12
25
20
9
7
8
6
24
23
26
22
34
31
25
Peut-on rejeter l'hypothèse d'indépendance entre le mode d’hébergement et la CSP ?
23
Résolution
Calcul des effectifs théoriques :
Agriculteur
2
Camping
2,22
6
Famille / amis
3,48
1
Hôtel
2,45
2
Location / gîte
2,85
Cadre
17
17,36
32
27,20
12
19,17
25
22,28
Ouvrier
20
8,88
9
13,92
7
9,81
8
11,40
6,201
0,039
1,651
1,498
0,016
0,057
1,460
0,555
P. libérale
6
15,94
24
24,98
23
17,61
26
20,46
Autre
22
22,60
34
35,42
31
24,96
25
29,01
Statistique du test :
0,022
1,827
0,860
0,253
2
X = 35,76
0,007
0,848
2,681
0,333
13,927
1,736
0,804
1,013
Valeur critique du test : k = 5 et m = 4 → (k-1)(m-1) = 12
χ 52% (12) = 21
Décision : X 2 > χ 52% (12) , on rejette Ho, en d’autres termes on rejette l'hypothèse d'indépendance entre le
mode d’hébergement et la CSP.
2. Test de Kruskal-Wallis
Ce test est applicable, soit aux variables qualitatives ordinales, soit aux variables quantitatives, pour
déterminer si k groupes sont significativement différents aux fluctuations d’échantillonnage près. C’est un
test non paramétrique, comparable à au test d’analyse de la variance à un facteur.
Les hypothèses à tester sont les suivantes :
Ho : les k échantillons indépendants proviennent de la population dont les mesures de tendance
centrale sont identiques
H1 : les k échantillons indépendants proviennent de la population dont les mesures de tendance
centrale ne sont pas identiques
Le processus d’exécution dudit test consiste tout d’abord à ordonner de 1 à n toutes les observations
combinées des k échantillons (en affectant un rang moyen en cas d’égalité), en suite on calcule la somme
des rangs Rj (j = 1,…,k) de chaque échantillons.
La statistique du test, donnée par :
2
k R
12
j
H=
− 3(n + 1)
∑
n(n + 1) j =1 n j
Où nj est la taille de l’échantillon j (j = 1,…,k) et n =
k
∑n
j =1
j
On démontre que, sous Ho, H suit une loi de khi-2 à (k-1) degrés de liberté lorsque nj > 5 ∀j = 1,..., k .
Pour un seuil α fixé, si H > χ α (k − 1) alors on rejette Ho. Sinon on l’accepte.
24
Exemple:
Pour évaluer l’efficacité relative des différentes méthodes de promotion d’un produit de nettoyage
(Echantillons gratuit, Rabais de 30%, Annonce à la radio et Emission à la radio) appliquée à 4 groupes de
potentiels consommateurs, ces derniers devraient indiquer, dans chacune des situations de promotion, par
une note allant de 1 à 7 jusqu’à quel point ils croyaient à l’efficacité de ce produit. Les résultats se
présentent ainsi qu’il suit :
Echantillon gratuit
1
3
4
2
5
1
1
Rabais de 30%
1
2
2
3
1
2
1
Annonce à la radio
5
6
4
3
5
7
6
Emission à la radio
5
7
6
5
7
6
7
Résolution:
Nous avons 4 échantillons et 28 observations au total. Après avoir combiné et ordonné les
observations on obtient :
Echantillon gratuit
3.5
12
14.5
8.5
18
3.5
3.5
R1=63.5
Rabais de 30%
3.5
8.5
8.5
12
3.5
8.5
3.5
R2=48
Annonce à la radio
18
22.5
14.5
12
18
26.5
22.5
R3=134
Emission à la radio
18
26.5
22.5
18
26.5
22.5
26.5
R4=160.5
 (63.5)2 (48)2 (134 )2 (160.5)2 
12
12
H =
+
+
+
[7150.36] − 87 =18.67

 − 3(28 + 1) =
28(28 + 1)  7
7
7
7 
812
Or χ 1% (k − 1) = χ 1% (4 − 1) = χ 1% (3) = 11.34
H > χ 1% (3) d’où rejet de Ho, en d’autres termes, les observations des 4 échantillons sont
significativement différentes et donc le degré de croyance dans l’efficacité de ce produit de nettoyage
n’est pas le même pour les quatre méthodes de promotion.
3. Test de Wilcoxon pour séries appariées
Ce test est utilisé lorsqu’on veut comparer deux séries d’une variable ordinale ou quantitatives,
chaque observation d’un échantillon étant liée à une observation homologue de l’autre échantillon. C’et
un test non paramétrique.
Les hypothèses à tester sont les suivantes :
Ho : la différence entre les deux séries n’est pas significative
H1 : la différence entre les deux séries est significative
25
Pour déterminer la statistique du test, on calcule tout d’abord la différence di entre les scores de deux
observations jumelées (si la différence est nulle, on élimine l’observation correspondante), ensuite on
indique le rang de toutes les différences di en valeur absolue, de la plus petite à la plus grande et on
affecte à chaque rang le signe de la différence dont il provient (en cas d’égalité des |di|, les rangs sont
attribués de la même façon qu’au test précédent).
La statistique du test : T est la plus petite des deux sommes de rangs positifs ou de rangs négatifs.
Sous l’hypothèse Ho, lorsque n ≥ 8, on démontre que T suit une loi normale N ( µ , σ 2 )
n(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
et σ =
4
24
T −µ
D’où Z =
suit une loi normale N (0,1)
σ
Avec, µ =
Pour un seuil α fixé, si |Z| > Z α 2 , on rejette Ho, si non on l’accepte.
Le test de Wilcoxon est particulièrement utilisé pour évaluer si on observe un changement
statistiquement significatif dans un plan d’expérience «avant-après » sur les mêmes sujets, lorsque l’une
des deux variables est ordinale ou quantitative. C’est le cas par exemple lorsqu’on veut évaluer l’effet
d’une promotion sur les préférences des consommateurs à l’égard de certains produits.
L’hypothèse nulle dans ce cas est :
Ho : l’intention des individus ne change pas après l’expérience
Exemple:
Lors de l’arrivée des clients dans un magasin de commercialisation des produits alimentaires, il
leur est demandé de donner un score d’intention d’achat d’une marque de produit alimentaire, par une
note allant de 1 (très incertain) à 10 (presque certain). Après avoir fait goûter le produit en question lors
d’une démonstration, on demande à nouveau aux mêmes consommateurs leur score d’intention d’achat.
Les données obtenues auprès de 10 consommateurs se présentent comme suit :
Intention à priori
Intention à posteriori
3
10
9
8
5
9
5
7
4
5
8
8
8
9
6
4
3
6
4
9
Pouvons-nous conclure au seuil de confiance de 5% que cette promotion a changé l’intention des
consommateurs ?
Résolution :
Intention à priori
Intention à posteriori
différence ( di)
|di|
rang de |di|
Rang négatif
rang positif
3
10
-7
7
9
-9
9
8
1
1
2
2
5
9
-4
4
7
-7
5
7
-2
2
4,5
-4,5
4
5
-1
1
2
-2
8
8
0
0
-
8
9
-1
1
2
-2
6
4
2
2
4,5
4,5
3
6
-3
3
6
-6
4
9
-5
5
8 somme
-8
38,5
6,5
T = 6.5
26
n(n + 1)
9(10 )
6 .5 −
4
4 = − 16 = − 1.90
Z =
=
n(n + 1)(2n + 1)
9(10 )(19 ) 8.44
24
24
Au seuil de 5%, Z < 1.96, donc, on accepte l’hypothèse Ho. En d’autres termes, on ne peut pas
conclure que le fait de goûter le produit alimentaire en question ait changé de façon statistiquement
significative les intentions d’achat des consommateurs.
T−
IV.
ANALYSE DE LA VARIANCE A DEUX FACTEURS
Prenons l’exemple suivant pour illustrer cette partie du cours : Une entreprise a disposé ses
produits dans des magasins situés dans cinq quartiers de la ville de Douala, dans chaque magasin, les
produits sont disposés sur des étalages à trois niveaux de hauteur (Bas, moyen, haut). A l’issue d’une
semaine d’observation, les ventes dans ces quartiers se répartissent ainsi qu’il suit :
Hauteur étalage
Quartier
Akwa
Bonandjo
Deido
New-Bell
Cité SIC
Total
Bas
moyen
Haut
Total
18
17
16
15
12
78
22
20
17
16
14
89
29
26
24
21
14
114
69
63
57
52
40
281
Dans cet exemple, les ventes peuvent être influencées par le niveau d’appréciation du produit en
question dans le quartier ou par la hauteur de l’étalage.
L’analyse de la variance consiste à vérifier si ces effets sont significatifs ou pas.
La vente pour le Quartier i, hauteur de l’étalage j, peut être modélisée par la variable
Yij = µ + α i + β j + ε ij
Où
• µ est la moyenne générale des ventes
• α i , l’effet Quartier (i =1, …, n)
•
β j , l’effet de la hauteur de l’étalage (j =1, …, p)
•
ε ij , l’erreur ou résidu ( ε ~ N (0, σ 2 ) )
1. Hypothèses du test
Le test statistique des différences dans les ventes causées par la hauteur de l’étalage va consister à
tester les hypothèses suivantes :
Ho : β j = 0
pour tout j =1, …, p
H1 : il existe au moins un β j ≠ 0
.
De même, le test des différences dans les ventes causées par le quartier consistera à tester
Ho : α j = 0
pour tout i =1, …, n
27
H1 : il existe au moins un α i ≠ 0
.
2. Statistique du test
La détermination des statistiques des deux tests en question ici passe par la construction du Tableau
d’analyse de la variance suivant :
Source de
variation (SV)
Degré de
liberté (DDL)
Somme des
Carrés (SCE)
Effet étalage
p-1
Se
Effet quartier
n-1
Sq
Résidu
(p-1)(n-1)
Sr
Total
np-1
ST
Carré moyen
(CM)
Fisher (F)
Ve =
Se
p −1
Fe =
Ve
Vr
Vq =
Sq
Fq =
Vq
Ve =
n −1
Vr
Sr
( p − 1)(n − 1)
Avec :
•
S e = n∑ (Y. j − Y )
p
2
j =1
•
S q = p ∑ (Yi. − Y )
•
S T = ∑∑ (Yij − Y )
n
2
i =1
n
p
2
i =1 j =1
•
S r = ST − S e − S q
Y = Y.. =
1 n p
1 n
1 p
Y
;
Y
=
Y
;
Y
=
Yij
∑∑ ij
∑ ij i. p ∑
.j
np i =1 j =1
n i =1
j =1
La statistique du test des différences dans les ventes causées par la hauteur de l’étalage est donnée par Fe .
De même, la statistique du test des différences dans les ventes causées par le quartier est donnée par Fq
3. Seuil critique
Pour un seuil α fixé, la valeur critique du test des différences dans les ventes causées par la hauteur de
l’étalage est donnée par Fα (ν 1 ,ν 2 ) , Avec ν 1 = p − 1 et ν 2 = (n − 1)( p − 1)
La valeur critique du test des différences dans les ventes causées par le quartier est donnée par Fα (ν 3 ,ν 2 ) ,
Avec ν 3 = n − 1 et ν 2 = (n − 1)( p − 1)
28
4. Règle de décision
•
•
•
Si Fe > Fα (ν 1 ,ν 2 ) , On rejette Ho, et donc la hauteur de l’étalage influence significativement les
ventes.
Si Fq > Fα (ν 3 ,ν 2 ) , On rejette Ho, et donc le produit est plus vendu dans certains quartiers que dans
d’autres.
Dans le cas contraire, ces on accepte Ho et donc ces effets sont non significatifs.
5. Application à l’exemple précédent
j
i
1
2
3
4
5
Y. j
1
2
18
22
17
20
16
17
15
16
12
14
15.6 17.8
(Y . j − Y )
2
(Yi. − Y )
3
Yi.
29
26
24
21
14
22.8
23
21
19
17.33
13.33
Y = 18.73
9.82 0.87 16.54
∑ (Y . j − Y )
2
2
18.2
5.14
0.07
1.96
29.16
∑ (Yi. − Y )
2
= 54,53
= 27,23
Tableau d’analyse de la variance
SV
Effet étalage
Effet quartier
Résidu
Total
•
ddl
2
4
8
14
SCE
136.13
163.6
29.2
328.93
CM
68.07
40.9
3.65
F
18.65
11.21
Pour α = 5% F5% (2,8) = 4.46 et F5% (4,8) = 3.84
Fe > F5% (2,8) , donc la hauteur de l’étalage influence significativement les ventes.
Fq > F5% (4,8) , donc le quartier influence significativement les ventes
•
Pour α = 1%
Fe > F5% (2,8)
et
F1% (2,8) = 8.65 et F1% (4,8) = 7.01
Fq > F1% (4,8) , même conclusion que précédemment
29
CHAPITRE IV :
LES PRINCIPALES METHODES D’ANALYSE MULTIVARIEE
INTRODUCTION
L’analyse des données multidimensionnelles recouvre un ensemble de méthodes destinées à synthétiser
l’information issue de plusieurs variables, pour mieux l’expliquer. Ces méthodes peuvent être regroupées
en deux grandes catégories : les méthodes descriptives et les méthodes explicatives.
Les méthodes descriptives visent à structurer et simplifier les données issues de plusieurs variables, sans
privilégier l’une d’entre elles. Les techniques les plus utilisées ici sont : l’analyse en composantes
principales (ACP), l’analyse factorielle des correspondances (AFC), l’analyse des correspondances
multiples (ACM), la typologie et la classification.
Les méthodes explicatives visent à expliquer une variable (variable à expliquer) par plusieurs variables
explicatives. Les principales méthodes utilisées sont : la régression multiple, l’analyse discriminante et la
segmentation.
Ces méthodes d’analyse multivariée permettent de résoudre des problèmes divers et variés. Le choix
d’une méthode dépend de l’objectif de l’étude, des types de variables manipulées et de la forme des
résultats obtenus (qui peuvent être plus ou moins faciles interpréter).Le tableau suivant présente les
techniques utilisées en analyse multivariée en fonction de l’objectif visé.
Objectif
Résumer l’information en
minimisant la déperdition
Constituer des groupes
d’individus similaires
Expliquer une variable
par plusieurs autres
variables
I.
Types de variables
Variable quantitatives ou qualitative
ordinale
Deux variables qualitatives
Plus de deux variables qualitatives
Tout type de variable
(Nombre de groupes fixé au préalable)
Tout type de variable
(Nombre de groupes non fixé)
Variable à expliquer numérique
Variable à expliquer qualitative et
variables explicatives quantitatives
Variable à expliquer qualitative et
variables explicatives qualitatives
Méthode
ACP
AFC
ACM
Analyse Typologique
Classification
Régression multiple
Analyse Discriminante
Segmentation
LES METHODES DESCRIPTIVES
1. L’ACP
Le tableau de départ de l’ACP comporte les individus en ligne et les variables en colonne, avec dans
chaque cellule, la valeur observée de l’individu sur la variable correspondante. Les variables ordinales
sont recodifiées.
l’ACP permet de positionner les individus sur un ou plusieurs plans, en fonction de la proximité de leurs
valeurs observées sur les variables sélectionnées. Elle permet également de représenter les variables sur
un ou plusieurs plans, de manière indépendante des individus. Ce qui permet de mettre en évidence le
regroupement des individus ainsi que des variables.
30
Les axes du graphique correspondent généralement à un regroupement optimal de plusieurs variables. Par
exemple, le revenu et le niveau d’étude peuvent participer ensemble à la formation d’un axe si elles sont
fortement corrélées.
L’ACP est très pratique lorsque l’on travaille sur un ensemble limité et identifié d’individus. Par exemple,
si l’on désire analyser des points de ventes en fonction de plusieurs critères tels que la surface, le CA, les
quantités de vente, le personnel, l’ACP permet d’obtenir une cartographie qui regroupe les points de
ventes selon tous les critères retenus, ce qui peut permettre d’identifier les cas hors norme comme une
surface et un personnel important, mais un CA faible.
L’algorithme de l’ACP effectue sur la matrice Individus/variables les opérations telles que le centrage et
la réduction des données, la diagonalisation de la matrice, l’extraction des valeurs propres et vecteurs
propres, en vue de passer du nombre de variable initial à un petit nombre de variables obtenues par
combinaison des premières. Ces nouvelles composantes forment les axes du graphique. La première
composante est celle qui résume le mieux les informations contenues dans le tableau, la deuxième apporte
un pourcentage d’information inférieur, mais complémentaire et ainsi de suite.
Le graphique de l’ACP représente d’abord la première composante (axe horizontal) et la seconde (axe
vertical). La somme des pourcentages d’explication des deux composantes renseigne sur le taux de
déperdition d’information à partir des données initiales. Ainsi, si la première composante résume 60% du
tableau et la seconde 20%, l’information représentée sur le graphique est de 80%. L’information
« perdue » est donc de 20%.
Les points individus sont représentés sont représentés sur le graphique en fonction de leur coordonnées
sur les facteurs. Les points proches correspondent à des individus ayant des profils proches, à priori, quant
aux valeurs observées sur les variables prises en compte dans l’analyse.
Les points variables sont également représentés sur le graphique, mais de façon indépendante des
individus. Leur représentation indique leur corrélation avec les facteurs, à l’intérieur d’un cercle de rayon
unité, avec une échelle arbitraire. Ces points variables renseignent su le sens à donner aux axes : un point
proche du cercle de corrélation et proche d’un axe participe beaucoup à la formation de cet axe. Les
angles inter-variables (en partant de l’origine) renseignent sur les corrélations entre elles. Ainsi, deux
variables formant un petit angle sont fortement corrélés alors qu’un angle droit signifierait qu’elles sont
indépendantes.
2. L’AFC
Le tableau de départ de l’AFC simple est un tableau croisé (tableau de contingence). L’AFC s’applique à
deux variables qualitatives nominales. Elle permet de positionner les modalités des deux variables sur un
graphique. Le graphique de l’AFC affiche les points modalités. On peut par exemple positionner une série
de marque d’automobile sur le même plan avec la caractéristique des clients (âges, CSP, Sexe,…), ce qui
permet de repérer les affinités entre chaque marque et les différentes cibles.
En pratique, on utilise l’AFC pour représenter graphiquement et expliquer le croisement de deux
variables. Si le test du khi-2 indique une dépendance entre ces deux variables, l’interprétation du
graphique sera plus aisée.
3. L’ACM
L’ACM est une généralisation de l’AFC à un nombre quelconque de variables. Elle permet de représenter
sur le même graphique, les modalités de plus de deux variables qualitatives. L’ACM part d’un tableau
disjonctif complet (tableau de Burt) qui présente en ligne les individus et en colonne toutes les modalités
des variables retenues pour l’analyse. Les cases d’intersection (cellules) comportent la valeur 1 si
l’individu répond au critère en colonne et 0 dans le cas contraire.
31
Comme l’ACP, les deux premiers axes du graphique de l’ACM fournissent une partie généralement
importante de l’information contenue dans les données. La proximité des points renseigne sur leurs
associations. La disposition des modalités de chaque variable les unes par rapport aux autres aide à
donner un sens à chaque axe.
4. LA TYPOLOGIE
L’analyse typologique s’applique à tous types de variables. Elle permet de répartir la population en un
nombre défini de sous groupes aussi différents que possible les uns des autres et dans lesquels les
individus sont aussi semblables que possible entre eux.
Les différentes méthodes d’analyse typologique partent des individus eux-mêmes et essaient de les classer
progressivement selon la ressemblance de leurs observations sur les variables retenues.
Il existe plusieurs méthodes d’analyse typologique, qui aboutissent toutes au classement des individus
dans le nombre de groupes défini initialement. L’effectif de ces groupes peut être très différent. La
visualisation graphique du résultat de l’analyse typologique est un graphique qui met en évidence les
différents groupes.
Certains logiciels d’analyse de données permettent de créer à partir des résultats de la typologie, une
nouvelle variable indiquant, pour chaque individu, son numéro de groupe d’appartenance.
5. LA CLASSIFICATION
Tout comme la typologie, la classification est une méthode qui permet de regrouper les individus selon
leurs ressemblances. La différence ici est que le nombre de groupe n’est fixé d’avance et que le résultat
est représenté sous forme d’un arbre de classification.
L’élaboration de cet arbre peut être ascendante par regroupement successif des individus (méthode
fréquemment utilisé) ou descendante par divisions successives.
L’arbre de classification relie un individu à un autre ou à un sous-groupe d’individus issus eux-mêmes de
regroupements. Lorsque l’on coupe l’arbre à un niveau, on obtient les groupes d’individus. Par exemple,
en coupant l’arbre ai niveau du dernier regroupement, on obtient deux groupes, au niveau de l’avantdernier regroupement, on obtient trois groupes, ainsi de suite.
Il est également possible d’appliquer une classification pour regrouper des variables. On obtient ainsi des
groupes de variables dont les profils des valeurs/modalités observées se ressemblent.
II.
LES METHODES EXPLICATIVES
1. LA REGRESSION MULTIPLE
Elle permet d’expliquer une variable quantitative (Y) par plusieurs autres variables quantitatives
indépendantes (X1, X2, …, Xp). Elle modélise la relation sous la forme : Y = a + b1 X 1 + b 2 X 2 + … + b p X p
, où a, b1, b2, …, bp sont les coefficients du modèle.
Si le modèle de régression est satisfaisant, On peut ainsi prédire les valeurs de la variable Y en fonction
des valeurs des variables explicatives.
L’appréciation de la qualité de la régression se fait grâce à plusieurs indicateurs tels que :
32
− Le coefficient de détermination multiple (R²) qui calcule le % de la variation de la variable Y dû
aux variables explicatives. (la régression est d’autant satisfaisante que R² est proche de 1).
− Le coefficient de corrélation multiple (R) qui mesure le degré de la liaison entre la variable à
expliquer et les différentes variables explicatives.
− Le test de Fisher qui permet d’estimer la qualité de l’ajustement dans la population.
Certains logiciels calculent directement la probabilité que aucune des variables explicatives n’aient
d’effet sur la variable à expliquer. Cette probabilité doit être très faible pour conclure que l’ajustement est
valable.
2. L’ANALYSE DISCRIMINANTE (AD)
C’est une méthode factorielle qui cherche à expliquer une variable qualitative par plusieurs variables
quantitatives. Comme la régression, elle permet de mettre en équation une variable à expliquer et des
variables explicatives. C’est donc une méthode prédictive dans la mesure où elle permet de déterminer
quelle modalité prendra un individu pour la variable qualitative à expliquer, si on connaît ses valeurs
observées sur les variables quantitatives.
Par exemple, l’analyse discriminante peut être appliquée pour attribuer un score à un client d’une banque
ou d’une compagnie d’assurance, en déterminant automatiquement un niveau de risque en fonction de
différents paramètres connus tels que l’âge, le revenu, l’endettement,…
Les résultats de l’AD peuvent être visualisés sur un graphique similaire à celui de l’ACP où les points
individus sont réunis en fonction de leur appartenance aux groupes.
3. LA SEGMENTATION
Elle partage les mêmes objectifs que l’AD mais s’applique lorsque les variables explicatives sont
qualitatives. Elle consiste à découper une population en sous groupes homogènes, mais uniquement par
rapport à la variable à expliquer.
Le processus de la segmentation est itératif : à chaque étape, l’algorithme choisit la variable explicative la
plus corrélée la variable à expliquer pour réaliser une partition à partir des modalités de la première.
Le résultat de la segmentation est une sorte d’arbre de décision, avec un découpage de chaque groupe en
deux sous-groupes. La première partition permet d’obtenir les deux premiers groupes. Chacun de ces
deux groupes est ensuite divisée en deux à l’aide de la variable permettant la meilleure partition et qui
n’est généralement pas la même pour les deux groupes. Le processus se poursuit ainsi avec des
interruptions lorsque la taille du groupe tombe en dessous d’un seuil ou quand le découpage optimal
expliquerait un faible % de variance.
III.
FORMALISATION ET CAS PRATIQUES
1. Formalisation de l’ACP
On note X la matrice n.p des données (ie portant les observations en ligne, éléments de Rp, et les
variables, quantitatives, en colonnes, éléments de Rn), on suppose les colonnes de X préalablement
centrées et réduites si nécessaire.
Soit u un vecteur (en colonne) unitaire de Rp, le vecteur X.u de Rn a pour composantes les produits
scalaires des observations avec u, c’est à dire encore, les distances à l’origine des projections des
observations selon la direction de u, tandis que l’inertie totale du nuage dans cette direction est donnée
par le produit matriciel : u’.X’.X.u .
33
La matrice symétrique X’.X est la matrice d’inertie du nuage, tandis que le produit u’.X’.X.u , qui donne
l’inertie dans cette direction, est l’application de la forme bilinéaire symétrique de matrice X'.X au vecteur
unitaire u. On remarque que X’.X est simplement, au facteur 1/n près, la matrice des corrélations entre les
variables-colonnes initiales.
La recherche des directions principales, c’est à dire des directions successives d’inertie maximale du
nuage, se traduit donc par le problème de maximisation sous contrainte :
max( ’. ’. . )
’. = 1
Les vecteurs uk successifs devant en outre être orthogonaux.
L’algèbre linéaire enseigne que les vecteurs propres normés : uk, associés à la suite décroissante des
valeurs propres (positives) de X'.X : λk , apportent la solution du problème, la valeur propre λk mesurant
l’inertie dans la k-ième direction principale uk :
uk’.X’.X.uk = λk.uk’.uk = λk
Les vecteurs ck = X.uk de Rn sont les composantes principales successives du nuage, centrées, de
variances respectives λk/n et non corrélées (de covariances : uk'.uh/n, nulles), ce sont les « nouvelles
variables », dont les composantes donnent les coordonnées des points du nuage sur les axes factoriels.
Les diverses contributions, corrélations et autres aides à l’interprétation, enfin, sont aisées à écrire, en
fonction des λk, ui et cj . Ainsi, par exemple, la contribution de l’observation i à l’axe k est : ck(i)²/λk , où
ck(i) désigne la i-ème composante de ck…
Exemple : On étudie les données sur 50 clients d’un hypermarché constituées de l’âge, du revenu, du
montant des achats, du nombre d’enfants.
La taille de ce tableau est insuffisante pour que les interprétations soient intéressantes. Mais elle
permet de donner la totalité des résultats concernant les variables et d’effectuer des calculs sur
quelques unités statistiques à l’aide d’une simple calculatrice.
Nous donnons ci-dessous la représentation graphique des 50 clients sur le plan principal 1x2. Au
groupe (25, 31, 43) détecté par la représentation graphique des couples (âge, revenu) s’ajoute le
client de rang 28. On peut définir un groupe opposé au précédent : (9, 11, 37, 7, 6, 45). Le client de rang
10 est assez particulier.
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Exemple : cercle de corrélation C1xC2 des données de l’hypermarché.
Ce cercle de corrélation montre que la seconde composante principale est fortement corrélée au revenu et
surtout à l’âge : un client de l’hypermarché dont la coordonnée est élevée sur l’axe 2 aura très
vraisemblablement un âge supérieur à la moyenne et inversement. C’est le cas des n°1 et 10. On retrouve
les clients n° 25, 31 et 43 dont la coordonnée élevée sur l’axe 1 montre que le nombre d’enfants et le
montant des achats sont faibles. Réciproquement, les clients 9 et 37 dont les coordonnées sur l’axe 2 sont
fortement négatives sont jeunes et ont un revenu faible. Rappelons que ces propriétés peuvent être
inexactes sur des cas particuliers, et que l’orientation des axes peut être inversée si l’on utilise un autre
logiciel.
Formalisation de l’AFC
L’AFC, comme il a été dit, est une forme particulière de l’ACP appliquée aux tableaux de contingence :
non centrée-réduite, avec pondérations, et utilisant la métrique dite du chi-deux (ie des inverses des
fréquences marginales) au lieu de la métrique euclidienne usuelle.
On note K le tableau de contingence, ou tableau croisé, initial, de dimension n.p, FJ/I le tableau des profils
en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par les items en ligne) et FI/J celui des profils en
colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux
marginaux) et DJ celle des totaux en colonne.
Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées:
FJ/I = DI-1.K et
FI/J = K.DJ-1
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Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit
matriciel: u’.DJ-1.v , à un facteur multiplicatif près, par suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ-1unitaire u du nuage des profils en ligne, pour la métrique précédente avec pour pondérations les totaux en
ligne, est donnée, au même facteur près, par le produit matriciel:
u’.DJ-1.FJ/I’.DI.FJ/I.DJ-1.u = u’.DJ-1.K’.DI-1.K.DJ-1.u
Les directions principales d’inertie sont obtenues en maximisant la quantité précédente sous la contrainte:
u’.DJ-1.u = 1 , dans des directions DJ-1-orthogonales successives. La théorie indique que la solution est la
suite des vecteurs propres DJ-1-normés uk associée à la suite décroissante des valeurs propres λk de la
matrice (non symétrique):
FJ/I’.DI.FJ/I.DJ-1 = K’.DI-1.K.DJ-1
Les composantes principales :
ck = FJ/I.DJ-1.uk = DI-1.K.DJ-1.uk
donnent à nouveau les coordonnées des profils en ligne sur les axes factoriels, tandis que les différentes
aides à l'interprétations s'obtiennent aisément en tenant compte de la métrique DJ-1 et des pondérations
données par DI.
L’analyse des profils en colonne est étroitement liée à la précédente, du fait des relations entre FI/J et FJ/I.
Les directions principales de cette analyse sont données par les vecteurs propres DI-1-normés et
orthogonaux:
vk = λk-1/2.K.DJ-1.uk
de la matrice:
FI/J.DJ.FI/J'.DI-1 = K.DJ-1.K'.DI-1
et les composantes principales par:
dk = FI/J'.DI-1.vk = λ k-1/2.FI/J'.ck
La j-ième composante: dk(j), de dk est donc:
dk(j) = λ k-1/2.Σ (nij/n.j).ck(i)
i
relation barycentrique, au facteur λ
simultanée.
k
-1/2
près, qui relie les deux analyses et justifie la représentation
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