metho 2

II) Di¤érents types de raisonnement
2.1 Raisonnement direct
Voir exemples 1 et 2 du chapitre 1.
1. Enoncé du type 8x2E,A(x).
On se donne xquelconque dans Eet on démontre la
propriété A(x)en se basant sur des propriétés connues.
2. Enoncé contenant 9y2F,A(x; y).
On doit prouver l’existence d’un y2Ftel que A(x; y)
est vraie.
3. Enoncé du type (Aet B). On démontre Apuis B;
ou inversement.

4. Enoncé du type (Aou B). On suppose que Aest
faux et on en déduit que Best vraie (ou inversement).
5. Enoncé du type A)B:
On suppose que Aest vraie et on démontre B.
6. Enoncé du type A,B:
On suppose que Aest vraie et on démontre Bpuis on
suppose que Best vraie et on démontre A:
Pour in…rmer un énoncé A, on doit démontrer non A.
Exemple : f(x) = 2x+ 1:
lim
x!1f(x)6= 5 ? Pour cela montrons que

9"2R
+82R +(9x) (jx1j< )et (jf(x)5j  ")
Prenons "= 3=2:
(jf(x)5j  "),(j2x+ 1 5j  "),(2jx2j  ")
,(jx2j  "=2) ,(x2 + "=2ou x2"=2) ,
(x2:75 ou x1:25)
82R
+
a) Prenons x= inf (1:25; 1 + =2)
x1:25 donc (jf(x)5j  ")
1< x 1 + =2donc 0< x 1=2< 
jx1j< 

9"= 3=22R
+82R +(9x= inf (1:25; 1 + =2))
(jx1j< )et (jf(x)5j  ")
lim
x!1f(x)6= 5:
ou encore
b) Prenons x= 1
x1:25 donc (jf(x)5j  ")
ou encore
c) prenons x= 1 =2; x2]1 ; 1 + [
x < 1:25 donc (jf(x)5j  ")et jx1j==2< 
lim
x!1f(x)6= 5:

2.2 Disjonction de cas
En se ramenant au cas des réels positifs, montrons que
pour tout réel, il existe un entier naturel plus grand que
lui:
8x2R,9n2Ntel que n>x.
Réponse: Il y a deux cas:
Ou bien x < 0et dans ce cas, l’entier n= 1 convient.
Ou bien x0. Dans ce cas, on applique l’exemple 1,
qui fournit l’entier cherché.
(8x2R+) (9n2N) (n>x):
En e¤et, 8x2R+posons n=E(x) + 1
E(x)x < E (x) + 1 = n2N