metho 2

II) Di¤érents types de raisonnement
2.1 Raisonnement direct
Voir exemples 1 et 2 du chapitre 1.
1. Enoncé du type 8x 2 E , A(x).
On se donne x quelconque dans E et on démontre la
propriété A(x) en se basant sur des propriétés connues.
2. Enoncé contenant 9y 2 F , A(x; y ).
On doit prouver l’existence d’un y 2 F tel que A(x; y )
est vraie.
3. Enoncé du type (A et B ). On démontre A puis B;
ou inversement.
4. Enoncé du type (A ou B ). On suppose que A est
faux et on en déduit que B est vraie (ou inversement).
5. Enoncé du type A ) B:
On suppose que A est vraie et on démontre B .
6. Enoncé du type A , B:
On suppose que A est vraie et on démontre B puis on
suppose que B est vraie et on démontre A:
Pour in…rmer un énoncé A, on doit démontrer non A.
Exemple :
f ( x ) = 2x + 1 :
lim f (x) 6= 5 ? Pour cela montrons que
x! 1
9" 2 R+
8 2 R+ (9x) (jx
1j < ) et (jf (x)
5j
Prenons " = 3=2:
(jf (x)
5j
") , (j2x + 1
, (jx
2j
"=2) , (x
(x
2:75 ou x
5j
") , (2jx
2 + "=2 ou x
1:25)
8 2 R+
a) Prenons x = inf (1:25; 1 + =2)
x
1:25 donc (jf (x)
1<x
jx
5j
1 + =2 donc 0 < x
1j <
")
1
=2 <
2
2j
")
"=2) ,
")
9" = 3=2 2 R+
8 2 R+ (9x = inf (1:25; 1 + =2))
1j < ) et (jf (x)
(jx
5j
")
lim f (x) 6= 5:
x! 1
ou encore
b) Prenons x = 1
x
1:25 donc (jf (x)
5j
")
ou encore
c) prenons x = 1
=2;
x < 1:25 donc (jf (x)
lim f (x) 6= 5:
x! 1
5j
x 2 ]1
;1 + [
") et jx
1j = =2 <
2.2 Disjonction de cas
En se ramenant au cas des réels positifs, montrons que
pour tout réel, il existe un entier naturel plus grand que
lui:
8 x 2 R, 9 n 2 N tel que n > x.
Réponse:
Il y a deux cas:
Ou bien x < 0 et dans ce cas, l’entier n = 1 convient.
Ou bien x
0. Dans ce cas, on applique l’exemple 1,
qui fournit l’entier cherché.
(8x 2 R+) (9n 2 N) (n > x) :
En e¤et, 8x 2 R+ posons n = E (x) + 1
E ( x)
x < E ( x) + 1 = n 2 N
Parfois il y a plus de deux cas.
2.3 Raisonnement par contraposée
Pour démontrer une assertion du type P =) Q, il su¢ t
de démontrer sa contraposée nonQ =) nonP .
Le raisonnement par contraposée consiste en ceci:
Pour prouver une proposition A, on utilise un théorème
B de la théorie et on montre que nonA ) nonB: On en
déduit que B ) A et que B étant vraie, A est vraie.
Exemple 3:
a) Montrer que si x et y sont des réels non tous nuls (ca-d dont l’un au moins est non nul), alors x2 + y 2 6= 0:
En d’autres termes, il s’agit de montrer que
8x 2 R et 8y 2 R ,
( x6=0 ou y6=0) ) x2 + y 2 6= 0
x2 + y 2 = 0)? x=0 et y =0
b) En déduire que 8x 2 R, x2 + 1 6= 0:
Réponse :
a) Si x2 + y 2 = 0 alors x2 =
d’où x2 =
h
h
x2
+ y2
y 2 2 R+ \ R
= f 0g
y 2 = 0 c-a-d x = y = 0 c-a-d (x = 0 et y = 0) :
i
= 0 ) (x = 0 et y = 0) donc
(x 6= 0 ou y 6= 0)
b) D’après a)
) x2
+ y 2 6=
i
0 .
8x 2 R ,(x 6= 0 ou 1 6= 0) ) x2 + 12 6= 0:
Or, (x 6= 0 ou 1 6= 0) est vraie alors x2 +1 = x2 +12 6=
0:
2.4 Raisonnement par l’absurde
Le raisonnement par l’absurde ou encore principe du tiersexclu est le suivant :
Pour savoir si une proposition A fait partie des théorèmes
d’une théorie on ajoute non A à cette théorie: Si cela
aboutit à une contradiction avec un théorème de la théorie
alors A est un théorème de la théorie.
( Il est di¤érent du raisonnement par contraposée).
Exemple 4
Montrer que
p
2 n’est pas rationnel.
p
Supposons 2 rationnel. Alors il existe des entiers nap
p
turels p et q sans facteur commun tels que 2 = .
q
On écrit p2 = 2q 2
p2 est pair (multiple de 2) donc p est pair
si p = 2k; k 2 N
p2 = (2k)2 = 4k2 = 2q 2.
q 2 = 2k 2
q 2 est pair donc q est pair
p et q sont pairs donc ont 2 comme facteur commun.
Contradiction car p et q sont sans facteur commun.
On conclut que
p
2 est irrationnel.
Exercice: Montrer que
Remarque:
p
p
p
1
p =12Q
2
2
p
2=22Q.
22
= Q et
p
32
=Q
22
= Q ; 2+
2+
p
3 est irrationnel. Voir pour
1
22
= Q donc p 2
=Q.
2
2
p
p
p
p
p
p
p
2
p
3=
p
62
=Q.
22
= Q la somme est 2 2 Q
2=2 22
=Q.
p
6:
2.5
Raisonnement par récurrence
Axiome de récurrence:
Soit Pn une proposition dépendant de l’entier n.
Si
Pn0 est vraie (initialisation au rang n0)
et si (8k
n0)(Pk ) Pk+1) est vraie (hérédité à
partir du rang n0)
alors on a (8n
n0)(Pn est vraie).
La démonstration par récurrence se fait alors en deux
étapes et on énonce la conclusion:
1) On montre que Pn0 est vraie
2) On montre que si la proposition Pn est vraie au rang
n = k pour un k n0; alors elle est vraie au rang k + 1:
3) On conclut que (8n
n0)(Pn est vraie):
Dans certains cas la proposition (8k n0)(Pk ) Pk+1)
n’est pas aisée à démontrer alors qu’on peut montrer que
Pn0 est vraie et que
(8k n0)
est vraie.
Pn0 et Pn0+1
On conclut alors que (8n
et Pk 1 et Pk ) Pk+1
n0)(Pn est vraie):
La démonstration par récurrence se fait alors suivant les
étapes suivantes:
1) On montre que Pn0 est vraie
2) On montre que pour tout k
n0;
si la proposition Pn est vraie du rang n0 jusqu’au rang
k alors elle est vraie au rang k + 1:
3) Conclusion : (8n
n0)(Pn est vraie):
Exemple 5:
3 Pn : n2
1) P3 : 32
8n
3=6
5.
n
5. P3 est vraie
2) si la proposition Pn est vraie au rang k
k 2 k 5:
(k + 1)2
(k + 1) = k2 + k
3) Conclusion : (8n
k2
k
3 alors
5:
3)(Pn est vraie) c-a-d n2 n
5:
Exercice : Pour n 2 N, on note P (n) l’assertion
(n + 1)! 2n + 1. Montrer que P (n) est vraie à partir
d’un certain rang. Lequel ?
1) P (n) est vraie pour n = 2 ; n0 = 2
2) Supposons P (k) pour un certain k
(k + 1)!
2k + 1
2
HR
Véri…ons P (k + 1) :
(k + 1 + 1)! = (k + 2)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)!
(k + 2) 2k + 1 car (k + 1)!
2k + 1
(k + 1 + 1)!
(k+2) 2k +1
(k + 1 + 1)!
2k+1 + 1 donc P (k + 1) est vraie
2 2k +1 = 2k+1+2
Réponse
Supposons que P (n) est vraie et n
0. Alors
(n + 1 + 1)! = (n + 2)(n + 1)!
(n + 1 + 1)!
Donc
(2) (2n + 1)
(8n 2 N)
(n + 2) (2n + 1)
2n+1 + 1
(P (n) ) P (n + 1)).
Est-ce que cela su¢ t à montrer que P (n) est vraie pour
tout n 0? Non.
P (0) s’écrit 1! = 1
20 + 1 = 2 et est fausse.
P (1) s’écrit 2! = 2
21 + 1 = 3 est fausse.
P (2) qui s’écrit 3! = 6
22 + 1 = 5 , ce qui est vrai.
On initialise en 2 et on conclut que P (n) est vraie pour
tout n 2.
Exercice : Pour n 2 N, on note
P (n) l’assertion n! 2n. Montrer que P (n) est vraie à
partir d’un certain rang. Lequel ?
Réponse
Supposons que P (k) est vraie et k
(k + 1)! = (k + 1)k!
Donc
((k
(k + 1) 2k
1. Alors
2 2k = 2k+1
(8k 2 N)
1) ) (P (k) ) P (k + 1)).
Est-ce que cela su¢ t à montrer que P (n) est vraie pour
tout n 1?
P (0) s’écrit 1 = 0!
20 = 1, c’est vrai.
Mais, on n’a pas démontré l’assertion P (0) ) P (1)).
Elle est fausse car P (0) est vraie et P (1) est fausse.
Considérons les assertions :
P (1) qui s’écrit 1! = 1
21 = 2 est fausse.
P (2) qui s’écrit 2! = 2
22 = 4 est fausse.
P (3) : 3! = 6
P (4) : 4! = 24
26 = 8, elle est fausse.
24 = 16, ce qui est vrai. En…n
On conclut que P (n) est vraie pour tout n
4.
2.5 Utiliser un contre exemple
Pour démontrer une assertion du type (9x 2 E ) P (x),
il su¢ t de donner un exemple d’un x qui convient. En
passant à la négation, pour démontrer qu’une assertion
du type (8x 2 E ) P (x) est fausse, il su¢ t de donner
un exemple d’un x qui ne convient pas (à la propriété
P (x)). On appelle cela un contre-exemple à la propriété
P.
Exemple 6:
f ( x ) = 2x + 1
lim f (x) = 3 (voir exemple 2).
x!1
Pour cela nous avons montré que
8" 2 R+
9 2 R+ (jx
1j <
) jf (x)
3j < ")
lim f (x) 6= 4
x!2
Il s’agit de montrer que l’on a
non( 8" 2 R+
c’est à dire
9 2 R+ (jx
2j <
) jf (x)
4j < "))
9" 2 R+
jf (x)
jf (x)
x
jf (x)
3
4j
(9x) véri…ant jx 2j <
avec jf (x) 4j "
8 2 R+
4 j = j2 x + 1
"
!
4 j = j2 x
3j = 2 jx
"
ssi
2
" ssi jx
3=2j
" ssi (x
2) ou (x
x
3=2j
3+"
2
ou
2
4j
1) :
Posons " = 1; 8 2 R+ posons x = 2 qui véri…e
jx 2j = 0 < avec jf (x) 4j "
ou encore
0
9x=2+ véri…ant jx-2j = <
9" = 1; 8 2 R+ @
2
2
avec jf (x) 4j "
car jf (x)
4 j = j2
2+
+1
4j =
+1>1
1
A:
ou encore
0
9x = 2 + véri…ant jx 2j = <
9" = 1; 8 2 R+ @
4
4
avec jf (x) 4j "
car jf (x)
encore
4 j = j2
2+
0
B
9" = 1=2; 8 2 R+ B
@
car 2
0
x
f ( x)
=
x
2
2
4=2
2
> 1=2
3
2
+1
4j =
; 11=6 véri…ant
2
avec jf (x) 4j "
9x = sup 2
jx
2j
2j
2
2
2
+ 1 > 1ou
<
2
2
et jx
x+1
4 = 2x
<
3
2
11=6
3
1
A
jf (x)
4j
2
> 1=2
3
Dans les quatre cas on a prouvé que
9" = 1; ou 1=2 8 2 R+ (9x véri…ant jx
donc lim f (x) 6= 4:
2j <
avec jf (x)
x!2
Exemple 7
L’assertion tout entier positif est somme de deux carrés
d’entiers est-elle vraie ? fausse ?
Comme il n’y a que deux carrés non nuls inférieurs à 6,
qui sont 1 et 4 et dont la somme est 5, le nombre 6 n’est
pas somme de deux carrés. Cela prouve que l’assertion
est fausse.
Exemple 8
L’assertion tout entier positif est somme de trois carrés
d’entiers est-elle vraie ? fausse ?
Sachant qu’il n’y a que deux carrés non nuls inférieurs ou
égaux à 7, à savoir 1 et 4, le nombre 7 n’est pas somme
de trois carrés. Cela prouve que l’assertion est fausse.