Programme de khôlle 12 : Énoncés et résolutions
Or pour k∈J1, p −1K,p|p
k. Donc p|
p−1
X
k=1 p
kakd’où
p−1
X
k=1 p
kak≡0 [p].
Donc (a+ 1)p≡ap+ 1 ≡a+ 1 [p]. Donc H(a+ 1) est vrai.
+H(0) est vrai, et pour tout a∈J0, p −2K,H(a) =⇒H(a+ 1), donc par principe de récurrence,
∀a∈J0, p −1K,ap≡a[p]. Puisque qu’on raisonne modulo p, le résultat se généralise pour a∈Z.
+On a :
ap≡a[p]donc ap−a≡0 [p]donc p|ap−adonc p|a(ap−1−1)
Si p-a, alors a∧p= 1 donc le lemme de Gauss livre p|ap−1−1, d’où ap−1≡1 [p].
5. Déterminer les sous-groupes de (Z,+).
Montrons que les sous-groupes de (Z,+) sont exactement les nZ. Soit nN.
+Montrons d’abord que tout nZest un sous-groupe de (Z,+).
On a nZ⊂Zet 0 = 0 ×n∈nZdonc nZ6=∅.
Pour (a, b)∈(nZ)2, on a a≡0 [n]et b≡0 [n]donc a−b≡0 [n]donc a−b∈nZ.
Par caractérisation, nZest un sous-groupe de (Z,+).
+Montrons maintenant que tout sous-groupe de (Z,+) est un nZavec n∈N.
Soit Hune partie de Ztel que (H, +) est un sous-groupe de (Z,+).
Si H={0}, alors H= 0Z. Sinon si H6={0}, alors ∃n∈Htel que n6= 0. Or Hest un groupe donc
−n∈H, donc |n| ∈ H∩N∗.
On a H∩N∗une partie non vide de N∗, donc on peut prendre n= min (N∗∩H).
Vérifions maintenant que H=nZ:
IMontrons ⊇:n∈H, donc tous les itérés de nsont aussi dans H, donc kn ∈Havec k∈Z.
IMontrons ⊆: Soit h∈H. On pose la division euclidienne de hpar n.
∃(q, r)∈Z2, k =nq +ret 0≤r < n
Or h∈Het nq ∈nZ⊂Hdonc h−nq ∈Hdonc r∈H.
Ainsi, r∈H∩Net r < n = min (H∩N∗). Donc r= 0. Donc, h=nq donc h∈nZ, donc
H⊂nZ. Donc H=nZ.
6. Montrer qu’une intersection de sous-groupes d’un groupe (G, ?)est un sous-groupe de (G, ?).
Soit (G, ?)un groupe de neutre eGet (Hi)i∈Iune famille de sous-groupes de (G, ?)∗. Posons :
H=\
i∈I
Hi
Tout Hiétant un sous-groupe de G,∀i∈I,eG∈I. Ainsi : eG∈Ti∈IHidonc eG∈H.
Soit (x, y)∈H2, donc ∀i∈I,x∈Hiet y∈Hi. Or chaque Hiétant un sous-groupe, on a que :
∀i∈I, x ? y−1∈Hidonc x?y−1∈\
i∈I
Hi
On a donc montré que x?y−1
inH. Par caractérisation \
i∈I
Hiest un sous-groupe de G.
7. Montrer que l’image directe d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
Soit deux groupes (G, ?)et (H, ♦)de neutre eGet eH, et f:G→Hun morphisme de groupes.
Soit G0≤(G, ?)un sous-groupe de Get H0≤(H, ♦)un sous-groupe de H.
+On a f(G0) = {f(x)|x∈G0}. Puisque f:G→Het G0⊂Gon a déjà f(G0)⊂H.
Or G0est un sous-groupe de Gdonc eG∈G0. Puisque f(eG) = eH, on a eH∈f(G0), donc f(G0)6=∅.
Soient (a, b)∈f(G0)2. Donc ∃(x, y)∈G02,a=f(x)et b=f(y). Donc :
SIAHAAN–GENSOLLEN Rémy 5 / 6