Programme de khôlle : Arithmétique et Structures Algébriques

MATHÉMATIQUES PROGRAMME DE KHÔLLE 12 :
ÉNONCÉS ET RÉSOLUTIONS
Arithmétique dans Z
I. Divisibilité et division euclidienne
+Théorème de division euclidienne.
+Divisibilité dans Z, diviseurs et multiples : définitions, propriétés de la relation de divisibilité.
+Congruences : définition, propriétés de la relation de la congruence modulo un entier (somme, produit, multiplication
par un entier non nul).
II. Divisibilité et division euclidienne
+Définition du pgcd de deux entiers et premières propriétés.
+Algorithme d’Euclide. Caractérisation du pgcd, propriétés d’associativité et factorisation par un diviseur commun.
+Relation de Bézout pour deux entiers. aZ+bZ= (a∧b)Z.pgcd d’une famille finie d’entiers.
+ppcm : définition et premières propriétés. aZ∩bZ= ppcm(a, b)Z. Propriétés d’associativité et de factorisation par
un diviseur commun.
III. Entiers premiers entre eux
+Définitions et propriétés : nombres premiers entre eux, premiers entre eux dans leur ensemble, deux à deux.
+Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Propriétés. Généralisation des propriétés aux entiers premiers entre eux
et produits d’entiers.
+Forme irréductible d’un rationnel.
+Relation entre pgcd et ppcm.
IV. Nombres premiers
+Définition, existence de la factorisation première, infinité de l’ensemble des nombres premiers.
+Décomposition et valuation p-adique, additivité des valuations p-adiques, unicité de la décomposition d’un entier entre
produit de facteurs premiers.
+Divisibilité, décomposition du pgcd et ppcm.
+Petit théorème de Fermat.
Structures algébriques
V. Lois de composition interne
+Associativité, commutativité. Exemples. Élément neutre, inversibilité. Distributivité.
+Partie stable pour une loi.
VI. Structure de groupe
+Définition. Exemples. Itéré d’un élément.
+Sous-groupe, caractérisation. Sous-groupes de (Z,+). Intersection de sous-groupes.
+Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme.
+Image et noyau d’un morphisme. Injectivité. Isomorphisme.
VII. Structure d’anneau, de corps
+Définition. Exemples. Calculs dans un anneau. Formule du binôme et an−bnsi les éléments aet bcommutent.
+Intégrité. Groupe des inversibles d’un anneau. Sous-anneau. Corps, sous-corps.
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MATHÉMATIQUES
Questions / Exercices de cours / Savoir faire
1. Théorème de la division euclidienne : énoncé et démonstration.
Théorème äDivision euclidienne
Soit a∈Zet b∈N∗.Ona:
∃!(q, r)∈Z2, a =bq +ret 0≤r < b
On appelle qle quotient et rle reste de cette division euclidienne de apar b.
Démonstration. Soit a∈Zet b∈N∗.
+Existence : On pose A={k∈Z|kb ≤a}. Or on a
b∈N∗donc b≥1donc |a|b≥ |a|donc − |a| ≤ − |a| ≤ a
Donc on a toujours k=− |a| ∈ A. De plus, ∀k∈A,k≤apar définition, donc Aest une partie non
vide et majorée de Z, elle admet donc un plus grand élément. On pose donc ce maximum q= max A.
Par définition on a bq ≤a, et puisque qest le maximum de Aon a q+ 1 6∈ Adonc b(q+ 1) > a. On
pose finalement r=a−bq. On a donc bien 0≤r < b. Donc a=bq +ret 0≤r < b.
+Unicité : On suppose qu’il existe deux couples (q, r)∈Z2et (q0, r0)∈Z2tels que :
a=bq +ret 0≤r < b a =bq0+r0et 0≤r0< b
On obtient alors −b < r −r0< b soit |r−r0|< b. Or r−r0=b(q−q0)donc |q−q0|<1.
On a |q−q0| ∈ Ndonc q−q0= 0. On a donc q=q0, et donc r=r0. Ainsi (q, r) = (q0, r0).
2. Description de l’algorithme d’Euclide et démonstration de la propriété ci-dessous. Application à la caractérisation du
pgcd (dernier reste non nul).
Propriété äIdée fondamentale de l’algorithme d’Euclide
∀(a, b, k)∈Z3,a∧b= (a+kb)∧b
Démonstration. Soit (a, b, k)∈Z3. On a par définition du pgcd l’implication suivante :
D(a)∩D(b) = D(a+kb)∩D(b) =⇒a∧b= (a+kb)∧b
On démontre donc par double inclusion que D(a)∩D(b) = D(a+kb)∩D(b).
+Montrons ⊆: Soit d∈Ztel que d∈D(a)∩D(b), donc d∈D(a)et d∈D(b).
On a d|aet d|bdonc d|a+kb, ainsi d∈D(a+kb)
Puisque d∈D(b), on a d∈D(a+kb)∩D(b). Donc D(a)∩D(b)⊆D(a+kb)∩D(b).
+Montrons ⊇: Soit d∈Ztel que d∈D(a+kb)∩D(b), donc d∈ D(a+kb)et d∈ D(b).
On a d|bdonc d| −kb. Or d|a+kb donc d|a+kb −kb, ainsi d|D(a)
Puisque d∈D(b), on a d∈D(a)∩D(b). Donc D(a+kb)∩D(b)⊆D(a)∩D(b).
On a donc D(a)∩D(b) = D(a+kb)∩D(b)donc a∧b= (a+kb)∧b.
Lemme äLemme d’Euclide (Corollaire)
Soit a∈Zet b∈N∗. Soit (q, r)∈Z×J0, b −1Ktel que a=bq +rest la division euclidienne de apar b.
On a a∧b=b∧r
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Programme de khôlle 12 : Énoncés et résolutions
Démonstration. Soit a∈Z,b∈N∗,(q, r)∈Z×J0, b −1Ktels que a=bq +rest la division euclidienne de a
par b. La propriété précédente amène directement :
a∧b= (bq +r)∧b=r∧b=b∧r
äAlgorithme d’Euclide
Soit (a, b)∈(N∗)2. On présente l’algorithme d’Euclide qui calcule le pgcd de aet b.
+Avec n∈N∗, on construit une séquence finie d’entiers (rk)k∈J0,nK∈Nn× {0}avec r0=aet r1=b.
+Pour un entier k∈N∗, on construit la séquence (rk)de la façon suivante :
ISi rk= 0, on s’arrête et on revoie rk−1.
ISi rk>0, on pose la division euclidienne de rk−1par rk, et rk+1 est le reste de cette division :
∃(q, rn+1)∈N2, rn−1=qrn+rn+1 et 0≤rn+1 < rn
Démonstration. Montrons la terminaison et la correction de l’algorithme d’Euclide.
+Terminaison : On remarquera que rk>0 =⇒rk> rk+1 ≥0, donc par récurrence simple :
∀k∈J0, n −1K, rk> rk+1 ≥0
Puisque la séquence (rk)k∈J0,nKest une séquence d’entiers naturels strictement décroissante, il
existe bien un (unique) entier naturel n∈Ntel que rn= 0, donc l’algorithme s’arrête bien.
+Correction : On montre par récurrence grâce au lemme d’Euclide que :
a∧b=r0∧r1=r1∧r2=. . . =rn−1∧rn=rn−1∧0 = rn−1
Or l’algorithme renvoie rn−1=a∧b, donc l’algorithme renvoie bien le pgcd de aet b.
3. Démonstrations du théorème de Bézout et de celui de Gauss.
Théorème äPetit théorème de Bézout / Identité de Bézout
Soit (a, b)∈Z2.
∃(u, v)∈Z2, au +bv = pgcd(a, b)
Démonstration. Soit (a, b)∈Z2.
+Si a= 0 et b= 0, on a a∧b= 0. Dès lors on a que tout couple (u, v)∈Z2est solution.
+Sinon, considérons a6= 0. On a alors |a|+|b| ∈ (aZ+bZ)∩N∗donc l’ensemble (aZ+bZ)∩N∗est
une partie non vide de N∗. Il possède donc un plus petit élément, qu’on note d. Ainsi :
∃(u, v)∈Z2, d =au +bv
IMontrons alors que d=a∧b. On a a∧b|aet a∧b|bdonc a∧b|(au +bv)soit a∧b|d.
IRéciproquement, on veut montrer que d|a∧b, donc que d|aet d|b. On pose :
∃!(q, r)∈Z×N, a =dq +r∧0≤r < d
Donc r=a−dq =a−(au +bv)q= (1 −uq)a−(vq)b∈aZ+bZ.
IDe même, on montre que d|bdonc d|a∧b. Or d∈Net a∧b∈N, donc d=a∧b.
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MATHÉMATIQUES
Théorème äThéorème de Bézout
Soit (a, b)∈Z2.aet bsont premiers entre eux si et seulement s’il existe (u, v)∈Z2tels que au +bv = 1.
a∧b= 1 ⇐⇒ ∃(u, v)∈Z2, au +bv = 1
Démonstration. Soit (a, b)∈Z2. Le petit théorème de Bézout livre :
a∧b= 1 =⇒ ∃(u, v)∈Z2, au +bv =a∧b= 1
Réciproquement, on a a∧b|aet a∧b|bdonc ∀(u, v)∈Z2,a∧b|au +bv. Donc :
∃(u, v)∈Z2, au +bv = 1 =⇒a∧b|au +bv =⇒a∧b= 1
Donc a∧b= 1 ⇐⇒ ∃(u, v)∈Z2, au +bv = 1.
Lemme äLemme de Gauss
Soit (a, b, c)∈Z3. Si adivise bc et si aet bsont premiers entre eux, alors adivise c.
a|bc et a∧b= 1 =⇒a|c
Démonstration. Soit (a, b, c)∈Z3, tels que a|bc et a∧b= 1.
Puisque a∧b= 1, on a ∃(u, v)∈Z2,au +bv = 1. De plus a|bc donc ∃q∈Z,bc =aq. Ainsi :
auc +bvc =cdonc auc +aqv =cdonc a(uc +qv) = c
Donc a|c.
4. Énoncé et démonstration du petit théorème de Fermat, avec la démonstration du lemme.
Lemme
Soit pun nombre premier. Pour tout entier kdans J1, p −1K,pdivise p
k.
∀p∈P,∀k∈J1, p −1K, p |p
k
Démonstration. Soit p∈Pet k∈J1, p −1K.Ona:
kp
k=pp−1 k−1donc p|kp k
Or p > k donc pne divise pas k. Donc p∧k= 1. Le lemme de Gauss livre alors p|p
k.
Théorème
Soit p∈Pet a∈Z. On a ap≡a[p]. De plus si p-a, alors ap−1≡1 [p].
∀(p, a)∈P×Z, ap≡a[p]et p-a=⇒ap−1≡1 [p]
Démonstration. Soit p∈P. Pour a∈J0, p −1K, on pose H(a) : ap≡a[p].
+On a 0p= 0 donc 0p≡0 [p]donc H(0) est vrai.
+Soit a∈J0, p −2Ktel que H(a)est vrai. On a alors :
(a+ 1)p=
p
X
k=0 p
kak=a0+ap+
p−1
X
k=1 p
kak
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Programme de khôlle 12 : Énoncés et résolutions
Or pour k∈J1, p −1K,p|p
k. Donc p|
p−1
X
k=1 p
kakd’où
p−1
X
k=1 p
kak≡0 [p].
Donc (a+ 1)p≡ap+ 1 ≡a+ 1 [p]. Donc H(a+ 1) est vrai.
+H(0) est vrai, et pour tout a∈J0, p −2K,H(a) =⇒H(a+ 1), donc par principe de récurrence,
∀a∈J0, p −1K,ap≡a[p]. Puisque qu’on raisonne modulo p, le résultat se généralise pour a∈Z.
+On a :
ap≡a[p]donc ap−a≡0 [p]donc p|ap−adonc p|a(ap−1−1)
Si p-a, alors a∧p= 1 donc le lemme de Gauss livre p|ap−1−1, d’où ap−1≡1 [p].
5. Déterminer les sous-groupes de (Z,+).
Montrons que les sous-groupes de (Z,+) sont exactement les nZ. Soit nN.
+Montrons d’abord que tout nZest un sous-groupe de (Z,+).
On a nZ⊂Zet 0 = 0 ×n∈nZdonc nZ6=∅.
Pour (a, b)∈(nZ)2, on a a≡0 [n]et b≡0 [n]donc a−b≡0 [n]donc a−b∈nZ.
Par caractérisation, nZest un sous-groupe de (Z,+).
+Montrons maintenant que tout sous-groupe de (Z,+) est un nZavec n∈N.
Soit Hune partie de Ztel que (H, +) est un sous-groupe de (Z,+).
Si H={0}, alors H= 0Z. Sinon si H6={0}, alors ∃n∈Htel que n6= 0. Or Hest un groupe donc
−n∈H, donc |n| ∈ H∩N∗.
On a H∩N∗une partie non vide de N∗, donc on peut prendre n= min (N∗∩H).
Vérifions maintenant que H=nZ:
IMontrons ⊇:n∈H, donc tous les itérés de nsont aussi dans H, donc kn ∈Havec k∈Z.
IMontrons ⊆: Soit h∈H. On pose la division euclidienne de hpar n.
∃(q, r)∈Z2, k =nq +ret 0≤r < n
Or h∈Het nq ∈nZ⊂Hdonc h−nq ∈Hdonc r∈H.
Ainsi, r∈H∩Net r < n = min (H∩N∗). Donc r= 0. Donc, h=nq donc h∈nZ, donc
H⊂nZ. Donc H=nZ.
6. Montrer qu’une intersection de sous-groupes d’un groupe (G, ?)est un sous-groupe de (G, ?).
Soit (G, ?)un groupe de neutre eGet (Hi)i∈Iune famille de sous-groupes de (G, ?)∗. Posons :
H=\
i∈I
Hi
Tout Hiétant un sous-groupe de G,∀i∈I,eG∈I. Ainsi : eG∈Ti∈IHidonc eG∈H.
Soit (x, y)∈H2, donc ∀i∈I,x∈Hiet y∈Hi. Or chaque Hiétant un sous-groupe, on a que :
∀i∈I, x ? y−1∈Hidonc x?y−1∈\
i∈I
Hi
On a donc montré que x?y−1
inH. Par caractérisation \
i∈I
Hiest un sous-groupe de G.
7. Montrer que l’image directe d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
Soit deux groupes (G, ?)et (H, ♦)de neutre eGet eH, et f:G→Hun morphisme de groupes.
Soit G0≤(G, ?)un sous-groupe de Get H0≤(H, ♦)un sous-groupe de H.
+On a f(G0) = {f(x)|x∈G0}. Puisque f:G→Het G0⊂Gon a déjà f(G0)⊂H.
Or G0est un sous-groupe de Gdonc eG∈G0. Puisque f(eG) = eH, on a eH∈f(G0), donc f(G0)6=∅.
Soient (a, b)∈f(G0)2. Donc ∃(x, y)∈G02,a=f(x)et b=f(y). Donc :
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