Corrigé feuille 10

UE 191 - Groupes 7 et 8 - Corrigé Feuille 10
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Corrigé feuille 10
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Exercice 1 : Amplificateur. La probabilité de E :“l’amplificateur ne fonctionne pas” est un peu technique
à calculer directement, puisqu’un amplificateur ne fonctionne pas si une, ou deux, ou trois, ou ..., ou mille de
ses composantes est défectueuse. Par contre l’événement complémentaire E :“l’amplificateur fonctionne” est plus
facile. La probabilité pour que l’amplificateur fonctionne est la probabilité que toutes ses composantes fonctionnent.
Chaque composante a une probabilité de (1 − 10−3 ) de fonctionner, et leur fonctionnement est indépendant de celui
des autres, d’où
P(E) = (1 − 10−3 )100 = 0, 90479
P(E) = 1 − P(E) = 1 − 1 − 10−3 )100 = 0, 09520
Comme la probabilité d’avoir 2 composantes qui sont défectueuses doit être assez faible, il semble raisonnable
d’approcher P(E) par la probabilité d’avoir une seule composante défectueuse. Celle-ci se calcule par 100 × 10−3 ×
(1 − 10−3 )99 , car il y a 100 choix possibles pour la composante défectueuse, une probabilité 10−3 que celle-ci le soit,
et une probabilité (1 − 10−3 )99 que les 99 autres composantes ne soient pas défectueuse. Comme (1 − 10−3 ) vaut
presque 1 on trouve que
1
100 × 10−3 × (1 − 10−3 )99 ' 100 × 10−3 =
10
Dans la suite de la question on demande la loi de probabilité de la variable aléatoire C donnée par le nombre
d’amplificateur défectueux parmi 4. On peut voir cette variable aléatoire comme le nombre de test parmi 4 qui sont
réussis (on considère le test réussi si l’amplificateur est défectueux), chaque test étant indépendant de tous les autres
(la défectuosité d’une composante n’influe en rien celle des autres) et ayant la même probabilité de réussite , ici
1
1
p = 10
. Ainsi, X suit une loi binômiale B (4, 10
)
x 4
1
1 4−x
P(X = x) =
1−
x
10
10
Exercice 2 : Feuilles et fleurs. Notons H l’allèle dominante qui donne les fleurs rouges, G l’allèle dominante qui
donne les feuilles découpées, h l’allèle récessive qui donne les fleurs blanches, et g l’allèle récessive qui donne les
feuilles entières. Après le premier croisement, c’àd. en F1, le génotype des plantes est HhGg.
On regarde 100 descendants obtenus par auto-fécondation de ces plantes, et on s’intéresse au nombre de descendants
aux fleurs blanches et aux feuilles entières. On reconnaît déjà le patron d’une v.a. suivant une loi binomiale. En
effet, il s’agit de faire 100 tests (la plante a-t-elle le phénotype voulu ?), indépendants (le résultat d’un croisement
n’affecte pas celui d’un autre), et de même probabilité de réussite p (les croisements sont tous du même type :
HhGg ⊗ HhGg). La loi de X est B (100, p)Il ne reste qu’à déterminer la probabilité p, c’àd. la probabilité qu’un
croisement HhGg ⊗ HhGg donne un individu hhgg. Comme on suppose que les couples d’allèles sont indépendants
(e.g. les gènes ne sont pas sur le même chromosome), on peut écrire les résultats possibles de ce croisement (de
2
façon équiprobable !) comme suit :
HhGh
HG
Hg
hG
hg
HG
Hg
hG
hg
HHGG HHGg HhGG HhGg
HHGg HHgg HhGg Hhgg
HhGG HhGg hhGG hhGg
HhGg Hhgg hhGg hhgg
On a donc 1 cas favorable pour 16 cas possibles, la probabilité p vaut donc 1/16 et X ∼ B (100, 1/16)
Rappel : Pour une v.a. discrète X, le mode de X est le (ou les) entier(s) m tel que pour tout x dans l’ensemble des
valeurs de X, P(X = m) ≥ P(X = x).
Pour le trouver, et donner la forme de la distribution, on regardera pour quel x ∈ {0, 1, . . . , 99} on a
P(X = x) < P(X = x + 1)
100! px (1- p)100-x <
100!
⇔
px+1 (1- p)100-x-1
x!(100-x)!
(x + 1)!(100-x-1)!
(1 − p)
p
⇔ 100 − x < x + 1
⇔ (x + 1)(1 − p) < p(100 − x)
⇔ x < 101p − 1
⇔ x < 5, 3125
définition de la binomiale B (100, p)
100!px (1- p)100-x-1
des 2 côtés.
x!(100-x-1)!
en × par(100 − x)(x + 1) > 0
en + parpx − (1 − p)
commep = 1/16
en ÷ par
Donc la fonction P(X = x) < P(X = x + 1) si x ≤ 5. En remplaçant dans ce calcul < par > on trouve que
P(X = x) > P(X = x + 1) si x ≥ 6. Ainsi :
P(X = 1) < P(X = 2) < . . . < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > P(X = 8) > . . . > P(X = 100)
Autrement dit, X n’a qu’un mode et il est en X = 6. La distribution croît jusqu’à cette valeur puis décroît ensuite.
:
E(X) = 100
16 = 6, 25 car l’espéranced’une binomiale B (n, p) est np. En voici la démonstration
(n−1)!
n
n−1
n!
n!
Notons d’abord que pour x 6= 0, x x = x x!(n−x)! = (x−1)!(n−x)! = n (x−1)![(n−1)−(x−1)]! = n x−1 . Ensuite par définition,
E(X) = ∑ xP(X = x)
x∈N
n
= ∑ xP(X = x)
x=0
n
comme P(X = x) = 0 si x > n
= ∑ xP(X = x)
car xP(X = x) = 0 si x = 0
x=1
n
= ∑ x nx px (1 − p)nx
x=1
n
x−1
= ∑ n n−1
p(1p)(n−1)−(x−1) par la remarque plus haut
x−1 p
x=1
n
x−1
= np ∑ n−1
(1p)(n−1)−(x−1) on factorise np
x−1 p
x=1
= np[p + (1 − p)]n−1
= np
par la formule du binôme.
puisque p + (1 − p) = 1
Rappelez-vous qu’il peut y avoir d’autres façons de parvenir à la résolution d’un problème. Si vous avez un démarche
alternative, ce sera un plaisir si vous veniez m’en parler ou me l’écriviez pour en vérifier la validité. N’oubliez pas non plus que
les erreurs sont possibles (voire fréquentes) dans mes corrigés, faites-moi signe si vos réponses diffèrent
Si vous avez des question (sur les TD, le devoir, le cours ou la vie), n’hésitez pas à passer me voir de 16h à 18h30 les
mardis où il y aura un TD à mon bureau (Salle 227, bâtiment 440), à m’accrocher après un TD, ou à m’envoyer un courriel
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