Mod angulaires

ENS Cachan – Antenne de Bretagne
Support de cours 2003-2004 Marie Frénéa
Antenne de Bretagne
Modulations angulaires
Ce document rassemble des notes de cours destinées aux élèves de préparation à l’Agrégation
de Génie Electrique. Toutes les remarques qui pourraient contribuer à son amélioration sont
les bienvenues. Certaines informations sont tirées d’ouvrages dont les références sont
données en fin de document. Si certaines d’entre elles venaient à manquer, je m’en excuse par
avance auprès de leurs auteurs et les invite à m’en faire part. Mon adresse est la suivante :
[email protected]
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MODULATIONS ANGULAIRES
I - Définitions
On désigne par modulation angulaire tout procédé permettant la modulation du terme de
phase instantanée ϕi(t) d’une porteuse d’expression : p(t) = A0 cos[ϕi(t) ] . On distingue deux
types de modulations angulaires, qualifiées de modulation de fréquence et modulation de
phase.
11. Expression du signal modulé
•
Modulation de fréquence :
Ce procédé consiste à faire varier linéairement la fréquence d’une porteuse p(t) en fonction
d’un signal modulant m(t).
Si la porteuse non modulée a pour expression : p(t) = A0 cos(2πf0t) , la fréquence instantanée
du signal modulé suit la relation linéaire:
fi = f0 + Kf .m(t)
où Kf désigne la sensibilité du modulateur, exprimée en Hz/V.
L’amplitude du signal modulé demeure constante, mais sa phase instantanée est décrite par :
ϕi(t) = 2πf0t + 2πK f ∫ m(t)dt
Le signal modulé peut donc s’écrire :
s(t) = A0 cos(2πf0t + 2πK f ∫ m(t)dt)
•
Modulation de phase :
En modulation de phase, la phase instantanée du signal modulé varie linéairement en fonction
du signal informatif m(t) :
ϕi(t) = 2πf0t + K p.m(t)
ce qui revient à écrire :
fi = f 0 +
K p dm(t)
2π
dt
L’expression analytique du signal modulé apparaît donc comme :
s(t) = A0 cos(2πf0t + K pm(t))
2
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Figure 1 - Modulations MF et Mφ - cas d'un modulant sinusoïdal
Figure 2 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant triangulaire
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Figure 3 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant carré
II – Spectre d’une modulation angulaire (consulter [1], [2])
Contrairement aux modulations d’amplitude, les modulations angulaires ne possèdent pas
la propriété de linéarité permettant d’appliquer le principe de superposition (la fonction cos
étant non-linéaire).
Ainsi, un signal modulé en MF ou en Mφ par la somme de deux signaux m1(t) et m2(t) n’a
pas de lien direct avec les signaux s1(t) et s2(t) modulés respectivement par m1(t) et m2(t).
Dans le cas d’un signal m(t) périodique, par exemple, on ne peut déduire le spectre du signal
modulé à partir de la décomposition de m(t) en somme de fonctions harmoniques.
A priori, l’étude du cas particulier d’un signal m(t) sinusoïdal peut donc sembler sans
grand intérêt. Elle présente cependant deux avantages :
- L’expression de la transformée de Fourier d’un signal modulé par m(t) sinusoïdal
est connue
- Certains résultats obtenus à partir de ce cas simple peuvent être étendus à tous les
signaux.
2.1. Cas d’un modulant sinusoïdal: m(t) = Am cos(2πfm t)
•
Modulation de fréquence
La fréquence instantanée s’écrit :
fi = f0 + K f .Am cos(2πfm t)
Elle varie de manière sinusoïdale dans l’intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f] .
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La quantité ∆f = Kf.Am désigne l’excursion de fréquence. Elle est proportionnelle à
l’amplitude maximale du modulant, mais elle est indépendante de sa fréquence.
La phase instantanée a pour expression :
ϕi(t) = 2πf0t +
Kf Am
fm
sin 2πfm t
Le signal modulé en fréquence par une sinusoïde peut donc s’écrire :
s(t) = A0 cos(2πf0t +
•
Kf Am
fm
sin 2πfm t)
Modulation de phase
La phase instantanée a pour expression :
ϕi(t) = 2πf0t + K pAm cos 2πf m t
Le signal modulé en phase par une sinusoïde peut donc s’écrire :
s(t) = A0 cos(2πf0t + K pAm cos 2πfm t)
On pose : K pAm = ∆φ .
La quantité ∆φ désigne à présent l’excursion de phase, c’est-à-dire la variation maximale de
phase instantanée lorsque m(t) varie.
Dans les deux cas (MF ou Mφ), le signal modulé peut encore s’écrire sous la forme suivante :
s(t) = A0 cos(2πf0t + β sin 2πfm t)
β désigne ici l’indice de modulation, ayant pour expression :
∆f
K A
β= f m =
•
dans le cas d’une modulation de fréquence
fm
fm
•
β = K pAm = ∆φ dans le cas d’une modulation de phase
L’indice de modulation contribue de manière importante à caractériser une modulation
angulaire, notamment en termes de propriétés spectrales et d’immunité aux perturbations. Les
modulations de fréquence et de phase auront donc des propriétés différentes en fonction de la
fréquence f m du modulant. En effet, l’indice de modulation de fréquence dépend de f m , ce
qui n’est pas le cas de l’indice de modulation de phase.
Calculons la transformée de Fourier du signal modulé s(t), d’expression :
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s(t) = A0 cos(ω0t + β sin ωm t)
s(t) peut encore s’écrire :
s(t) =
A0
2
{exp[ j(ω0t + β sin ωmt) ] + exp[− j(ω0t + β sin ωmt) ]}
Rappelons l’identité de Bessel :
exp[ j.β sin ωm t ] =
∞
∑ Jn(β) exp(jnωmt)
n = −∞
On en déduit :
s(t) =
∞
A0 ⎧ ∞
⎫
⎨ ∑ J n (β ) exp[ j(nωm + ω0)t ] + ∑ J n (β) exp[− j(nωm + ω0)t ]⎬
2 ⎩ n = −∞
⎭
n = −∞
soit finalement :
s(t) = A0
∞
∑ Jn(β) cos(nωm + ω0)t
n = −∞
Remarque:
On est parfois amené à démontrer ce résultat à partir des expressions suivantes, extraites de
l’identité de Bessel en tenant compte de la relation J − n(β) = (−1)n J n(β) :
∞
⎧
β
ω
=
β
+
cos(
sin
t
)
J
(
)
∑ 2J2i(β) cos 2iωmt
⎪
m
0
⎪
i =1
⎨
⎪sin(β sin ω t) = ∞ 2J
∑ 2i −1(β) sin(2i − 1)ωmt
m
⎪
⎩
i =1
Dans ce cas, le point de départ est le suivant :
s(t) = A0[cos ω0t cos(β sin ωm t) − sin ω0t sin(β sin ωm t) ]
La transformée de Fourier du signal modulé s(t) a donc pour expression :
S(f) =
A0
∞
∑ Jn(β)[δ(f
2 n = −∞
− (f0 + nfm)) + δ(f + f0 + nfm) ]
On obtient un spectre de raies espacées de f m , symétrique par rapport à f0 ( J n = J − n ).
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Remarque : Les raies correspondant aux fréquences f0 + nfm et f0 − nfm ont même amplitude
mais sont en opposition de phase pour n impair car J − n(β ) = (−1)n J n (β) .
Amplitude des
raies (/A0)
β=4
J-3
J3
J0
J-2
J2
J-4
J-5
J-7
J4
J-1
J1
J-6
f0-7fm
J5
J6
f0
J7
f0+7fm
f
Figure 4 - Spectre d'une onde modulée en fréquence (représentation monolatérale)
Tableau 1 - Coefficients de Bessel en fonction de l’indice de modulation (mf désigne β)
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Figure 5 - Fonctions de Bessel (m désigne β)
A partir des courbes de la Figure 5, on remarque que l’on peut avoir :
• J0(β) = 0 ; La porteuse n’existe plus. Les zéros de J0 sont obtenus pour
β = 2.4; 5.52; 8.65; 11.79
• J n (β ) < J n +1(β ) . L’amplitude des raies ne décroît pas obligatoirement avec l’ordre.
Cependant, lorsque n > β , J n (β ) > J n +1(β ) . On utilise cette propriété pour borner le
spectre.
Modulation faible indice ( β << 1 ) :
On parle alors de modulation à bande étroite (NBFM : Narrow Band Frequency Modulation)
β
On a dans ce cas : J0(β ) ≈ 1 ; J1(β ) ≈ ; J n (β ) ≈ 0 pour n>1.
2
Ce qui conduit à :
β A0
β A0
cos[2π(f0 − fm)t ]
cos[2π(f0 + f m)t] −
s(t) = A0 cos 2πf0t +
2
2
Le spectre du signal MF est alors constitué d’une raie à la fréquence porteuse f0 et de deux
raies latérales aux fréquences f0 + fm et f0 − fm . Il s’apparente donc au spectre d’un signal
MA-DBAP, à une différence près cependant : les raies latérales sont en opposition de phase
dans le cas du signal MF.
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Une autre façon d’arriver à ce résultat consiste à écrire : cos(β sin ωm t) ≈ 1 et
sin(β sin ωm t) ≈ β sin ωm t
D’où :
s ( t ) = A 0 [cos ω 0 t cos(β sin ω m t ) − sin ω 0 t sin(β sin ω m t ) ]
= A 0 [cos ω 0 t −
β
2
(cos(ω 0 − ω m ) t − cos(ω 0 + ω m t ))]
Puissance du signal modulé :
∞
Les fonctions de Bessel vérifient l’égalité :
∑ J2n(β) = 1
n = −∞
On a : P =< s2 >=
2
A0
∞
∑
2
J n (β) =
2
A0
2 n = −∞
2
La puissance émise est donc constante et indépendante de la valeur de l’indice de
modulation. Par suite, le rendement de l’émetteur pourra être optimisé et restera constant
quelle que soit l’amplitude du signal modulant. C’est un avantage important des modulations
angulaires par rapport à la modulation d’amplitude.
Variation de l’indice de modulation : β =
•
∆f variable :
∆f
fm
β = 0.2
β =1
β=5
β = 10
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∆f fixe, f m variable :
•
β=5
β = 10
β = 15
β→∞
Figure 6 - Source [3]
Largeur de bande pour un signal modulant sinusoïdal :
Le spectre d’un signal MF est constitué en théorie d’une infinité de raies aux fréquences
f0 ± nfm . En pratique, le spectre est suffisamment concentré pour que l’on puisse négliger la
contribution des raies situées à une certaine distance de la porteuse. On est donc amené à
établir des règles permettant de définir la largeur de bande utile pour la transmission des
signaux MF. On cherche à limiter l’encombrement spectral, sans pour autant introduire une
distorsion trop importante sur le signal démodulé.
On montre que les raies correspondant à une puissance non négligeable sont d’ordre
n ≤ β + 1 (règle de Carson).
On en déduit la largeur spectrale occupée par un signal modulé avec un indice β par un signal
sinusoïdal de fréquence f m :
B ≈ 2(β + 1)fm ≈ 2(∆f + fm) bande de Carson
Cette estimation de la largeur de bande de transmission conserve environ 98% de la puissance
du signal modulé :
2
P=
A0
2
J0(β)
2
+
2
A0
2
2
2
[J0(β ) + 2J1 (β ) + 2J 2(β) + ...] =
2
2
2J1 (β )
+ ... +
2
2J N(β)
> 0.98 pour N = β + 1
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Note :
Pour une modulation à fort indice, on a : B ≈ 2∆f . Par rapport à la modulation
d’amplitude, le signal modulé MF occupe une bande plus large. Les modulations angulaires
présentent heureusement des avantages en compensation (en particulier : un meilleur
comportement vis-à-vis du bruit).
Dans le cas d’une modulation à faible indice, B ≈ 2f m .
2.2. Cas d’un modulant m(t) quelconque :
L’aspect non linéaire des modulations angulaires nous interdit de procéder par
superposition. Il est généralement très compliqué, voire impossible, d’obtenir l’expression
analytique du signal modulé afin d’en déduire la transformée de Fourier (on compte parmi les
exceptions le cas d’une modulation à faible indice).
Pour avoir tout de même un ordre de grandeur de la bande occupée, on définit l’indice de
modulation généralisé :
β=
∆f
Fmax
=
K f . m(t) max
Fmax
où Fmax désigne la borne supérieure du spectre du signal modulant
m(t) et ∆f l’excursion maximale de la fréquence instantanée.
La règle de Carson devient :
B ≈ 2(∆f + Fmax)
Exemple :
En radiodiffusion FM, ∆f est fixée à 75 kHz et la fréquence maximale du modulant est
limitée à 15 kHz (mono).
∆f
75
On a donc : β =
=
= 5.
Fmax
15
La règle de Carson nous donne : B = 2(∆f + Fmax) = 2(75 + 15) = 180 kHz . La largeur du
canal d’émission est de 200 kHz. C’est pourquoi ces émetteurs sont situés dans des bandes de
fréquences élevées (87.5 à 108 MHz)
Cas d’une modulation à faible indice :
Pour β << 1 , on sait calculer le spectre du signal MF.
Celui-ci peut s’écrire :
s(t) = A0 cos(2πf0t + ϕ(t))
soit encore :
s(t) = A0 cos(2πf0t). cos ϕ(t) − A0 sin(2πf0t). sin ϕ(t)
On peut considérer l’indice de modulation comme la valeur maximale de la variation de phase
ϕ(t) : β = ϕ(t) max .
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Si l’indice de modulation est faible, on peut alors écrire : cos ϕ(t) ≈ 1 et sin ϕ(t) ≈ ϕ(t) .
L’expression du signal MF devient donc :
s(t) ≈ A0 cos 2πf0t − A0ϕ(t) sin 2πf0t
s(t) apparaît alors comme la somme de la porteuse non modulée et d’une porteuse en
quadrature, modulée en amplitude par une primitive de m(t).
On peut alors calculer facilement la transformée de Fourier de Fourier de s(t) :
A
A
S(f) = 0 [δ(f − f0) + δ(f + f0) ] − 0 [φ(f − f0) − φ(f + f0) ]
2j
2
Or on a : ϕ(t) = 2πK f ∫ m(t)dt
D’où finalement:
S(f) =
A0
2
[δ(f
− f0) + δ(f + f0) ] +
K f A0 ⎛⎜ M(f − f0) M(f + f0) ⎞⎟
−
2 ⎜⎝ f − f0
f + f0 ⎟⎠
Ce spectre possède deux bandes latérales affectées par l’intégration de la fréquence
instantanée inhérente à la MF. En pratique, le message m(t) n’a pas d’énergie autour de la
fréquence 0, et la division de M(f) par f ne pose pas de problème.
|M(f)|
-Fmax
f
Fmax
φ(f)
-Fmax
f
Fmax
|S(f)|
-f0-Fmax
-f0
f0
f0+Fmax
f
Figure 7 - Modulation de fréquence à faible indice
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Ce résultat ressemble à celui obtenu dans le cas d’une MA-DBAP. L’encombrement spectral
est [f0 − Fmax, f0 + Fmax] .
III – MODULATEURS ANGULAIRES (Consulter [1, 2, 4])
3.1. Méthode directe :V.C.O.
Tout type d’oscillateur, un oscillateur LC à fréquence fixe par exemple, peut être modifié
en V.C.O. Il suffit pour cela de remplacer une ou plusieurs capacités fixes intervenant dans
l’expression de la fréquence d’oscillation par une ou plusieurs diodes varicaps (diodes à
capacité variable). Toute diode polarisée en inverse se comporte comme une capacité dont la
valeur diminue quand la tension inverse augmente (la zone de charge d’espace s’élargit et
εS
C=
). La relation qui lie la valeur de la capacité à la tension inverse est fortement non
d
linéaire comme l’indique la figure suivante :
Figure 8 - Capacité d'une diode varicap en fonction de la tension inverse
Cette relation peut être approchée par la formule suivante :
C jo
Cv =
+ Cp
M
⎛
V ⎞
⎜1 + r ⎟
⎜
V j ⎟⎠
⎝
où Vr représente la tension inverse et Cp la capacité parasite de la diode. Le reste des
paramètres dépend des caractéristiques physiques de la diode. A titre d’exemple, le tableau
suivant regroupe les paramètres décrivant un certain nombre de diodes varicaps du fabricant
Alpha Industries :
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Note : Rs et Ls désignent les résistances et inductances séries parasites.
La conception d’un oscillateur est une tâche relativement complexe. La prédétermination
des éléments peut se faire avec l’hypothèse d’un fonctionnement linéaire (c’est celle que nous
ferons par la suite) mais le design d’un oscillateur nécessite le recours à des outils de
simulation permettant notamment de prendre en compte les non linéarités des éléments actifs.
De plus, étant données les fréquences mises en jeu dans ces circuits, il est souvent nécessaire
de modéliser les imperfections des composants et de leurs interconnexions.
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3.1.1 Exemple de configuration classique :
Figure 9 - VCO à JFET
Hypothèse : la capacité de liaison Cl se comporte comme un court-circuit à la fréquence
d’oscillation.
Cet oscillateur peut être mis sous la forme de deux quadripôles en parallèle :
i
i
1
2
Q1
v
1
v
2
(Transistor)
i'
2
i'
1
Q2
Filtre
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Quadripôle Q1 :
⎧ I1 = Y11V1 + Y12V2
⎨
⎩ I2 = Y21V1 + Y22V2
Y11 =
Y22 =
I1
V1
I2
V2
= 0 Y12 =
V2 = 0
I1
V2
= 0 Y21 =
V1= 0
1
= gm +
RS
V1= 0
⇒
I2
V1
= −g m
V2 = 0
⎡ 0
⎢
YQ1 = ⎢
⎢ − gm
⎣⎢
[ ]
⎤
⎥
1 ⎥
⎥
gm +
R S ⎦⎥
0
Quadripôle Q2 :
On a : Cd =
1
Y11 = j(C1 + Cd)ω +
jLω
Y22 = j(C1 + C2)ω ⇒
Y12 = −jC1ω
2
=
Cd1
2
Y21 = −jC1ω
1
⎡
⎢ j(C1 + Cd)ω +
jLω
YQ2 = ⎢
⎢
⎢⎣
− jC1ω
[ ]
Cd2
⎤
⎥
⎥
⎥
j(C1 + C2)ω ⎥⎦
− jC1ω
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1
⎡
j
(
C
C
)
+
ω
+
⎢ 1
d
jLω
⎢
[YT ] = ⎢
⎢
− g m − jC1ω
⎢⎣
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⎤
⎥
⎥
1 ⎥
⎥
j(C1 + C2)ω + g m +
RS ⎥⎦
− jC1ω
Condition d’oscillation : det[YT ] = 0
•
Calcul de la pulsation d’oscillation :
Re(det[YT]) = 0 : − (C1 + Cd)(C1 + C2)ω2 +
ω=
⇒
•
1
⎞
⎛ C1C2
L⎜
+ Cd ⎟
⎟
⎜ C1 + C2
⎠
⎝
Condition de démarrage des oscillations :
Im(det[YT]) = 0 :
⇒
C1 + C2
2 2
= −C1 ω
L
C1
C2
1 ⎞
⎛
⎜g +
⎟
⎜ m R ⎟
1 ⎞
⎛
s ⎠
⎜g +
⎟ (C + C )ω = g C ω + ⎝
m
1
d
m
1
⎜
RS ⎟⎠
Lω
⎝
= g m.R s
C1
pour avoir des oscillations.
Il faut donc en théorie g m >
C2.RS
Afin de justifier certains éléments du schéma de l’oscillateur, il est nécessaire d’introduire la
notion de bruit de phase d’un oscillateur.
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Bruit de phase d’un oscillateur :
Un VCO idéal attaqué par une tension constante possède pour spectre un Dirac à la
fréquence d’oscillation. Or en pratique on constate que le spectre présente un niveau de bruit
croissant à mesure que l’on se rapproche de la fréquence d’oscillation comme le montre la
figure suivante :
Figure 10 - Bruit de phase d'un oscillateur [5]
Le bruit de phase est caractérisé par l’écart en dB entre le niveau à la fréquence de
l’oscillateur (désignée par le terme « porteuse » : carrier) et le niveau du bruit dans une bande
de 1 Hz à une distance donnée de la fréquence « porteuse ». La figure ci-dessus montre un
exemple de mesure du bruit de phase à x=f-f0 Hz de la porteuse.
L’unité du bruit de phase est le dBc/Hz (dBc : dB carrier). Il est généralement donné pour
quelques valeurs de x mais on le trouve parfois sous forme de courbe donnant son évolution
de façon continue en fonction de la fréquence.
Figure 11. Source [6]
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Remarques :
ƒ La puissance du bruit de phase est comptée dans une seule bande latérale.
ƒ La mesure du bruit de phase s’effectue avec un analyseur de spectre. La largeur du filtre
d’analyse (RBW : Resolution Bandwidth) est généralement différente de 1 Hz, le bruit de
phase est alors calculé de la manière suivante :
Bruit de phase @ x (dBc/Hz) = B + 10.log(RBW)
Où B désigne l’atténuation mesurée entre la porteuse et le bruit à une distance x à l’analyseur
de spectre.
Le bruit de phase trouve son origine dans le bruit électronique des composants
(principalement actifs : varicaps et transistor) qui crée une modulation parasite et dans les
distorsions apparaissant du fait des non linéarités.
Pour exemple, la documentation constructeur suivante donne le bruit de phase d’un
oscillateur pour différentes valeurs de x [6]:
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Retour sur le modulateur de fréquence :
On retrouve dans ce montage l’association « anti-série » couramment utilisée pour les
diodes varicaps. Du point de vue du signal modulant (basse fréquence), les diodes varicaps
sont en parallèle et alors soumises à la même tension. Du point de vue du signal haute
fréquence, les capacités équivalentes de ces deux diodes sont en série. L’intérêt de ce montage
est la réduction du bruit de phase du VCO (tension HF aux bornes des varicaps plus faible,
pas de redressement du signal HF par mise en conduction des diodes qui engendrerait une
distorsion). Pour diminuer encore le bruit de phase, on rencontre également des VCO
comportant plusieurs branches « anti-série » en parallèle : cela permet d’utiliser des diodes
varicaps de capacités plus faibles qui génèrent un bruit électronique moindre.
Le bruit de phase est également d’autant plus réduit que le coefficient de qualité du circuit
résonnant est élevé. Il faut donc choisir R suffisamment grande pour limiter l’amortissement
du circuit résonnant (on remplace même parfois R par une inductance de choc). Cependant, il
ne faut pas perdre de vue que cette résistance (ou inductance), associée aux capacités des
diodes varicaps, effectue un filtrage passe-bas de la tension de commande du modulant (de
constante de temps 4RCd).
Il faut noter également que la relation entre la tension d’entrée du VCO et la fréquence est
fortement non linéaire. La figure suivante illustre un exemple de VCO permettant de couvrir
la plage 88-108 MHz pour une tension de commande comprise entre 0 et 12V.
Fréquence d'oscillation en fonction de la tension
inverse
1,100000E+08
1,050000E+08
1,000000E+08
2 diodes
9,500000E+07
9,000000E+07
8,500000E+07
12
5
10
,
9
5
7,
6
5
4,
3
5
1,
0
8,000000E+07
Figure 12 - Non linéarité du VCO
Dans les émetteurs de haute qualité, on améliore la linéarité de cette caractéristique en
effectuant une pré-distorsion du signal modulant. Cette pré-distorsion est réalisée au moyen
d’un conformateur à diodes inséré dans le chemin du modulant qui compense la
caractéristique du VCO (approchée par des segments de droite).
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Stabilisation de la fréquence porteuse :
Afin d’éviter une dérive sur les canaux voisins, un émetteur doit assurer une bonne stabilité
de sa fréquence porteuse. Ceci est d’autant plus important que le canal d’émission est étroit.
Deux types de solutions sont généralement rencontrées :
-
-
Utilisation d’un VCXO (cf 3.1.2.) : modification de la fréquence d’oscillation
d’un oscillateur à quartz par ajout d’une ou plusieurs varicaps (méthode
économique => applications grand public).
Utilisation d’une boucle à verrouillage de phase (plus fiable, car moins de
réglages) pour stabiliser un VCO tel que celui de la Figure 9. En effet, la sortie
d’un tel oscillateur est sujette à des dérives en fonction de la température, des
tensions d’alimentation, du vieillissement, etc. L’introduction d’un diviseur
programmable dans la chaîne de retour permet de changer de canal d’émission.
m(t)
Comparateur
de phase
Filtre de
boucle
∑
V.C.O
s(t)
f0
/N
Figure 13 - Stabilisation de fréquence porteuse par PLL
m(t)
ϕe = 0
u
T(p)
KD
2πK 0
p
ϕs
/N
Figure 14 - Analyse du fonctionnement de la boucle
La fonction de transfert liant la phase du signal de sortie au signal modulant est donnée par :
φs(p)
M(p)
2π.K 0
=
p+
2π
.K .K .T(p)
N 0 D
La fréquence de sortie vaut : fs = Nf0 + δf avec :
21
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∆f(p)
M(p)
Pour T(p) =
1
1 + τp
, on a :
∆f(p)
M(p)
=
K0
=
1+
2π
N
.K 0.K D.
T(p)
p
K 0.p.(1 + τp)
2π
N
.K 0.K D + p + τ.p
2
En l’absence de signal m(t), la fréquence de sortie de la boucle vaut N.f0 lorsque la boucle
est accrochée.
La fonction de transfert ci-dessus décrit un comportement de type passe-haut. Si l’on
applique un signal m(t) lentement variable, le module de la fonction de transfert tend vers 0,
ce qui traduit le rejet d’une perturbation par la boucle. Dans le cas d’un signal modulant
variant suffisamment rapidement, on a δf(t) =K 0.m(t) . En effet, les performances
dynamiques de la boucle ne lui permettent pas de réagir de manière instantanée, ce qui rend
possible la modulation de la fréquence de sortie par m(t).
Cette configuration est donc adaptée au cas d’un signal modulant ne comportant pas de
fréquences basses. Elle compte parmi les solutions les plus répandues, car elle offre une
grande liberté de choix des paramètres (fréquence centrale et excursion), tout en assurant la
stabilité de la fréquence centrale.
Voir exemple de circuit page suivante [7].
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23
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3.1.2. VCXO : VCO à quartz
Vcc
Lc
Entrée signal à émettre
R3
C3 Lc
T
R5
R4
C5
R1
Q
R2
C1
signal
modulé
Dc
C4
C2
R
Figure 15 - Ocillateur à quartz contrôlé en tension [8]
Pour le calcul de cet oscillateur, se référer au sujet d’électronique de l’agrégation GE externe
de 1999.
Rôle des principaux éléments :
Lc
C4
Inductances de choc : bloquent le signal HF
Condensateur de découplage : mise à la masse du collecteur en alternatif
(permet d’obtenir un montage collecteur commun)
Polarisation du transistor
Diviseur capacitif permettant la réaction du signal
Complète le circuit résonnant
Varicap : permet de décaler la pulsation de résonance série du quartz
Polarisation de la diode varicap
Condensateur de liaison pour le modulant. Permet de superposer le
modulant à la tension de polarisation de la varicap.
R1 et R2
C1 et C2
Q
Dc
R3 et R4
C3
La fréquence d’oscillation de cet oscillateur est donnée par la relation suivante :
f os =
1
2π LC 0
(C d
+ C1 )C 0
1
+1 ≈
C p (C d + C1 ) + C1C d
2π LC 0
Avec pour schéma équivalent du quartz :
Co
L
Cp
A titre d’illustration, les valeurs typiques de ces paramètres pour quelques quartz sont :
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Quartz à 10 MHz
(mode fondamental)
Quartz à 50 Mhz
(mode overtone :
harmonique 3)
Quartz à 100 Mhz
(mode overtone :
harmonique 5)
Quartz à 155 MHz
(mode fondamental)
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Co=0,02 pF
Cp=3,6 pF
L=12,665 mH
Co=0,0026 pF
Cp=4,212 pF
L=3,897 mH
Co=0,0005 pF
Cp=2,25 pF
L=5,066 mH
Co=0,0005 pF
Cp=1,5 pF
L=2,108 mH
Tableau 2 - Source [9]
Etant donnés les ordres de grandeur des différentes valeurs intervenant dans la formule de
la fréquence d’oscillation, les indices de modulation réalisables sont très faibles. Avec le
quartz de 10 MHz ci-dessus et une capacité C1 de 100 pF, la fréquence d’oscillation passe de
10002,94 kHz pour Cd = 45 pF à 10012 kHz pour Cd = 5 pF.
Pour obtenir des indices de modulation plus importants, on a recours à la solution suivante :
Figure 16 - [8]
La multiplication de la fréquence augmente l’indice de modulation (cf. modulateur
d’Armstrong).
3.2. Méthode indirecte : modulateur d’Armstrong
s(t) = A0 cos(2πf0t + ϕ(t))
s(t) = A0 cos(2πf0t). cos ϕ(t) − A0 sin(2πf0t). sin ϕ(t)
Dans le cas d’une MF à bande étroite :
cos ϕ(t) ≈ 1 et sin ϕ(t) ≈ ϕ(t) .
s(t) ≈ A 0 cos ω0 t − A 0ϕ(t) sin ω0 t
A partir de l’expression analytique de s(t), la construction du schéma synoptique de la Figure
17 ne pose aucune difficulté.
Si le signal modulant passe par un intégrateur, on dispose d’un modulateur de fréquence à
faible indice :
s(t) ≈ A0 cos ω0t − 2πk f A0. sin ω0t.∫ m(t)dt
25
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Intégrateur
Signal
modulant m(t)
ϕ(t)
2πkf ∫ dt
+
− A0 sin( ω0 t )
+
+
Signal
modulé MF s(t)
π
2
A0 cos( ω0 t)
Modulateur à faible indice
Figure 17 – Réalisation d’un modulateur de phase à faible indice
Ce dispositif est limité aux faibles indices de modulation. Pour augmenter l’indice β , on
procède à une multiplication de fréquence dont le principe est donné Figure 18. On applique
le signal de fréquence porteuse f1 obtenu en sortie du modulateur à faible indice à l’entrée
d’un élément non linéaire. Un filtre passe-bande centré autour de n.f1 nous permet de
récupérer un signal de fréquence centrale n.f1 avec cette fois-ci une indice de modulation
β2 = n.β1 . Illustrons ceci avec le cas simple d’un signal modulant sinusoïdal et d’un élément
non linéaire réalisant une multiplication de fréquence par 2 (élévation du signal au carré) :
Le signal appliqué en entrée du module quadratique a pour expression :
s1(t) = A1 cos(ω1t + β1 sin ωm t)
En sortie, on a donc : s2(t) =
A12
2
[1 + cos(2ω1t + 2β1 sin ωm t)]
Par filtrage de la composante continue, on récupère une onde modulée MF dont la porteuse et
l’indice de modulation ont été multipliés par 2.
Lorsque l’on réalise une multiplication de fréquence par n, on cherche à obtenir β2 = n.β1 .
Mais cette multiplication fournit une fréquence centrale n.f1 qui n’a généralement pas la
valeur désirée : l’indice de modulation et la fréquence centrale sont deux grandeurs
indépendantes. Afin d’obtenir la fréquence centrale f0 souhaitée, on réalise une transposition
de fréquence à l’aide d’un mélangeur.
26
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Multiplicateur de
fréquence par n
Signal
modulant m(t)
Modulateur
à faible indice
s1(t)
N.L
Translation en fréquence
s2(t)
s3(t)
f0 = f2 ± nf1
n.f1
β1
f1
s(t)
s4(t)
β2 = nβ1
Signal
modulé MF
β = nβ1
f2
Figure 18 - Modulateur de fréquence réalisé selon la méthode indirecte (modulateur d’Armstrong)
Cette méthode permet d’obtenir à la fois des indices de modulation élevés et une grande
stabilité de la porteuse. La principale difficulté se situe dans la réalisation du multiplicateur de
fréquence.
Note : la multiplication de fréquence peut également être réalisée au moyen d’une PLL
possédant un diviseur dans la boucle de retour. Le signal d’entrée de la PLL est alors le signal
NBFM.
IV – DEMODULATEURS ANGULAIRES
4.1. Discriminateur à quadrature (ou discriminateur à coïncidence) [8, 10]
Le discriminateur à quadrature constitue la solution la plus répandue en démodulation de
fréquence. Un tel dispositif peut être réalisé à moindre coût sous forme intégrée. Il comporte
un circuit permettant de déphaser le signal modulé FM d’une quantité proportionnelle à sa
fréquence instantanée et utilise un détecteur de phase (multiplicateur) permettant de convertir
la variation de phase en une variation d’amplitude et de retrouver ainsi le signal modulant.
Signal modulé s(t)
Réseau déphaseur
( π2 à f0)
Signal démodulé
sd(t)
vφ( t)
Figure 19 - Principe de la démodulation par discriminateur FM à quadrature
Le signal modulé en fréquence a pour expression :
s(t) = A0 cos(ω0t + β sin ωm t)
En sortie du réseau déphaseur, la phase est décalée d’une quantité ϕ(fi) :
vφ(t) = A0 cos(ω0t + β sin ωm t + ϕ(fi))
En sortie du mélangeur, on récupère :
27
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s(t).vφ(t) =
A02
2
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.[cos(2ω0t + 2β sin ωm t + ϕ(fi)) + cos ϕ(fi)]
On s’arrange pour avoir un réseau déphaseur de caractéristique : ϕ(f) =
Après filtrage passe-bas, on récupère : sd(t) =
A02
π
2
− α(f − f0)
A20
π
cos[ − α(fi − f0)] =
sin[α.(fi − f0)]
2
2
2
La fréquence instantanée fi est égale à : f0 + k f m(t)
A02
sin[αk f m(t) ]
On a donc : sd(t) =
2
Le réseau déphaseur est dimensionné de telle sorte que la variation de phase autour de
π
2
soit
A02
.α.k f .m(t)
faible et on peut alors approcher le sinus à son argument : sd(t) ≈
2
On récupère bien ainsi un signal proportionnel au modulant.
Il ne nous reste plus qu’à montrer comment obtenir un déphaseur possédant une
π
caractéristique ϕ(f) =
− α(f − f0) .
2
Le réseau déphaseur est généralement un circuit RLC semblable à celui de la Figure 20.
Figure 20 - Réalisation du discriminateur à quadrature
La fonction de transfert du déphaseur peut s’écrire :
Vs(ω)
Ve(ω)
jC0ω
=
jCω +
1
R
+
1
jLω
=
+ jωC0
jRC0ω
1 ⎞
⎛
⎟
1 + jR⎜ (C + C0)ω −
⎜
Lω ⎟
⎝
⎠
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1
⎧
⎪ ω0 =
L(C + C0)
⎪
avec : ⎨
R
⎪
⎪ Q = Lω = R(C + C0)ω
⎩
0
On a donc :
Vs(ω)
Ve(ω)
=
jRC0ω
ω0 ⎞
⎛ ω
⎟
−
1 + jQ.⎜
⎜ ω0
ω ⎟
⎝
⎠
Soit entre Ve et Vs un déphasage : ϕ =
π
ω0 ⎞ ⎞
⎛ ⎛ ω
⎟⎟
− arctan⎜ Q.⎜
−
⎜ ⎜ ω0
ω ⎟⎟
2
⎠⎠
⎝ ⎝
ω étant proche de ω0 , on peut écrire :
(ω − ω0 )
ω2 − ω02
(ω − ω0)(ω + ω0)
(ω − ω0)(2ω)
−
=
=
≈
=2
ωω0
ω0ω
ω0
ω0
ω
ωω0
ω
ω0
ϕ≈
π
⎛ ⎛ ω − ω0
− arctan⎜ 2Q.⎜
⎜ ⎜ ω0
2
⎝ ⎝
⎛ ω − ω0
⎞⎞ π
⎟⎟ ≈
− 2Q.⎜
⎜ ω0
⎟⎟
2
⎝
⎠⎠
⎞
⎟ avec ω − ω = 2πk m(t)
0
f
⎟
⎠
Il faut dimensionner le coefficient de qualité pour vérifier cette approximation.
Figure 21 - Déphasage en fonction de
ω
pour différentes valeurs de Q (1, 2, 5, 10, 20, 40 et 100 )
ω0
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4.2. Démodulateur à PLL
Comparateur
de phase
fe
Signal démodulé
Filtre de
boucle
fs
O.C.T
Figure 22 - Principe du démodulateur à PLL
La fréquence centrale de l’OCT est égale à f0 , fréquence porteuse du signal modulé. Si
l’on applique en entrée de la boucle un signal modulé MF, la fréquence d’oscillation du VCO
varie à l’image de la fréquence instantanée du signal reçu, dans la mesure où les performances
dynamiques de la boucle le permettent.
Lorsque la boucle est verrouillée, on a , fe = fs , c’est-à-dire : f0 +K f .m(t) = f0 + K 0.Vd
Kf
Soit finalement : Vd =
.m(t) =
δf
K0
K0
Il est à noter que ce raisonnement s’applique à condition d’utiliser un VCO présentant une
caractéristique linéaire.
Vd
δf
ϕe
2π
+
p
-
Kd
T(p)
K0
2π
p
Figure 23 - Schéma bloc de l'asservissement
Dans le cas simple où l’on a pour le filtre de boucle : T(p) =
1
, la fonction de transfert
1 + τp
liant la tension d’entrée du VCO et la déviation de fréquence du signal reçu s’exprime par :
Vd(p)
δf(p)
=
1
K0
1
.
1+
p
K
+
τp2
avec K = 2π.K 0.K d
K
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Si f m est la fréquence maximale de m(t), on doit vérifier la relation : 2πfm < ωn (bande
passante de la boucle).
La plupart des récepteurs de télévision analogique par satellite sont aujourd’hui équipés
d’un démodulateur à PLL (succédant dans ce domaine au discriminateur à quadrature). La
démodulation s’effectue au voisinage de 480 MHz.
4.3. Discriminateur de fréquence
Le principe de tout démodulateur de fréquence consiste à fournir un signal dont
l’amplitude est une fonction linéaire de la fréquence instantanée du signal d’entrée.
A partir de ce constat, on peut avoir l’idée de proposer un dispositif présentant une
caractéristique de transfert fréquence/tension linéaire.
Le signal modulé MF a pour expression :
s(t) = A0 cos(ω0t + 2πK f ∫ m(t)dt)
ds(t)
En supposant A0 constant :
= −A0(ω0 + 2πK f m(t)) sin(ω0t + 2πK f ∫ m(t)dt)
dt
On obtient après dérivation un signal qui est encore modulé en fréquence, mais dont
l’enveloppe est proportionnelle au modulant. Pour récupérer m(t), il faut extraire l’enveloppe
ds(t)
.
du signal
dt
Un discriminateur comporte donc un filtre remplissant la fonction de dérivation, suivi d’un
simple détecteur d’enveloppe à diode.
Ce type de démodulateur étant sensible aux variations d’amplitude du signal MF, le recours à
un limiteur écrêtant le signal s’impose en amont.
Ecrêteur
signal
modulé MF
Filtre
s
|H(f)|
e
f0
f
Détecteur
d'enveloppe
signal démodulé
Figure 24 - Principe du dicriminateur de fréquence
Pour réaliser le filtre dérivateur, on utilise en pratique la partie linéaire de la fonction de
transfert d’un circuit résonant.
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Figure 25 - Exemple de circuit assurant la fonction "dérivation ", suivi d’un détecteur d’enveloppe
Le circuit de la Figure 25 présente une plage de linéarité restreinte. Celle-ci peut cependant
être améliorée en associant deux circuits résonnants « tête-bêche » comme le représente la
Figure 26.
Figure 26 - Exemple de réalisation d'un discriminateur
Le discriminateur de Foster-Seeley simplifie les réglages en ne faisant intervenir qu’un
circuit résonnant, soit une seule fréquence d’accord.
Figure 27 - Discriminateur de Foster-Seeley
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Ce type de circuit a été longtemps utilisé en réception FM, mais tombe aujourd’hui en
désuétude (intégration impossible, réglages fastidieux…).
V – REMARQUES ET CONCLUSION
Robustesse du signal modulé en fréquence vis à vis des non linéarités
Une non linéarité est caractérisée par une relation entrée-sortie du type :
Vs = K1Ve + K 2 Ve2 + K 3 Ve3 + ...
En se limitant à l’ordre 3, on peut mettre en évidence l’effet d’une non linéarité sur une onde
modulée en fréquence.
Ve = A0 cos(ω0t + ϕ(t))
On obtient alors :
Vs =
K 2 A 02
2
⎛
K 3 A 30 K 3 A 30 ⎞⎟
⎜
+ K 1A 0 +
+
cos(ω0 t + ϕ( t ))
⎜
2
4 ⎟
⎝
⎠
⎛ K A2 ⎞
+ ⎜ 2 0 ⎟ cos(2ω0 t + 2ϕ( t ))
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ K 3A 3 ⎞
0⎟
+⎜
cos(3ω0 t + 3ϕ( t ))
⎜ 4 ⎟
⎝
⎠
On remarque que la non linéarité n’introduit pas de distorsion sur la phase. Elle fait
seulement apparaître de nouvelles ondes modulées en fréquence aux fréquences multiples de
la fréquence porteuse avec des indices de modulations croissants (c’est d’ailleurs un principe
utilisé pour convertir une modulation MF à bande étroite en une MF à bande large). La seule
contrainte pour éviter toute distorsion est de garantir que les spectres de ces ondes modulées
en fréquence ne se chevauchent pas.
La quasi totalité des démodulateurs qui ont été présentés nécessitent une amplitude
constante du signal modulé en fréquence. En effet, si l’enveloppe du signal subit des
fluctuations (bruit, obstacles,…) cette variation d’amplitude sera répercutée sur l’amplitude
du signal de sortie. C’est la raison pour laquelle ces démodulateurs sont précédés par un
limiteur dont le rôle est d’écrêter le signal. Cette opération permet de supprimer les
fluctuations d’enveloppe sans dégrader l’information contenue dans la phase. Ce limiteur est
généralement réalisé par un amplificateur saturé (ou deux diodes « tête-bêche »).
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Conclusion
Lors de sa découverte, la modulation de fréquence a fait l’objet de nombreux travaux de
recherche (notamment en mathématiques) avant d’arriver à la conclusion que son occupation
spectrale pour un même modulant était plus importante qu’en modulation d’amplitude et d’en
déduire qu’il fallait la ranger aux oubliettes. Il a fallu attendre les travaux d’Armstrong (1936)
pour mettre en évidence les avantages de la modulation de fréquence, notamment en termes
de comportement vis à vis des perturbations. Au prix d’une largeur de bande plus importante
qu’en modulation d’amplitude, la modulation de fréquence améliore la qualité des
transmissions en présence de bruit et rend possible la transmission d’un signal musical de
qualité. De plus, en modulation de fréquence, toute l’énergie émise contient de l’information
et sa robustesse aux non linéarités rend possible l’utilisation d’amplificateurs en classe C
possédant un bon rendement. Ces atouts en font une modulation particulièrement adaptée aux
moyens de communication portables.
Références bibliographiques :
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
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