Mod angulaires

ENS Cachan – Antenne de Bretagne Support de cours 2003-2004 Marie Frénéa
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Antenne de Bretagne
Modulations angulaires
Ce document rassemble des notes de cours destinées aux élèves de préparation à l’Agrégation
de Génie Electrique. Toutes les remarques qui pourraient contribuer à son amélioration sont
les bienvenues. Certaines informations sont tirées d’ouvrages dont les références sont
données en fin de document. Si certaines d’entre elles venaient à manquer, je m’en excuse par
avance auprès de leurs auteurs et les invite à m’en faire part. Mon adresse est la suivante :
[email protected]

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MODULATIONS ANGULAIRES
I - Définitions
On désigne par modulation angulaire tout procédé permettant la modulation du terme de
phase instantanée )t(
i
ϕd’une porteuse d’expression :
[
]
)t(cosA)t(p i0
ϕ
=
. On distingue deux
types de modulations angulaires, qualifiées de modulation de fréquence et modulation de
phase.
11. Expression du signal modulé
• Modulation de fréquence :
Ce procédé consiste à faire varier linéairement la fréquence d’une porteuse p(t) en fonction
d’un signal modulant m(t).
Si la porteuse non modulée a pour expression : )tf2cos(A)t(p 00
π
=
, la fréquence instantanée
du signal modulé suit la relation linéaire:
)t(m.Kff f0i
+
=
où f
Kdésigne la sensibilité du modulateur, exprimée en Hz/V.
L’amplitude du signal modulé demeure constante, mais sa phase instantanée est décrite par :
∫
π+π=ϕ dt)t(mK2tf2)t( f0i
Le signal modulé peut donc s’écrire :
∫
π+π= )dt)t(mK2tf2cos(A)t(s f00
• Modulation de phase :
En modulation de phase, la phase instantanée du signal modulé varie linéairement en fonction
du signal informatif m(t) :
)t(m.Ktf2)t( p0i
+
π
=
ϕ
ce qui revient à écrire :
dt
)t(dm
2
K
ff p
0i
π
+=
L’expression analytique du signal modulé apparaît donc comme :
))t(mKtf2cos(A)t(s p00
+
π
=

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Figure 1 - Modulations MF et Mφ - cas d'un modulant sinusoïdal
Figure 2 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant triangulaire

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Figure 3 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant carré
II – Spectre d’une modulation angulaire (consulter [1], [2])
Contrairement aux modulations d’amplitude, les modulations angulaires ne possèdent pas
la propriété de linéarité permettant d’appliquer le principe de superposition (la fonction cos
étant non-linéaire).
Ainsi, un signal modulé en MF ou en Mφ par la somme de deux signaux m1(t) et m2(t) n’a
pas de lien direct avec les signaux s1(t) et s2(t) modulés respectivement par m1(t) et m2(t).
Dans le cas d’un signal m(t) périodique, par exemple, on ne peut déduire le spectre du signal
modulé à partir de la décomposition de m(t) en somme de fonctions harmoniques.
A priori, l’étude du cas particulier d’un signal m(t) sinusoïdal peut donc sembler sans
grand intérêt. Elle présente cependant deux avantages :
- L’expression de la transformée de Fourier d’un signal modulé par m(t) sinusoïdal
est connue
- Certains résultats obtenus à partir de ce cas simple peuvent être étendus à tous les
signaux.
2.1. Cas d’un modulant sinusoïdal: )tf2cos(A)t(m mm
π
=
• Modulation de fréquence
La fréquence instantanée s’écrit :
)tf2cos(A.Kff mmf0i
π
+
=
Elle varie de manière sinusoïdale dans l’intervalle ]ff,ff[ 00
∆
+
∆
−
.

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La quantité m
A.Kff =∆ désigne l’excursion de fréquence. Elle est proportionnelle à
l’amplitude maximale du modulant, mais elle est indépendante de sa fréquence.
La phase instantanée a pour expression :
tf2sin
f
AK
tf2)t( m
m
mf
0i π+π=ϕ
Le signal modulé en fréquence par une sinusoïde peut donc s’écrire :
)tf2sin
f
AK
tf2cos(A)t(s m
m
mf
00 π+π=
• Modulation de phase
La phase instantanée a pour expression :
tf2cosAKtf2)t( mmp0i
π
+
π
=ϕ
Le signal modulé en phase par une sinusoïde peut donc s’écrire :
)tf2cosAKtf2cos(A)t(s mmp00
π
+
π
=
On pose :
φ
∆=
mpAK .
La quantité φ∆ désigne à présent l’excursion de phase, c’est-à-dire la variation maximale de
phase instantanée lorsque m(t) varie.
Dans les deux cas (MF ou Mφ), le signal modulé peut encore s’écrire sous la forme suivante :
)tf2sintf2cos(A)t(s m00
π
β
+
π
=
β désigne ici l’indice de modulation, ayant pour expression :
•
m
m
mf
f
f
f
AK ∆
==β dans le cas d’une modulation de fréquence
• φ∆==β mpAK dans le cas d’une modulation de phase
L’indice de modulation contribue de manière importante à caractériser une modulation
angulaire, notamment en termes de propriétés spectrales et d’immunité aux perturbations. Les
modulations de fréquence et de phase auront donc des propriétés différentes en fonction de la
fréquence m
f du modulant. En effet, l’indice de modulation de fréquence dépend de m f, ce
qui n’est pas le cas de l’indice de modulation de phase.
Calculons la transformée de Fourier du signal modulé s(t), d’expression :