MODULATION

Modulation page 1/3
MODULATION
VRAI FAUX
Le coefficient de multiplication k d’un multiplieur est constant et sans
dimension
Un multiplieur est un composant passif (non alimenté).
Le signal modulant est toujours un signal analogique .
La modulation permet de transmettre des signaux acoustiques à grande
distance.
Un signal modulé en fréquence est en général moins perturbé qu’un signal
modulé en amplitude dans sa traversée de l’atmosphère.
Dans un signal modulé en amplitude, la fréquence de la porteuse est plus
grande que celle du modulant.
Le rapport des fréquences porteuse/modulante est de l’ordre de 10.
La multiplication de deux signaux est une opération linéaire.
La taille des antennes émettrices de signaux hertziens dépend de la fréquence
du signal émis.
Les fréquences des porteuses utilisées en téléphonie mobile sont de l’ordre de
20 kHz.
Une démodulation synchrone consiste à additionner le signal modulé au signal
modulant.
Une démodulation synchrone consiste à multiplier le signal modulé par le
signal modulant.
On peut démoduler tout signal modulé en amplitude par une détection crête.
Dans une détection synchrone de signaux radiophoniques, la fréquence de
coupure du filtre placé après le multiplieur est de l’ordre de 100 Hz.
Dans une détection synchrone, le filtre placé après le multiplieur est un filtre
passe-bande.
La méthode de la détection synchrone n’est utilisée qu’en télécommunication.
I-Pour transmettre une onde sonore (un signal informatif supposé sinusoïdal de pulsation ω),
on module l’amplitude d’une porteuse de pulsation Ω très supérieure à ω.
1) Le signal modulé obtenu est mis sous la forme usuelle s(t) = s
0
[1 + mcos(ωt)]cos(Ωt) dans
laquelle m est un réel positif, appelé taux de modulation. L’image électrique de ce signal pourra être
obtenue sous forme d’une tension (on écrira alors s(t) = v(t) grandeur exprimée en volt) ou sous
forme d’une intensité (on écrira alors s(t) = i(t) grandeur exprimée en ampère).
FIG. 1 - Signaux obtenus avec différents taux de modulation

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a) Soient s
MAX
et s
MIN
les valeurs maximale et minimale de l’amplitude de s(t). En
faisant apparaître clairement s
MAX
et s
MIN
sur l’une ou l’autre des figures précédentes (qui sera
reproduite sur la copie), exprimer le taux de modulation m en fonction de s
MAX
et s
MIN
.
b) Calculer les taux de modulation correspondant aux deux graphes proposés.
c) Représenter le signal modulé dans le cas m = 1
Fabrication d’un signal modulé en amplitude
Pour réaliser l’émission, nous allons utiliser un courant électrique modulé en amplitude,
d’intensité i(t) = I
0
[1 + mcos(ωt)]cos(Ωt), où Ω >> ω.
L’intensité électrique délivrée par la source de
courant circule dans un dipôle oscillant, l’émetteur, qui
réalise l’émission. L’ensemble est représenté sur la figure 2.
Nous ne nous intéresserons pas à l’émetteur, mais
seulement à la source de courant, que nous allons tenter de
fabriquer.
2) Représenter, en le justifiant, le spectre fréquentiel de l’intensité délivrée par la source (on
notera f=
ω
π
2
et F=
Ω
2
π
).
3) En déduire que la source de courant peut être théoriquement fabriquée à l’aide de trois
sources de courant sinusoïdales idéales, associées de façon très simple. Préciser :
 les expressions complètes (amplitude et pulsation) des intensités i
1
(t), i
2
(t) et i
3
(t)
délivrées par chacune des sources ;
 le montage réel de la source équivalente.
II-On cherche à transmettre, à l’aide d’un signal porteur v
P
(t) = V
0
.cos(Ω
0
t), une information
dont l’image électrique est s(t). Le signal émis est donc v(t) = V
0
[1 + s(t)].cos(Ω
0
t).
1) s(t) est le signal périodique de fréquence 1 kHz
représenté ci-contre. Sa décomposition en série de Fourier s’écrit
s t At t t( ) sin( ) sin( ) sin( )...= − +
F
H
G
I
K
J
2 1
221 33 πω ω ω .
a) Représenter sa décomposition spectrale.
b) On souhaite transmettre les dix premiers
harmoniques de s(t). Quelle doit être la bande passante des circuits de transmission.
2) Pour réduire la bande passante occupée par le signal et la puissance nécessaire à
l’émission, on supprime une bande latérale du signal à transmettre. Dans le cas où s(t) = m.cos(ωt),
le signal modulé peut s’écrire v t V t
mV
t( ) cos( ) cos ( ) .= + +
0 0 00
2
Ω Ω ω
b
g
a) On constate que l’on peut écrire v t V t t t( ) ( ).cos ( )= +Ω
0
ϕ
b
g
. Exprimer tan ϕ(t) et
V(t) en fonction de m, V
0
. Comment peut-on interpréter le signal v(t) écrit sous cette forme ?
b) Quel serait l’intérêt de procéder avec une valeur de m telle que
m
<<
1
.
III-On admettra ici que les ALI sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1-a) Indiquer le montage réalisant l’intégration d’un
signal à partir d’un ALI, d’un résistor de résistance R et d’un
condensateur de capacité C.
Cet intégrateur étant représenté par le schéma de la
figure 1, représenter sur votre schéma les grandeurs d’entrée x et de sortie y et donner, en fonction
de R et C, la relation qui les lie.
b) Dans le réseau (D) de la figure 6 ci-dessous, utilisé en régime sinusoïdal
permanent, R’ et ρ désignent des résistances et C’ une capacité. Déterminer le gain en tension du
circuit. Tracer l’allure de son diagramme de Bode (amplitude du gain, en dB, et phase en fonction
du logarithme de la fréquence). Déterminer la fonction de ce réseau.
FIG. 2 - Schéma de l'émetteur
t
s(t)
A
–A
INTEGRATEUR
(
)
y t
(
)
x t
fig 1

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c) Dans le réseau (S de la figure 6 ci-dessus, R
1
, R
2
, R
3
et R
4
désignent des résistances.
À quelle condition (S) fonctionne-t-il en soustracteur ? Quelle est alors l’expression de v
S
en
fonction de v et v
2
?
2) On associe ces réseaux dans un modulateur d’Armstrong selon le schéma de la figure 7,
dans lequel (S) est utilisé en soustracteur et où un multiplieur fournit en sortie une tension k y×v
1
proportionnelle aux tensions y et v
1
imposées à l’entrée.
On impose à l’entrée de l’ensemble les tensions :
(
)
(
)
0
cos
x t x t
= ω
et
(
)
(
)
1 1 1
cos
v t V t
= ω
De plus, on s’assure que
(
)
0 0
y t
= =
et que (D) est réglé pour un retard de phase de v
2
par
rapport à v
1
égal à π/2.
a) Montrer que la tension de sortie de l’ensemble s’écrit :
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
S 0 1
1 sin sin
v t U t t t
= + α ω ω + ϕ
où on exprimera :
• α en fonction de k, x
0
, R, C et ω ;
•
(
)
(
)
tan
t
ϕ en fonction de k, x
0
, R, C, ω et du temps t ;
• U
0
en fonction de R
1
, R
3
et V
1
.
b) On suppose que le coefficient α est très petit devant 1. Donner une expression
approchée de la tension de sortie de l’ensemble. Montrer qu’on peut la mettre sous la forme d’une
tension modulée en fréquence :
(
)
(
)
(
)
S 0 1
sin sin
v t U t m t
≈ ω + ω
(
)
0
sin
U t
= ψ
de pulsation porteuse (élevée) ω1, de taux de modulation m, de pulsation modulante ω et de phase
instantanée ψ(t). Identifier la valeur de m. Vérifier l’homogénéité de l’expression de m.
c) On convient d’appeler pulsation instantanée du signal
(
)
S
v t
la grandeur
( )
(
)
d t
t
dt
ψ
Ω = . Établir l’expression liant
(
)
t
Ω, ω1, k, RC et
(
)
x t
. Justifier alors le nom de
modulation de fréquence effectivement donné à ce type de modulation.
fig 2
v
2
+
–
ρ
R
’
ρ
v
1
réseau (D )
C ’
+
–
R
2
R
4
v
2
v
S
réseau (S )
v
R
1
R
3
(
)
y t
(
)
S
v t
(
)
2
v t
fig 3
–
Modulateur d’Amstrong
INTEGRATEUR
( R , C )
MULTIPLIEUR
(k)
R ESEAU (D)
(S) SOUSTRACTEUR
(
)
1
v t
(
)
v t
(
)
x t