Année Scolaire 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES MPSI3
DS N˚1
Samedi 19/09/2020 (2h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir
par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention
particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés ou soulignés à la règle.
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1
Partie I : Résolutions
Pour chaque question, on précisera dans la conclusion l’ensemble des solutions.
Q1) Résoudre dans Rl’inéquation px+1>x−2.
Q2) Soit xun réel.
a) Rappeler la formule d’addition du cosinus et du sinus.
b) Exprimer cos(2x) en fonction de cos(x).
c) En déduire la résolution de l’inéquation cos(2x)+3cos(x)>1.
Partie II : Quantificateurs
Q3) a) Écrire dans le langage mathématique avec des quantificateurs, les propositions suivantes :
i) La fonction f: I →Radmet un minimum sur l’intervalle I.
ii) La fonction f: I →Rn’a pas de minimum sur l’intervalle I.
b)
La fonction inverse (
x7→ 1
x
) sur l’intervalle
]
0;
+∞[
admet-elle un minimum? Prouvez-le en
vous ramenant à la question précédente.
Q4)
Traduire dans le langage courant les assertions suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses, et le
prouver (dans le cas d’une proposition fausse, on écrira sa négation pour démontrer celle-ci).
a) ∀M∈R,∃x∈R+,px>M.
b) ∃T∈R∗,∀x∈R, (x+T)2=x2.
c) ∀x∈R,∀y∈R,x6y=⇒ sin(x)6sin(y).
1
Partie III : Raisonnements
Q5) Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E, démontrer l’équivalence :
A∩B=A∩C⇐⇒ A∩B=A∩C
où A désigne le complémentaire de A dans E (idem pour B et C).
Q6)
Par un raisonnement d’analyse-synthèse, montrer que toute fonction
f:R→R
dérivable, est la
somme d’une fonction linéaire (i.e. de la forme
x7→ ax
avec
a
une constante réelle) et d’une
fonction dont la dérivée en 0 est nulle.
Q7)
Soit
u
la suite définie par
u0=
1 et pour tout naturel
n
,
un+1=
1
+u0+···+un
. À l’aide d’une
récurrence forte, montrer que ∀n∈N,un=2n.
Problème 2
On considère la fonction f:R→Rdéfinie par f(x)=
sin(x)
xsi x6=0
1 si x=0.
Le but du problème est l’étude de cette fonction f .
Q1) Préliminaires
a) Soit x∈R, et n∈Z, démontrer que cos(x+nπ)=(−1)ncos(x).
b) Soit x∈R, exprimer cos(x+π
2) et sin(x+π
2) en fonction de cos(x) et sin(x).
Q2) a) Étudier la parité de f.
b) Justifier la continuité et la dérivabilité de fsur R∗.
c) Pour xnon nul, calculer f0(x).
d) Montrer la continuité de fen 0.
e) Justifier que pour x∈R∗
+, on a ¯
¯f(x)¯
¯61
x. En déduire la limite de fen +∞.
Q3) a)
Montrer que pour tout
x∈R+
, on a
sin
(
x
)
6x
(on pourra poser
h
(
x
)
=x−sin
(
x
) et étudier les
variations de hsur R+).
b) Soit x∈R+, justifier que Zx
0sin(t)dt6Zx
0tdt. En déduire que cos(x)>1−x2
2.
c) Montrer que pour tout x∈R+, on a sin(x)>x−x3
6.
Q4) a) Déduire de la question précédente, un encadrement de f(x)−f(0)
xpour x>0, puis pour x<0.
b) Montrer que fest dérivable en 0 et préciser f0(0).
Q5) On pose g:x7→ xcos(x)−sin(x) et pour tout nentier naturel on pose In=[nπ;(n+1)π].
a) Dresser le tableau des variations de gsur l’intervalle Inen distinguant trois cas :
i) n=0.
ii) nimpair.
iii) npair non nul.
b)
Montrer que lorsque
n
est non nul, l’équation
g
(
x
)
=
0 possède une unique solution dans
In
,
on la notera xn(ne pas chercher à calculer xn).
2
c)
En déduire le tableau de variation de
f
sur l’intervalle
In
dans les trois cas cités précédemment.
Q6) Tracer l’allure du graphe de la fonction f. Préciser la tangente au point d’abscisse 0.
Q7) a) Montrer que ∀n∈N∗,f(xn)=(−1)nunavec un=cos(xn−nπ).
b)
Soit
n>
0, déterminer le signe
g
(
nπ+π
2
), en déduire que
xn6nπ+π
2
(distinguer
n
pair et
n
impair).
c)
Soit
n>
0, déterminer le signe
g
(
xn+π
), en déduire que
xn+π6xn+1
(distinguer
n
pair et
n
impair).
d) Soit n>0, comparer xn+1−(n+1)πet xn−nπ.
e) Montrer que la suite (un)n∈N∗est positive, décroissante et de limite nulle.
–FIN –
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3
100%
