Année Scolaire 2020 – 2021 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚1 Samedi 19/09/2020 (2h) Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés ou soulignés à la règle. La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. Problème 1 Partie I : Résolutions Pour chaque question, on précisera dans la conclusion l’ensemble des solutions. p Q1) Résoudre dans R l’inéquation x + 1 > x − 2. Q2) Soit x un réel. a) Rappeler la formule d’addition du cosinus et du sinus. b) Exprimer cos(2x) en fonction de cos(x). c) En déduire la résolution de l’inéquation cos(2x) + 3 cos(x) > 1. Partie II : Quantificateurs Q3) a) Écrire dans le langage mathématique avec des quantificateurs, les propositions suivantes : i) La fonction f : I → R admet un minimum sur l’intervalle I. ii) La fonction f : I → R n’a pas de minimum sur l’intervalle I. b) La fonction inverse (x 7→ x1 ) sur l’intervalle ]0 ; +∞[ admet-elle un minimum ? Prouvez-le en vous ramenant à la question précédente. Q4) Traduire dans le langage courant les assertions suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses, et le prouver (dans le cas d’une proposition fausse, on écrira sa négation pour démontrer celle-ci). p a) ∀M ∈ R, ∃x ∈ R+ , x > M. b) ∃T ∈ R∗ , ∀x ∈ R, (x + T)2 = x 2 . c) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x 6 y =⇒ sin(x) 6 sin(y). 1 Partie III : Raisonnements Q5) Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E, démontrer l’équivalence : A ∩ B = A ∩ C ⇐⇒ A ∩ B = A ∩ C où A désigne le complémentaire de A dans E (idem pour B et C). Q6) Par un raisonnement d’analyse-synthèse, montrer que toute fonction f : R → R dérivable, est la somme d’une fonction linéaire (i.e. de la forme x 7→ ax avec a une constante réelle) et d’une fonction dont la dérivée en 0 est nulle. Q7) Soit u la suite définie par u 0 = 1 et pour tout naturel n, u n+1 = 1 + u 0 + · · · + u n . À l’aide d’une récurrence forte, montrer que ∀n ∈ N, u n = 2n . Problème 2 On considère la fonction f : R → R définie par f (x) = sin(x) si x 6= 0 x . si x = 0 Le but du problème est l’étude de cette fonction f . 1 Q1) Préliminaires a) Soit x ∈ R, et n ∈ Z, démontrer que cos(x + nπ) = (−1)n cos(x). b) Soit x ∈ R, exprimer cos(x + π2 ) et sin(x + π2 ) en fonction de cos(x) et sin(x). Q2) a) Étudier la parité de f . b) Justifier la continuité et la dérivabilité de f sur R∗ . c) Pour x non nul, calculer f 0 (x). d) Montrer la continuité de f en 0. ¯ ¯ e) Justifier que pour x ∈ R∗+ , on a ¯ f (x)¯ 6 x1 . En déduire la limite de f en +∞. Q3) a) Montrer que pour tout x ∈ R+ , on a sin(x) 6 x (on pourra poser h(x) = x − sin(x) et étudier les variations de h sur R+ ). b) Soit x ∈ R+ , justifier que Z 0 x x Z sin(t ) dt 6 0 2 t dt . En déduire que cos(x) > 1 − x2 . 3 c) Montrer que pour tout x ∈ R , on a sin(x) > x − x6 . + Q4) a) Déduire de la question précédente, un encadrement de f (x)− f (0) x pour x > 0, puis pour x < 0. b) Montrer que f est dérivable en 0 et préciser f 0 (0). Q5) On pose g : x 7→ x cos(x) − sin(x) et pour tout n entier naturel on pose In = [nπ ; (n + 1)π]. a) Dresser le tableau des variations de g sur l’intervalle In en distinguant trois cas : i) n = 0. ii) n impair. iii) n pair non nul. b) Montrer que lorsque n est non nul, l’équation g (x) = 0 possède une unique solution dans In , on la notera x n (ne pas chercher à calculer x n ). 2 c) En déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle In dans les trois cas cités précédemment. Q6) Tracer l’allure du graphe de la fonction f . Préciser la tangente au point d’abscisse 0. Q7) a) Montrer que ∀n ∈ N∗ , f (x n ) = (−1)n u n avec u n = cos(x n − nπ). b) Soit n > 0, déterminer le signe g (nπ + π2 ), en déduire que x n 6 nπ + π2 (distinguer n pair et n impair). c) Soit n > 0, déterminer le signe g (x n + π), en déduire que x n + π 6 x n+1 (distinguer n pair et n impair). d) Soit n > 0, comparer x n+1 − (n + 1)π et x n − nπ. e) Montrer que la suite (u n )n∈N∗ est positive, décroissante et de limite nulle. – FIN – 3
