2- Cours (numérique) part 2

1
2.1 Introduction
Soit un espace de probabilité (, , P) associé
à une expérience aléatoire envisagée. Ce triplet
n’est en général pas formé d’éléments réels et
ne se prête donc pas à des calculs. Pour
remédier à cet inconvénient, on lui associé un
espace probabilisé dont tous les éléments sont
réels grâce à l’introduction de la notion de
variable aléatoire réelle.
2
2.2 Généralités sur les variables aléatoires
Soit (, , P) un espace de probabilité et  un
corps des nombres.
Définition:
X: 
  X()
telle que á chaque événement élémentaire fait
correspondre un nombre réel, est une variable aléatoire
si, pour tout nombre réel x, A={| X()x }  , c’est
à dire A est un événement.
On dit qu’une application
3
Remarques :
Afin de simplifier l’écriture, nous noterons
pour la suite {| X()x }={Xx}.
(Aucun risque de confusion n’est d’ailleurs
à craindre : X désigne une fonction et x
un réel !)
L’ensemble des valeurs prise par X, noté
X(), est appelé univers image.
4
Exemples:
1) On jette deux dés distincts et on
s’intéresse à la somme des points.
On note X cette variable aléatoire, elle est
définie par
X:
 
(1, 2)  1+ 2
avec
= {(1,1) , (1,2), …, (6,5), (6,6)}
tel que: (X x )={(1, 2)/ 1+ 2 x }  ,
 x .
L’ensemble des valeurs possibles prises par X est
X()={2, 3, . . . , 12}.
2) On observe deux bactéries et on
s’intéresse à la durée de vie T de la
bactérie qui disparaîtra la première.
L’ensemble
fondamental
(univers)
=[0,+[×[0,+ [. La variable aléatoire


T s’écrit alors
T: 
tel que:
x .
(1, 2)

inf{1, 2}
(Tx )={(1, 2)/ inf{1, 2} x }  , 
L’ensemble des valeurs possibles prises par T est T()
= [0,+[.
2.3 Propriétés:
1) Puisque A est un événement, il a une
probabilité bien définie, et par conséquent,
nous pouvons obtenir la probabilité que le
variable aléatoire prend des valeurs
inférieures à un x donné : P(A)=P(X≤x)
7
2) On peut aussi obtenir la
probabilité qu'une variable aléatoire
prend des valeurs dans un intervalle
P(a<X≤b)=P(X ≤b)P(X ≤a)
Puisque
(a<X≤b)={|a<X()b}={|X()b}{|
X()a}
est aussi un événement.
3) La loi de probabilité aussi appelée
distribution de probabilité et notée PX
d'une variable aléatoire X a pour but
de décrire quelles sont les valeurs
possibles prises par la variable X et
avec quelle probabilité ces différentes
valeurs sont prises. Elle est définie
comme suite :
9
Autrement dit,
est la mesure image de
par
Définition:
On appelle loi (de probabilité) de
X, la fonction:
PX :


A 
[0, 1]
P(X A)
Autrement dit PX est la mesure image de
P par X.
2.4 Fonction de répartition:
Une variable aléatoire est entièrement caractérisée
par sa distribution de probabilité PX ou de manière
équivalente par sa fonction de répartition notée F.
Définition : La fonction de répartition d’une
variable aléatoire réelle X est la fonction définie
par:
F: 
[0, 1]
x  P(X < x)
(Remarque: On peut aussi définir F par :F(x) = P(X  x),x )
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Propriétés:
1) 0≤ F(x) ≤ 1,  x  
3) F est monotone croissante si : xy  F(x)  F(y)
4) P(x < X  y)=F(y)F(x)
5) F est continue à droite en tout point x de  : c. à. d
Variables aléatoires discrètes
Définition: Soit  un univers et  une probabilité sur .
On appelle variable aléatoire discrète toute application
X de  dans une partie finie ou dénombrable de  :
X: 
  X()
avec X() fini (i.e. X() ={a1, ..., an}) ou dénombrable
(i.e. X() = {a1, ..., an, ...}).
Exemple: Si  est l’ensemble des
étudiants d’une classe, on peut à
chaque étudiant  associer le
nombre X() de ses frères et sœurs.
X est alors une fonction à valeur
dans un ensemble fini (finitude
imposée par la nature) : X est une
variable aléatoire discrète.
Loi de probabilité:
Définition:
Etant
donnée
une
variable aléatoire X telle que
X()={a1, ..., an}, on appelle loi de
probabilité
ou
distribution
de
probabilité de X une expression des
probabilités : pi=(X=ai), i=1,…,n.
Remarques:
1) Les probabilités pi trouvées vérifient alors :
2) Cette définition s’étend bien sûr au cas d’une variable
aléatoire à valeurs dans un ensemble infini dénombrable.
Dans la suite, on se limite au cas des variables aléatoires
discrètes à valeurs dans un ensemble fini. Les notions et
propriétés étudiées s’étendent bien sûr au cas des
variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble
dénombrable infini.
Exemple:
On lance deux pièces de monnaie. L’univers
 comprend 4 événements élémentaires
notés PP; PF; FP; FF, de probabilité
chacun 1/4. On note X la variable aléatoire
qui compte le nombre de piles obtenus. X
prend les valeurs 0; 1; 2,
(X=0)=1/4, (X=1)=1/2 et (X=2)=1/4
On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau :
X(w)=a
(X=a)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Total
1
Fonction de répartition (Cas discret)
Définition: Soit X une variable aléatoire discrète
sur  telle que X()={a1,...,an}
avec
a1<a2<...<an. On appelle fonction de répartition
de X la fonction F définie par :
F :   [0, 1]
x  P(X  x)
telle que:

0




P(X  a1)







F(x )  


P(X  a1)    P(X  ak )









1



si
si

x  a1
a1  x  a2

si ak  x  ak 1

si

x  an
Remarque:
Connaissant la fonction de répartition
F d’une variable aléatoire discrète X
on peut retrouver la distribution de
probabilité de X :
pj 
j
i=1
pi 
j-1
i=1
pi  F (a j )  F (a j-1 ), j  2
Exemple:
Si l’on considère la constitution d’une fratrie de deux
enfants, l’univers est constitué des évènements
élémentaires suivants :  = {GG, GF, FG, FF}
Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire
X=«nombres de filles dans la famille» sont :
X()={0,1,2}.
Si l’on fait l’hypothèse que la probabilité d’avoir un
garçon est égale à celle d’avoir une fille (1/2), alors la
distribution de probabilité ou loi de probabilité du
nombre de filles dans une fratrie de deux enfants est :
Univers

G et G
F et G ou G et F
F et F
Univers
image
X()
Probabilités
associées à la
variable X :
P(X=ai) ou pi
0
1/4
0
si x < 0
1/2
1/4
si 0x <1
1/4
3/4
si
1x <2
1
si
x2
1
2
F(x)
La loi de probabilité est les couples
suivants : (0, 1/4), (1, 1/2) et (2, 1/4).
Remarque:
Pour visualiser la distribution de
probabilités, on utilise un diagramme en
bâtons et une fonction en escalier pour la
fonction de répartition.
Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète
La théorie des probabilités vise à évaluer le
comportement des variables aléatoires (mode, espérance,
variance, Ecart-type,...) étant donnée la distribution de
probabilité.
a) Le mode:
Le mode correspond à une valeur, de X, ayant une
probabilité maximale de se réaliser; si m est le mode
alors P(X=m)  P(X=a) ;  a  X().
b)Espérance
L’espérance de X représente la valeur moyenne
prise par X. Elle est notée E(X) et calculée
ainsi :
E(X)=a1P(X=a1)+a2P(X=a2)+…+anP(X=an)
E(X ) 
n
a .
i= 1
i
P (X  a i )
c) Variance
La variance exprime à quel point les valeurs
prises par X sont dispersées autour de la
moyenne. Une grande variance indique une
grande dispersion. A l'inverse, une variance nulle
révèle que X est en fait non-aléatoire. On note la
variance Var(X) et on la calcule ainsi :
Var(X) (a1 E(X))2P(Xa1)(a2 E(X))2P(Xa2) (an E(X))2P(Xan)
n
n
i=1
i=1
soit Var(X) (ai E(X))2P(Xai) ai2.P(Xai)E(X)2
d) Ecart-type :
L'écarttype fournit la même information. On le note
(X) et on le calcule ainsi :
Lois discrètes:
 (X ) 
V a r (X )
a) Loi de Bernoulli
Définition: Soit un univers Ω constitué de deux
éventualités, S pour succès et E pour échec Ω = {E, S}
sur lequel on construit une variable aléatoire discrète,
X="nombre de succès" telle que au cours d’une expérience
aléatoire, si S est réalisé, X = 1 si E est réalisé, X=0
Définition (suite):
On appelle variable de Bernoulli ou variable indicatrice,
la variable aléatoire X telle que :
X : Ω → , X(Ω) = {0,1}
La loi de probabilité associée à la variable de Bernoulli
X telle que, P(X= 0) = q, P(X =1) = p avec p+q = 1
est appelée loi de Bernoulli notée B(p).
Espérance et la variance:
E(X) = p
Var(X) = p.q
Utilisation:
(i) Succès dans un jeu binaire
Exemple 1: pile/face. X = 1 si pile, X = 0 sinon  X~B(1/2)
Exemple 2: jeu de dé. X = 1 si résultat = 3, X = 0 sinon
 X ~B(1/6)
(ii) Réponse oui/non dans un sondage
Exemple: X = 1 si une personne approuve la réforme des
retraites, X = 0 sinon  X ~ B(p), avec p inconnu
C nk
b) Loi Binomial
Définition: On dit qu'une variable X suit une loi
binomiale de paramètres n et p, notée Bin(n; p),
lorsqu'elle prend ses valeurs parmi {0, …, n} avec les
probabilités suivantes pour k  {0,…, n} :
P(X = k) =
pk(1-p)n-k, k=0,1,…,n
X représente le nombre de fois où un
évènement se réalise en n répétitions
indépendantes de l'expérience.
Espérance et variance :
E(X)= n.p
Var(X)=n.pq (q=(1-p))
Remarque:
Si Y1,…, Yn est une suite de variable indépendantes
de loi de Bernoulli de même paramètre p, B(p),
alors Y= Y1+…+Yn suit une loi Bin(n;p).
Utilisation:
(i) Nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli
répétée n fois indépendamment
Exemple: On lance un dé 9 fois. X = « nombre de 3
obtenus » X~Bin(9,1/6), P(X=2)= 0.28
(ii) Comptage d’un caractère dans un tirage avec remise
Exemple: lot de 1000 pantalons dont 10% défectueux.
On tire 15 pantalons avec remise.
X = «nombre de pantalons défectueux obtenus» 
X~Bin(15, 1/10)
c) Loi de Poisson
Définition : Soit X la variable aléatoire
représentant le résultat d'un comptage
effectué sur une durée fixée. On dit que X suit
une loi de Poisson de paramètre , (),
lorsqu'elle
prend
ses
valeurs
dans
={0,1,…,n,…} (infinité de valeurs possibles)
avec les probabilités suivantes pour k  :
k 
P(X  k )  e
k!
où  est une constante
positive.
c) Loi de Poisson (suite)
E(X)=Var(X)=
Utilisation de la loi de Poisson (exemples):
 X compte le nombre d'arrivées de clients à un guichet de
banque en une semaine,
 le nombre de véhicules passant par un péage donné en une
journée,
 le nombre de pannes en un an...
Approximation de la distribution binomiale par la distribution
de Poisson
Soit Xn une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p. Faisans
tendre n vers l’infini et p vers 0, mais de forme que le produit n.p
tende à une constante >0. Donc, il est vérifié:
Xn=k)=

=


la distribution binomiale converge en loi vers la distribution de Poisson
de paramètre . Cela signifie que nous pouvons approcher la loi
binomiale par la loi de Poisson si n est grand et p petite, en prenant
comme paramètre  = n.p.
(En pratique si n> 30 et p <0.1).
d) Loi hypergéométrique
Définition : Soit une population de N individus, parmi
lesquels une proportion p (ce qui correspond à Np individus)
possède un certains caractère A. On prélève n individus
parmi cette population (tirage sans remise) et on note X le
nombre aléatoire d'individus de l'échantillon possédant la
propriété envisagée. X suit une loi dite Hypergéométrique.
P (X  k ) 
k
C Np
C Nn kNp
C Nn
Où;
•
est le nombre d'échantillons possible de taille n.
•
est le nombre de groupes possibles de k individus
possédant le caractère A .
•
est le nombre de groupes possibles de nk
individus ne possédant pas le caractère A .
• E(X)= n.p
proportion ».
et
Var(X)=np(1p)
; p=«la
e) Loi géométrique
Définition : La loi géométrique est la loi du nombre
d’essaies nécessaires pour faire apparaître un
événement de probabilité p :
P(X = k) =p(1p)k-1, k=1,…,
En posant q = 1p , on trouve aisément :
E(X)= 1/p et Var(X)= q/p2
On notera X G(p).
Correction de continuité
Lorsque l’on approche une loi discrète par une
loi continue, il convient de faire une correction
de continuité que l’on peut résumer avec la
formule suivante: pour toute les valeurs xi de X,
discrète(X= xi) continue(xi 0,5X  xi +0,5)
2.6 Variables aléatoires continues
Définition :
Une variable aléatoire X sur  est dite
continue si elle peut prendre toutes valeurs
dans un intervalle donné (borné ou nonborné). En générale, toutes les variables qui
résultent d’une mesure sont de type continues.
Exemple : taille, poids, volume, ...
Entre les distributions continues, les plus faciles
d'étudier ce sont les absolument continues, ou
abusivement, continue, dont la
fonction de
distribution peut s'exprimer en forme d'intégral:
x
F(x )  
f(t )dt,  x  

La fonction de répartition F(x) est la primitive de
la fonction densité de probabilité f(t), et permet
d’obtenir les propriétés suivantes:
1) f(x)0; x 
2)
3)
=1
, si
4) P(a<X ≤ b)=
est continue en x
Probabilité en un point et en un intervalle
Si X est une variable aléatoire absolument
continue, alors
• En tout point x, on a P(X = x) = 0 et
P(X<x)=P(X  x)
• Pour tout a < b, on a : P(a < X  b)=
P(a<X< b)= P(a  X  b)= F(b)F(a)

L’aire hachurée en rouge correspond à la
probabilité P(0 X 300).
L’aire hachuré en vert correspond à la probabilité:
P(X>400)=1P(X400)= 1 F(400)
 Quantile:
Définition :
On appelle quantile d’ordre p de la variable X la
valeur xp telle que FX(xp)=p.
 Espérance mathématique:
Définition :
Soit X v.a continue de densité f(x) si
Propriétés
Les propriétés de l’espérance valent aussi bien pour une
variable aléatoire discrète ou une variable aléatoire
absolument continue.
Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un même
univers Ω, admettant une espérance, alors :




E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(aX)=aE(X), a  
Si X0 alors E(X)  0
Si X est un caractère constant tel que :  w  ,
X(w)=k alors E(X)=k.
Variance
Si X est une variable aléatoire ayant une
espérance E(X), on appelle variance de X le
réel :
Var(X) = E([X - E(X)]2)=
=
=
C’est l’espérance mathématique au carré de
l’écart à l’espérance mathématique.
Propriétés
Si X est une variable aléatoire
admettant une variance alors :
• a  , Var(aX) = a2 Var(X)
• (a, b)  2, Var(aX +b) = a2Var(X)
•Var(X) = 0  X = E(X)
Lois de probabilités continues « célèbres »
Loi Uniforme
Définition:
On dit que la variable aléatoire continue X suit une loi
uniforme sur l’intervalle [a, b], avec a<b si elle admet pour
densité de probabilité.
 0
si x  a

 1
fX (x )  
si a  x  b
b  a

0 si x  b

Propriété
Les paramètres caractéristiques d’une loi
uniforme sur l’intervalle [a, b] avec a<b sont:
a b
E (X ) 
2
b  a 
2
et
Var (X ) 
12
Loi Normale
C'est une loi très importante pour plusieurs raisons :
a) Elle apparaît dans de nombreux
problèmes courants (pour les modéliser),
b) Bien souvent, on peut approcher une loi
par une loi normale,
c) De plus, on dispose de la table de ses valeurs à
laquelle on se réfère pour des calculs
approchés.
Synonymes pour cette loi : loi gaussienne, loi de Gauss.
Définition :
On dit qu'une variable X suit une loi normale
de paramètres  et 2, notée N(; 2),
lorsqu'elle prend ses valeurs dans  avec la
densité suivante pour x  :
f, (x ) 
(x  )
exp(

)
2
2
2
2
1
2
Son espérance est E[X] = . Sa variance est Var(X)= 2.
La densité est symétrique par rapport à la
droite verticale d'abscisse x = .
 D'une manière générale, si X suit une loi
N(; 2), alors aX + b suit une loi
N(a.,a2.2).
 Si X1 et X2 sont normales N(1, 12) et
N(2,22) et indépendantes, alors X=X1+X2 ;
est aussi normale N(1+2, 12+22)
Proposition
Si la v.a. X suit une loi N(; 2), alors
X   suit la loi N(0;1).
Y

La v.a. Y s'appelle la v.a. centrée réduite associée à X.
En fait, pour faire des calculs effectifs de probabilité,
grâce à ce résultat, on commencera systématiquement
par se ramener d'une loi normale quelconque N(; 2)
à la loi normale standard N(0; 1). On pourra alors
utiliser la table des valeurs pour cette loi.
Règle de calcul de probabilités
• Dans l'utilisation de la table de la loi normale standard
N(0; 1), on aura des calculs de probabilités a faire. On
les fera avec les règles suivantes :
P(X=a)=0
P(X<a)= P(Xa)
P(X>a)= 1 P(Xa)
P(X a)= P(Xa)=1 P(X<a)
P( aXa)= 2P(Xa) 1.
Table de la loi N(0; 1) (Voir TD)
Représentation graphique:
La représentation graphique de
montre
l’influence de la moyenne, tel que l'allure de la
courbe se conserve si on change de moyenne.
La courbe s'aplatit lorsque la variance augmente,
elle se resserre si la variance diminue, le maximum
s'ajuste pour que la surface valle 1, le maximum
peut dépasser 1.
Approximations de lois:
 Pour n grand (n30) et p n’est pas très petite (en pratique:
p 0.1), on approxime la loi binomiale Bin(n; p) par la loi
normale (np;npq). Si p<0.1 et n<30, la approximation est
acceptable si np>5.
 Pour  grand (>5), on approxime la loi de Poisson  () par
la loi normale (; ).
Lois dérivées de la loi normale
Parfois d’autres lois que la loi normale sont utiles dans les
approximations (exemple: dans les calculs des intervalles de
confiances, des tests d’hypothèses, etc…).
Parmi ces lois, le plus fréquent c’est la loi de χ2 (lire khi-deux), la
loi de Student et la loi de Fisher. Ces lois dépendent d’un
paramètre n entier, appelé degré de liberté (d.d.l.).
De même que pour la loi normale N(0, 1), on disposera de tables
pour ces lois.
Les mêmes règles de calcul que pour la loi normale s’appliqueront pour
reexprimer les probabilités qu’on cherchera en des probabilités disponibles
dans ces tables.
Loi du « chi-deux » ou loi de Pearson »
Soit n un entier positif. Une variable aléatoire, absolument continue Xn
est dite suivre une loi de 2 («chi-deux») à n degrés de liberté
(abréviation d.d.l.) On note 2(n) si sa densité de probabilité fn est
définie pour chaque x>0 par:
fn (x )  Dn x
n
1
2
où Dn est une constante (positive).
L’espèrence
mathématique
respectivement:
et
E(Xn )  n,
l’écart
x
exp( ).
2
type
de
var(Xn )  2n .
X
sont
Propriétés:
 Si X1, …, Xn sont n variables centrées réduites (N(0,1)) de Gauss
indépendantes, la variable aléatoire
suit une loi de 2
à n degrés de liberté.
 Pour n  30,
normale
 
N(0,1).

suit approximativement une loi
C. Loi exponentielle
Définition : On dit qu'une variable X suit une loi
exponentielle de paramètre , notée (), lorsqu'elle
prend ses valeurs dans + = [0;+[ avec la densité et
la fonction de répartition suivantes pour x  :
  e x p (   x ) s i x  0
f ( x )  
 0
s in o n


1  e x p (  x )


F (x )= 

0


E(X ) 
si x  0
s in o n
1
1
et V ar(X )= 2


En fiabilité cette loi est très
utilisée pour représenter la durée
de vie de circuits électroniques.
L´espérance 1/ est souvent
appelé le MTBF (Mean Time
Between Faileure) et  le taux de
défaillance.
Forme générale d’une fonction de distribution
Toute fonction de distribution F(x) peut être décomposée en:
F(x)= F1(x)+(1- ) F2(x)
0   1
(1)
où F1(x) est une fonction de distribution continue et F2(x) est une
fonction de distribution discrète.
Les cas continue et discret restent un cas particulier de (1) pour =1 et
=0 respectivement. Si 0<  <1 on dit que la distribution est mixte.
Aussi on peut exprimer (1) comme:
F (x )   
x

où
f1 (t )dt  1    f2 (x i )
f1 (x )  F1' (x ) et
x i x
f2 (x i )  F2 (x i )  F2 (x i 1 )