Cinématique d'un point matériel - Manuels de physique

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S.Boukaddid Cin´ematique d’un point mat´eriel sup TSI
Cin´ematique d’un point mat´eriel
Table des mati`eres
1G´en´eralit´e 2
1.1 Rep`ere d’espace R ............................. 2
1.2 Rep`ere du temps .............................. 2
1.3 Notion d’un r´ef´erentiel ........................... 2
1.4 Point mat´eriel ................................ 2
2Diff´erentes syst`emes de coordonn´ees 3
2.1 Base orthonorm´ee directe .......................... 3
2.2 Coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z) ...................... 3
2.3 Coordonn´ees cylindriques (r, θ, z)..................... 4
2.4 Coordonn´ees sph´eriques (r, θ, ϕ)...................... 5
3Vitesse et acc´el´eration d’un point mat´eriel 6
3.1 Trajectoire d’un point mat´eriel ...................... 6
3.2 Vitesse d’un point mat´eriel dans un r´ef´erentiel R donn´e ......... 7
3.2.1 D´efinition .............................. 7
3.2.2 Vitesse en coordonn´ees cart´esiennes ................ 7
3.2.3 Vitesse en coordonn´ees cylindriques ................ 7
3.2.4 Vitesse en coordonn´ees sph´eriques ................. 8
3.3 Acc´el´eration d’un point mat´eriel dans un r´ef´erentiel donn´e ....... 8
3.3.1 D´efinition .............................. 8
3.3.2 Acc´el´eration en coordonn´ees cart´esiennes ............. 8
3.3.3 Acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques ............. 9
3.3.4 Acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques .............. 9
3.4 Rep`ere de Frenet .............................. 9
3.4.1 D´efinition .............................. 9
3.4.2 Abscisse curviligne ......................... 10
3.4.3 Expression de la vitesse dans le tri`edre de Frenet ........ 10
3.4.4 Expression de l’acc´el´eration d’un point M dans le tri`edre de Frenet 11
4Exemples de mouvement 11
4.1 Mouvement rectiligne uniforme ...................... 11
4.2 Mouvement rectiligne d’acc´el´eration constante .............. 11
4.3 Mouvement rectiligne sinuso¨ıdal ...................... 12
4.4 Mouvement circulaire ............................ 13
4.5 Mouvement h´elico¨ıdal ............................ 13
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La cin´ematique consiste `a ´etudier et `a d´ecrire les mouvements ind´ependamment des
causes qui les produisent . Les notions de vitesse,acc´el´eration,trajectoire,changement
de r´ef´erentiel,appartiennent `a la cin´ematique .
1G´en´eralit´e
1.1 Rep`ere d’espace R
ISolide (solide ind´eformable) : il s’agit d’un syst`eme mat´eriel (S) dont les dis-
tances,entre deux points quelconques,restent invariables au cours du temps .
∀N, P ∈(S) : d=||−−→ NP || =cte
IRep`ere d’espace : il s’agit d’un syst`eme de coordonn´ees (origine et trois axes ) li´e
`a un solide (S) de r´ef´erence .
•Exemple : rep`ere cart´esien (O,OX,OY,OZ) .
1.2 Rep`ere du temps
•Un rep`ere temporel n´ecessite une horloge et une origine des temps pour rep´erer
parfaitement l’instant d’un ´ev´enement .
•Le rep´erage suppose implicitement une orientation du temps du pass´e vers le fu-
ture qui s’appuie sur l’irreversibilit´e fondamentale de l’´evolution des ph´enom`enes
physiques .
1.3 Notion d’un r´ef´erentiel
D´efinition : Un r´ef´erentiel est un ensemble de rep`ere de l’espace et d’un rep`ere temporel
•Remarque : On confond le plus souvent en m´ecanique classique r´ef´erentiel et
rep`ere spatial sans pr´eciser le rep`ere temporel
•Exemple : R´ef´erentiel terrestre : r´ef´erentiel lie `a la terre
1.4 Point mat´eriel
D´efinition : Un point mat´eriel est un point g´eom´etrique de masse m (caract´eristique
physique) rep´er´e par ses trois coordonn´ees .
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2Diff´erentes syst`emes de coordonn´ees
2.1 Base orthonorm´ee directe
D´efinition : Une base (−→ u1,−→ u2,−→ u3) est dite orthonorm´e directe si :
•−→ u1,−→ u2,−→ u3sont unitaires : ||−→ u1|| =||−→ u2|| =||−→ u3|| = 1
•−→ u1,−→ u2,−→ u3sont orthogonaux entre eux
•Le sens de −→ u3est donn´e par la r´egle de tire-bouchon
•R´egle
On visse suivant le sens qui am`ene −→ u1
vers −→ u2et l’on progresse suivant −→ u3donc
(−→ u1,−→ u2,−→ u3) est directe .
−→
u1
−→
u2
−→
u3
2.2 Coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z)
•−→ ex,−→ ey,−→ ezsont des vecteurs uni-
taires
•la base (−→ ex,−→ ey,−→ ez) est orthonorm´ee
et directe
•les vecteurs de base −→ ex,−→ ey,−→ ezne
d´ependent pas du point de l’espace
consid´er´e .
Soit H la projection orthogonal de M
sur le plan (−→ ex,−→ ey)
Z
Y
X
z
x
y
−→
ex
−→
ey
−→
ez
M
O
H
IVecteur position −−→ OM
−−→
OM =−−→ OH +−−→ HM avec (−−→
OH =x−→ ex+y−→ ey
−−→
HM =z−→ ez
donc
−−→
OM =x−→ ex+y−→ ey+z−→ ez
IVecteur d´eplacement ´el´ementaire d−−→ OM
Supposons que le point M effectue un d´eplacement ´el´ementaire de M `a M’ tel que
−−→
OM0=
(−→ ex,−→ ey,−→ ez)
x+dx
y+dy
z+dz
avec d−−→ OM =−−→ OM0−−−→ OM =−−−→ MM0
d−−→ OM =dx−→ ex+dy−→ ey+dz−→ ez
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IAutrement :
d−−→ OM =d(x−→ ex+y−→ ey+z−→ ez) = dx−→ ex+xd−→ ex+dy−→ ey+yd−→ ey+dz−→ ez+zd−→ ez
d−→ ex=d−→ ey=d−→ ez= 0 car les vecteurs sont ind´ependants du point M,donc sont
fixes
d−−→ OM =dx−→ ex+dy−→ ey+dz−→ ez
2.3 Coordonn´ees cylindriques (r, θ, z)
ISym´etrie cylindrique
D´efinition : Une distribution de masse,pr´esente une sym´etrie cylindrique d’axe (oz)
s’elle est invariante par translation parrall´element `a l’axe (oz),et si une rotation quel-
conque autour de (oz) laisse invariante la distribution .
IPratiquement : Un probl`eme poss´edant une sym´etrie cylindrique,il est necessaire
de travailler avec les coordonn´ees cylindriques .
−−→
OM =−−→ OH +−−→ HM =r−→ er+z−→ ez
avec
•r∈[0,+∞[
•θ∈[0,2π]
•z∈]− ∞,+∞[
Z
X
Y
−→
ez
−→
ex
−→
ey
−→
ez
−→
er
−→
eθ
−→
eθ
−→
er
M
r
θ
O
H
IVecteur d´eplacement ´el´ementaire d−−→ OM
•−→ er= cos θ−→ ex+ sin θ−→ ey
•−→ eθ=−sin θ−→ ex+ cos θ−→ ey
•d−→
er
dθ =−sin θ−→
ex+ cos θ−→ ey=−→ eθ
•d−→
eθ
dθ =−cos θ−→
ex−sin θ−→ ey=−−→ erX
Y
−→
ex
−→
ey
−→
er
−→
eθ
θ
H
R´esultat
•d−→
er
dθ =−→
eθ
•d−→
eθ
dθ =−−→
er
•d−−→ OM =dr−→ er+rd−→ er+dz−→ ez+zd−→ ezavec d−→ ez=−→ 0
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d−−→ OM =dr−→ er+rdθ−→ eθ+dz−→ ez
la composante suivant :
•−→ er: radiale
•−→ eθ: orthoradiale
•−→ ez: axiale
IOn peut passer des coordonn´ees cylindriques aux coordonn´ees cart´esiennes :
•x=rcos θ
•y=rsin θ
•z=z
•Remarque : Lorsque le mouvement se fait dans le plan z=cte on parle des
coordonn´ees polaires (r, θ):d−−→ OM =dr−→ er+rdθ−→ eθ
ILa base des coordonn´ees cylindriques est locale .
2.4 Coordonn´ees sph´eriques (r, θ, ϕ)
ISym´etrie sph´erique
D´efinition : Une distribution est dite `a sym´etrie sph´erique s’elle est invariante par
rotation autour de tout axe passant par le centre de sym´etrie .
IVecteur position −−→ OM
−−→
OM =r−→ er
•r∈[0,+∞[
•θ∈[0, π]
•ϕ∈[0,2π]
M
−→
er−→
eϕ
−→
eθ
−→
eϕ
ϕ
θ
Z
Y
X
IVecteur d´eplacement ´elementaire
On montre que
d−−→ OM =dr−→ er+rdθ−→ eθ+rsin θdϕ−→ eϕ
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