c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI Cinématique d’un point matériel Table des matières 1 Généralité 1.1 Repère d’espace R . . 1.2 Repère du temps . . . 1.3 Notion d’un référentiel 1.4 Point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 Différentes systèmes de coordonnées 2.1 Base orthonormée directe . . . . . . . 2.2 Coordonnées cartésiennes (x,y,z) . . . 2.3 Coordonnées cylindriques (r, θ, z) . . 2.4 Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vitesse et accélération d’un point matériel 3.1 Trajectoire d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vitesse d’un point matériel dans un référentiel R donné . . . . . . . . . 3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Vitesse en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Vitesse en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Vitesse en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Accélération d’un point matériel dans un référentiel donné . . . . . . . 3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Accélération en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Accélération en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Accélération en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Repère de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Expression de la vitesse dans le trièdre de Frenet . . . . . . . . 3.4.4 Expression de l’accélération d’un point M dans le trièdre de Frenet 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 11 4 Exemples de mouvement 4.1 Mouvement rectiligne uniforme . . 4.2 Mouvement rectiligne d’accélération 4.3 Mouvement rectiligne sinusoı̈dal . . 4.4 Mouvement circulaire . . . . . . . . 4.5 Mouvement hélicoı̈dal . . . . . . . . 11 11 11 12 13 13 . . . . . . constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI La cinématique consiste à étudier et à décrire les mouvements indépendamment des causes qui les produisent . Les notions de vitesse,accélération,trajectoire,changement de référentiel,appartiennent à la cinématique . 1 Généralité 1.1 Repère d’espace R I Solide (solide indéformable) : il s’agit d’un système matériel (S) dont les distances,entre deux points quelconques,restent invariables au cours du temps . −−→ ∀N, P ∈ (S) : d = ||N P || = cte I Repère d’espace : il s’agit d’un système de coordonnées (origine et trois axes ) lié à un solide (S) de référence . • Exemple : repère cartésien (O,OX,OY,OZ) . 1.2 Repère du temps • Un repère temporel nécessite une horloge et une origine des temps pour repérer parfaitement l’instant d’un événement . • Le repérage suppose implicitement une orientation du temps du passé vers le future qui s’appuie sur l’irreversibilité fondamentale de l’évolution des phénomènes physiques . 1.3 Notion d’un référentiel Définition : Un référentiel est un ensemble de repère de l’espace et d’un repère temporel • Remarque : On confond le plus souvent en mécanique classique référentiel et repère spatial sans préciser le repère temporel • Exemple : Référentiel terrestre : référentiel lie à la terre 1.4 Point matériel Définition : Un point matériel est un point géométrique de masse m (caractéristique physique) repéré par ses trois coordonnées . 2 / 14 c S.Boukaddid 2 Cinématique d’un point matériel sup TSI Différentes systèmes de coordonnées 2.1 Base orthonormée directe − − − Définition : Une base (→ u 1, → u 2, → u 3 ) est dite orthonormé directe si : − − − − − − • → u 1, → u 2, → u 3 sont unitaires : ||→ u 1 || = ||→ u 2 || = ||→ u 3 || = 1 → − → − → − • u , u , u sont orthogonaux entre eux 1 2 3 − • Le sens de → u 3 est donné par la régle de tire-bouchon → − u3 • Régle − On visse suivant le sens qui amène → u1 → − → − vers u 2 et l’on progresse suivant u 3 donc − − − (→ u 1, → u 2, → u 3 ) est directe . → − u2 → − u1 2.2 Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Z − − − • → e x, → e y, → e z sont des vecteurs unitaires − − − • la base (→ e ,→ e ,→ e ) est orthonormée x y z z M et directe − − − • les vecteurs de base → e x, → e y, → e z ne dépendent pas du point de l’espace considéré . Soit H la projection orthogonal de M − − sur le plan (→ e x, → e y) → − ex → − ez O → − ey x y Y H X −−→ I Vecteur position OM ( −−→ − − −−→ −−→ −−→ OH = x→ e x + y→ ey OM = OH + HM avec donc −−→ → − HM = z e z −−→ − − − OM = x→ e x + y→ e y + z→ ez −−→ I Vecteur déplacement élémentaire dOM Supposons que le point M effectue un déplacement élémentaire de M à M’ tel que x + dx −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→0 y + dy avec dOM = OM 0 − OM = M M 0 OM = − − − z + dz (→ e x, → e y, → e z) −−→ − − − dOM = dx→ e x + dy → e y + dz → ez 3 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI I Autrement : −−→ − − − − − − − − − dOM = d(x→ e x + y→ e y + z→ e z ) = dx→ e x + xd→ e x + dy → e y + yd→ e y + dz → e z + zd→ ez → − → − → − d e x = d e y = d e z = 0 car les vecteurs sont indépendants du point M,donc sont fixes −−→ − − − dOM = dx→ e x + dy → e y + dz → ez 2.3 Coordonnées cylindriques (r, θ, z) I Symétrie cylindrique Définition : Une distribution de masse,présente une symétrie cylindrique d’axe (oz) s’elle est invariante par translation parrallélement à l’axe (oz),et si une rotation quelconque autour de (oz) laisse invariante la distribution . I Pratiquement : Un problème possédant une symétrie cylindrique,il est necessaire de travailler avec les coordonnées cylindriques . Z → − ez −−→ −−→ −−→ − − OM = OH + HM = r→ e r + z→ ez → − eθ M avec → − er • r ∈ [0, +∞[ → − ey → − ez • θ ∈ [0, 2π] O → − ex • z ∈] − ∞, +∞[ Y → − eθ r θ → − er H X −−→ I Vecteur déplacement élémentaire dOM − − − • → e r = cos θ→ e x + sin θ→ ey → − → − − • e = − sin θ e + cos θ→ e θ x Y → − eθ y − d→ er − − − = − sin θ→ e x + cos θ→ ey=→ eθ dθ − d→ eθ − − − • = − cos θ→ e x − sin θ→ e y = −→ er dθ • → − er H → − ey θ X → − ex Résultat − er → d→ • =− eθ dθ − d→ eθ − • = −→ er dθ −−→ → − − − − − − • dOM = dr→ e r + rd→ e r + dz → e z + zd→ e z avec d→ ez= 0 4 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI −−→ − − − dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + dz → ez la composante suivant : − • → e : radiale r − • → e θ : orthoradiale → − • e z : axiale I On peut passer des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes : • x = r cos θ • y = r sin θ • z=z •Remarque : Lorsque le mouvement se fait dans le plan z = cte on parle des −−→ − − coordonnées polaires (r, θ) : dOM = dr→ e r + rdθ→ eθ I La base des coordonnées cylindriques est locale . 2.4 Coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) I Symétrie sphérique Définition : Une distribution est dite à symétrie sphérique s’elle est invariante par rotation autour de tout axe passant par le centre de symétrie . −−→ I Vecteur position OM Z → − er M −−→ − OM = r→ er • r ∈ [0, +∞[ θ → − eϕ → − eθ • θ ∈ [0, π] • ϕ ∈ [0, 2π] Y → − eϕ ϕ X I Vecteur déplacement élementaire On montre que −−→ − − − dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + r sin θdϕ→ eϕ 5 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI •Remarque Z • le plan correspond à ϕ = cte est le plan méridien • le plan correspond à θ = cte est plan parrallèle π • le plan correspond à θ = est le plan 2 équatoriel θ = cte Y π θ= 2 ϕ = cte X I On peut passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes : • x = r sin θ cos ϕ • y = r sin θ sin ϕ • z = r cos θ I Cas particulier : Repère terrestre Z − − − • (M, → e r, → e θ, → e ϕ) restre → • − e vers le sud repère ter- → − er N M θ θ − • → e ϕ vers l’est π • λ = − θ : latitude 2 λ → − eθ plan equatoriel S 3 3.1 Vitesse et accélération d’un point matériel Trajectoire d’un point matériel Définition : la trajectoire d’un point matériel est une courbe représentant l’ensemble des positions M (t) occuppées par le point matériel au cours de son mouvement . • Exemple : Considérons les équations paramètriques en coordonnées cartésiennes x(t) = r cos ωt y(t) = r sin ωt ⇒ x2 + y 2 = r2 z(t) = 0 c’est l’équation du trajectoire : cercle de rayon r et de centre O(0, 0) 6 / 14 c S.Boukaddid 3.2 Cinématique d’un point matériel sup TSI Vitesse d’un point matériel dans un référentiel R donné 3.2.1 Définition Z → − V M M’ (C) Soient M et M’ les positions d’un mobile aux instants voisins t et t+∆t dans un référentiel d’étude R d’origine O . Y O X → − Définition : On définit la vitesse V (M/R) du point M par rapport à R par −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ → − [OM (t + ∆t) − OM (t)] [OM 0 − OM ] dOM V = lim = lim = ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt −−→ → − dOM V (M/R) = dt unité : m.s−1 → − • la vitesse V est portée par la tengente en M . 3.2.2 Vitesse en coordonnées cartésiennes −−→ − − − • OM = x(t)→ e x + y(t)→ e y + z(t)→ ez dx ẋ = = vx dt −−→ → − dOM dx → dy → dz → dy − − − • V = = ex+ ey+ e z : on pose = vy ẏ = dt dt dt dt dt ż = dz = vz dt → − − − − V (M/R) = ẋ→ e x + ẏ → e y + ż → ez → − − − − V (M/R) = vx → e x + vy → e y + vz → ez 3.2.3 Vitesse en coordonnées cylindriques −−→ − − − • dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + dz → ez dr vr = = ṙ = vitesse radiale dt −−→ dr → dθ dz dOM dθ − → − → − • = e r +r e θ + e z : on pose vθ = r = rθ̇ = vitesse orthoradiale dt dt dt dt dt vz = dz = ż dt 7 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI → − − − − V (M/R) = ṙ→ e r + rθ̇→ e θ + ż → ez → − − − − V (M/R) = vr → e r + vθ → e θ + vz → ez 3.2.4 Vitesse en coordonnées sphériques −−→ − − − • En coordonnées sphériques dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + r sin θdϕ→ eϕ −−→ → − dOM dr − dθ − dϕ − • V (M/R) = = → er+r → e θ + r sin θ → eϕ dt dt dt dt dr = ṙ vr = dt dθ on pose = rθ̇ vθ = r dt vϕ = r sin θ dϕ = r sin θϕ̇ dt → − − − − V (M/R) = ṙ→ e + rθ̇→ e + r sin θϕ̇→ e r θ ϕ → − − − − V (M/R) = vr → e r + vθ → e θ + vϕ → eϕ 3.3 Accélération d’un point matériel dans un référentiel donné 3.3.1 Définition Définition : L’accélération d’un point M par rapport à un référentiel R est défini par −−→ → − d2 OM d V (M/R) → − = /R a (M/R) = dt dt2 • unité de l’accélération est m.s−2 3.3.2 Accélération en coordonnées cartésiennes → − − − − • V (M/R) = ẋ→ e x + ẏ → e y + ż → ez → − d V (M/R) − − − − = ẍ→ e x + ÿ → e y + z̈ → ez • → a (M/R) = dt → − − − − a = ẍ→ e x + ÿ → e y + z̈ → ez → − − − − a = ax → e x + ay → e y + az → ez avec : d2 x a = ẍ = x dt2 d2 y ay = ÿ = dt2 d2 z az = z̈ = dt2 8 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI 3.3.3 Accélération en coordonnées cylindriques → − − − − • V (M/R) = ṙ→ e r + rθ̇→ e θ + ż → ez → − − − d V (M/R) d→ er d→ eθ → − → − → − → − − • a (M/R) = = r̈ e r + ṙ + ṙθ̇ e θ + rθ̈ e θ + rθ̇ + z̈ → ez dt dt dt − − d→ er d→ er − I = θ̇ = θ̇→ eθ dt dθ − − d→ eθ d→ eθ − I = θ̇ = −θ̇→ er dt dθ → − − − − a (M/R) = (r̈ − rθ̇2 )→ e r + (2ṙθ̇ + rθ̈)→ e θ + z̈ → ez → − − − − a (M/R) = ar → e r + aθ → e θ + az → ez ar = r̈ − rθ̇2 avec : a = 2ṙθ̇ + rθ̈ θ az = z̈ 3.3.4 Accélération en coordonnées sphériques → − − − − • V (M/R) = ṙ→ e r + rθ̇→ e θ + r sin θϕ̇→ eϕ • on montre que → − − − − a (M/R) = ar → e r + aθ → e θ + aϕ → eϕ avec 3.4 3.4.1 ṙ − r[θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ] ar = a = 2ṙθ̇ + rθ̈ − rϕ̇2 sin θ cos θ θ aϕ = 2rϕ̇θ̇ cos θ + 2ṙϕ̇ sin θ + r sin θϕ̈ Repère de Frenet Définition − − − •Repère de Frenet (M, → e t, → e n, → e b ) : son origine est confondu avec le point matériel,le → − vecteur unitaire e t est tangentiel au trajectoire en point M et dirigé suivant le sens − − du mouvement,le vecteur unitaire → e n est normale à → e t et dirigé suivant la cavité du − − − − trajectoire,le vecteur → e b est défini par → eb=→ et x→ en → − et → − ebx (C) M → − en − − − • (→ e t, → e n, → e b ) : trièdre de Frenet 9 / 14 c S.Boukaddid 3.4.2 Cinématique d’un point matériel sup TSI Abscisse curviligne Z Considérons un point matériel de masse m qui se déplace le long de (C) M (C) • à l’instant t0 le point matériel M se trouve en M0 (x0 , y0 , z0 ) M0 • à l’instant t = t0 +dt la point matériel M se trouve en un point M 0 (x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz) Y X I On appelle abscisse curviligne s du point matériel M le long de (C) à partir de \ M0 ,la longuer d’arc s = M 0M . I l’abscisse curvilgne élémentaire ds est p ds = M0 M 0 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 I l’abscisse curviligne s Z M s= ds M0 • Rayon de corbure R −−−→ − −−→ −−→ − I dOM = ||dOM ||→ e t = ||M M 0 ||→ et Z −−→ − dOM = ds→ et M M’ −−→ dOM → − et= ds I On définit le rayon de corbure R en M par − → − d→ et en = ds R Y X 3.4.3 Expression de la vitesse dans le trièdre de Frenet −−→ −−→ → − dOM dOM ds ds − V (M/R) = = = → et dt ds dt dt → − ds − V (M/R) = → et dt F Remarque : La vitesse de M par rapport au référentiel de Frenet est nulle . 10 / 14 c S.Boukaddid 3.4.4 Cinématique d’un point matériel sup TSI Expression de l’accélération d’un point M dans le trièdre de Frenet → − ds − • V = → et dt 2 → → − − d2 s → et d2 s → et dV ds d→ ds d− → − − − = 2 et+ = 2 et+ • a = dt dt dt dt dt dt ds 2 → d2 s → ds − en → − − a = 2 et+ dt dt R • V = ds dt dV → V 2→ → − − − − − et+ e n = aT → e T + aN → eN a = dt R aT = dV dt = accélération tangentielle 2 aN = V R 4 = accélération normale Exemples de mouvement 4.1 Mouvement rectiligne uniforme Considérons un point M qui se déplace le long d’axe (ox) M O → − V → − ux X → − − • le mouvement de M est rectiligne uniforme si → a = 0 • à t = 0 :M a= x0 v0 dv dx = 0 ⇒ v = cte = v0 = dt dt x(t) = v0 t + x0 4.2 Mouvement rectiligne d’accélération constante I Le point matériel M se déplace rectilignement avec une accélération constante a0 et une vitesse initiale v0 . − − I le mouvement est accéléré si ||→ v || croı̂t ⇒ ||→ v ||2 croı̂t donc → − → − 2 d|| v || dv − − − = 2→ v. = 2→ v→ a >0 dt dt → − − v .→ a >0 − − I le mouvement est retardé si ||→ v || décroı̂t ⇒ ||→ v ||2 décroı̂t donc − − d||→ v ||2 d→ v − − − = 2→ v. = 2→ v→ a <0 dt dt 11 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI → − − v .→ a <0 I équation du mouvement • a0 = dv ⇒ v(t) = a0 t + cte : avec v(0) = v0 = cte dt v(t) = a0 t + v0 dx 1 = a0 t + v0 ⇒ x = a0 t2 + v0 t + cte : avec x(0) = x0 = cte dt 2 1 x(t) = a0 t2 + v0 t + x0 2 I équation indépendante du temps 2 1 v − v0 v − v0 v − v0 ⇒ x − x0 = a0 t= + v0 a0 2 a0 a0 • v= v 2 − v02 = 2a0 (x − x0 ) 4.3 Mouvement rectiligne sinusoı̈dal Définition : Considérons un point matériel se déplçant sur l’axe (ox) ,on dit que le mouvement de M est sinusoı̈dal rectiligne si l’abscisse x du point matériel est relié à son accélération par une relation de type : a = −kx avec k = cte donc l’équation du mouvement s’écrit : ẍ + kx = 0 • Solution de l’équation du mouvement la solution s’écrit sous la forme suivante : x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) √ 2π k : pulsation du mouvement : rad.s−1 et T = ω • Xm : amplitude • ω= • ϕ : phase à l’origine dx • la vitesse v = = ẋ(t) = −ωXm sin(ωt + ϕ) dt • ϕ et Xm sont déterminés à partir des conditions initiales x(0) = X0 ẋ(0) = V0 x(0) = X0 = Xm cos ϕ et V0 = −ωXm sin ϕ r V2 Xm = X02 + 02 ω V02 tan ϕ = − ωX0 12 / 14 c S.Boukaddid 4.4 Cinématique d’un point matériel sup TSI Mouvement circulaire • Le mouvement de M est circulaire si la trajectoire décrit par M est circulaire . • On définit la vitesse angulaire de M par ω= dθ = θ̇ dt • le mouvement est circulaire uniforme si ω = cte − − • Pour étudier ce mouvement il est préférable d’utiliser la base polaire (→ e r, → e θ) Y → − V → − er → − eθ M θ X −−→ − • OM = R→ e r : avec R le rayon du cercle −−→ − → − d→ er dθ OM − =R = Rω → e θ : avec ω = = θ̇ • V = dt dt dt → − − V = Rω → eθ → − − dV d→ eθ → − − • a = = Rω̇ → e θ + Rω dt dt → − − − a = Rω̇ → e − Rω 2 → e θ r → − − − a = ar → e r + aθ → eθ ar = −Rω 2 aθ = Rω̇ accélération radiale accélération orthoradiale dθ ⇒ θ(t) = ω.t + θ0 dt − − − er aθ = 0 donc → a = ar → e r = −Rω 2 → • ω = cte = 4.5 Mouvement hélicoı̈dal x(t) = r cos ωt y(t) = r sin ωt : avec α, ω, r sont des constantes I Les équations paramétriques : z(t) = αt • dans le plan xoy le mouvement est circulaire uniforme de centre O de rayon r et une vitesse angulaire ω. • suivant oz le mouvement est rectiligne uniforme de vitesse α . 13 / 14 c S.Boukaddid Cinématique d’un point matériel sup TSI Conclusion : le mouvement hélicoı̈dal est la superposition du mouvement rectiligne uniforme et le mouvement circulaire uniforme Z p r Y r X → − → − − − − − − I la vitesse ẏ → e y + ż → e z = rω(− sin ωt→ e x + cos ωt→ e y ) + α→ ez p V = ẋ e x + √ 2 2 2 2 2 2 V = ẋ + ẏ + ż = r ω + α = cte I le pas d’hélice : p = z(t + T ) − z(t) = αT p= 2π α ω 14 / 14
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