PROBLEME Un skieur veut s’exercer sur une piste modélisée par la figure 1. Avant de faire un premier essai, le skieur étudie les forces qui s’exercent sur lui lors du glissage sur la piste ABC. Données : Intensité de pesanteur g = 9,8 m /s². AB est un plan incliné d’un angle 𝛼 = 20°par rapport au plan horizontal passant par le point B. La largeur du lac C’D’= L = 15m. On modélise le skieur et ses accessoires par un solide (S) de masse m=80kg et de centre d’inertie G. On considère sur la partie AB que les frottements ne sont pas négligeables et on les modélise par une force constante. 1. Etude des forces appliquées sur le skieur entre A et B Le skieur part du point A d’abscisse 𝑥’𝐴 = 0 dans le repère (O, 𝑖′, 𝑗′) sans vitesse initiale à un instant que l’on considère comme origine des temps t=0s (Fig1). Le skieur glisse sur le plan incliné AB suivant la ligne de la plus grande pente avec une accélération constante a et passe par le point B avec une vitesse 𝑣𝐵 = 20𝑚. 𝑠 −1 . 1.1/En appliquant la deuxième loi de Newton, trouver en fonction de 𝛼, 𝑎 𝑒𝑡 𝑔 l ’expression du coefficient de frottement tan 𝜑 .Avec 𝜑 l’angle de frottement, défini par la normale à la trajectoire et la direction de la force appliquée par le plan incliné sur le skieur. 1.2/A l’instant 𝑡𝐵 = 10𝑠 le skieur passe par le point B ; Calculer la valeur de l’accélération 𝑎 .En déduire la valeur du coefficient de frottement tan 𝜑. 1.3/ Montrer que l’intensité de la force 𝑅 exercée par le plan AB sur le skieur s’écrit sous la forme : 𝑅 = 𝑚𝑔. cos 𝛼 . 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜑 ; Calculer R. 1.4. On suppose les frottements fluides sur la partie AB. La force de frottement fluide est alors définie par : 𝑓Ԧ = −𝑘𝑣Ԧ où k une constante positive (égale à 13,4) et 𝑣Ԧ la vitesse du skieur à l’instant t. 1.4.1/ Montrer que l’équation différentielle liant la vitesse du skieur s’écrit sous la forme : 𝑑𝑣 1 + 𝑣 = 𝐸 1 avec τ et E des constantes à déterminer. 𝑑𝑡 𝜏 𝑡 − 1.4.2/La solution de l’équation différentielle (1) est de la forme : 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜏 + 𝐵. Déterminer les valeurs littérales puis numériques des constantes A et B 1.4.3/ Montrer que la vitesse limite atteinte par le skieur sur la piste AB est de 20𝑚. 𝑠 −1 . Tracer l’allure de v(t) en faisant apparaitre 𝜏 ; précisera son nom. 2. L’étape du saut A l’instant t=0 que l’on considère comme une nouvelle origine des temps, le skieur quitte la partie BC au point C avec une vitesse C v dont le vecteur C v forme l’angle 𝛼 = 20° avec le plan horizontal. ( Lors du saut, les équations horaires du mouvement de (S ) dans le repère D, 𝑖Ԧ , 𝑗Ԧ ) sont : 𝑥 𝑡 = 𝑣𝐶 cos 𝛼 𝑡 − 15 𝑔 ቐ 𝑦 𝑡 = − 𝑡 2 + 𝑣𝐶 sin 𝛼 𝑡 2 2.1/ Déterminer dans le cas où 𝑣𝐶 = 16,27𝑚. 𝑠 −1 les coordonnées du sommet de la trajectoire de (S). 2.2/ Déterminer en fonction de 𝑔 𝑒𝑡 𝛼 la condition que doit vérifier la vitesse 𝑣𝐶 pour que le skieur ne tombe pas dans le lac. En déduire la valeur minimale de cette vitesse. [email protected] [email protected] 1.1/ Trouvons en fonction de 𝛼, 𝑎 𝑒𝑡 𝑔 l ’expression du coefficient de frottement tan 𝜑 Le skieur est soumis à son poids 𝑃 vertical, la réaction normale 𝑅𝑛 perpendiculaire à la piste et la force de Ԧ frottement 𝑓. En appliquant le théorème de centre d’inertie on a : 𝑃 + 𝑓Ԧ + 𝑅𝑛 = 𝑚𝑎Ԧ Suivant x ‘x : 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑓 = 𝑚𝑎 (1) Suivant y’y : 𝑅𝑛 − 𝑚𝑔 cos 𝛼 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑅𝑛 = 𝑚𝑔 cos 𝛼 𝑅𝑡 𝑓 𝑂𝑟 tan 𝜑 = = ⟹ 𝑓 = 𝑅𝑛 tan 𝜑 = 𝑚𝑔 cos 𝛼 tan 𝜑 𝑅𝑛 𝑅𝑛 𝐷𝑎𝑛𝑠 1 ∶ 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑚𝑔 cos 𝛼 tan 𝜑 = 𝑚𝑎 sin 𝛼 𝑎 𝑎 ⟹ tan 𝜑 = − = tan 𝛼 − cos 𝛼 𝑔 cos 𝛼 𝑔 cos 𝛼 1.2/ Calcul de la valeur de l’accélération 𝑎 𝑣 20 Comme le mouvement du skieur est uniformément accéléré alors : 𝑣𝐵 = 𝑎𝑡𝐵 ⟹ 𝑎 = 𝐵 = = 2𝑚. 𝑠 −2 Valeur du coefficient de frottement tan 𝜑 : tan 𝜑 = tan 20° − 2 9,8 cos 20° 𝑡𝐵 10 = 0,15 1.3/ Montrons que : 𝑅 = 𝑚𝑔. cos 𝛼 . 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜑 𝑅= 𝑅𝑛 2 + 𝑓 2 = 𝑅𝑛 2 + 𝑅𝑛 tan 𝜑 2 = 𝑅𝑛 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜑 = 𝑚𝑔 cos 𝛼. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜑 𝑅 = 80 × 9,8 × cos 20° × 1 + 0,152 = 744,96𝑁 [email protected] 1.4.1/ Montrons que l’équation différentielle liant la vitesse du skieur s’écrit sous la forme : En appliquant le théorème de centre d’inertie : 𝑃 + 𝑓Ԧ + 𝑅𝑛 = 𝑚𝑎Ԧ 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑘 𝑑𝑣 𝑑𝑡 1 𝜏 + 𝑣=𝐸 Projection suivant l’axe x’x : 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑘𝑣 = 𝑚𝑎 = 𝑚 ⟹ + 𝑣 = 𝑔 sin 𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑣 𝑘 𝑑𝑣 1 𝑚 + 𝑣 = 𝑔 sin 𝛼 ⟺ + 𝑣 = 𝐸 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 = 𝑒𝑡 𝐸 = 𝑔 sin 𝛼 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝜏 𝑘 𝑡 1.4.2/ Soit 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝜏 + 𝐵 solution de l’équation différentielle, déterminons les constantes A et B 𝑑𝑣 𝑘 𝑂𝑛 𝑎 ∶ + 𝑣 = 𝑔 sin 𝛼 en remplaçant v (t) par son expression, on a : 𝑑𝑡 𝑚 𝑡 𝑡 𝑑 𝑘 𝐴 −𝑡 𝑘𝐴 −𝑡 𝑘𝐵 − − 𝐴𝑒 𝜏 + 𝐵 + 𝐴𝑒 𝜏 + 𝐵 = 𝑔 sin 𝛼 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 − 𝑒 𝜏 + 𝑒 𝜏+ = 𝑔 sin 𝛼 𝑑𝑡 𝑚 𝜏 𝑚 𝑚 𝑡 𝑡 1 𝑘 𝑘𝐵 1 𝑘 𝑘𝐵 − − − + 𝐴𝑒 𝜏 + − 𝑔 sin 𝛼 = 0 ⟺ − + 𝐴𝑒 𝜏 = 0 𝑒𝑡 − 𝑔 sin 𝛼 = 0 𝜏 𝑚 𝑚 𝜏 𝑚 𝑚 𝑡 1 𝑘 𝑘𝐵 𝑚 𝑚 − 𝐴𝑒 𝜏 ≠ 0 ; − + = 0 𝑒𝑡 − 𝑔 sin 𝛼 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝜏 = 𝑒𝑡 𝐵 = 𝑔 sin 𝛼 𝜏 𝑚 𝑚 𝑘 𝑘 Pour trouver la valeur de A on utilise les conditions initiales : 𝑡 𝑚 𝑚 𝑚 −𝜏 0 𝑣 𝑡 = 0 = 𝐴𝑒 + 𝐵 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐴 = −𝐵 = − 𝑔 sin 𝛼 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑣 𝑡 = − 𝑔 sin 𝛼 𝑒 + 𝑔 sin 𝛼 𝑘 𝑘 𝑘 𝑡 𝑚 𝑣 𝑡 = 𝑔 sin 𝛼 1 − 𝑒 −𝜏 𝑘 𝑚 80 𝐵 = −𝐴 = 𝑔 sin 𝛼 = × 9,8 × sin 20° = 20𝑚. 𝑠 −1 𝑘 13,4 [email protected] 1.4.3/ Valeur de la vitesse limite Pour déterminer la vitesse limite, deux méthodes peuvent se présenter : 𝑑𝑣 𝑘 En utilisant l’équation différentielle : + 𝑣 = 𝑔 sin 𝛼 Le skieur atteint sa vitesse limite si 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 𝑚 0 alors : 𝑣𝐿 = 𝑚 𝑚 𝑔 sin 𝛼 𝑘 𝑡 −𝜏 =𝐵 En utilisant l’expression de v(t) : 𝑣 𝑡 = 𝑔 sin 𝛼 1 − 𝑒 𝑘 𝑚 𝑣𝐿 = lim 𝑣 𝑡 = 𝑔 sin 𝛼 𝐴. 𝑁 ∶ 𝑣𝐿 = 20𝑚. 𝑠 −1 𝑡→+∞ 𝑘 Allure de v(t) : 𝑥 𝑡 = 𝑣𝐶 cos 𝛼 𝑡 − 15 𝑔 2. On donne : ቐ 𝑦 𝑡 = − 2 𝑡 2 + 𝑣𝐶 sin 𝛼 𝑡 2.1/ Détermination des coordonnées du sommet de la trajectoire de (S) 𝑑𝑦 𝑣 sin 𝛼 Au sommet de la trajectoire de (S) on a : 𝑣𝑦 = = −𝑔𝑡𝑆 + 𝑣𝐶 sin 𝛼 = 0 alors 𝑡𝑆 = 𝐶 (temps au bout duquel le skieur 𝑑𝑡 𝑔 atteint le sommet de sa trajectoire). 16,27 sin 20° = 0,57𝑠 9,8 𝑥𝑆 = 𝑥 𝑡𝑆 = 𝑣𝐶 cos 𝛼 𝑡𝑆 − 15 = (16,27 cos 20°) × 0,57 − 15 = −6,28𝑚 𝑔 2 9,8 ൞ 𝑦𝑆 = 𝑦 𝑡𝑆 = − 𝑡𝑆 + 𝑣𝐶 sin 𝛼 𝑡𝑆 = − × 0,572 + 16,27 sin 20° × 0,57 = 1,58𝑚 2 2 𝐴. 𝑁: 𝑡𝑆 = [email protected] 2.2/ Condition que doit vérifier la vitesse 𝑣𝐶 pour que le skieur ne tombe pas dans le lac. Le skieur ne tombe pas dans le lac si et seulement si 𝑥(𝑡) ≥ 0 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) ≥ 0 car la longueur du lac est de 15m (correspondant à la distance CD), et conformément au repère choisi le point D est l’origine donc : Au point D (𝑥𝐷 = 0 et 𝑦𝐷 = 0) alors : 15 𝑥 𝑡 = 𝑣𝐶 cos 𝛼 𝑡 − 15 ≥ 0 ⟹ 𝑡 ≥ 𝑣𝐶 cos 𝛼 𝑔 𝑦 𝑡 = − 𝑡 2 + 𝑣𝐶 sin 𝛼 𝑡 ≥ 0 2 𝑔 152 15𝑔 2 ⟹ × 2 ≤ 15 tan 𝛼 ⟹ 𝑣𝐶 ≥ 2 2 𝑣𝐶 cos 𝛼 2 tan 𝛼 × cos 𝛼 2 15𝑔 15𝑔 2 ⟹ 𝑣𝐶 ≥ = sin 𝛼 2 × cos 𝛼 2 2 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛼 D’où ∶ 𝑣𝐶 ≥ ⟹ 𝑣𝐶 𝑚𝑖𝑛 = 15𝑔 𝑐𝑎𝑟 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin 2𝛼 sin 2𝛼 15𝑔 𝐴. 𝑁 ∶ 𝑣𝐶 𝑚𝑖𝑛 = sin 2𝛼 [email protected] 15 × 9,8 = 15,12𝑚. 𝑠 −1 sin(2 × 20°)
