Exercices corrigés les structures algébriques

Université Mohamed V- Agdal
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014, Rabat, Maroc
Filières SM et SMI
Algèbre 4
Structures Algébriques
Exercices Corrigés
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Table des matières
1 Arithmétique 1
2 Groupes 7
3 Anneaux et corps 15
4 Divisibilité dans un anneau principal 19
5 Anneaux de Polynômes 23
6 Sujets d’examens 31
6.1 Côntrole final (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Rattrapage (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Côntrole final (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Rattrapage (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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iv TABLE DES MATIÈRES
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Chapitre 1
Arithmétique
Exercice 1.1 On se propose de montrer de deux façons différentes que ∀n∈N
∗
,∃s, t ∈N:
n= 2
s
(2t+ 1).
1) Première méthode : Utiliser une récurrence généralisée sur n.
2) Deuxième méthode : En considérant l’ensemble A={m∈N: 2
m
/n},montrer que A
possède un plus grand élément noté set que n= 2
s
(2t+ 1).
Solution
1) * Pour n= 1, n = 2
0
(2.0 + 1).
* Supposons que cette propriété est vraie pour tout k < n.
* Pour n: on distingue les deux cas suivants :
- Si nest impair, alors ∃t∈N:n= 2t+ 1 d’où n= 2
0
(2t+ 1).
- Si nest pair, alors ∃k∈N
∗
:n= 2ket puisque k < n, il résulte de l’hypothèse de
récurrence que k= 2
s
′
(2t+ 1) avec s
′
, t ∈N. Ainsi n= 2
s
′
+1
(2t+ 1).
2) On a A={m∈N: 2
m
/n} ⊂ N, A =∅car 0∈Aet Aest majoré, car ∀m∈A,
m≤log n/ log 2. D’où Apossède un plus grand élément qu’on note s. Alors, n= 2
s
ket
puisque 2
s+1
∤n,kest impair, i.e., ∃t∈N:k= 2t+ 1 donc n= 2
s
(2t+ 1).
Exercice 1.2
1) Montrer que si a∈Net pest un nombre premier, alors p/a ou p∧a= 1.
2) En déduire que si pet qsont deux entiers naturels premiers et distincts, alors p∧q= 1.
3) Montrer que tout entier n≥2admet un diviseur premier (Ind : Considérer l’ensemble
D={d∈N/ d ≥2et d/n}, montrer que Dpossède un plus petit élément pet que pest
premier).
4) En déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini. (Ind : on suppose que l’ensem-
ble Pdes nombres premiers est fini, i.e., P={p
1
, . . . , p
n
}, avec p
i
les nombres premiers,
considérer l’entier m=p
1
. . . p
n
+ 1 et utiliser 3)).
Solution
1) Soit d=p∧a. Puisque d/p et pest premier, d= 1 ou d=p. Ainsi p∧a= 1 ou p/a.
2) D’après la question précédente, p∧q= 1 ou p/q et puisque qest premier et p=q,
p∧q= 1.
3) Soient n≥2et D={d∈N:d≥2et d/n}. On a D=∅(n∈D)et D⊂N, d’où D
possède un plus petit élément qu’on note p. Alors pest premier, sinon, ∃d /∈ {1, p}tel que d/p
et par suite d/n, ce qui contredit le fait que pest le plus petit élément de D.
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