Convexité et composition de fonctions - Terminale

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Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
Année 2021 – 2022 M. Evanno
Convexité et composition
A) Convexité et point d’inflexion.
1. Convexité : approches graphiques.
Définition : Fonction convexe
Soit  une fonction définie sur un intervalle  de .
On note  la courbe représentative de la fonction  sur .
Soient  et  deux points de .
Si tous les points de  distincts de  et  sont au dessus de
 entre  et  alors on dit que la fonction  est  sur .
Définition : Fonction concave
Soit  une fonction définie sur un intervalle  de .
On note  la courbe représentative de la fonction  sur .
Soient  et  deux points de .
Si tous les points de  distincts de  et  sont en dessous de
 entre  et  alors on dit que la fonction  est  sur .
2. Convexité : approches algébriques.
Propriété : Admise
•  est une fonction  sur un intervalle  si et seulement si sa dérivée  est croissante
sur l’intervalle .
•  est une fonction  sur un intervalle  si et seulement si sa dérivée  est décroissante
sur l’intervalle .
Conséquences :
On note  la dérivée seconde de la fonction , c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de .
• Si  est positive sur un intervalle  alors  est  sur l’intervalle .
• Si  est négative sur un intervalle  alors  est  sur l’intervalle .
Vidéo : étudier la convexité d'une fonction

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Propriétés :
Soit  une fonction définie sur un intervalle  de  et  sa représentative graphique.
•  est convexe sur  si et seulement si sa représentation graphique  est située entièrement au
dessus de chacune de ses tangentes.
•  est concave sur  si et seulement si sa représentation graphique  est située entièrement en
dessous de chacune de ses tangentes.
Démonstration : (mentionnée dans le programme)
On va démontrer que si  est positive sur  alors sa représentation graphique  est située
entièrement au dessus de chacune de ses tangentes.
Soit  la courbe représentative d’une fonction  dérivable sur  et  un réel tel que : .
Alors la tangente à  en  a pour équation : .
On note  la fonction définie sur  par la différence entre la fonction et sa tangente, on a alors :
 est dérivable comme somme de fonctions dérivable et on note  sa dérivée, on a alors :
Or  est croissante sur , d’où :
• si  alors  et donc 
• si  alors  et donc 
De plus .
On obtient donc le tableau de variations ci-dessous :
Donc 
On en déduit que si  est positive sur  alors sa représentation graphique  est située
entièrement au dessus de chacune de ses tangentes.
Vidéo : si  alors  est convexe
Exemples :
• La fonction carrée  est convexe sur .
• La fonction inverse 
 est concave sur  et convexe sur .
Vidéo : reconnaitre graphiquement la convexité

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3. Point d’inflexion.
Définition :
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point.
Vidéo : reconnaitre graphiquement un point d'inflexion
Vidéo : déterminer algébriquement un point d'inflexion pour résoudre un problème
Conséquences :
• Si une fonction  définie sur un intervalle  change de convexité en  alors 
admet un point d’inflexion au point d’abscisse .
• Si la dérivée seconde, notée , d’une fonction  définie sur un intervalle  s’annule et
change de signe en  alors  admet un point d’inflexion au point d’abscisse .
Exercice n°1 :
Parmi les courbes ci-dessous, lesquelles sont représentatives de fonctions convexes ?

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B) Méthode des sécantes ou méthode de  (mentionnée dans le programme).
Soit  la fonction définie sur  par  et  sa courbe représentative.
• On sait que   donc  est croissante sur .
 ;  et  est continue sur  car  est dérivable sur .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires,
On peut affirmer que l’équation  admet une unique solution  sur .
• On sait que   donc  est convexe sur .
On en déduit que le segment  est entièrement au-dessus de .
• On donne la courbe représentative  de  et on place les points  et  de 
• On veut déterminer une valeur approchée de  à l’aide de la Méthode de la sécante ou la méthode de
. Pour cela :
➢ On construit le point d’intersection de  et de l’axe des abscisses
➢ On nomme  l’abscisse de ce point puis on place le point  d’abscisse  de .
➢ On construit le point d’intersection de  et de l’axe des abscisses
➢ On réitère le procédé et on définit ainsi une suite  de terme initial .
• On détermine une équation de la droite  :
•  est alors l’abscisse du point d’intersection de cette droite et de l’axe des abscisses et donc :
D’où :  
• On peut alors utiliser l’algorithme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la valeur de  :
• En lançant ce programme pour  on a obtenu : .
Pour comparaison, on obtient, à l’aide de la calculatrice, le résultat suivant : .

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Exercice n°2 :
1) A l’aide du graphique ci-dessous, déterminer les intervalles sur lesquels  est convexe et
concave et préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion :
2) On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonction  et .
Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels  et  sont convexes et concaves et
préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion :
Exercice n°3 :
Soit  une fonction dérivable sur  et telle que sa dérivée  admet le tableau de variations suivant :
Indiquer la convexité de la fonction  sur  et l’existence, pour la courbe  de points d’inflexions.
Exercice n°4 :
1) Montrer que la fonction définie sur  par  est convexe.
2) Déterminer l’équation de la tangente à sa courbe représentative au point d’abscisse .
3) En déduire une inégalité.
Vidéo : démontrer une inégalité à l'aide de la convexité