MU4PY102 Exercice maison 1. 4 Novembre 2020
On consid`
ere trois ´
electrons (sans interaction) dans un potentiel harmonique isotrope `
a trois dimensions
de pulsation ω.
1. Quel est l’´
energie de l’´
etat fondamental du syst`
eme ? Quel est sa d´
eg´
en´
erescence ?
R´
eponse : On d´
ecrit l’´
etat de chaque ´
electron par le quadruplet (nx,ny,nz,sz). Les ´
etats fondamentaux possibles non
sym´
etris´
es sont :
—|(0,0,0,1/2); (0,0,0,−1/2),(1,0,0,±1/2)i
—|(0,0,0,1/2); (0,0,0,−1/2),(0,1,0,±1/2)i
—|(0,0,0,1/2); (0,0,0,−1/2),(0,0,1,±1/2)i
Le niveau fondamental est donc d´
eg´
en´
er´
e 6 fois et poss`
ede une ´
energie 11~ω/2.
2. Quel est le moment angulaire total des trois ´
electrons ?
R´
eponse : Le moment angulaire de l’´
etat fondamental `
a une particule de l’oscillateur harmonique est nul. Celui du premier
excit´
e vaut 1. En effet, en utilisant l’expression des fonctions d’ondes disponible dans le formulaire et ˆ
Lz=−i~x∂
∂y−y∂
∂x,
on a pour l’´
etat fondamental ˆ
Lze−mω
2~(x2+y2+z2)=0 et de mˆ
eme pour les autres composantes. Pour le premier ´
etat excit´
e on
calcule par exemple ˆ
L2|100i=2~2|100i, ce qui est compatible avec un moment cin´
etique 1. (NB : les ´
etats |100i,|010iet
|001ine sont pas ´
etats propres de ˆ
Lz, mais ils forment une base des ´
etats propres, voir exercice 30 pour le cas 2D). D’autre
part, le cours sur le potentiel central vous donne directement la r´
eponse. La composition de ces trois moments cin´
etiques
donne un moment cin´
etique 1.
3. Quel est le moment de spin total des trois ´
electrons ?
R´
eponse : Les deux ´
electrons dans l’´
etat |(0,0,0,±1/2)icorrespondent `
aSf=0 afin d’avoir un ´
etat antisym´
etrique
(principe de Pauli). Le troisi`
eme ´
electron a un spin 1/2 et donc S=1/2
4. En d´
eduire le moment cin´
etique total du syst`
eme.
R´
eponse : L=1 et S=1/2⇒J=1/2,3/2
5. D´
eterminer l’expression correctement sym´
etris´
ee de l’un des ´
etats du niveau fondamental.
R´
eponse : Prenons l’´
etat |(0,0,0,1/2); (0,0,0,−1/2),(1,0,0,1/2)ique nous ´
ecrivons de fac¸on plus compacte |+−1i. L’ap-
plication de l’antisym´
etriseur donne, apr`
es normalisation, |Ψi=(|+−1i−|+1−i−|−+1i+|−1+i+|1+−i−|1−+i)/√6
1
/
1
100%
