MU4PY102 Exercice maison 1. 4 Novembre 2020 On considère trois électrons (sans interaction) dans un potentiel harmonique isotrope à trois dimensions de pulsation ω. 1. Quel est l’énergie de l’état fondamental du système ? Quel est sa dégénérescence ? Réponse : On décrit l’état de chaque électron par le quadruplet (n x , ny , nz , sz ). Les états fondamentaux possibles non symétrisés sont : — |(0, 0, 0, 1/2); (0, 0, 0, −1/2), (1, 0, 0, ±1/2)i — |(0, 0, 0, 1/2); (0, 0, 0, −1/2), (0, 1, 0, ±1/2)i — |(0, 0, 0, 1/2); (0, 0, 0, −1/2), (0, 0, 1, ±1/2)i Le niveau fondamental est donc dégénéré 6 fois et possède une énergie 11~ω/2. 2. Quel est le moment angulaire total des trois électrons ? Réponse : Le moment angulaire de l’état fondamental à une particule de l’oscillateur harmonique est nul. Celui du premier ∂ ∂ excité vaut 1. En effet, en utilisant l’expression des fonctions d’ondes disponible dans le formulaire et L̂z = −i~ x ∂y − y ∂x , on a pour l’état fondamental L̂z e− 2~ (x +y +z ) = 0 et de même pour les autres composantes. Pour le premier état excité on calcule par exemple L̂2 |100i = 2~2 |100i, ce qui est compatible avec un moment cinétique 1. (NB : les états |100i, |010i et |001i ne sont pas états propres de L̂z , mais ils forment une base des états propres, voir exercice 30 pour le cas 2D). D’autre part, le cours sur le potentiel central vous donne directement la réponse. La composition de ces trois moments cinétiques donne un moment cinétique 1. mω 2 2 2 3. Quel est le moment de spin total des trois électrons ? Réponse : Les deux électrons dans l’état |(0, 0, 0, ±1/2)i correspondent à S f = 0 afin d’avoir un état antisymétrique (principe de Pauli). Le troisième électron a un spin 1/2 et donc S = 1/2 4. En déduire le moment cinétique total du système. Réponse : L = 1 et S = 1/2 ⇒ J = 1/2, 3/2 5. Déterminer l’expression correctement symétrisée de l’un des états du niveau fondamental. Réponse : Prenons l’état |(0, 0, 0, 1/2); (0, 0, 0, −1/2), (1, 0, 0, 1/2)i que nous écrivons de façon plus compacte |+ − 1i. L’ap√ plication de l’antisymétriseur donne, après normalisation, |Ψi = (|+ − 1i − |+1−i − |− + 1i + |−1+i + |1 + −i − |1 − +i)/ 6
