Analyse Complexe: Intégrales et Formule de Cauchy - Exercices

ANALYSE COMPLEXE
Chapitre IV
INTÉGRALES COMPLEXES ET FORMULE INTÉGRALE DE CAUCHY

EXERCICES DE RÉVISIONS : ANALYSE COMPLEXE-CHAPITRE IV
Intégrale Complexe
L’intégrale d’une fonction complexe f(z) = u+iv peut être évaluée directement
Zf(z)dz =F(z)
ou par décomposition
Zf(z)dz =Z(u+iv)(dx +idy) = Z(udx vdy) + iZ(udy +vdx):
Théorème de Cauchy
Si f(z)est holomorphe (analytique) dans un domaine D et sur sa frontière 
I
f(z)dz = 0:
Formules Intégrales de Cauchy
I
f(z)
zadz = 2i [f(z)]z=a:(aappelé pôle simple.)
I
f(z)
(za)ndz =2i (n1)! dn1f dzn1z=a
:(aappelé pôle d’ordre n.)
Lorsque le dénominateur contient deux pôles simples, on décompose l’intégrale
en deux parties puis on traite chaque pôle séparément.
I
f(z)
(za)(zb)dz =1 ab2
4I
f(z)
zadz I
f(z)
zbdz3
5=2i
ab[f(z)]z=a[f(z)]z=b:
Si la courbe entoure un seul pôle, apar exemple, le résultat est plus simple:
I
f(z)
(za)(zb)dz = 2i f(z) zbz=a
:
N.B:Toutes les courbes fermées sont parcourues dans le sens inverse des aiguilles d’une
montre: . Lorsque la courbe est parcourue dans le même sens des aiguilles d’une
montre: ;l’intégrale acquiert un signe (–).
Un pôle qui se trouve à l’extérieur de la courbe fermée ne contribue pas à l’intégrale.
Exemple: si aest à l’extérieur de :I
f(z)
zadz = 0:
F . H A M M A D http://sites.google.com/site/exerev

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1) INTÉGRALES COMPLEXES
1.1 Évaluer les intégrales suivantes
a) Z1
i
(x+ixy)dz: b) Z1+i
i
(1 + iy)dz: c) Z1
12i
(x2+i)dz:
Solution:
a) R1
i(x+ixy ) dz=R(1;0) (0;1) (x+ixy )(dx+idy)=R(1;0) (0;1) (xdxxydy)+iR(1;0) (0;1) (xydx+xdy)
=1
2x21 2xy2(1;0)
(0;1) +i1
2yx 2+xy (1;0)
(0;1) =1
2:
b) R1+i
i(1+iy) dz=R(1;1) (0;1) (1+iy)(dx+idy)=R(1;1) (0;1) (dxydy)+iR(1;1) (0;1) (dy+ydx)
=x1
2y2(1;1)
(0;1) +i[y+yx ](1;1)
(0;1) = 1 + i:
c) R1
12i(x2+i) dz=R(1;0) (1;2) (x2+i)(dx+idy)=R(1;0) (1;2) (x2dxdy)+iR(1;0) (1;2) (x2dy+dx)
=1
3x3y(1;0)
(1;2) +ix2y+x(1;0) (1;2) =2+2i:
1.2 Écrire dans chaque cas ci-dessous l’intégrant en fonction de z=x+iy puis évaluer l’intégrale
a) Z1
i
(2xy +i(x2y2))dz: b) Z1+i
1i
xiy
x2+y2dz: c) Z1
12i
(xiy)dz: d) Z1
12i
(x2+y2)dz:
Solution:
a) R1
i(2xy+i(x2y2)) dz=R1 ii(i2xy+(x2y2)) dz=iR1 iz2dz=i1
3z31
i=i(1
3+i 3) = 1 3+i 3:
b) R1+i
1i
xiy
x2+y2dz=R1+i
1i
xiy
(x+iy)(xiy)dz=R1+i
1i
1
zdz= [lnz]1+i
1i=ln(1+i)ln(1i)=ln( 1+i
1i)
=ln( p2ei
4
p2ei
4)=ln(ei
2)=
2i.
c) R1
12i(xiy) dz=R1 12izdz= [z z ]1
12i= [1.1 (1+2i).(12i)] =15=4.
d) R1
12i(x2+y2) dz=R1 12i(x–iy)(x+iy)dz=R1 12iz z dz=1
2z z 21
12i=1
21.1 (1+2i).(12i)2
=2+5i.
1.3 Évaluer l’intégrale suivante sur une courbe paramétrée par x= 1+tet y=tet t2[0;1],
reliant les points 1et 2 + i:Z2+i
1
(x+ixy)dz:
Solution:
R2+i
1(x+ixy )dz=R2+i 1(x+ixy )(dx+idy)=R1 0[1+t+i(1+t)t](dt+idt)
=R1
0(1t2)dt+iR1 0(1+2t+t2)dt=t1
3t31
0+it+t2+1
3t31
0=2
3+7 3i:
1.4 Évaluer les intégrales suivantes sur un demi-cercle de rayon 2et de centre (0,0):
a) Z
z2+4
zdz: b) Z
2x
z2+4 dz.c) Z
(z21
4)dz.
(Indication: Utiliser la forme polaire z=z0+Rei ;z0est le centre du cercle et R son rayon. dz=iReid)
Solution: Sur le demi-cercle de centre (0,0) et rayon constant 2 on utilise la forme polaire z=2ei,avec 2[0; ].
a) R
z2+4
zdz=R
0
4e2i +4
2ei d(2ei)=4iR
0(e2i + 1)d=4i[e2i
2i+]
0=4i[e2i 1
2i+] = 4i.
b) R
2x
z2+4 dz=R
z+z
z2+4 dz=R
0
2ei +2ei
4e2i +4 d(2ei)=iR
0d=i.
c) R(z21
4)dz=R
0(1
4e2i 1 4) d(2ei)=1 2iR
0(ei ei)d=R 0sind=2.

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1.5 Évaluer l’intégrale suivante d’abord par la méthode directe puis en e¤ectuant l’intégration
suivant les chemins indiqués.Z3+i
12i
(2z+ 3)dz:
a) Le long du chemin: x= 2t+ 1; y = 4t2t2 : 0 6t61:
b) Le long de la droite joignant (1 2i)et (3 + i) :
c) Le long des segments joignant (1 2i)et (1 + i)puis (1 + i)et (3 + i) :
d) Le long des demi-cercles C1et C2:C1(de centre z0= 1 1
2i; de rayon R= 3=2:)
C2(de centre z0= 2 + i; de rayon R= 1:)
Solution: Calculons l’intégrale par la méthode directe :
Z3+i
12i
(2z+3)dz=z2+3z3+i
12i= (3+i)2(12i)2+3(3+i)3(12i) = 17 +19i:
Calculons maintenant l’intégrale le long des di¤érents chemins indiqués.
N.B: Nous allons trouver le même résultat le long de chaque chemin car la fonction (2z+3)est holomorphe.
L’intégrale d’une fonction holomorphe ne dépend pas du chemin suivi.
a) Intégration le long du chemin x=2t+1;y=4t2t2:06t61:
Z3+i
12i
(2z+3)dz=Z3+i
12i
(2x+3+2iy)(dx+idy)
=Z1
04t+5+i(8t22t4)[2dt+i(8tdtdt)]
=Z1
04t+5+i(8t22t4)[2+i(8t1)] dt
=Z1
064t3+24t2+38t+6)dt+iZ1 048t2+32t13dt
=16t4+8t3+19t2+6t1
0+i16t3+16t213t1 0=17 +19i:
b) Le long de la droite joignant (12i)et (3+i) : Il nous faut d’abord trouver l’équation y=ax +bdu segment:
(12i) : x=1;y=2
(3+i) : x=3;y=1=)2=a+b 1=3a+b=)a=3
2;b=7 2=)y=3
2x7 2:
ZDroite
(2z+3)dz=Z(y=3
2x7 2)
[2x+3+2iy] (dx+idy)
=Zx=3
x=1 2x+3+2i(3
2x7 2)(dx+i3 2dx)
=Zx=3
x=1
[2x+3+i(3x7)] (1+i3
2)dx
=x2+3x+i(3
2x27x)3
1(1+3
2i)
= (14 2i)(1+3
2i) = 17 +19i:
i3 +
i21−
3
1
1
2−
c) Le long des segments joignant (12i)et (1+i)puis (1+i)et (3+i) :
Il nous faut d’abord trouver l’équation de chaque segment.
Segment
vertical (12i) : x=1;y=2 (1+i) : x=1;y=1=)x=1:
Segment
horizontal (1+i) : x=1;y=1 (3+i) : x=3;y=1=)y=1:
i3 +
i21−
3
1
1
2−
i1+
ZSv
(2z+3)dz+ZSh (2z+3)dz=Z(x=1) [2x+3+2iy] (dx+idy) + Z(y=1) [2x+3+2iy] (dx+idy)
=Zy=1
y=2
[2+3+2iy] (idy) + Zx=3
x=1
[2x+3+2i] (dx)
=5iyy21
2+x2+3x+2ix3 1=17 +19i:

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d) Le long des demi-cercles C1et C2:
Utilisons la représentation polaire z=z0+Rei sur chaque demi-cercle. Nous avons alors dz=iReid:
ZC1
(2z+3)dz+ZC2 (2z+3)dz
=ZC12(z0+Rei) + 3iReid+ZC22(z0+Rei) + 3iReid
=Z=
2
=
22(11
2i+3 2ei) + 3i3 2eid+Z=0
=2(2+i+ei) + 3ieid
=Z
2
25i+3
2eii3 2eid+Z0
7+2i+2eiieid
=Z
2
2(15
2i+3 2)ei +9 2ie2id+Z0
(7i2)ei +2ie2id
=(15
2+3 2i)ei +9 4e2i
2
2
+(72
i)ei +e2i0
=(15
2+3 2i)(i+i) + 9 4(1 + 1)+(72 i)(1+1)+(11)=17 +19i:
i3 +
i21−
i1+
1
C
2
C
2) FORMULE INTÉGRALE DE CAUCHY
2.1 Évaluer chacune des intégrales suivantes sur les courbes indiquées:
a) I
z2+z+ 1
z1idz.un cercle de centre (1,0) et de rayon 2.
b) I
z+ cos z
z
2
dz.un cercle de centre (0,1) et de rayon 1.
c) I
sin z
2z1dz.un cercle de centre (1,1) et de rayon 3.
d) I
ez
3z2dz.un carré de sommets A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1), D(1,-1).
e) I
z4+z3+ 1
(z+i)3dz: une courbe quelconque fermée autour du point i.
f) I
z+e2z+ 1
z4dz: un cercle de centre (1,1) et de rayon 2.
g) I
zez+ 1
(z1)(zi)dz: une ellipse de foyers 1 et i.
h) I
eiz + 2
z(z1 + i)dz: un cercle de centre (0,0) et de rayon1
2.
i) I
e2iz + 1
z21dz: un cercle d’équation jz1j=1
2.
j) I
zdz
z4+ 4 :un cercle d’équation jz1ij=1
2:
k) I
cos iz
(zi)(2z+i)dz : une ellipse d’équation paramétrique x= sin t;y= 3 cos t.
l) I
e2zdz
(2z+ 1)5:un cercle d’équation paramétrique x= 3 cos t;y= 3 sin t.
Solution:
a) Le pôle de l’intégrant est 1+i(pôle simple) et se trouve à l’intérieur du cercle , donc
H
z2+z+1
z1idz=2i(z2+z+1)z=1+i=6+4i.
i1+
)0,1(
×
Γ