Feuille d’exercices No1 : Nombres réels
ENSA DE MARRAKECH ANNÉE 2020/2021
M. A. Taoudi
VRAI ou FAUX ? .
1. La somme de deux irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
2. La racine carrée d’un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
3. Le produit de deux nombres irrationnels positifs distincts est irrationnel.
4. p5est un nombre rationnel.
5. p2+p3+p5est un nombre rationnel.
6. ln3
ln2 est un nombre rationnel.
7. Si xet ysont deux rationnels positifs tels que pxet pysoient irrationnels, alors px+pyest irrationnel.
8. L’équation x3+x−1=0n’admet pas de solution rationnelle.
9. Il existe deux nombres irrationnels positifs xet ytels que xysoit rationnel.
10. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) x=y
(b) ∀²>0, |x−y|<².
Exercice 1
Etant donné un ensemble A⊂R,écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :
1. 7est un majorant et 3est un minorant de A.
2. Aest majoré (resp. minoré).
3. An’est pas majoré (resp. minoré).
4. Aest borné.
5. An’est pas borné.
Exercice 2
1. Montrer que pour tout x∈[0, 1], on a 0≤x(1 −x)≤1
4.
2. En déduire que pour tout (a,b,c)∈[0,1]3,on a :
min(a(1 −b), b(1 −c), c(1 −a)) ≤1
4.
Exercice 3
1
1. Montrer que pour tout x∈R,on a :
E(x)+E(−x)=
0, si x∈Z
−1, six∉Z
2. Montrer que pour tout (x,y)∈R2,on a :
E(x)+E(y)≤E(x+y)≤E(x)+E(y)+1.
3. Montrer que pour tous x∈Ret n∈N∗on a : 0≤E(nx)−nE(x)≤n−1. En déduire que E( E(nx)
n)=E(x).
4. Montrer que pour tout n∈Zon a : E( n−1
2)+E( n+2
4)+E( n+4
4)=n.
5. Montrer que pour tout n∈N,on a
E³(pn+pn+1)2´=4n+1.
6. Montrer que pour tout x∈Ron a :
E(x+1
2)+E(x+1) +E(2x+1
2)=E(4x+1).
7. Montrer que pour tous entiers relatifs met non a :
E( m+n
2)+E( n−m+1
2)=n.
(On pourra distinguer les cas m+npair et m+nimpair).
8. Montrer que pour tout x∈Ron a :
n−1
X
i=0
E(x+i
n)=E(nx).
Exercice 4
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose :
αn=
n2−1
X
k=1
1
pk.
1. Montrer que pour tout k∈N∗on a :
1
2pk+1<pk+1−pk<1
2pk.
2. En déduire la partie entière de αn.
Exercice 5
Soit (a,b)∈R2tel que a≤b.Montrer que si [a,b]∩Z= ; alors b−a<1.
Exercice 6
2
Soient Aet Bdeux parties non vides bornées de R.
1. Supposons que A⊂B. Comparer inf A, sup A, infB et supB.
2. Montrer que A∪Best bornée, sup(A ∪B) =max(sup A, supB) et inf(A ∪B) =min(inf A, infB).
3. Montrer que si A∩B6= ;,alors inf(A ∩B) ≥max(inf A, infB).
Exercice 7
Soient A⊂R, B ⊂R, A 6=;, B 6=;. On pose :
A+B={a+b/a∈A, b∈B} ={x∈R,∃(a,b)∈A×B, x=a+b}
A.B ={a.b/a∈A, b∈B} ={x∈R,∃(a,b)∈A×B, x=a.b}
1. On suppose que Aet Bsont majorées. Montrer que A+Badmet une borne supérieure et que : sup(A+B) =
sup A +supB.
2. On suppose que Aet Bsont majorées et que A⊂R+et B⊂R+. Montrer que A.B admet une borne
supérieure et que :
sup(A.B) =sup A. sup B.
3. On suppose que que A⊂R∗
+et B⊂R∗
−. Montrer que A.B admet une borne supérieure et que :
sup(A.B) =inf A. sup B.
Exercice 8
Soient Aune partie non vide et bornée de Ret B={|x−y|: (x,y)∈A×A}. Montrer que : sup B =sup A −inf A.
Exercice 9
Soient Aet Bdeux parties non vides de Rvérifiant :
∀(a,b)∈A×B, a≤b.
Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤inf(B).
Exercice 10
Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure (lorsqu’elles existent) des ensembles suivants :
E=½1
n:n∈N∗¾,F =½1
n+(−1)n:n∈N∗¾,G =½1
n+1
m:n,m∈N∗¾,
H=Q∩[0,1[, K ={x+1
x:x∈R∗
+}, L ={n
mn +1:m,n∈N∗}, A ={p−q
p+q+1: (p,q)∈N2,p≥q},
B={2n2−3m
n2+m: (n,m)∈N2, 0 <n<m}, C ={mn
m2+n2+1: (p,q)∈N∗2}.
Exercice 11
3
On appelle nombre dyadique tout nombre rationnel de la forme m
2navec m∈Zet n∈N.Montrer que
l’ensemble des nombres dyadiques est dense dans R.
Exercice 12
Soient E={p+qp2, (p,q)∈Z2}et u=p2−1.
1. Montrer que pour tout entier n∈Zet pour tout v∈E, on a nv ∈E.
2. Montrer par récurrence que l’on a un∈Equelque soit l’entier n≥1.
3. Montrer que l’on a 0<u<1
2.En déduire que l’on a 0<un<1
npour tout entier n≥1.
4. Soient aet bdeux nombres réels tels que a<b.Montrer qu’il existe un entier n0≥1tel que 0<
un0<b−a.En déduire qu’il existe un élément de Eappartenant à l’intervalle ]a,b[(on pourra poser
m=E³a
un0´+1, puis montrer que mun0∈]a,b[).
5. Que peut-on déduire ?
Exercice 13
Soit Gune partie non vide de Rtelle que :
G6={0}; ∀x,y∈G, x+y∈Get ∀x,y∈G, x−y∈G.
1. Montrer que G∩R∗
+admet une borne inférieure adans Ret que a≥0.
2. (a) On suppose que a>0. Montrer que G=aZ.
(b) On suppose que a=0. Montrer que Gest dense dans R.
3. En utilisant les questions précédentes, montrer que l’ensemble E={p+qp2, (p,q)∈Z2}est dense dans
R.
Exercice 14
Soit f: [0,1] →[0,1] une application croissante. On pose A={x∈[0,1] : x≤f(x)}.
1. Montrer que Aest non vide et admet une borne supérieure α.
2. Montrer que f(α)=α.
Exercice 15
Exercices facultatifs
4
(ENSA-M Décembre 2016) Soient F={pa−pb, (a,b)∈N2}et G={pn+1−pn,n∈N}.
1. Calculer lim
n→+∞(pn+1−pn).
2. (a) Montrer que Gest une partie bornée de R.
(b) Déterminer la borne supérieure de G. La partie Gadmet-elle un plus grand élément ?
(c) Montrer que inf(G) =0. La partie Gadmet-elle un plus petit élément ?
3. Soit (x,y)∈R2tel que x<y.
(a) Montrer qu’il existe z∈Gtel que 0<z<y−x.
(b) Soit k=E( x
z)+1. Montrer que x<kz <y.
(c) En déduire que Fest dense dans R.
Exercice 16
(ENSA-M Novembre 2017) Soit f:R→Rla fonction définie par f(x)=x3+x−1. On considère les ensembles
A={a∈Q:f(a)<0} et B={b∈Q:f(b)>0}.
1. Vérifier que 1
2∈Aet 3
4∈B.
2. Etudier la monotonie de f.
3. Montrer que l’équation f(x)=0n’a pas de solution dans Q.
4. Montrer que A∩B=; et A∪B=Q.
5. Montrer que ∀a∈A∀b∈B, a<b.
6. Justifier que sup A et inf B existent dans Ret montrer que 0<sup A ≤infB <1.
7. Montrer que f(sup A) ≤0et f(inf B) ≥0.
8. Montrer que sup A =infB (raisonner par l’absurde et utiliser la densité de Qdans R). En déduire la
solution de l’équation f(x)=0.
Exercice 17
(ENSA-M Février 2018) Soit l’ensemble
A=(1
n+E¡2
n¢
n+2:n∈N∗).
1. Montrer que Aest une partie non vide et bornée de R.
2. Montrer que l’ensemble Aadmet un plus grand élément et le déterminer.
3. Soit a=inf(A).
(a) On suppose que a>0. Montrer qu’il existe p∈Ntel que p>2et 1
p2+2p<a.
(b) En déduire la valeur de a.
4. L’ensemble Aadmet-il un plus petit élément ? Justifier votre réponse.
Exercice 18
5
1
/
5
100%
