(ENSA-M Décembre 2016) Soient F={pa−pb, (a,b)∈N2}et G={pn+1−pn,n∈N}.
1. Calculer lim
n→+∞(pn+1−pn).
2. (a) Montrer que Gest une partie bornée de R.
(b) Déterminer la borne supérieure de G. La partie Gadmet-elle un plus grand élément ?
(c) Montrer que inf(G) =0. La partie Gadmet-elle un plus petit élément ?
3. Soit (x,y)∈R2tel que x<y.
(a) Montrer qu’il existe z∈Gtel que 0<z<y−x.
(b) Soit k=E( x
z)+1. Montrer que x<kz <y.
(c) En déduire que Fest dense dans R.
Exercice 16
(ENSA-M Novembre 2017) Soit f:R→Rla fonction définie par f(x)=x3+x−1. On considère les ensembles
A={a∈Q:f(a)<0} et B={b∈Q:f(b)>0}.
1. Vérifier que 1
2∈Aet 3
4∈B.
2. Etudier la monotonie de f.
3. Montrer que l’équation f(x)=0n’a pas de solution dans Q.
4. Montrer que A∩B=; et A∪B=Q.
5. Montrer que ∀a∈A∀b∈B, a<b.
6. Justifier que sup A et inf B existent dans Ret montrer que 0<sup A ≤infB <1.
7. Montrer que f(sup A) ≤0et f(inf B) ≥0.
8. Montrer que sup A =infB (raisonner par l’absurde et utiliser la densité de Qdans R). En déduire la
solution de l’équation f(x)=0.
Exercice 17
(ENSA-M Février 2018) Soit l’ensemble
A=(1
n+E¡2
n¢
n+2:n∈N∗).
1. Montrer que Aest une partie non vide et bornée de R.
2. Montrer que l’ensemble Aadmet un plus grand élément et le déterminer.
3. Soit a=inf(A).
(a) On suppose que a>0. Montrer qu’il existe p∈Ntel que p>2et 1
p2+2p<a.
(b) En déduire la valeur de a.
4. L’ensemble Aadmet-il un plus petit élément ? Justifier votre réponse.
Exercice 18
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