TD1 Analyse 2020 Nombre Reels

ENSA DE M ARRAKECH
Feuille d’exercices No 1 :
A NNÉE 2020/2021
Nombres réels
M. A. Taoudi
Exercice 1
VRAI ou FAUX ?
.
1. La somme de deux irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
2. La racine carrée d’un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
3. Le produit de deux nombres irrationnels positifs distincts est irrationnel.
p
4. 5 est un nombre rationnel.
p
p
p
5. 2 + 3 + 5 est un nombre rationnel.
ln 3
est un nombre rationnel.
6.
ln 2
p
p p
p
7. Si x et y sont deux rationnels positifs tels que x et y soient irrationnels, alors x + y est irrationnel.
8. L’équation x 3 + x − 1 = 0 n’admet pas de solution rationnelle.
9. Il existe deux nombres irrationnels positifs x et y tels que x y soit rationnel.
10. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) x = y
(b) ∀² > 0, |x − y| < ².
Exercice 2
Etant donné un ensemble A ⊂ R, écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :
1. 7 est un majorant et 3 est un minorant de A.
2. A est majoré (resp. minoré).
3. A n’est pas majoré (resp. minoré).
4. A est borné.
5. A n’est pas borné.
Exercice 3
1
1. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a 0 ≤ x(1 − x) ≤ .
4
3
2. En déduire que pour tout (a, b, c) ∈ [0, 1] , on a :
1
min(a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a)) ≤ .
4
1
Exercice 4
1. Montrer que pour tout x ∈ R, on a :
E(x) + E(−x) =

 0,

si x ∈ Z
−1,
si x ∉ Z
2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , on a :
E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
3. Montrer que pour tous x ∈ R et n ∈ N∗ on a : 0 ≤ E(nx)−nE(x) ≤ n −1. En déduire que E(
4. Montrer que pour tout n ∈ Z on a : E(
n +2
n +4
n −1
) + E(
) + E(
) = n.
2
4
4
5. Montrer que pour tout n ∈ N, on a
³p
´
p
E ( n + n + 1)2 = 4n + 1.
6. Montrer que pour tout x ∈ R on a :
1
1
E(x + ) + E(x + 1) + E(2x + ) = E(4x + 1).
2
2
7. Montrer que pour tous entiers relatifs m et n on a :
E(
n −m +1
m +n
) + E(
) = n.
2
2
(On pourra distinguer les cas m + n pair et m + n impair).
8. Montrer que pour tout x ∈ R on a :
n−1
X
E(x +
i =0
i
) = E(nx).
n
Exercice 5
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose :
αn =
2
nX
−1
k=1
1
p .
k
1. Montrer que pour tout k ∈ N∗ on a :
p
p
1
1
< k +1− k < p .
p
2 k +1
2 k
2. En déduire la partie entière de αn .
Exercice 6
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a ≤ b. Montrer que si [a, b] ∩ Z = ; alors b − a < 1.
2
E(nx)
) = E(x).
n
Exercice 7
Soient A et B deux parties non vides bornées de R.
1. Supposons que A ⊂ B. Comparer inf A, sup A, inf B et sup B.
2. Montrer que A ∪ B est bornée, sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B) et inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B).
3. Montrer que si A ∩ B 6= ;, alors inf(A ∩ B) ≥ max(inf A, inf B).
Exercice 8
Soient A ⊂ R, B ⊂ R, A 6= ;, B 6= ;. On pose :
A + B = {a + b/ a ∈ A, b ∈ B} = {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b}
A.B = {a.b/ a ∈ A, b ∈ B} = {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a.b}
1. On suppose que A et B sont majorées. Montrer que A+B admet une borne supérieure et que : sup(A+B) =
sup A + sup B.
2. On suppose que A et B sont majorées et que A ⊂ R+ et B ⊂ R+ . Montrer que A.B admet une borne
supérieure et que :
sup(A.B) = sup A. sup B.
3. On suppose que que A ⊂ R∗+ et B ⊂ R∗− . Montrer que A.B admet une borne supérieure et que :
sup(A.B) = inf A. sup B.
Exercice 9
Soient A une partie non vide et bornée de R et B = {|x − y| : (x, y) ∈ A × A}. Montrer que : sup B = sup A − inf A.
Exercice 10
Soient A et B deux parties non vides de R vérifiant :
∀(a, b) ∈ A × B, a ≤ b.
Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
Exercice 11
Déterminer
la borne
et la borne inférieure
¾ supérieure
½
¾
½(lorsqu’elles existent)¾des ensembles suivants :
½
E=
1
:
n
n ∈ N∗ , F =
1
+ (−1)n :
n
n ∈ N∗ , G =
1
1
+
:
n m
n, m ∈ N∗ ,
1
n
p −q
: x ∈ R∗+ }, L = {
: m, n ∈ N∗ }, A = {
: (p, q) ∈ N2 , p ≥ q},
x
mn + 1
p +q +1
2
2n 2 − 3m
mn
B={ 2
: (n, m) ∈ N2 , 0 < n < m}, C = { 2
: (p, q) ∈ N∗ }.
2
n +m
m +n +1
H = Q ∩ [0, 1[, K = {x +
3
Exercice 12
On appelle nombre dyadique tout nombre rationnel de la forme
l’ensemble des nombres dyadiques est dense dans R.
m
avec m ∈ Z et n ∈ N. Montrer que
2n
Exercice 13
p
p
Soient E = {p + q 2, (p, q) ∈ Z2 } et u = 2 − 1.
1. Montrer que pour tout entier n ∈ Z et pour tout v ∈ E, on a nv ∈ E.
2. Montrer par récurrence que l’on a u n ∈ E quelque soit l’entier n ≥ 1.
1
1
3. Montrer que l’on a 0 < u < . En déduire que l’on a 0 < u n < pour tout entier n ≥ 1.
2
n
4. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Montrer qu’il existe un entier n 0 ≥ 1 tel que 0 <
u n0 < b
³ −a a.´ En déduire qu’il existe un élément de E appartenant à l’intervalle ]a, b[ (on pourra poser
m = E n + 1, puis montrer que mu n0 ∈]a, b[).
u 0
5. Que peut-on déduire ?
Exercice 14
Soit G une partie non vide de R telle que :
G 6= {0};
∀x, y ∈ G, x + y ∈ G
et ∀x, y ∈ G, x − y ∈ G.
1. Montrer que G ∩ R∗+ admet une borne inférieure a dans R et que a ≥ 0.
2.
(a) On suppose que a > 0. Montrer que G = a Z.
(b) On suppose que a = 0. Montrer que G est dense dans R.
p
3. En utilisant les questions précédentes, montrer que l’ensemble E = {p + q 2, (p, q) ∈ Z2 } est dense dans
R.
Exercice 15
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application croissante. On pose A = {x ∈ [0, 1] : x ≤ f (x)}.
1. Montrer que A est non vide et admet une borne supérieure α.
2. Montrer que f (α) = α.
Exercices facultatifs
4
Exercice 16
p
p
p
p
(ENSA-M Décembre 2016) Soient F = { a − b, (a, b) ∈ N2 } et G = { n + 1 − n, n ∈ N}.
p
p
1. Calculer lim ( n + 1 − n).
n→+∞
2.
(a) Montrer que G est une partie bornée de R.
(b) Déterminer la borne supérieure de G. La partie G admet-elle un plus grand élément ?
(c) Montrer que inf(G) = 0. La partie G admet-elle un plus petit élément ?
3. Soit (x, y) ∈ R2 tel que x < y.
(a) Montrer qu’il existe z ∈ G tel que 0 < z < y − x.
x
z
(b) Soit k = E( ) + 1. Montrer que x < kz < y.
(c) En déduire que F est dense dans R.
Exercice 17
(ENSA-M Novembre 2017) Soit f : R → R la fonction définie par f (x) = x 3 + x − 1. On considère les ensembles
A = {a ∈ Q : f (a) < 0} et B = {b ∈ Q : f (b) > 0}.
1
3
∈ A et ∈ B.
2
4
2. Etudier la monotonie de f .
1. Vérifier que
3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution dans Q.
4. Montrer que A ∩ B = ; et A ∪ B = Q.
5. Montrer que ∀a ∈ A ∀b ∈ B, a < b.
6. Justifier que sup A et inf B existent dans R et montrer que 0 < sup A ≤ inf B < 1.
7. Montrer que f (sup A) ≤ 0 et f (inf B) ≥ 0.
8. Montrer que sup A = inf B (raisonner par l’absurde et utiliser la densité de Q dans R). En déduire la
solution de l’équation f (x) = 0.
Exercice 18
(ENSA-M Février 2018) Soit l’ensemble
(1
n
A=
+E
¡2¢
n
n +2
)
: n∈N
∗
.
1. Montrer que A est une partie non vide et bornée de R.
2. Montrer que l’ensemble A admet un plus grand élément et le déterminer.
3. Soit a = inf(A).
(a) On suppose que a > 0. Montrer qu’il existe p ∈ N tel que p > 2 et
(b) En déduire la valeur de a.
4. L’ensemble A admet-il un plus petit élément ? Justifier votre réponse.
5
1
p 2 + 2p
< a.