TD 1 : L`ensemble R

Université Paris-Est Marne-la-Vallée Licence L1 Maths/Info
2nd semestre 2011/2012 Analyse 1
TD 1 : L’ensemble R
Exercice 1. Nombres rationnels
1. Retrouver la forme fractionnaire d’un rationnel à partir de son d.d.i : un exemple.
Soit le nombre rationnel x= 21.3059467467467 ··· (dans laquelle la séquence des 3 déci-
males 4,6,7, se reproduit indéfiniment). On veut retrouver la forme fractionnaire p
qde x.
On pose y= 0.467467467 ···. Retrouver la forme fractionnaire de yen considérant 1000y.
En déduire la forme fractionnaire de xen évaluant le nombre 10000xen fonction de y.
2. Cas général.
Soit x=E.a1···anb1···bpb1···bpb1···bp··· un nombre rationnel quelconque à dévelop-
pement décimal illimité (E∈N,a1···an,b1···bpdésignant des chiffres quelconque entre
0et 9, la séquence de décimales b1···bpse répétant indéfiniment). En s’inspirant de la
méthode présentée en question 1., retrouver la forme fractionnaire de xen fonction de E,
a1···an,b1···bp.
3. Application.
Trouver la forme fractionnaire de a= 1.08424242 ··· et b= 5.74327432 ···.
Exercice 2. Densité de Qdans R
1. Justifier que pour tout réel u > 0, il existe un entier naturel p∈N∗, tel que 0<1
p< u.
2. En déduire que pour tous réels x, y tels que x<y, il existe z∈Q∗
+tel que 0< z < y −x.
3. Soit n=Ex
z, où Edésigne la partie entière. Montrer que l’on a 0<(n+ 1)z−x≤z.
4. En déduire que (n+ 1)z∈]x, y[, puis que Qest dense dans R.
Exercice 3. Opérations dans R
Montrer que si x6= 0 est rationnel et yirrationnel alors x+y,xy,x
ysont irrationnels. Si le
réel x+yest rationnel, les réels xet ysont-ils nécessairement rationnels ?
Exercice 4. Partie entière d’un nombre réel
Soit xun nombre réel. On appelle partie entière de xl’unique entier naturel ntel que n≤
x<n+ 1.
1. Montrer que pour tout réel x, on a E(x+ 1) = E(x)+1.
2. En déduire que la fonction g:x7→ g(x) = x−E(x)est 1-périodique et tracer sa courbe
représentative. Tracer également celle de la fonction f:x7→ E(x).
Exercice 5.
Montrer que √3est un nombre irrationnel.
Donner une suite de nombres rationnels qui converge vers √3.
Exercice 6.
Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure des sous-ensembles de Rsuivants, après
avoir justifié leur existence. Ces parties possèdent-elles un plus petit et un plus grand élément ?
E={x∈Q; 0 <3x≤1}, F ={x∈Q+;x2≤2}, G = ([0,2] ∩R\Q)∪(]1,√10] ∩Q).
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Exercice 7.
Soit A={1
n+ (−1)n;n∈N∗}. Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de Asi
elles existent. La partie Apossède-t-elle un plus grand élément et un plus petit élément ?
Mêmes questions pour B={2 + 1
m−1 n; (m, n)∈N∗×N∗}.
Exercice 8.
Même exercice que précédemment pour
A={x+1
x;x∈]0,2[}, B ={x2e−x;x∈[1; +∞[},
C={x∈R;∃y∈R∗, x =1
y2+ 3}, D ={y∈R;∃x∈R∗, y =2x2−27 5x2}.
Exercice 9.
Soient A, B deux parties non vides et majorées de Rtelles que A∩B6=∅.
Montrer que A∪Bet A∩Bsont majorées et que l’on a :
sup(A∪B) = max(sup(A),sup(B)) et sup(A∩B)≤min(sup(A),sup(B)).
Montrer, à l’aide d’un exemple, que la seconde inégalité peut être stricte.
Indication : Considérer deux parties Aet B, d’intersection réduite à un point et de réunion égale
à l’intervalle [0,1].
Exercice 10.
Soient Iun intervalle de Ret f:I→R,g:I→Rdeux fonctions bornées sur I.
1. Traduire cette hypothèse de deux manières différentes (avec et sans valeurs absolues).
2. Montrer que
sup
x∈I|f(x) + g(x)| ≤ sup x∈I|f(x)|+ sup x∈I|g(x)|.
3. Trouver un exemple de fonctions f, g pour lesquelles l’inégalité précédente est stricte.
4. Trouver un exemple de fonctions f, g positives pour lesquelles l’inégalité est stricte.
Exercice 11.
Soit f: [0,1] →[0,1] une application croissante et soit A={x∈[0,1]; x≤f(x)}.
1. Montrer que Aest une partie non vide et majorée de R.
2. On note a= sup(A). montrer que a∈[0,1].
3. Montrer que f(a)est un majorant de A. En déduire que a∈A.
4. On suppose que a= 1. Montrer alors que f(1) = 1.
5. On suppose que a∈[0,1[. Montrer que f(a)est un minorant de ]a, 1]. En déduire que
f(a) = a.
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