TD 1 : L`ensemble R

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
2nd semestre 2011/2012
Licence L1 Maths/Info
Analyse 1
TD 1 : L’ensemble R
Exercice 1. Nombres rationnels
1. Retrouver la forme fractionnaire d’un rationnel à partir de son d.d.i : un exemple.
Soit le nombre rationnel x = 21.3059467467467 · · · (dans laquelle la séquence des 3 décimales 4, 6, 7, se reproduit indéfiniment). On veut retrouver la forme fractionnaire pq de x.
On pose y = 0.467467467 · · · . Retrouver la forme fractionnaire de y en considérant 1000y.
En déduire la forme fractionnaire de x en évaluant le nombre 10000x en fonction de y.
2. Cas général.
Soit x = E.a1 · · · an b1 · · · bp b1 · · · bp b1 · · · bp · · · un nombre rationnel quelconque à développement décimal illimité (E ∈ N, a1 · · · an , b1 · · · bp désignant des chiffres quelconque entre
0 et 9, la séquence de décimales b1 · · · bp se répétant indéfiniment). En s’inspirant de la
méthode présentée en question 1., retrouver la forme fractionnaire de x en fonction de E,
a1 · · · an , b1 · · · bp .
3. Application.
Trouver la forme fractionnaire de a = 1.08424242 · · · et b = 5.74327432 · · · .
Exercice 2. Densité de Q dans R
1. Justifier que pour tout réel u > 0, il existe un entier naturel p ∈ N∗ , tel que 0 <
1
p
< u.
2. En déduire que pour tous réels x, y tels que x < y, il existe z ∈ Q∗+ tel que 0 < z < y − x.
3. Soit n = E xz , où E désigne la partie entière. Montrer que l’on a 0 < (n + 1)z − x ≤ z.
4. En déduire que (n + 1)z ∈]x, y[, puis que Q est dense dans R.
Exercice 3. Opérations dans R
Montrer que si x 6= 0 est rationnel et y irrationnel alors x + y, xy, xy sont irrationnels. Si le
réel x + y est rationnel, les réels x et y sont-ils nécessairement rationnels ?
Exercice 4. Partie entière d’un nombre réel
Soit x un nombre réel. On appelle partie entière de x l’unique entier naturel n tel que n ≤
x < n + 1.
1. Montrer que pour tout réel x, on a E(x + 1) = E(x) + 1.
2. En déduire que la fonction g : x 7→ g(x) = x − E(x) est 1-périodique et tracer sa courbe
représentative. Tracer également celle de la fonction f : x 7→ E(x).
Exercice 5.
√
Montrer que 3 est un nombre irrationnel.
√
Donner une suite de nombres rationnels qui converge vers 3.
Exercice 6.
Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure des sous-ensembles de R suivants, après
avoir justifié leur existence. Ces parties possèdent-elles un plus petit et un plus grand élément ?
√
E = {x ∈ Q; 0 < 3x ≤ 1}, F = {x ∈ Q+ ; x2 ≤ 2}, G = ([0, 2] ∩ R \ Q) ∪ (]1, 10] ∩ Q).
1
Exercice 7.
Soit A = { n1 + (−1)n ; n ∈ N∗ }. Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de A si
elles existent. La partie A possède-t-elle un plus grand élément et un plus petit élément ?
1
Mêmes questions pour B = {2 + m
− n1 ; (m, n) ∈ N∗ × N∗ }.
Exercice 8.
Même exercice que précédemment pour
A = {x +
1
; x ∈]0, 2[},
x
C = {x ∈ R; ∃y ∈ R∗ , x =
B = {x2 e−x ; x ∈ [1; +∞[},
1
+ 3},
y2
D = {y ∈ R; ∃x ∈ R∗ , y =
2x2 − 27
}.
5x2
Exercice 9.
Soient A, B deux parties non vides et majorées de R telles que A ∩ B 6= ∅.
Montrer que A ∪ B et A ∩ B sont majorées et que l’on a :
sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)) et
sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)).
Montrer, à l’aide d’un exemple, que la seconde inégalité peut être stricte.
Indication : Considérer deux parties A et B, d’intersection réduite à un point et de réunion égale
à l’intervalle [0, 1].
Exercice 10.
Soient I un intervalle de R et f : I → R, g : I → R deux fonctions bornées sur I.
1. Traduire cette hypothèse de deux manières différentes (avec et sans valeurs absolues).
2. Montrer que
sup |f (x) + g(x)| ≤ sup |f (x)| + sup |g(x)|.
x∈I
x∈I
x∈I
3. Trouver un exemple de fonctions f, g pour lesquelles l’inégalité précédente est stricte.
4. Trouver un exemple de fonctions f, g positives pour lesquelles l’inégalité est stricte.
Exercice 11.
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application croissante et soit A = {x ∈ [0, 1]; x ≤ f (x)}.
1. Montrer que A est une partie non vide et majorée de R.
2. On note a = sup(A). montrer que a ∈ [0, 1].
3. Montrer que f (a) est un majorant de A. En déduire que a ∈ A.
4. On suppose que a = 1. Montrer alors que f (1) = 1.
5. On suppose que a ∈ [0, 1[. Montrer que f (a) est un minorant de ]a, 1]. En déduire que
f (a) = a.
2