Série limites et continuité

P rof.Amjaouch
Lycée AL Irfan Qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH
g:Maths n poche.
: 0639052421....
2Bac PC &SVT Biof
Limites et continuité
Exercice 1. .
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x) = x3+ 3x2+ 3x−1
1 Étudier les variations de f.
2 a Déduire que léquation f(x) = 0 admet une
unique solution αdans Ret que 0< α < 1.
b En utilisant la méthode de dichotomie ,déter-
miner un encadrement de αd’amplitude 0,25
.
3 Déterminer le signe de f(x)selon les valeurs de x
.
Exercice 2. .
Soit fla fonction numérique définie sur
]1; +∞[par : f(x) = 1
x−1−√x
1 Dresser le tableau de variations de f.
2 Déduire que l’équation f(x) = 0 admet une unique
solution αpuis vérifier que α∈]1; 2[ .
3 Déterminer un encadrement de αd’amplitude 0,25
.
Exercice 3. .
On considère la fonction fdéfinie sur I=] − ∞; 3]
par :
f(x) = x2−6x+ 8
1 Calculer lim
x→+∞
f(x)et montrer que fest stricte-
ment décroissante sur I.
2 Montrer que fadmet une fonction réciproque f−1
définie sur un intervalle Jque l’on déterminera.
3 Montrer que pour tout xde Jon a :
f−1(x) = 3 −√x+ 1
Exercice 4. .
Calculer les limites suivante :
1lim
x→+∞
3
px3+ 1 −x
2lim
x→+∞
3
p8x3+ 1 −x
3lim
x→+∞
3
px3+x2−3x
4lim
x→1+
√x2−1
3
√x−1
5lim
x→0
3
√x+ 8 −2
x
6lim
x→+∞
3
√x+ 1 −x
7lim
x→−∞
3
p−x3−x+x
8lim
x→−∞
3
p−64x3+x2+ 4x
9lim
x→+∞
3
px3+x−3x
10 lim
x→+∞
3
px3+ 8 −x
11 lim
x→−∞
3
p−64x3+ 24x2+ 4x3
12 lim
x→0
√x−3 √x
√x+6 √x
13 lim
x→1
3
√5x2+ 3 −√2x2+ 2
x−1
14 lim
x→+∞
x2+3
√x3−x
x−√x2+ 1
15 lim
x→2
3
√x+ 6 −√x+ 2
x−2
Exercice 5. .
1 Montrer que l’équation x3+ 4x+ 1 = 0 admet une
unique solution αdans Ret que α∈]−1; 0[ .
2 Montrer que l’équation 2x3+ 5x−4admet une
unique solution αdans Ret que α∈]0; 1[ .
3 Montrer que la courbe représentative de la fonction
f:x7→ x3−2x2+3x−1coupe l’axe des abscisses
en un unique point d’abscisse αtel que α∈]0; 1[ .
Exercice 6. .
Soit fla fonction définie sur I=]1; +∞[par :
f(x) = 1−√x3+√x
x−1
1 Vérifier que pour tout xde I:f(x) = −√x+
1
x−1.
2 Montrer que fest strictement décroissante sur I.
3 Montrer que la courbe de fcoupe l’axe des abs-
cisses en un unique point dont l’abscisse αappar-
tient à l’intervalle ]1; 2[ .
4 Déduire que α2(α−2) = 1 −α.
Exercice 7. .
1 Étudier la continuité de fau point 0avec :
f(x) =
3
√x+ 27 −3
x;x > 0
f(x) = x2−x+ 1
27 ;x≤0
2 Soit gla fonction numérique définie sur Rpar :
g(x) = x3−4x+ 1
13 octobre 2020
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2Bac PC &SVT Biof
Limites et continuité
a Calculer g0(x)pour tout xde Rpuis dresser le
tableau de variations de g.
b Déduire que l’équation g(x)=0admet trois
solutions dans R.
Exercice 8. .
Soit fla fonction numérique définie sur I= [0; +∞[
par :
f(x) = √x+x
1 Vérifier que fest continue sur I.
2 a Montrer que fest strictement décroissante
sur I.
b Déduire que fadmet une fonction réciproque
f−1Définie sur un intervalle Jque l’on déter-
minera.
3 a Montrer que :
∀x∈I:f(x) = (√x+1
2)2−1 4
b Déterminer f−1(x)pour tout xde J. puis
déduire la monotonie de f−1sur J.
4 Montrer que l’équation f(x) = 5 admet une unique
solution βdans Ipuis vérifier que β∈]0; 4[ .
Exercice 9. .
Soit fla fonction numérique définie sur I=Rpar :
f(x) = x3+ 1
1 Vérifier que la fonction fest continue sur I.
2 a Montrer que la fonction fest strictement
croissante sur I.
b Déduire que fadmet une fonction réciproque
f−1définie sur un intervalle Jque l’on déter-
minera .
3 Déterminer f−1(x)pour tout xde Jpuis déduire
la monotonie de f−1sur J.
4 Montrer que l’équation f(x) = xadmet une unique
solution βdans Ipuis vérifier que β∈]−1; 0[ .
5 Déterminer un encadrement de βd’amplitude 0,25
.
Exercice 10. .
Simplifier les expressions suivantes :
A=4
√81 −3 √27 + 3 √32 + 2 3 √5−3 √40
B=
3
r4
q√748
C=
4
√9.p3 √33 √9
4
√81qp√3
13 octobre 2020
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