g : Maths n poche. : 0639052421.... Lycée AL Irfan Qualifiant Prof: Said AMJAOUCH Exercice 1. . Soit f la fonction définie sur R par : 8 f (x) = x3 + 3x2 + 3x − 1 1 Étudier les variations de f . 2 10 a Déduire que léquation f (x) = 0 admet une unique solution α dans R et que 0 < α < 1 . b En utilisant la méthode de dichotomie ,déterminer un encadrement de α d’amplitude 0, 25 . 3 Déterminer le signe de f (x) selon les valeurs de x . x−1 13 ch − 12 Limites et continuité p 3 lim −64x3 + x2 + 4x x→−∞ p 3 lim x3 + x − 3x x→+∞ p 3 lim x3 + 8 − x x→+∞ p 3 lim −64x3 + 24x2 + 4x3 x→−∞ √ √ x− 3x lim √ √ x→0 x+ 6x √ √ 3 5x2 + 3 − 2x2 + 2 lim x→1 x−1 √ 3 2 x + x3 − x lim √ x→+∞ x − x2 + 1 √ √ 3 x+6− x+2 lim x→2 x−2 √ x 15 ou 1 11 14 Exercice 2. . Soit f la fonction numérique définie sur ]1; +∞[ par : f (x) = 9 2 Bac PC & SVT Biof ja 1 Dresser le tableau de variations de f . Exercice 5. . 1 Montrer que l’équation x3 + 4x + 1 = 0 admet une unique solution α dans R et que α ∈] − 1; 0[ . A m 2 Déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α puis vérifier que α ∈]1; 2[ . 3 Déterminer un encadrement de α d’amplitude 0, 25 . 2 Montrer que l’équation 2x3 + 5x − 4 admet une unique solution α dans R et que α ∈]0; 1[ . f. Exercice 3. . On considère la fonction f définie sur I =] − ∞; 3] par : ro 3 Montrer que la courbe représentative de la fonction f : x 7→ x3 −2x2 +3x−1 coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse α tel que α ∈]0; 1[ . P f (x) = x2 − 6x + 8 lim f (x) et montrer que f est stricte- Exercice 6. . Soit f la fonction définie sur I =]1; +∞[ par : ment décroissante sur I . √ √ 1 − x3 + x 2 Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 f (x) = x−1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera. √ 1 Vérifier que pour tout x de I : f (x) = − x+ 3 Montrer que pour tout x de J on a : √ 1 f −1 (x) = 3 − x + 1 . x−1 1 Calculer x→+∞ 2 Montrer que f est strictement décroissante sur I . Exercice 4. . Calculer les limites suivante : 1 2 3 4 5 6 7 p 3 lim x3 + 1 − x x→+∞ p 3 lim 8x3 + 1 − x x→+∞ p 3 lim x3 + x2 − 3x x→+∞ √ x2 − 1 lim √ 3 x→1+ x−1 √ 3 x+8−2 lim x→0 x √ 3 lim x+1−x x→+∞ p 3 lim −x3 − x + x 3 Montrer que la courbe de f coupe l’axe des abscisses en un unique point dont l’abscisse α appartient à l’intervalle ]1; 2[ . 4 Déduire que α2 (α − 2) = 1 − α . Exercice 7. . 1 Étudier la continuité de f au point 0 avec : f (x) = f (x) = x2 x −x+1 27 ; x>0 ; x≤0 2 Soit g la fonction numérique définie sur R par : g(x) = x3 − 4x + 1 x→−∞ 13 octobre 2020 √ 3 x + 27 − 3 1/ 2 2020/2021 g : Maths n poche. : 0639052421.... Lycée AL Irfan Qualifiant Prof: Said AMJAOUCH 2 Bac PC & SVT Biof Limites et continuité a Calculer g 0 (x) pour tout x de R puis dresser le tableau de variations de g . b Déduire que l’équation g(x) = 0 admet trois solutions dans R . Exercice 8. . Soit f la fonction numérique définie sur I = [0; +∞[ par : f (x) = √ x+x 2 a Montrer que f est strictement décroissante sur I . a Montrer que : ja 3 ou b Déduire que f admet une fonction réciproque f −1 Définie sur un intervalle J que l’on déterminera. ch 1 Vérifier que f est continue sur I . A m √ 1 1 ∀x ∈ I : f (x) = ( x + )2 − 2 4 −1 b Déterminer f (x) pour tout x de J . puis déduire la monotonie de f −1 sur J . ro f. 4 Montrer que l’équation f (x) = 5 admet une unique solution β dans I puis vérifier que β ∈]0; 4[ . f (x) = x3 + 1 P Exercice 9. . Soit f la fonction numérique définie sur I = R par : 1 Vérifier que la fonction f est continue sur I . 2 a Montrer que la fonction f est strictement croissante sur I . b Déduire que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera . 3 Déterminer f −1 (x) pour tout x de J puis déduire la monotonie de f −1 sur J . 4 Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution β dans I puis vérifier que β ∈] − 1; 0[ . 5 Déterminer un encadrement de β d’amplitude 0, 25 . Exercice 10. . Simplifier les√ expressions suivantes :√ √ √ √ 3 3 3 3 4 81 − 27 + rq 3 4 √ B= 748 p√ √ √ 4 9. 3 3 3 9 qp C= √ √ 4 81 3 A= 13 octobre 2020 32 + 2 5− 40 2/ 2 2020/2021
