cours CONSTRUCTION réciproques imprimable

CONSTRUCTION ET PROPRIETES DE BIJECTIONS ET BIJECTIONS RECIPROQUES 2bac SM et EX ىلاعت همساب
f ; IR IR et I  Df on considère g= fI la RESTRICTION de f à I et soit J = g (I) = f(I)
x y = f(x) = ... ( g définie uniquement sur I ; et x I : g(x) = f(x) )
avec certaines propriétés mais g sur I N’A PAS les MEMES propriéts que f sur Df
g continue et STRICTEMENT g est une bijection de I vers SON IMAGE J = g (I) = f(I) et donc
monotone sur I g admet une bijection réciproque  définie de J = f(I) vers I ( I =  ( J ) )
propriétés de f sur Df : on a .... ? Dg = I et g (I) = J D g-1= J et  ( J ) = I
x1 ; x2 Df : f(x2) = f(x1)  ? x1 ; x2 I : g(x2) = g(x1) x2 = x1 y1 ; y2 J :  (y2) =  (y1) y2 = y1
y J ;  x I ; f(x) = y y J ; ! x I ; g(x) =f(x)= y x I ; ! y J ;  (y) = x
Df = .... ? f(Df) = .... ? I J D g-1= J et  ( J ) = I
Dg = I et g (I)= J ... ?= (y)= x bijections y = g(x) =f(x) impose à ses variables d’être dans J
.................................... et ses images sont dans I [y J ; (y) I]
 o g = IdI x I ; y J : g(x) = y x = (y) g o  = IdJ
x I ;  [g(x)] = x x I ; y  J :  (y) = x  y = g(x) y J ; g [ (y)] = y
x Df ; [f(x)]=.... ?  = g y J ; f [ (y)] = y
en representant graphiquement g on a déjà une DOUBLE LECTURE. Dans un MEME REPERE  et Cg sont
b a I ; b J : g(a) = b a = (b) symetriques par rapport à l’axe (Δ) : y = x
b J ; a I : (b) = a b = g(a) (Δ) : y = x
M 
  Cg N 
a
a b x
= ...    = ... . . g continue (en x0) sur I   continue (en y0) sur J [et conséquences...].
. 
     dérivable (en y0) sur J [et conséquences...] .
g’(x0) = 0  ’( y0 ) = ∞ [et conséquences...]. ’(y0) = 
 et ()’(y)   yJ et g(x) ≠ 0
la monotonie de  sur J est la MEME monotonie de g sur I et donc  et g CONSERVENT TOUTES LES DEUX
L’ORDRE ou bien CHANGENT TOUTES LES DEUX L’ORDRE sur leurs intervalles J et I respectivement . on a ainsi :
cas de croissance stricte :  x1 ; x2  I : g(x2)  g(x1)  x2  x1 et  y1 ; y2  J :  (y2)   (y1)  y2  y1
cas de décroissance stricte : x1 ; x2 I : g(x2)  g(x1) x2  x1 et y1 ; y2 J :  (y2)   (y1) y2  y1
plus generalement a toute propriété de g sur I (et non de f sur Df !) correspond une propriété de  sur J . il
suffit d’inverser le role de x de I et y de J ( x y )
EXEMPLE avec les équations de droites : y = mx + p  x = 
 y −   et ainsi et dans un MEME REPERE ona :
(D): y = mx + p est la tangente à  au point M 
  (D’) : y = 
 x −   est la tangente à  au point N 
(D): y = mx +p est asymptote de  au voisinage de ... (D’): y = 
 x −   est asymptote de au voisinage de ...
.............................................................................................................................................................................
APPLICATIONS : 1) appliquer ce résumé ( ou résultats ) aux monomes f(x) = xn ( avec n ≥ 2 ) . on prendra leurs
restrictions g sur I =  . leurs réciproques  seront notées 
 et appelées fonctions racines d’ordre n ....
( écrire le maximum de proprietes des monomes f pour tirer le maximum de proprietes sur les reciproques 
 )
2) appliquer ce résumé ( ou résultats ) à la fonction trigonométrique tangente f(x) = tan(x) . on
prendra sa restriction g sur I0 = ] 
 ;   [ . sa réciproques  sera appelée fonction arctangente et notée arctan
( écrire le maximum de proprietes de f = tan pour tirer le maximum de proprietes sur la reciproque arctan )
g
g
a
b
y
●M
●N