CONSTRUCTION ET PROPRIETES DE BIJECTIONS ET BIJECTIONS RECIPROQUES 2bac SM et EX
باسمه تعالى
f ; IR
IR et I ⊂ Df
on considère g= fI la RESTRICTION de f à I et soit J = g (I) = f(I)
x
y = f(x) = ...
( g définie uniquement sur I ; et ∀ x ∈ I : g(x) = f(x) )
avec certaines propriétés
mais g sur I N’A PAS les MEMES propriéts que f sur Df
g continue et STRICTEMENT
g est une bijection de I vers SON IMAGE J = g (I) = f(I) et donc
monotone sur I
g admet une bijection réciproque 𝐠 −𝟏 définie de J = f(I) vers I ( I = 𝐠 −𝟏 ( J ) )
propriétés de f sur Df : on a .... ?
Dg = I et g (I) = J
D g-1= J et 𝐠 −𝟏 ( J ) = I
∀ x1 ; x2 ∈ Df : f(x2) = f(x1) ⇒ ...... ? ∀ x1 ; x2 ∈ I : g(x2) = g(x1) ⇔ x2 = x1 ∀ y1 ; y2 ∈ J : 𝐠 −𝟏 (y2) = 𝐠 −𝟏 (y1) ⇔ y2 = y1
∀ y ∈ J ; ∃ x ∈ I ; f(x) = y
∀ y ∈ J ; ∃! x ∈ I ; g(x) =f(x)= y
∀ x ∈ I ; ∃! y ∈ J ; 𝐠 −𝟏 (y) = x
Df = .... ? f(Df) = .... ?
I
J
D g-1= J et 𝐠 −𝟏 ( J ) = I
g
Dg = I et g (I)= J
... ?= 𝐠 −𝟏(y)= x bijections
y = g(x) =f(x)
𝐠 −𝟏 impose à ses variables d’être dans J
−𝟏
𝐠
....................................
et ses images sont dans I [∀ y ∈ J ; 𝐠 −𝟏 (y) ∈ I]
−𝟏
−𝟏
𝐠 o g = IdI
∀x ∈ I ; ∀y ∈ J : g(x) = y ⇔ x = 𝐠 (y)
g o 𝐠 −𝟏 = IdJ
∀x ∈ I ; 𝐠 −𝟏 [g(x)] = x ∀x ∈ I ; ∀y ∈ J : 𝐠 −𝟏 (y) = x ⇔ y = g(x)
∀ y ∈ J ; g [𝐠 −𝟏 (y)] = y
−𝟏
−𝟏 −𝟏
∀x ∈ Df ; 𝐠 [f(x)]=.... ?
(𝐠 ) = g
∀ y ∈ J ; f [𝐠 −𝟏 (y)] = y
en representant graphiquement g on a déjà une DOUBLE LECTURE. Dans un MEME REPERE 𝐂𝐠 −𝟏 et Cg sont
g
b
∀a ∈ I ; ∀b ∈ J : g(a) = b ⇔ a = 𝐠 −𝟏 (b)
symetriques par rapport à l’axe (Δ) : y = x
y
−𝟏
∀b ∈ J ; ∀a ∈ I : 𝐠 (b) = a ⇔ b = g(a)
(Δ) : y = x
●M
b
g −1
M (𝐛𝐚 ) ∈ Cg ⇔ N (𝐛𝐚) ∈ 𝐂𝐠 −𝟏
a
●N
a
a
b
x
𝐥𝐢𝐦 𝐠(𝐱)= ... ⇔ 𝐥𝐢𝐦 𝐠 −𝟏 (𝐲) = ... . . g continue (en x0) sur I ⇔ 𝐠 −𝟏 continue (en y0) sur J [et conséquences...].
𝐱→⋯
𝐲→⋯
𝐠 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 (𝐞𝐧 𝐱 𝟎 ) 𝐬𝐮𝐫 𝐈
. { ′
⇒ 𝐠 −𝟏 dérivable (en y0) sur J [et conséquences...] .
[𝐠 (𝐱𝟎 ) ≠ 𝟎] 𝐠 ′ (𝐱) ≠ 𝟎 𝐬𝐮𝐫 𝐈
g’(x0) = 0 ⇒ (𝐠 −𝟏 )’( y0 ) = ±∞ [et conséquences...]. (𝐠 −𝟏 )’(y0) =
𝟏
𝐠′(𝐱 𝟎 )
et (𝐠 −𝟏)’(y)
𝟏
(𝐠 ′ ∘𝐠 −𝟏 )(𝐲)
∀ y∈ J et g(x) ≠ 0
la monotonie de 𝐠 −𝟏 sur J est la MEME monotonie de g sur I et donc 𝐠 −𝟏 et g CONSERVENT TOUTES LES DEUX
L’ORDRE ou bien CHANGENT TOUTES LES DEUX L’ORDRE sur leurs intervalles J et I respectivement . on a ainsi :
cas de croissance stricte : ∀ x1 ; x2 ∈ I : g(x2) ≶ g(x1) ⇔ x2 ≶ x1 et ∀ y1 ; y2 ∈ J : 𝐠 −𝟏 (y2) ≶ 𝐠 −𝟏 (y1) ⇔ y2 ≶ y1
cas de décroissance stricte : ∀ x1 ; x2 ∈ I : g(x2) ≶ g(x1) ⇔ x2 ≷ x1 et ∀ y1 ; y2 ∈ J : 𝐠 −𝟏 (y2) ≶ 𝐠 −𝟏 (y1) ⇔ y2 ≷ y1
plus generalement a toute propriété de g sur I (et non de f sur Df !) correspond une propriété de 𝐠 −𝟏 sur J . il
suffit d’inverser le role de x de I et y de J ( x
y)
EXEMPLE avec les équations de droites : y = mx + p ⇔ x =
𝟏
𝐦
𝐩
y−
𝐚
(D): y = mx + p est la tangente à 𝑪𝒈 au point M (𝐛) ⇔ (D’) : y =
(D): y = mx +p est asymptote de 𝑪𝒈 au voisinage de ...⇔ (D’): y =
𝟏
𝐦
𝟏
𝐦
et ainsi et dans un MEME REPERE ona :
𝐦
x−
x−
𝐩
𝐦
𝐩
𝐦
𝐛
est la tangente à 𝑪𝐠 −𝟏 au point N (𝐚)
est asymptote de𝑪𝐠 −𝟏 au voisinage de ...
.............................................................................................................................................................................
APPLICATIONS : 1) appliquer ce résumé ( ou résultats ) aux monomes f(x) = xn ( avec n ≥ 2 ) . on prendra leurs
restrictions g sur I = 𝐈𝐑+ . leurs réciproques 𝐠 −𝟏 seront notées 𝐧√. . et appelées fonctions racines d’ordre n ....
( écrire le maximum de proprietes des monomes f pour tirer le maximum de proprietes sur les reciproques 𝐧√. . )
2) appliquer ce résumé ( ou résultats ) à la fonction trigonométrique tangente f(x) = tan(x) . on
prendra sa restriction g sur I0 = ]
−𝝅
𝟐
;
𝝅
𝟐
[ . sa réciproques 𝐠 −𝟏 sera appelée fonction arctangente et notée arctan
( écrire le maximum de proprietes de f = tan pour tirer le maximum de proprietes sur la reciproque arctan )
