Algèbre linéaire L1 ASE Juin20

Cours d’Algèbre Linéaire
L1/Stat. Info. Eco
2019-2020
African School of Economics, ASE
Jonas DOUMATE1
8 juin 2020
1. [e-mail]

Table des matières
1 Espace vectoriel Rn3
1.1 Ensemble Rn;n∈N∗.............................. 3
1.1.1 Ensemble R2.............................. 3
1.1.2 Ensemble R3.............................. 3
1.1.3 Ensemble Rn.............................. 3
1.2 Espace vectoriel Rn............................... 4
1.2.1 Addition dans Rn............................ 4
1.2.2 Multiplication d’un élémént de Rnpar un réel . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Espace vectoriel Rn........................... 5
1.3 Bases de l’espace vectoriel Rn......................... 5
1.3.1 Combinaison linéaire de vecteurs de Rn................ 5
1.3.2 Système libre-Système lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Déterminant de deux vecteurs de R2, de trois vecteurs de R3.... 6
1.3.4 Systèmegénérateur........................... 7
1.3.5 Bases de l’espace vectoriel Rn..................... 7
1.3.6 Base canonique de Rn......................... 8
1.4 Sous-espacevectoriel .............................. 9
1.4.1 Défintions-Propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Sous-espace engendré par un système de vecteurs . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exercices..................................... 10
2 Application linéaire 12
2.1 Définitions.................................... 12
2.2 Composition d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Rappel.................................. 12
2.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Exercices..................................... 14
3 Calcul matriciel et déterminants 16
3.1 Définitionetexemple.............................. 16
3.2 Typologie d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Matriceunicolonne ........................... 16
3.2.2 Matriceuniligne............................. 17
Algèbre Linéaire, L1 1

3.2.3 Matricenulle .............................. 17
3.2.4 Matricecarrée.............................. 17
3.2.5 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.6 Matricediagonale............................ 17
3.2.7 Matrice unité d’ordre n......................... 17
3.2.8 Matricescalaire............................. 18
3.3 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Egalité de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.2 Addition de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.3 Produit par un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.5 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.6 Matrice symétrique - Matrice antisymétrique . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Calculdudéterminant ............................. 20
3.4.1 Matrice carréé d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Matrice carrée d’ordre supérieur à deux . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Inversed’unematrice.............................. 21
3.5.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5.2 Détermination de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Exercices..................................... 22
4 Systèmes d’équations linéaires 24
4.1 Généralités ................................... 24
4.1.1 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Méthode matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 Méthode des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Application : modèle de croissance d’une population ; matrice de Leslie . . 26
4.4 Exercices..................................... 27
Algèbre Linéaire, L1 2

Chapitre 1
Espace vectoriel Rn
1.1 Ensemble Rn;n∈N∗
1.1.1 Ensemble R2
Définition 1.1. On appelle couple de nombre réels, tout ensemble ordonné formé de deux
nombres réels. On le note (x, y), où xet ysont des nombres réels. L’ensemble de tous les
couples de nombres réels est noté R2.
R2={(x, y)tels que x∈Ret y∈R}.
Exemple 1.1. (−1,2) ,(0,0) ,√2,−1
5sont des éléments de R2.
1.1.2 Ensemble R3
Définition 1.2. On appelle 3-uplet de nombre réels, tout ensemble ordonné formé de trois
nombres réels. On le note (x, y, z), où x, y et zsont des nombres réels. L’ensemble de
tous les 3-uplets de nombres réels est noté R3.
R3={(x, y, z)tels que x∈R, y ∈Ret z∈R}.
Exemple 1.2. (−1,0,2) ,(0,0,0) ,−2,√2,−1
5sont des éléments de R3.
1.1.3 Ensemble Rn
Définition 1.3. Soit n∈N∗.On appelle n-uplet de nombre réels, tout ensemble ordonné
formé de nnombres réels. On le note (x1, x2,···, xn), où les xisont des nombres réels
pour tout i∈ {1,2,···, n}. L’ensemble de tous les n-uplets de nombres réels est noté
Rn.
Rn={(x1, x2,···, xn)tels que xi∈Rpour tout i∈ {1,2,···, n}}.
Exemple 1.3. −1,0,2,−2,ln 3,0,0,0,−2,√2,−1
5est un élément de R11.
Algèbre Linéaire, L1 3

1.2 Espace vectoriel Rn
1.2.1 Addition dans Rn
Définition 1.4. Soient (x1, x2,···, xn)et (y1, y2,···, yn)deux éléments de Rn.On définit
la somme de (x1, x2,···, xn)et (y1, y2,···, yn)par :
(x1, x2,···, xn)+(y1, y2,···, yn)=(x1+y1, x2+y2,···, xn+yn).
Exemple 1.4. (−1,2) + (2,0) = (−1+2,2 + 0) = (1,2) .
Proposition 1.1.
— La somme de deux éléments de Rnest un élément de Rn.
— Pour tous (x1, x2,···, xn)et (y1, y2,···, yn)éléments de Rn,ona:
(x1, x2,···, xn)+(y1, y2,···, yn)=(y1, y2,···, yn)+(x1, x2,···, xn).
— Pour tout (x1, x2,···, xn)élément de Rn,ona:
(x1, x2,···, xn) + (0,0,···,0) = (0,0,···,0) + (x1, x2,···, xn) = (x1, x2,···, xn).
On dit que le n-uplet (0,0,···,0) est l’élément neutre de l’addition dans Rn.On le
note 0Rn.
— Soit (x1, x2,···, xn)un élément de Rn. Son opposé est le n-uplet (−x1,−x2,···,−xn).
On le note −(x1, x2,···, xn)et on a :
(x1, x2,···, xn)+(−x1,−x2,···,−xn)=(−x1,−x2,···,−xn)+(x1, x2,···, xn) = (0,0,···,0) .
— Pour tous x= (x1, x2,···, xn);y= (y1, y2,···, yn)et z= (z1, z2,···, zn)éléments
de Rn,ona:
[x+y] + z=x+ [y+z].
On dit que l’ensemble Rnmuni de l’addition est un groupe commutatif ou bien abélien.
1.2.2 Multiplication d’un élémént de Rnpar un réel
Définition 1.5. Soient (x1, x2,···, xn)un élément de Rnet λun nombre réel. On définit
le produit de (x1, x2,···, xn)par le réel λcomme le n-uplet obtenu en multipliant chacun
des termes de (x1, x2,···, xn)par le réel λ. On a donc :
λ·(x1, x2,···, xn) = (λx1, λx2,···, λxn).
Exemple 1.5. 0·(−1,2,7) = (0,0,0) ; 3 ·(−1,2,7) = (−3,6,21) .
Proposition 1.2.
— La produit d’un élément de Rnpar un nombre réel est un élément de Rn.
— Pour tout (x1, x2,···, xn)élément de Rn,ona:
0·(x1, x2,···, xn) = (0,0,···,0) ;
1·(x1, x2,···, xn) = (x1, x2,···, xn)et
−1·(x1, x2,···, xn) = (−x1,−x2,···,−xn).
Algèbre Linéaire, L1 4