Math 1 Ensgep

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MATHEMATIQUE 1
Calcul différentiel et intégral
Enseignant :
AKOWANOU Christian Djidjoho
Maitre de Conférences des Universités (CAMES)
Enseignant Chercheur

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Objectif :
Maîtriser les notions du calcul différentiel et intégral utilisées dans les autres cours de
mathématiques et dans les cours de génie.
Contenu :
 Analyse : Généralités sur les fonctions de  : fonctions exponentielles,
fonctions logarithmiques, fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques
inverses.
 Calcul différentiel : Limites, dérivées des fonctions élémentaires, règles de
dérivations, étude de graphes, etc.
 Calcul intégral : Intégrales indéfi 
 Suites et séries : Développements limités (Taylor, Marc Laurin) - suites et séries -
évaluatio
Séances de TD          
vue au cours.

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Chapitre 1
1-Définitions et théorèmes essentiels
Définition 1
Soient  et  deux sous-ensembles de . On appelle fonction, toute relation de vers 
notée  telle que, à tout , on associe au plus une image .
         et      est
appelé antécédent et  une image.
Exemple
Considérons la relation  : 
 des éléments :  
, 0, 2, 5
1/2
0
2
1
5
Cette relation est une fonction puisque les conditions de la définition de fonction sont
requises.
Définition 2
Considérons la fonction  : 
On appelle domaine de définition de   
Exemple
Considérons la fonction  : 
Indiquer le domaine de définition de 
Généralités sur les fonctions d’une variable réelle

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Définition 3
Considérons la fonction  : 
On dira que  est une application si son domaine de définition (noté D) est confondu à son
ensemble de départ, soit .
Exemple
Considérons la fonction  : 
Montrer que  est une application
Solution
En effet, ici   de 
Posons    alors .
Nous constatons donc que  et . Ainsi  est une application.
Définition 4
Considérons la fonction  définie sur un sous-ensemble -à-dire  est le domaine de
définition de  . On dira que  est croissante sur , si ,  on a   
Fig 
Définition 5
Soit  la fonction définie sur un intervalle . On dit que  est décroissante sur , si
,  on a   

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Fig 
Remarque
 De la définition 4, si on a   . On dit que f est strictement
croissante sur .
 De la définition 5, si on a   . On dit alors que f est
strictement décroissante sur .
Définition 6
Si la fonction  est croissante ou décroissante sur , on dit alors que la fonction  est
monotone sur .
La fonction  est dite strictement monotone sur  si elle est soit strictement croissante ou
strictement décroissante.
Remarque
Si une fonction est strictement monotone sur I alors elle est nécessairement monotone
sur -à-dire une fonction monotone sur un
intervalle  .
Exemple
Considérons la fonction  définie par : 
Etudier la monotonie de  sur 
Solution
Remarquer que 
 et montrer que pour  ,  ; et
conclure que  est strictement décroissante sur 
Définition 7
Soit  la fonction définie  vers . On dit que  est une bijection si à tout élément  de  on
associe une et une seule image   et, à tout , on associe un et un seul antécédent
 (A est considérée comme étant le domaine de 