Résolution numérique d'équations : Méthodes et exercices

Chapitre 2 Résolution numérique de l’équation f(x) = 0
I) Introduction
Soit fune fonction de Rdans R, la détermination des solutions exactes
de l’équation f(x)=0est parfois di¢ cile, voire impossible; le recours aux
méthodes numériques nous permet alors de calculer des valeurs approchées
de ces solutions dont on controlera l’erreur absolue.
Soit une solution de l’équation f(x) = 0 i.e. f() = 0, la solution 
s’appelle aussi racine de f(x) = 0 ou bien zéro de la fonction f.
II) Séparation (ou lacalisation) des racines
Dé…nition : La séparation des racines réelles ide l’équation f(x) = 0
revient à déterminer des intervalles [ai; bi]tels que i2[ai; bi]et j62 [ai; bi]
pour tous i6=j. (chaque intervalle contient une seule racine).
i) Méthode graphique (ou géométrique) : on peut séparer les racines de
f(x)=0en localisant visiblement les abscisses des points d’intersection des
graphes (ou courbes) de fonctions f1et f2avec f(x) = f1(x)f2(x).
Exemple : soit f(x) = x2cos x. Posons f1(x) = x2et f2(x) = cos x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
y
alors l’intersection des courbes de f1et f2montre bien que l’équation
f(x) = 0 possède deux racine 1et 2telles que 12[1;0] et 22[0;1].
ii) Méthode analytique : on peut séparer les racines de f(x)=0en se
basant sur le théorème des valeurs intermédiaires.
1

Théorème : Soit f: [a; b]!Rune fonction continue, si f(a)f(b)0
alors il existe 2[a; b]tel que f() = 0 (…n du théorème).
Si de plus fest strictement monotone sur [a; b]alors est unique.
Exemple : soit f(x)=2xex. On a lim
x!1 f(x) = 1,lim x!+1f(x) =
+1et f0(x) = 1 + ex>0sur Ralors l’équation f(x)=0possède une
unique racine réelle . De plus, on a f(0) = 1<0et f(1) = 2 e1>0
donc 2[0;1].
Dé…nition : Etant donné une solution d’une équation f(x)=0, si (xn)
est une suite obtenue par un algorithme censé approcher , on dira que cet
algorithme converge si lim
n!+1xn=, dans ce cas les termes x0; x1; :::; xn; :::
sont des valeurs approchées de .
On appelle erreur d’approximation (d’ordre n) de l’algorithme la quantité
n=jxnj.
III) Méthode de Dichotomie (ou de la bissection) : c’est un algo-
rithme basé sur le théorème des valeurs intermédiaires qui consiste à répéter
des partages d’un intervalle en deux parties puis à sélectionner le sous-
intervalle dans lequel existe un zéro de la fonction.
Soit f: [a; b]!Rune fonction. On suppose que
i) fest continue sur [a; b]
ii) f(a)f(b)<0
iii) il existe un unique 2[a; b]tel que f() = 0
Alors, on dé…nit trois suites (an),(bn)et (xn)de la manière suivante :
a0=a; b0=bet x0=a0+b0
2
Si f(x0)f(b0)0alors 2[x0; b0], prendre a1=x0et b1=b0:
Si f(x0)f(b0)>0alors 2[a0; x0], prendre a1=a0et b1=x0:
Prendre x1=a1+b1
2
Si f(x1)f(b1)0alors 2[x1; b1], prendre a2=x1et b2=b1:
Si f(x1)f(b1)>0alors 2[a1; x1], prendre a2=a1et b2=x1:
Prendre x2=a2+b2
2
Ainsi de suite on construit des intervalles [a1; b1];[a2; b2]; :::; [an; bn]et une
suite xn=an+bn
2tels que 2[an; bn]::: [a2; b2][a1; b1][a0; b0].
Théorème : Avec les mêmes notations, on a
i) 0< bnan=1
2n(b0a0).
ii) Les suites (an),(bn)et (xn)convergent vers .
2

iii) L’erreur d’approximation véri…e n=jxnj  jb0a0j
2n+1 ;8n0.
Preuve
i) il est clair que bnan=1
2n(b0a0)!0quand n!+1
ii) Noter que (an)est croissante et que (bn)est décroissante donc (an)et
(bn)sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite l2R. Comme
xn=an+bn
2donc (xn)converge aussi vers l. Mais anbndonc
quand n!+1on obtient lld’où =l:
iii) On a anbndonc anxnxnbnxnd’où anbn
2
xnbnan
2alors jxnj  jbnanj 2=jb0a0j 2n+1 .
IV) Méthode du Point …xe (ou des approximations successives)
Dé…nitions : Soit ':R!Rune fonction.
i) On dit qu’un réel est un point …xe de 'si '() = .
ii) On dit que 'est stable sur le segment [a; b]si '([a; b]) [a; b].
iii) On dit que 'est lipschitzienne sur [a; b]s’il existe une constante
k2R+tel que j'(x)'(y)j  kjxyjpour tout (x; y)2[a; b]2. Si de
plus k2[0;1[, on dira que 'est contranctante sur [a; b].
Théorème du point …xe : Soit ':R!Rune fonction. Si 'est stable
et contractante sur [a; b]de constante k, alors la suite récurrente (xn)dé…nie
par xn+1 ='(xn)converge vers l’unique point …xe de 'sur [a; b]et ceci
pour tout x0de [a; b]. L’erreur d’approximation véri…e n=jxnj 
kn
1kjx1x0j,8n1.
Preuve :
i) Montrons que 'admet un unique point …xe : comme 'est contractante
sur [a; b]donc elle est continue sur [a; b]. Soit (x) = '(x)x, alors (a) =
'(a)a0et (b) = '(b)b0donc il exsite 2[a; b]tel que () = 0 i.e
'() = . Supposons que 'possède deux points …xes 1; 22[a; b]avec
16=2alors j'(2)'(1)j  kj21jd’où j21j  kj21jalors
1k: contradiction, donc 1=2.
ii) On a jxnj=j'(xn1)'()j  kjxn1j  ::: knjx0j,
comme 0k < 1donc lim
n!+1kn= 0 d’où lim n!+1xn=.
On a jxn+pxnj  kjxn1+pxn1j  ::: knjxpx0jet jxpx0j 
jxpxp1j+jxp1xp2j+:::: +jx1x0jet jxixi1j  kjxi1xi2j 
::: ki1jx1x0j
3

donc jxpx0j  (kp1+kp2+::: + 1) jx1x0j=kp
1kjx1x0j 
1
1kjx1x0jainsi jxn+pxnj  kn 1kjx1x0jet quand p!+1on
obtient jxnj  kn
1kjx1x0j.
–Détermination pratique de la constante k
Si '2C1([a; b]), la formule des accroissements …nis s’écrit : pour tous
x; y 2[a; b], il existe c2[x; y]ou [y; x]tels que '(x)'(y) = (xy)'0(c).
Ainsi j'(x)'(y)j=j(xy)j j'0(c)j  j(xy)jmax
t2[a;b]j'0(t)j.
Prendre k= max
t2[a;b]j'0(t)j
–Application du théorème du point …xe à la résolution numérique de
f(x) = 0
Soit f(x)=0une équation où x2[a; b], alors on introduit une nouvelle
fonction 'telle : 8x2[a; b]; f(x) = 0 () '(x) = x. Ainsi les zéros de
fsont exactement les points …xes de 'et on applique alors la méthode du
point …xe à '.
Exemple : Soit f(x) = 2xexoù x2[0;1]. On a f(0) = 1; f(1) =
2e1= 1;63:::et f0(x) = 2 + ex>0donc 9!2[0;1] tel que f() = 0.
Pour tout x2[0;1], on a :
f(x)=0() 2x=ex() x=1
2ex() x='(x)avec
'(x) = 1
2ex
i) On a '0(x) = 1
2ex<0, pour tout x2[0;1] donc 'est décroissante
sur [0;1].
Comme '(0) = 1
22[0;1] et '(1) = 1 2e= 0;18::: 2[0;1] donc 'est stable
sur [0;1].
ii) Posons g(x) = j'0(x)j=1
2ex, cherchons le max de gsur [0;1].
On a g0(x) = 1
2ex<0donc gest décroissante sur [0;1] ainsi
max
x2[0;1] g(x) = g(0) = 1
2:
Donc 'est contractante sur [0;1].
Conclusion : La méthode du point …xe est applicable à 'sur [0;1] et la
suite xn+1 ='(xn)converge vers et ceci pour tout x02[0;1].
4

V) Méthode de Newton (ou de la tangente)
Dé…nition : On appelle méthode de Newton pour la résolution numérique
de l’équation f(x) = 0 sur l’intervalle [a; b], le processus itératif 8
<
:
x02[a; b]
xn+1 =xnf(xn)
f0(xn)
avec f06= 0.
–Interprétation géométrique :
Soit x02[a; b], soit (0)la droite tangente à la courbe de fau point
(x0; f(x0)) et soit f(x0;0)g= (0)\(xx0)où (xx0)est l’axe des abscisses.
-Exprimons x1en fonction de x0
L’équation de la droite (0)est : yf(x0) = f0(x0) (xx0)
comme f(x0;0)g= (0)\(xx0)donc f(x0) = f0(x0) (x1x0)
d’où x1=x0f(x0)
f0(x0).
De la même façon, on retrouve x2=x1f(x1)
f0(x1)et par suite xn+1 =
xnf(xn)
f0(xn).
Théorème : Soit f: [a; b]!Rune fonction de classe C2([a; b]). Supposons
que
i) f(a)f(b)<0
ii) 8x2[a; b]; f 0(x)6= 0
iii) f00garde un signe constant sur [a; b]
iv) 
f(c)
f0(c)baavec c=asi jf0(a)j  jf0(b)j
bsinon
Alors la suite récurrente (xn)dé…nie par xn+1 =xnf(xn)
f0(xn)converge
vers l’unique zéro de fsur [a; b]et ceci pour tout x0de [a; b].
L’erreur d’approximation véri…e
n=jxnj  M2
2m1
jxnxn1j2,8n1
avec M2= max
x2[a;b]jf00(x)jet m1= min x2[a;b]jf0(x)j.
Propriété
i) Si f0et f00sont du même signe sur [a; b]alors c=a
ii) Si f0et f00sont de signes contraires sur [a; b]alors c=b
Exemple : Soit f(x) = ex4xoù x2[0;1]. On a
i) f(0) = 1 et f(1) = e4 = 1;28::: donc f(0)f(1) <0
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