TD Corrige´ matrices (1)

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Chapitre 3 • Calcul matriciel
70
Exercices corrigés
Dl On considère les matrices A= (ai, j) et B = (b1, j), carrées d 'o rdre 3, définies
par a . . = i et b . . = i -j . Écrire ces matrices sous la forme de tableaux de nombre s.
l , j l , j
l!J Soit A= (a .. ) la matrice à 3 lignes et 4 colonnes telle que a . . = Max(i, j) et
l , j , l,j
B = (b . ) la matrice à 2 lignes et 5 colonnes telle que b . = i x ;· . Ecrire les matrices
l , j l , j
A et B sous la forme de tableaux de nombres.
-1 2 3 1
Ill On considère les matrices A = et B =
1 0 5 10
a) Calculer A + B et A -B .
b) Calculer (A+ B) + (A -B) . Expliquer le résultat.
0 3 1
œ On considère la matrice A = '
4 -2
a) Déterminer A+ A, 3A et -IOA.
b) Est-il possible de trouver un nombre réel x tel que xA = I
2 ? (Justifier)
10 20
le Soit A la matrice définie par A = . Déterminer le plus petit entier
8 100
naturel non nul n tel que tous les éléments de lin x A soient strictement inférieurs à
0, 01.
7 0 -1 -9
m Soient A = et B =
4 -2 -2 0
1 3
-6 -5
a) Calculer 2A- B et 3A-4B.
b) Déterminer le s deux matrices C et D telles que C + D = A et C - D = B.
IB Un groupe pharmaceutique produit trois types de médicaments Ml, M2 et M3
dans chacun de ses deux laboratoires LI et L2. On associe la matrice A suivante à la
production mensuelle (en milliers)
de ces médicaments dans chaque laboratoire .
54 27 31
A=
12 9 10
Par exemple, le groupe produit chaque mois 12 000 médicaments du type Ml dans
le laboratoire L2.
a) Combien le laboratoire
LI produit-il de médicaments du type M3 par mois ?

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QJ
Exercices corrigés
b) On peut obtenir, à partir d'une matrice colonne B, le nombre total de médicaments
produits
par chaque laboratoire en effectuant le calcul A x B. De quelle matrice
colonne
s'agit-il?
0 1 l 2
m On considère les matrices A = 2 3 et B = 3 4
4 5
a) Calculer A x B puis A x ( 2B).
b) Vérifier que A x (2B) = 2(A x B) .
- 1 0
m On considère les matrices A = 5 - 5
5 1
,B=
1 4
3 -6
a) Calculer A x B et A x C.
b) Peut-on calculer B x A et C x A ? (Justifier)
c) Calculer B + C puis A x (B + C).
d) Calculer A x ( B + C)- A x B -A x C . Expliquer le résultat.
0
et C=
l
1 3
1 5 4
Qin On considère les matrices A= , B = et C = 5 -2
- 3 2 l 0 1
Faire tous les produits possibles de deux matrices.
7 - 1 - 1 2
1111 On considère les matrices
A=
5 ' B= -6 0 9 et C=
- 2 4 3
-4
Faire tous les produits possibles de deux matrices.
5 2
-1
2
Qt11 on
considère les matrices
A= B=
et
C=
3 1 ' 3
-5
Calculer A X B, B X A et A X C X B.
-2 1 1
5 2
QIJ On considère les matrices A=
et B= 1 - 2 1
1 2 1 1
-2
a) Calculer A
2 puis A3•
b) Calculer B2 puis B3 •
3
1
1
-1
2 l
0 4
2 0
0 - 1
71

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Chapitre 3 • Calcul matriciel
0 1 5
Qll Soit B = 0 0 6
0 0 0
a) Calculer B2 et B3 •
b) Montrer que B4 = 0 (matrice nulle) puis que, pour tout n 3 , Bn = 0 .
llJ1 Une usine fabrique trois types de matériel électronique Ml , M2 et M3 en
assemblant des composants Cl, C2 et C3 suivant la répartition du tableau 3.1.
Tableau 3.1
Ml M2 M3
Nombre de composants Cl 2 7 3
Nombre de composants C2 0 2 6
Nombre de composants C3
3 5 2
Le s mass es et prix unitaires des compo sants sont donnés par le tableau 3.2.
2 7 3
On note A = 0 2 6
3 5 2
Tableau 3.2
Masse unitaire (en g)
Prix unitaire (en €)
2 1 3
et B=
15 6 4
Cl
2
l 5
C2 C3
l 3
6 4
a) Calculer B x A et interpréter ce que représentent les lignes de la matrice obtenue.
b) Le directeur de l'usine souhaite fabriquer en une journée 50 matériels Ml,
70 matériels M2 et 60 matériels M3.
·c 50
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0..
8 Onpose D= 70
72
60
Quelle opération matricielle permet d'obtenir le nombre de compo sants de ch aque
sorte pe
rm ettant de réali se r l es asse mbla ges ? Eff ec tuer l' op ération puis donn er la
dé
compo sition.

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QJ
Exercices corrigés
lllij On considère les matrices A=
2 5 3 - 5
et B=
1 3
-1
2
Calculer A x B et B x A. Que peut-on dire des matrices A et B?
2 0 1 -0 4
'
0,2 0,2
On considère les matrices A=
0
-1
2
et A'=
3,6
-1,8 -0,8
9 1 0 1,8
-0,4 -0 ,4
Montrer que A' est l'inverse de A .
0 1
-1
3
-1 1
lll :J On considère les matrices A=
-3
4
-3
et B=
3
-1
3
-1
1 0 1
-1
3
Calculer A x B . Quelle est la matrice inverse de A ?
3 1
-2
1 4 1
QpJ On considère les matrices A=
0
-1 -1
et B= 2 -10
-1
2 1 2
-2
1 1
Calculer A x B. Quelle est la matrice inver se de A ?
7 5 -1 -2,5
If }I] On considère les matrices A = et B =
-4 - 2 2 3,5
Calculer A x B et B x A . En déduire la matrice A-1 •
5 1 4 a
-5 -7
If.JI On considère les matrices A= 2 1
-3 - 1
-3 et B = 7 17
1 1 2
23
3
a) Dans le produit A x B , calculer, en fonction de a, les coefficients manquants :
................. 0 0
Ax B = .. .. .. .. . ... . .. .. 1 0
... ...............
0 1
b) Déterminer alors la valeur de a pour que B soit la matrice inverse de A.
2 1 3 - 1 2 1
If J;;I On considère les matrices A = 1
2 0 - 1 et
B= -
11 a
-8
3
1 1 5
-2
1 2
a) Calculer le produit A x B .
b) Dét er miner alors la valeur de a pour que B so it la matrice inverse de A.
73

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Chapitre 3 • Calcul matriciel
74
a b
UJJ Soit A = . On suppose que ad - be -:t O.
e d
a) Montrer que la matrice A' = 1
ad -be -e
d -b
est la matrice inverse de A .
a
7 3
b) Application : déterminer la matrice inverse de A=
12 8
3 1
ltJI On donne A=
4 1
a) Calculer A
2 -
4A.
b) Montrer que A
2 -
4A =A x (A - 4/
2)
et en déduire que A est inversible.
Quelle est sa matrice inverse ?
-2 -3
ltJ1Soit A = s 7
a) Calculer A2 -SA.
b) Montrer que A est inversible et déterminer A-1 •
13 -S
lt;:(dSoit A=
-6 2
a) Calculer A 2 - ISA
b) Montrer que A est inversible et déterminer A-1 •
a) Écrire le système
2x - 3y =S
-3x+ Sy = -2
sous la forme matricielle AX = B .
Déterminer A- 1 à la calculatrice et résoudre le système .
b) R / d l , 7 X + 16 y =
31 , } ' . d d .
es ou re e systeme a ai e e matnce s.
Sx+I2 y =2S
Sx-3 z =4
c) Résoudre le système 3x + 4 y + z = 2 à l'aide de matrices.
x - y -
z=2