etude poutre

MEF
Méthode des Éléments Finis
Polycopié de cours ITII
filière mécanique
Responsable du cours : Hervé Oudin
Objectifs :
Aborder les notions fondamentales de la méthode des éléments finis à partir de l'étude des
structures treillis et portiques. Puis généraliser à différents problèmes de la physique pour
comprendre et savoir utiliser les modèles numériques de type éléments finis dans le cadre de
problèmes plus complexes utilisant des modèles de l'ingénieur.
Ce cours arbore la notion de modélisation indispensable pour dimensionner et valider un produit
avec un logiciel de calcul industriel.
Pré requis :
En Mathématiques : Algèbre linéaire, géométrie, intégration et équations différentielles.
En Physique : Mécanique des solides et mécanique des milieux continus. Des connaissances en
vibration des structures sont un plus.
Supports du cours :
Tous les éléments de ce polycopié peuvent être consultés sur le site
https://meefi.pedagogie.ec-nantes.fr/MEF/MEF.htm
Vous y trouverez entre autre les corrigés des exercices de cours mais aussi d'autres supports pédagogiques
qui peuvent vous servir pour compléter votre formation.
Les notions abordées :
Modèle barre application aux treillis
Modèle poutre application aux portiques
Méthodes variationnelles et méthodes numériques
Notion de modélisation application à l'utilisation d'un code éléments finis
Méthodes et outils d'analyse des résultats d'un modèle éléments finis
Déroulement : sur la base de 15 demi-journées de 4h (les TP & projet en salle informatique)
Travail en salle
Travail personnel / évaluation
S1
C-TD : Étude des barres
S2
TD1 / C-TD : Étude des portiques
TA1 : exercice à rédiger
S3
TD2 /TD3 : Portiques
TA2 : exercice à rédiger
S4
C-TD : Méthodes d'approximation-MEF
TA3 : exercice à rédiger
S5
TD4 /TD5 : Techniques numériques
S6
TP1 - TP2 utilisation de MEFlab : Treillis
S7
TP3 : MEFlab : Portiques
DS 2h
S8
TP4 & TP5 MEFlab : NumQ4
CR de TP à rédiger
S9
TP6 initiation Abaqus
S10
Cours "modélisation" / fin du TP support
S11-13 Projet Abaqus: Support d'étagère
CR de projet à rédiger
S14
TA4 : analyse de l'élingage - TA5 : analyse du clip d'habillage
S15
DS ABAQUS analyse et modélisation d'une pièce -analyse des résultats
Pour les TD et TP MEFlab :
Chaque thème est abordé en TD de façon analytique pour montrer ce qu'il est possible de traiter à la main
et établir des solutions de référence. Les TP sont basés sur des exercices simples à réaliser avec MATLAB.
Ces TP sont l'occasion d'utiliser des outils numériques pour voir comment les calculs sont abordés pour des
structures plus complexes.
Les TA "Travail en Autonomie" L'objectif est pédagogique, ils vous permettent d'avoir une évaluation
pédagogique de votre travail et de résoudre vos difficultés au fur et à mesure. Ils doivent être rendus lors
de la séance suivante dans le déroulement du cours.
Le TP et le projet ABAQUS : L'objectif est de savoir analyser les résultats obtenus pour différentes
modélisations d'un même problème. Être capable d'en faire une synthèse et de la présenter dans un
rapport.
Le dernier TP consistent à préparer une analyse éléments finis en réfléchissant sur la modélisation de deux
problèmes industriels.
Évaluation :
Le DS (1h) : des questions de cours et 2 exercices : un treillis, un portique.
Document autorisé : une page RV de synthèse du cours.
Le CR de TP (3-4 pages)
Le CR de projet (10 pages)
Le DS ABAQUS qui sera réalisé par binôme
Une importance particulière est portée à la présentation des hypothèses et à la synthèse des résultats
Table des matières
MISE EN ÉQUATIONS DES BARRES........................................................................................................................................... 7
Application du PFD.........................................................................................................................................7
Application du PTV.........................................................................................................................................8
Équivalence des principes..............................................................................................................................8
Bilan & exercice..............................................................................................................................................9
MÉTHODES D'APPROXIMATION APPLIQUÉES AUX BARRES........................................................................................... 11
Méthode des résidus pondérés ...................................................................................................................11
Formulation variationnelle du problème.....................................................................................................13
Exercices.......................................................................................................................................................15
MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES TREILLIS.............................................................................................. 17
L’élément fini barre......................................................................................................................................17
Modèle éléments finis d'un treillis ..............................................................................................................20
Exercices.......................................................................................................................................................25
MISE EN ÉQUATIONS DES POUTRES EN FLEXION PLANE ............................................................................................... 29
Application du PFD.......................................................................................................................................29
Application du PTV.......................................................................................................................................30
Équivalence des principes............................................................................................................................30
Bilan & exercice............................................................................................................................................31
MÉTHODES D'APPROXIMATION APPLIQUÉES AUX POUTRES ........................................................................................ 35
Méthode des résidus pondérés ...................................................................................................................35
Formulation variationnelle du problème.....................................................................................................36
Exercices.......................................................................................................................................................37
MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES PORTIQUES 2D ................................................................................... 39
L’élément fini de flexion plane ....................................................................................................................39
Application aux portiques............................................................................................................................44
Statique des portiques plans simples ..........................................................................................................45
FORMULATION VARIATIONNELLE & ÉCRITURE MATRICIELLE .............................................................................. 49
Formulation intégrale ..................................................................................................................................49
Écriture matricielle du PTV ..........................................................................................................................51
Application aux modèles de l’ingénieur ......................................................................................................52
Exercices : Formulations Variationnelles en physique ................................................................................54
MÉTHODES NUMÉRIQUES DANS LE CADRE DE LA MEF.................................................................................................. 57
Discrétisation du milieu ...............................................................................................................................57
Approximation nodale .................................................................................................................................57
Calcul des matrices élémentaires ................................................................................................................61
Assemblage et conditions aux limites..........................................................................................................66
Exercice ........................................................................................................................................................66
UTILISATION D'UN LOGICIEL ÉLÉMENTS FINIS ................................................................................................................ 69
Création et vérification des données:..........................................................................................................69
Exécution du calcul: .....................................................................................................................................70
Exploitation des résultats: ...........................................................................................................................70
Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................71
Organigramme d'un logiciel éléments finis .................................................................................................72
PROCESSUS D’ANALYSE & MODÉLISATION...................................................................................................................... 73
Qu'est-ce qu'un modèle ?............................................................................................................................74
Comment estimer les erreurs de discrétisation ?........................................................................................75
Votre parcours pédagogique .......................................................................................................................76
TEXTE DES TP AVEC MEFLAB ................................................................................................................................................ 77
TP1 : Prise en main des scripts (2h) ...................................................................... Erreur ! Signet non défini.
TP2 : Étude numérique des treillis (2h) .......................................................................................................77
TP3 : Étude numérique des portiques 2D (2h) ............................................................................................78
TP4 : Illustration des méthodes numériques avec MEFlab .................................. Erreur ! Signet non défini.
TP5 : Illustration des méthodes numériques avec MEFlab .........................................................................79
PRÉSENTATION DE MEFLAB / MEFTAVE.............................................................................................................................. 81
Analyse des scripts éléments finis ...............................................................................................................81
Description des scripts de données .............................................................................................................85
PREMIERS CALCULS AVEC ABAQUS....................................................................................................................................... 89
Prise en main du logiciel ..............................................................................................................................89
Analyse des résultats ...................................................................................................................................91
TP : ÉTUDE DE CAS...................................................................................................................................................................... 91
Pour aller un peu plus loin ...........................................................................................................................93
SUPPORT D'ÉTAGÈRE ................................................................................................................................................................. 95
Position du problème...................................................................................................................................95
Déroulement du projet. ...............................................................................................................................95
ÉTUDE LOCALE D’UNE POUTRE SOUMISE À UN EFFORT D’ÉLINGAGE ...................................................................... 97
Position du problème...................................................................................................................................97
Votre mission, ..............................................................................................................................................98
ÉTUDE D'UN CLIP D'HABILLAGE ............................................................................................................................................ 99
Le produit - les objectifs...............................................................................................................................99
Travail proposé ............................................................................................................................................99
Mise en équations des barres
7/100
Mise en équations des barres
Les quatre champs inconnus de la « MMC » sont :
Champs vectoriels
u : Déplacements
f : Forces
Champs tensoriels
ε : Déformations
σ : Contraintes
Les relations entre ces champs peuvent être représentées par la figure suivante
Σ (σ )
Relations
géomét riques
σ = D (ε )
< Lois de comport em ent >
E (ε )
Lois de compor tement
généralisée
ε = f (u )
Relat ions
géométriques
T =σ n
F ( f ) < Pr incipe de la dynamique > U (u )
Figure 1 : Relatio ns entre les ch amps de la MMC .
Dans le premier document de cours nous avons établi la loi de comportement généralisée du modèle barre.
H1 : déplacement axial
u ( M , t ) = u ( x , t ) xo ==> ε xx = u, x
H2 : état de contrainte uni axial
D'où la définition de l'effort normal
σ xx = Eε xx
N = ES u, x
Pour terminer la mise en équations des barres, nous pouvons écrire une des deux formes du principe de la
mécanique que vous avez vues en MMC :
Le PFD : qui donne un système d'équations aux dérivées partielles (formulation locale).
Le PTV : qui est sa forme intégrale ou forme variationnelle et est une forme énergétique globale des
équations du mouvement.
Application du PFD
Nous allons écrire les équations de Newton f = ma pour une tranche d’épaisseur dx de la barre
Le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre)
fait apparaitre l'effort normal (torseur des efforts de cohésion)
L'équation de résultante dynamique dans la direction x donne :
N + dN − N + fdx = ρ Sdx uɺɺ
Soit
N, x + f = ρ S uɺɺ
Compte tenu de la loi de comportement intégrée, l'équation locale est :
∀x ∈ ]0, ℓ[
ρ Suɺɺ − ( ESu, x ) = f
f
N + dN
N
dx
x
,x
Les conditions aux limites aux extrémités de la barre peuvent être,
u = ud (t ) ,
en déplacement imposé :
ou en force imposée :
ESu, x = N d (t ) .
Ces 2 conditions permettent de fixer les deux constantes d'intégration en x
7
Mise en équations des barres
8/100
Pour déterminer la réponse dynamique en temps, il faudra se donner les deux conditions initiales:
u ( x, 0) = uo ( x)
Déformée et vitesse de déformation

initiales de la barre
ɺ
ɺ
u
(
x
,
0)
=
u
(
x
)
o

Application du PTV
Nous allons écrire le principe des travaux virtuels ∀δ u δ W = δ A
pour une barre chargée sur sa longueur et à ses extrémités.
f
Fo
0
Fℓ
u ( x, t )
ℓ
ℓ
Le travail virtuel des quantités d’accélération est : δ A = ∫ ρ Suɺɺ δ u dx
o
Le travail virtuel des efforts se décompose en travail virtuel des efforts de cohésion et celui des efforts
extérieurs soit :
ℓ
ℓ
Pour les efforts de cohésion δ Wint = − ∫ σ : δ ε dV = − ∫ ∫ σ xx δε xx dS dx = − ∫ ES ε xx δε xx dx
0S
D
0
ℓ
ε xx = u, x
δ Wint = − ∫ ESu, x δ u, x dx
Soit
o
ℓ
δ Wext = ∫ f δ u dx + Fo δ uo + Fℓ δ uℓ
Pour les efforts extérieurs
o
Le PTV conduit à l’équation intégrale suivante :
ℓ
∀δ u
ℓ
ℓ
∫ ρ Suɺɺ δ u dx = − ∫ ESu,x δ u,x dx + ∫ f δ u dx + Foδ uo + Fℓδ uℓ
o
o
o
C’est la forme variationnelle du problème.
Les deux derniers termes correspondent au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités du barreau.
Dans le cas ou la condition aux limites porte sur le déplacement, l’effort à l’extrémité est une inconnue du
problème. Pour déterminer l'équation du mouvement il faudra tenir compte des conditions aux limites en
déplacements. Restreindre le choix des déplacements virtuels à des champs virtuels admissibles, permet
d'éliminer l'effort de liaison inconnu de la forme variationnelle.
Si u = ud (t ) respectée alors δ u = 0 et le F δ u est éliminé de la Formulation
Le travail des efforts de cohésion δ Wint peut s'exprimer à partir de la variation de l'énergie de déformation
de la barre
δ Wint = −δ Ed
ℓ
avec
( )
2 Ed = ∫ σ : ε dV = ∫ ES u, x
D
2
dx
o
Équivalence des principes
Partons du PFD pour retrouver le PTV. La démarche, présentée de façon générale dans le cours de MMC
est utilisée ici dans le cas particulier du modèle barre, sur des équations mono dimensionnelles.
8
Mise en équations des barres
L'équation locale
9/100
ρ Suɺɺ − ESu, xx − f = 0
∀x ∈ ]0, ℓ[
ℓ
Est équivalente à
∫ P ( ρ Suɺɺ − ESu, xx − f ) dx = 0
∀P
0
Remarque : si u est une solution approchée du problème cette forme intégrale
représente le résidu pondéré de l’équation locale sur le domaine.
Effectuons une intégration par partie du terme en u,xx
ℓ
ℓ
ℓ
∫ P ES u, xx dx =  P ESu, x  0 −
∫ P, x ES u,x dx
0
0
Nous obtenons
ℓ
∀P
ℓ
ℓ
ℓ
∫ P ρ S uɺɺ dx + ∫ P,x ES u, x dx =  P ESu,x  0 + ∫ P fdx
0
0
0
Introduisons les conditions aux limites en force aux extrémités de la barre
Fo
Fo = − N ( o, t ) = − ES u, x ( o, t )
Fℓ = + N ( ℓ, t ) = ES u, x ( ℓ, t )
ℓ
∀P
D'où le PTV :
0
N0
ℓ
Fℓ
ℓ Nℓ
ℓ
∫ P ρ S uɺɺ dx + ∫ P,x ES u, x dx = Pℓ Fℓ + Po Fo + ∫ P fdx
0
0
0
Bilan & exercice
Le PFD donne un système d’équations aux dérivées partielles (EDP), c'est une formulation locale
équation locale : ∀x ∈ ]0, ℓ[
ρ Suɺɺ − ESu, xx = f
PFD 
2 conditions aux limites en x = 0 et en x = ℓ
Il est utilisé pour rechercher la solution analytique d'un problème.
Les conditions initiales ne servent que pour résoudre l'équation différentielle en temps
Réponse dynamique d'une structure.
Le PTV est la forme variationnelle du problème, c'est une formulation globale (notion d'énergie)
ℓ
∀δ u
ℓ
ℓ
∫ ρ Suɺɺ δ u dx = − ∫ ESu,x δ u,x dx + ∫ f δ u dx + Foδ uo + Fℓδ uℓ
o
o
o
Sera utilisé pour rechercher les solutions numériques du problème.
Solutions approchées
Vous devez être capable d'écrire ces deux formulations pour un problème donné.
9
Mise en équations des barres
10/100
Tous les exercices de cours sont corrigés sur le site, mais il faut chercher les réponses aux questions avant
de consulter le corrigé.
Exercice 1 : Mise en équations d’un barreau en traction
Objectifs : Savoir écrire les conditions aux limites pour une barre,
Résoudre un problème simple en statique,
Pouvoir écrire le PTV et savoir passer du PTV au PFD.
1- Écriture des conditions aux limites.
Donnez les différentes conditions aux limites homogènes possibles pour une barre.
Donnez les conditions aux limites correspondantes aux trois figures ci-dessous.
F
x=ℓ
x=0
k
xo
xo
x=0
xo
M
2- Application du PFD.
x
Écrire le système d'EDP de ce problème
g
ℓ
Intégrer l'équation différentielle en statique
Tracer le diagramme de l'effort normal (analyse type RDM)
3- Application du PTV.
Pour le problème représenté par la figure ci-dessous
k
xo
x=0
x=ℓ
Pour un champ de déplacements virtuels cinématiquement admissible.
Donner l’expression du PTV en ne considérant que la barre.
Retrouver cette expression en considérant la barre et le ressort.
4- Équivalence des principes.
Donner l’expression du PFD et passez au PTV
(application directe du cours).
Partir du PTV pour retrouver l'équation locale et toutes les CL du problème.
Démarche inverse à celle présentée en cours
Si avec la correction vous n'arrivez pas à comprendre la réponse à une question, c'est que des éléments du
cours ou des pré-requis vous manquent. Revoyez le cours et n'hésitez pas à poser la question à votre
enseignant, il pourra vous aider à résoudre la difficulté.
Pour assimiler le cours il faudra traiter des exercices non corrigés.
10
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
11/100
Méthodes d'approximation
appliquées aux barres
Toutes les méthodes d'approximation ont un même objectif, remplacer un problème mathématique défini
sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret
(équation matricielle). Problème de dimension finie que l'on sait résoudre numériquement.
La méthode des résidus pondérés (annulation d'erreur) utilise comme point de départ le système d’EDP
(équations différentielles) défini par les équations locales et les conditions aux limites du problème. La
formulation intégrale du problème ainsi obtenue peut être utilisée comme point de départ c'est La
formulation variationnelle du problème. En mécanique cette forme variationnelle est le PTV (Principe des
Travaux Virtuels).
Système d'EDP
Problème aux limites
formulation forte du problème
Méthode des
résidus pondérés
Forme intégrale forte du problème
Les conditions aux limites restent à satisfaire
Nombreuses méthodes
collocation, valeur moyenne
Galerkin (==> éléments finis)
Transformation de
la forme intégrale
Formulation faible du problème
Les CL de Neuman ou mixte sont prises en compte
Approximation
Forme variationnelle
du problème
Traitement numérique
Solution
numérique
Forme matricielle
Figure 1 : Passage d'un système EDP à une solution numérique
Méthode des résidus pondérés
Le point de départ est le système d'équations différentielles (PFD)
Partons de l'équation locale ∀x ∈ ]0, ℓ[
ρ Suɺɺ − ESu, xx − f = 0
Admettons que nous soyons capables de construire une approximation u h satisfaisant toutes les
conditions aux limites du problème.
Le résidu R(u h ) = ρ Suɺɺh − ESu,hxx − f est alors l'erreur commise en utilisant cette approximation sur ]0, ℓ[
Annuler l'erreur pondérée sur le domaine, consiste à écrire la forme intégrale suivante
ℓ
∀ϕ ( x )
∫ ϕ ( x) ( ρ Suɺɺ
h
− ESu,hxx − f ) dx = 0
Forme intégrale forte
Les CL ne sont pas prises en compte
0
Remarque :
Du point de vue mathématique, au lieu de résoudre l’équation
on considère le problème mathématiquement équivalent :
∀M ∈ D
∀ϕ
∫ϕ
D
11
R(u ( M )) = 0
.
R(u ) dV = 0
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
12/100
Les fonctions ϕ ( x ) sont dites fonctions de pondération. Ce sont des fonctions tests (poids) quelconques
définies sur ]0, ℓ[
Pour utiliser une approximation à n paramètres dans la formulation forte, nous devons construire une base
de n fonctions de forme wi ( M ) satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème, et deux fois
dérivables. Ce sont des fonctions de comparaison.
n
Sous forme matricielle l'approximation est définie par : u h ( x , t ) = ∑ wi ( x ) qi (t ) = < w( x ) > {q ( t )}
i =1
ℓ
L’équation
∫ ϕ ( x) ( ρ Suɺɺ
h
− ESu,hxx − f ) dx = 0 est une équation à n inconnues qi (t )
0
Pour obtenir un système matriciel de n équations à n inconnues, au lieu d'écrire l'équation pour une
infinité de fonctions tests nous nous limiterons aux choix de n fonctions.
Le choix de ces fonctions de pondération différentie les méthodes
Collocation : choix ϕi = δ ( M − M i )

valeur moyenne par sous domaine
Galerkin : choix ϕ = w
i
i

Exemple
xo
ℓ
Perte d'information ==> Erreur
Déterminer, par différentes méthodes, une approximation de la première
pulsation de vibration de la barre
On utilisera une approximation : u h ( x, t ) = x( x − 2ℓ) q1 (t )
Pour information, la solution analytique est ω1 = π
2
E
E
≅ 1, 5707
2
ρℓ
ρℓ2
u (0, t ) = 0
Les équations différentielles du problème sont : ρ Suɺɺ − ESu, xx = 0 avec les CL 
u, x (ℓ, t ) = 0
La fonction w1 ( x ) = x( x − 2ℓ) est deux fois dérivable et satisfait toutes les CL du problème.
C'est une fonction de comparaison
On peut utiliser la formulation forte du problème.
ℓ
Annuler l'erreur pondérée sur le domaine ==> ∀ϕ ( x )
ℓ
∫ ϕ ( x) ρ S x( x − 2ℓ)dx qɺɺ1 − ∫ ϕ ( x) ES 2dx q1 = 0
0
0
Nous nous limitons au choix d'une fonction de comparaison, car l'approximation est à 1 paramètre.
Collocation ϕ = δ ( M − M i )
3ρ S ℓ 2
qɺɺ1 − 2 ES q1 = 0
4
8E
E
Soit une approximation de la première pulsation propre ω1h =
= 1, 633
2
3ρ ℓ
ρ ℓ2
L'erreur est de 3,96%
2
5ρ S ℓ
Annulons l'erreur en x = ℓ / 3 nous obtenons l'équation : −
qɺɺ1 − 2 ES q1 = 0
9
Annulons l'erreur en x = ℓ / 2 nous obtenons l'équation : −
12
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
Soit une approximation ω1h = 1,897
13/100
E
ρ ℓ2
L'erreur est de 20,8% !!
Valeur moyenne ϕ = 1
Annulons l'erreur en valeur moyenne nous obtenons l'équation m qɺɺ1 + k q1 = 0
ℓ
ℓ
2
Avec m = ρ S ∫ x( x − 2ℓ)dx = − ρ S ℓ3 et k = −2 ES ∫ dx = −2 ES ℓ
3
0
0
E
ρ ℓ2
Soit une approximation ω1h = 1, 732
L'erreur est de 10,2%
Galerkin ϕ = x( x − 2ℓ)
Annulons l'erreur pondérée, nous obtenons l'équation m qɺɺ1 + k q1 = 0
ℓ
Avec m = ρ S ∫ x 2 ( x − 2ℓ) 2 dx =
0
Soit une approximation ω1h = 1, 581
E
ρ ℓ2
8
ρ S ℓ3 et
15
ℓ
k = −2 ES ∫ x( x − 2ℓ)dx =
0
4
ES ℓ
3
soit une erreur de 0,66%
En conclusions
La méthode de collocation est très rapide car il n'y a pas d'intégration à effectuer, mais le résultat
dépend du choix du point de collocation.
La méthode de la valeur moyenne donne de moins bon résultats, et lorsque l'on utilise une
approximation à plusieurs variables il faut appliquer cette méthode par sur des sous domaine.
La méthode de Galerkin donne d'excellents résultats et cela avec un seul paramètre, c'est cette
méthode qui est à la base de la méthode des éléments finis.
Si l'on écrit l'équation locale sous la forme ∀x ∈ ]0, ℓ[
M = ρ S
M (uɺɺ) + L(u ) − f = 0 avec 
2
2
 L = − ES ∂ / ∂x
La méthode de Galerkin nous donne n équations dont la forme matricielle est :
ℓ

T
M
=
Il est important de comprendre
[
]

∫0 < w > M (< w >)dx
cette écriture matricielle.

ℓ

[ M ]{ qɺɺ} + [ K ]{ q} = { F } : avec [ K ] = ∫ < w >T L (< w >)dx
0

ℓ

{ F } = ∫ < w >T f dx

0
Il faut que les fonctions de forme wi soit L fois dérivables,
et satisfassent toutes les conditions aux limites du problème
Formulation variationnelle du problème
La formulation variationnelle consiste à effectuer une intégration par parties du terme correspondant aux
efforts intérieurs pour faire apparaitre les conditions aux limites en force (conditions aux limites naturelles).
Nous obtenons (cf chapitre équations des barres)
13
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
ℓ
14/100
ℓ
ℓ
ℓ
∫ P ρ S uɺɺ dx + ∫ P,x ES u, x dx =  P ESu,x  0 + ∫ P fdx
∀P
0
0
0
En introduisant les conditions aux limites en force aux extrémités de la barre
Fo
Fo = − N ( o, t ) = − ES u, x ( o, t )
Fℓ = − N (ℓ, t ) = + ES u, x (ℓ, t )
En notant P ≡ δ u
N0
Fℓ
ℓ Nℓ
0
la variation est équivalente à la fonction de pondération
ℓ
∀δ u
On retrouve le PTV :
ℓ
ℓ
∫ δ u ρ S uɺɺ dx + ∫ δ u,x ES u, x dx = δ uℓ Fℓ + δ uo Fo + ∫ δ u fdx
0
0
0
C'est la formulation faible du problème
L'approximation n'a pas besoin de satisfaire les CL en force puisqu'elles apparaissent dans l'équation.
Les fonctions de forme n'ont plus besoin d'être L fois dérivables
Le choix des fonctions de forme est très large
En restreignant le choix des fonctions de forme à des fonctions admissibles, c'est-à-dire vérifiant les
conditions aux limites cinématique du problème ( δ u = 0 si u = uD ) il ne reste que les efforts donnés dans
l’équation intégrale précédente, c’est l’équation du mouvement (toutes les CL du problème sont prises en
compte)
En reportant l'approximation dans l'équation du mouvement
u h ( x , t ) = < w( x ) > {q (t )} et sa variation δ u ( x ) = < w( x ) > {δ q}
ℓ

T
[ M ] = ∫ < w > ρ S < w > dx
0

ℓ

L’équation matricielle est : [ M ]{qɺɺ} + [ K ]{q} = {FD } + {φ } avec [ K ] = ∫ < w, x >T ES < w, x > dx
0

ℓ

{φ} = ∫ < w >T f dx

0
Exemple
xo
Déterminer, par la méthode de Galerkin, l'approximation des premières pulsations
de vibration de la barre.
On utilisera une approximation : u h ( x, t ) =< x x 2 ... x n > {q (t )}
ℓ
L'approximation respecte la condition aux limites en x=0
La base polynomiale est admissible pour ce problème
Pour une approximation à 1 paramètre
Nous obtenons un modèle « masse – ressort » à 1 degré de liberté m qɺɺ1 + k q1 = 0
ℓ
Avec m = ρ S ∫ x dx =
2
0
ρ S ℓ3
3
ℓ
et
k = ES ∫ dx = ES ℓ
0
E
E
= 1, 732
à comparer à π / 2 soit une erreur de 10%
2
ρℓ
ρ ℓ2
L'approximation est mauvaise, car la fonction de forme est linéaire
et le premier mode est en " sin(π x / 2ℓ) "
Pour une approximation à 2 paramètres
Soit une approximation ω1h = 3
14
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
15/100
Nous obtenons un modèle à 2 ddl (degrés de liberté) : [ M ]{qɺɺ} + [ K ]{q} = 0
Avec
1 ℓ 
1


[ M ] = ρ S ℓ3  ℓ3 ℓ42  et [ K ] = ES ℓ 
ℓ


 4 5 
ℓ 
4 2
ℓ 
3

==> approximation des deux premières pulsations ω1h = 1,577
E
ρℓ
2
et ω 2h = 5, 673
E
ρ ℓ2
L'approximation de la première fréquence est très bonne 0,6%
Vous notez cependant que l'approximation est moins bonne que dans le cas de la formulation forte,
effectivement les fonctions de forme ici sont moins riches car elles ne vérifient pas la CL en x=L
Pour améliorer la précision sur la seconde fréquence, il suffit d'augmenter le degré de l'approximation
Pour effectuer les simulations numériques utiliser le fichier Matlab du site
Exercices
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Exercice 3 : Résidus pondérés sur la formulation forte
Objectifs :
Toutes les applications numériques peuvent être réalisées avec Matlab
Appliquer la méthode des Résidus pondéré avec des fonctions de comparaison.
Comparer les résultats obtenus par différentes méthodes.
Reprenons l'exercice de la barre encastrée reliée à un appui fixe par un ressort de raideur k .Nous
avons calculé analytiquement les fréquences et modes propres de vibration de cette structure, nous
allons comparer ces résultats avec ceux donnés pour différentes approximations.
k
ES
On posera α =
x
x=0
x=ℓ
kℓ
o
Nous allons utiliser la formulation forte du problème pour effectuer le calcul approché des fréquences
de vibration de cette structure. Il faut donc utiliser des fonctions de formes qui satisferont toutes les
conditions aux limites du problème (fonctions de comparaison).
1- Donner les équations de ce problème sous forme d'un système d'EDP.
Montrer que le problème est auto-adjoint (opérateurs L et M symétriques)
2- Recherche de fonctions de comparaison
a- Construire un polynôme du second degré qui soit une fonction de comparaison.
α +1
 β 
On notera w1 ( x) = x 1 − x  avec β =
cette fonction
2α + 1
ℓ 

x
b- La fonction ϕ1 ( x) = 1 − cos(2π ) est elle une fonction de comparaison ?
ℓ
3- Appliquer la méthode des résidus pondérés pour calculer l'approximation de la première pulsation
propre avec une approximation à un paramètre construite sur w1 ( x) .
a- utiliser la méthode de collocation en x = ℓ / 2
b- la méthode de la valeur moyenne sur le domaine
c- la méthode de Galerkin.
4- Utiliser maintenant la fonction ϕ1 ( x) , et expliquer pourquoi la fonction ϕ1 ( x) donne de très mauvais
résultats.
15
Méthodes d'approximation appliquées aux barres
16/100
x
x
) + β sin(π )
2ℓ
2ℓ
Déterminer la valeur de β en fonction de α pour que cette fonction soit de comparaison
Utiliser le fichier Maple fourni pour effectuer les simulations numériques
5- Calculs avec la fonction de forme ψ 1 ( x) = 1 − cos(π
6- Quelles conclusions tirez-vous de cet exercice ?
Exercice 4 : Formulation variationnelle & Galerkin.
Objectifs :
Appliquer la méthode de Galerkin avec des fonctions de formes admissibles.
Reprenons l'exercice de la barre encastrée reliée à un appui fixe par un ressort de raideur.
k
ES
On posera α =
= 10
xo
x=0
x=ℓ
kℓ
Nous avons calculé analytiquement les fréquences et modes propres de vibration de cette structure,
nous allons comparer ces résultats avec ceux donnés par la méthode de Galerkin.
1- Donner la forme variationnelle de ce problème.
A quelles conditions les fonctions de forme sont-elles admissibles ?
2- Donner la forme matricielle associée pour une approximation u h ( x , t ) = < w( x ) > {q (t )}
3- De quelle forme doit être une approximation polynomiale à n paramètre
Pour une approximation à un, puis deux paramètres, calculer les premières pulsations propres
de la structure.
Le fichier Matlab vous permettra d'effectuer les applications numériques
Pour assimiler les notions présentées, traiter des exercices non corrigés peut être utile.
16
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
17/100
Modèle éléments finis
pour l'étude des treillis
Un treillis est constitué d'éléments barres qui ne travaillent qu'en traction compression. Nous allons utiliser
la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous débutons par la présentation de
l'élément fini barre, en détaillant le calcul des matrices élémentaires permettant d'exprimer le principe des
travaux virtuel sous forme matricielle. Puis nous verrons comment utiliser ces résultats pour modéliser des
treillis bidimensionnels
L’élément fini barre
uj
ui
Approximation : Considérons un élément de longueur ℓ e
(e)
i
Le repère local de l'élément est orienté du nœud i vers le nœud j.
Les deux variables nodales sont les déplacements notés (ui , u j ) dans la direction x
j
x
Le champ de déplacement sur l'élément sera construit sur une approximation polynomiale à deux
paramètres de la forme
Approximation linéaire du champ de déplacement
 a (t ) 
Ici les paramètres ai n'ont pas de sens physique
u ( x, t ) = a1 + a2 x =< 1 , x >  1 
a2 (t ) 
L'approximation nodale sera construite en identifiant les déplacements nodaux à la valeur de
l'approximation soit :
u (0, t ) = ui (t ) = a1
en x = 0
a1 = ui

u j − ui
en x = ℓ e
u (ℓ e , t ) = u j (t ) = a1 + a2ℓ e
nous en déduisons 
a
=
2

ℓe
D’où l'approximation nodale u ( x , t ) =< 1 −
x
x  ui (t ) 
,
>

ℓ e ℓ e u j (t ) 
Les paramètres ui , u j ont ici un
sens physique
Cette approximation sera notée : u = < N > {U e }
Les fonctions d’interpolation de l’approximation nodale sont :
x
N1 ( x) = 1 −
ℓe
 N (i ) = 1
vérifie  1
 N1 ( j ) = 0
1
x
N 2 ( x) =
ℓe
 N (i ) = 0
vérifie  2
 N2 ( j ) = 1
1
N1
0
1
x/le
N2
0
1
x/le
La notion d'approximation nodale est fondamentale dans la méthode des éléments finis, elle permet
d’utiliser des variables qui ont un sens physique, et sur lesquelles nous pourrons directement imposer les
valeurs données par les conditions aux limites de type cinématique.
Expression matricielle des énergies élémentaires
Nous devons calculer, le travail des quantités d'accélération ainsi que le travail des efforts intérieurs et
celui des efforts extérieurs associé à notre élément, en utilisant l'approximation nodale.
17
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
18/100
Le travail des quantités d'accélération est : δ Ae =
ℓe
∫ ρ Suɺɺ δ u dx
o
Utilisons l’approximation nodale du champ des déplacements u = < N > {U e }
Le terme uɺɺ δ u = δ u T . uɺɺ =
{δ U e }
T
< N >T < N > {Uɺɺe }
On peut alors sortir les variables nodales de l'intégrale δ Ae = {δ U e }
T
ℓe
ρ S < N > dx {Uɺɺe }
∫<N>
T
o
δ Ae = {δ U e } [ M e ]{Uɺɺe } avec [ M e ] =
T
ℓe
∫<N>
T
ρ S < N > dx
o
Nous venons de définir la matrice masse élémentaire, le calcul de l'intégrale se fait analytiquement,
on trouve :
A titre d'exercice retrouver par le calcul
les coefficients de cette matrice
ρ S ℓ e 2 1 
[M e ] =


6
1 2 
ℓe
δ Ed = −δ Wint
Le travail des efforts intérieurs est : δ Wint = − ∫ ESu, x δ u, x dx
o
Pour ce calcul utilisons l'expression de l'énergie de déformation : 2 Ed =
ℓe
∫ ES ( u,x )
2
dx
o
2 Ed = {U e }
T
Utilisons l'approximation nodale
ℓe
∫ < N,x >
T
u,2x = uT, x . u, x
ES < N, x > dx {U e }
o
Soit pour chaque élément 2 Ed = {U e }
T
[ Ke ]{U e } avec [Ke ] =
ES
ℓe
 1 − 1
− 1 1 


ℓ
Le travail des efforts extérieurs est : δ Wext = ∫ f δ u dx + Fie δ ui + F je δ u j
f
Fie
(e)
i
o
F je
j
Pour la densité de charge f appliquée sur l'élément nous devons tenir
compte de l'approximation nodale pour exprimer le travail virtuel.
δ We =
ℓe
∫
f ( x ) δ u dx
Compte tenu de l’approximation δ We = {δ U e }
T
0
ℓe
∫ < N ( x) >
T
f ( x ) dx
0
Nous pouvons effectuer le calcul de l'intégrale si la répartition de charge sur l'élément est connue.
ℓe 
 
T
Pour une charge f = Cte . On trouve δ We = {δ U e } {φe } , avec {φe } = f  2 
ℓe 
 2 
Ce calcul permet de calculer les charges nodales équivalentes au sens de l’approximation à une charge
volumique réelle appliquée à la structure
f
i
PTV
f ℓe
j
i
Charge réelle
f ℓe
2
j
Charge nodale équivalente
18
2
x
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
19/100
Objectif : Déterminer une approximation des premières fréquences de résonnance de la barre avec
un modèle élément fini.
Exemple
Tester la méthode avec un modèle à 1 élément
ℓ
xo
Généraliser à n éléments (maillage régulier)
Modèle à 1 élément fini
2
ES  1 −1
, et [ K ] =
sur < u1 u2 >


L  −1 1 
6 1 2 
Les vibrations de la barre sont modélisées par un système à 1 DDL
uɺɺ2 +
ES
u2 = 0
L
1
[M ] =
xo
La condition : u1 = 0
ρ SL
3
ρ SL  2 1 
ω1 = 3
ES
ρ SL2
ES
≅ 1, 732
ρ SL2
À comparer à la solution analytique ωi =
π
ES
2
ρ SL
2
≅ 1,571
ES
ρ SL2
L’erreur d’approximation 10% sur la première pulsation propre est importante car
on utilise une approximation linéaire pour une fonction sinusoïdale.
Modèle à N éléments finis
1
2
3
n
n+1
Pour tout élément [ K e ] =
ES  1
L / n  −1
−1 

1
et [ M e ] =
ρ SL  2
6n  1
1

2
Lorsque l'on somme les énergies de chaque élément pour obtenir l'énergie de la structure les matrices
élémentaires s'emboitent les unes avec les autres, en effet
ES 2
Pour l'élément 1 : 2 Ed 1 =
(u1 − 2u1u2 + u22 )
ℓ
ES 2
Pour l'élément 2 : 2 Ed 2 =
(u2 − 2u2u3 + u32 )
ℓ
ES 2
Soit pour les deux éléments 2 Ed 1+ 2 =
(u1 − 2u1u2 + 2u22 − 2u2u3 + u32 )
ℓ
Que l'on peut écrire sous forme matricielle 2 Ed1+ 2 = {U }
T
[ K ]{U }
 1 −1 0 
ES 
T
Avec [ K1+ 2 ] =
−1 1 + 1 −1 sur {U } = < u1 u2

ℓ
 0 −1 1 
u3 >
c'est l'assemblage.
En généralisant aux n éléments on obtient une matrice (n + 1, n + 1) , mais il faut tenir compte de la
condition d'encastrement du premier nœud, tous les termes u1 sont nuls, la matrice assemblée réduite
est une matrice carrée de dimension n
 2 −1

 −1 2 −1





−1 2 −1
nES 

Matrice raideur assemblée réduite ( u1 = 0 ):
−1 \ \
[K ] =


L


\ \ \


\ 2 −1


−1 1 

De même pour l'énergie cinétique
19
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
20/100
4 1

1 4 1



 1 4 1

ρ SL 

Matrice masse
1 \ \
[M ] =


6n


\ \ \


\ 4 1


1 2 

Pour le calcul des pulsations propres (voir fichier MAPLE sur le site)

ES
ω1 ≅ 1, 61
ρ SL2
ES

Avec n=2
à comparer à ωi = 1, 571 et 4, 712

ρ SL2
ω ≅ 5, 63 ES
 2
ρ SL2


ES
ω1 ≅ 1, 589
ρ SL2


ES
ES

Pour n=3
ωanal = 1,571 4, 712 et 7,854
ω2 ≅ 5,196
2
ρ SL2
ρ SL


ω ≅ 9, 426 ES
 3
ρ SL2
La convergence est lente (éléments de degré 1)
Avec la matrice modale calculée dans Maple vous pouvez tracer les modes sur la solution analytique, si le premier mode peut
être assez rapidement approché par des segments, il faudra un maillage très fin pour approcher la déformée modale des
modes supérieurs.
Modèle éléments finis d'un treillis
La démarche générale pour traiter un problème par une modélisation éléments finis est la suivante :
Analyse du problème
choix de discrétisation (définition des inconnues)
Boucle sur les éléments
Calcul des matrices élémentaires et charges généralisées
Assemblage & C. Limites
équation matricielle à résoudre
Résolution
déformée de la structure et efforts aux appuis
20
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
Post-traitement
21/100
contraintes dans les barres et efforts aux nœuds.
Pour un treillis bidimensionnels
j
(e)
α
yo
i
Soit une barre formant un angle α avec l’axe xo du repère global.
uj
vj
Pour effectuer l'assemblage nous devons exprimer le déplacement axial u
en fonction de ses composantes sur la base globale ( u , v ).
u 
u 
u =< cos α sin α >   =< Cα Sα >  
v 
v 
uj
x
xo
Ce n'est que la première ligne d'un
changement de base classique.
Appliquons ce changement de base aux nœuds de l’élément
 ui  Cα
 =
u j   0
Sα
0
0
Cα
 ui 
 
0   vi 


Sα  u j 
 v j 
u   Cα
 =
v   − Sα
Reportons ce changement de base dans l'expression de l'énergie de déformation. {U e }
T
T
 ui 
v 
 i  C
2 Ed =    α
u
 j  0
v j 
 
T
Sα
0
0
Cα
0  ES  1 −1 Cα
Sα  ℓ e  −1 1   0
Sα
0
0
Cα
[A] − [A]

− [ A] [ A] 
ℓe
avec
 Cα2
Cα S α
[A] = 
ES  1 −1

 {U e }
ℓ e  −1 1 
 ui 
 
0   vi 
 
Sα  u j 
v j 
 
Nous en déduisons l’expression de la matrice raideur élémentaire sur les variables < ui
[K e ] = ES 
Sα  u 
 
Cα   v 
vi
uj
vj >
Cα S α 

S α2 
Dans le cas bidimensionnel il est possible de mener les calculs à la main.
Ce n'est plus le cas pour les structures tridimensionnelles, c'est pourquoi nous les traiterons exclusivement
du point de vue numérique.
Assemblage et résolution
Pour chaque élément de la structure nous avons :
 Fie 
∀e [ M e ]{Uɺɺe } + [ K e ]{U e } = {φe } +  
 F je 
Les
Fie sont les efforts du nœud i sur les
éléments e (effort appliqué à l'élément)
L'assemblage consiste à sommer les énergies élémentaires
ℓe
∫
=∑∫
D
e
D'où le signe moins pour avoir les efforts
des éléments sur le nœud.
0
Pour les efforts nodaux l'équilibre d'un nœud quelconque donne Fi − ∑ Fie = 0
e
Les Fi représentent les efforts extérieurs appliqués aux nœuds de la structure. Se sont soit des
charges données soit des efforts aux appuis (conditions cinématiques) qui sont des inconnues du
problème.
L'assemblage consiste à se donner un ordre de rangement des variables nodales dans le vecteur des
inconnues globales du système. En pratique (à la main) nous utilisons l'ordre lexicographique pour simplifier
l'écriture. La machine (calculateur) utilisera sa propre numérotation pour optimiser la vitesse de traitement
21
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
22/100
et la taille mémoire utile en fonction des algorithmes de résolution qu'il utilisera pour traiter les équations,
ces opérations sont transparentes pour l'utilisateur.
En statique nous utiliserons une décomposition du système matriciel en déplacements inconnus (nœuds
ou les charges sont données) et déplacements imposés (les charges sont alors inconnues).
[ K11 ] [ K12 ]   {U i }  {Fd }
= 



[ K 21 ] [ K 22 ] {U d }  { Fi } 
Le premier bloc d'équations nous donne le vecteur des déplacements nodaux inconnus:
{U i } = [ K11 ] {{Fd } − [ K12 ]{U d }}
−1
C’est le système réduit
En reportant dans le second nous obtenons le vecteur des efforts de liaison inconnus:
{Fi } =  K 22 − K 21K11−1 K12  {U d } +  K 21 K11−1  {Fd }
Dans les exercices très souvent les déplacements sont imposés nuls, ce qui simplifie les écritures et les
{U i } = [ K11 ] {Fd }
−1
calculs
puis
{Fi } = [ K 21 ]{U i }
Post-traitement
Pour effectuer le dimensionnement d'une structure nous avons besoin de calculer l'état de contrainte dans
la structure, pour un treillis cela revient à calculer l'effort normal dans les éléments.
Nous utilisons la loi de comportement intégrée :
ES
N = ES u, x = ES < N, x > {U e } =
(u j − ui ) = Cte
ℓe
L'état de contrainte est constant dans chaque élément fini
En statique, pour des treillis chargés aux nœuds le modèle éléments finis ne nécessite qu'un élément par
barre du treillis, il donnera la solution analytique exacte. Ce n'est évidemment pas le cas ni pour une
colonne chargée par son poids propre, ni pour les problèmes de dynamique, ou la solution exacte se
décompose sur une base de fonctions sinusoïdale (cf chapitre sur les solutions analytiques pour les barres) .
Dans le cas bidimensionnel, l’état de contrainte sur un élément est donné par :
ES
ES
u j − ui 
N=
(u j − ui ) =
< Cα Sα > 

ℓe
ℓe
 v j − vi 
Exemple
F
Analyse
a
Nous avons 3 nœuds à 2 variables par nœuds (ui , u j ) les déplacements
du nœud dans le plan.
a 2
yo
{U }
T
xo
Modèle à 6 degrés de liberté
= {u1 v1 u2
u3
a
1
a 2
u3
v3 }
vecteur des déplacements nodaux
v3
3
v2
2
u2
Les conditions aux limites :
u = 0
Appui au nœud 1 :  1
 v1 = 0
Appui glissant au nœud 2 : v2 = 0
X
soit deux efforts inconnus :  1
 Y1
soit un effort inconnu : Y2
Le travail virtuel des efforts donnés et inconnus appliqués à la structure
conduit à l’expression du vecteur des forces nodales :
22
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
3
Y2
X1 a 2
1
(2)
(3)
(1)
a 2
1
2
xo
v3
3
0
v3 }
u3
Calculons la matrice raideur [K] de cette structure.
u1
2
1
Pour l’élément 1 (1,2)
a 2
ES  1 −1
K1 =

 sur {u1 u2 }
a 2  −1 1 
1 1

ES  1 1
K2 =
Pour l’élément 2 (1,3)
2 a  −1 −1

 −1 −1
u1
Pour l’élément 3 (2,3)
v3
u3
3
0 u3
Les équations 1, 2 et 4 nous donnerons les efforts aux appuis en fonction de
ces déplacements.
α = 45°
1
u2
Les équations 3,5, et 6 nous permettent de déterminer le champ de
déplacement de la structure (sa déformation).
a
v1
0}
Nous avons donc 6 inconnues pour 6 équations
3
yo
pour
F
Y1 0 Y2
2
 0   X1 
 0  Y 
   1
u   0 
[ K ]  02  =  Y 
   2
u3   F 
   
 v3   0 
a
{F } = { X 1
T
{U } = {0
T
F
a
Y1
23/100
a
v2
α = 135°
2
u2
−1 −1
−1 −1
1 1

1 1
sur {u1
v1
u3 v3 }
 1 −1 −1 1 


ES  −1 1 1 −1
K3 =
2a  −1 1 1 −1


 1 −1 −1 1 
sur {u2
v2
u3
v3 }
u2
L’énergie de déformation totale de la structure est la somme des énergies de déformation de chaque
élément, l’assemblage des matrices consiste à ranger chaque terme dans une matrice globale définie sur
le vecteur {U } = {u1 v1 u2
T
D’où la matrice globale
1 + 2

 1
ES 
[K ] =  − 2
2a  0

 −1
 −1
v2
u3
1
− 2
1
0
0
1+ 2
0
−1
−1
−1
−1
1
v3 }
−1 

0 −1 −1 
−1 −1
1 
1
1
−1 

1 1 + 1 1 − 1
−1 1 − 1 1 + 1
0
−1
les termes de
la matrice K1 sont en bleu
la matrice K2 sont en rouge
la matrice K3 sont en vert
L’équation matricielle [ K ]{U } = { F } à résoudre est la suivante :
Les 3 équations donnant les
déplacements nodaux sont en
bleu
Celles permettant de calculer
les efforts sont en rouge
23
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
1 + 2

 1
ES  − 2

2a  0

 −1
 −1
1
− 2
1
0
0
1+ 2
0
−1
−1
−1
−1
1
24/100
−1 −1  0   X1 

0 −1 −1  0   Y1 
−1 −1 1  u2   0 
 = 
1 1 −1  0   Y2 

1 2 0  u3   F 
   
−1 0 2   v3   0 
0
Pour résoudre nous tenons compte des conditions aux limites cinématique ce qui réduit le système à 3
équations. Ce système réduit est :
F a

u2 = ES
2
1 + 2 −1 1  u2   0 

Allure de la déformée
   
ES 
F
1

u3
F
2 0  u3  =  F 
a (1 +
)
u3 =
 −1
2a 
ES
2 2

0 2   v3   0 
u2 2
 1

1
F a
v3 = −
ES 2 2

Nous pouvons alors calculer les efforts aux appuis
ES

 X1 = 2a − 2 u2 − (u3 + v3 )
 X1 = − F

ES


( u3 + v3 )
Y1 = − F / 2
Y1 = −
2a

Y = + F / 2
 2
ES

Y
=
−
u
+
u
−
v
(
)
2
3
3
 2 2a

(
)
Post-traitement
Calculons l'effort normal dans les éléments
ES

( u2 ) = F / 2
 N1 =
a
2

ES

N = ES u, x ==>  N 2 =
( u3 + v3 ) = F / 2
a
2


ES
( u3 − u2 − v3 ) = − F / 2
 N3 = −
a 2

L’équilibre global de la
structure est vérifié
F
F /2
−F
2
1
−F / 2
L’équilibre de chaque nœud
est vérifié
−F
N2
N 2 (2)
F
N3
(3) N3 F / 2
N1 (1) N1
−F / 2
Remarques
Tous les calculs sont systématiques et la démarche suivie sera toujours la même en statique.
Facilité de programmation de ce type de solution
Seule l’analyse, du problème et des résultats, reste à la charge de l’ingénieur.
La matrice raideur du système réduit était inversible " det( K ) ≠ 0 " car les conditions aux limites en
déplacement bloquaient tous les modes rigides de la structure.
Problème statique bien posé
Les efforts calculés aux appuis équilibrent parfaitement le chargement.
Les résidus d'équilibre sont nuls, car nous travaillons sur la solution analytique de l'équation
matricielle. Dans le cas d’une résolution numérique ces résidus doivent tendent vers zéro (erreur
numérique).
24
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
25/100
Les contraintes calculées sur les éléments équilibrent de façon exacte (aux résidus près) les charges
nodales. Ceci est vrai dans ce cas particulier « calcul statique d’un treillis chargé aux nœuds » car
l’approximation utilisée représente le champ exact de la solution analytique « effort normal constant dans
chaque élément de la structure ».
Erreur de discrétisation qui est nulle
En post – traitement il est possible d’isoler un à un chaque élément de la structure pour écrire l’équation
matricielle de l’équilibre de l’élément. Ces calculs permettent de déterminer les efforts internes aux nœuds
de la structure, nous en donnons des exemples dans les exercices de cours.
Exercices
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Exercice 8 : Modélisation EF d'une colonne sous son poids propre
Objectifs :
x
g
Notion d'erreur de discrétisation, et analyse des résultats EF.
Étude de convergence en affinant le maillage.
1- Établir l'équation matricielle d'un modèle à un élément fini
Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts)
Tracer les résultats sur l'élément (déplacement & efforts)
ℓ = 6h
2- Construire le modèle utilisant deux éléments finis identiques
Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts)
Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts)
3- Modèle à 3 éléments, pour affiner le maillage dans la zone la plus contrainte
nous utilisons 3 éléments de longueur h, 2h, et 3h.
Déduire des calculs précédents l'équation matricielle du modèle.
Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts)
Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le nombre d'éléments et densifié le
maillage dans la zone la plus chargée. Cette méthode dite « h convergence » demande en général un
nombre élevé d'éléments finis.
La figure suivante présente les résultats d’un modèle éléments finis en contraintes planes. Pour quantifier l’erreur relative à
cette discrétisation, la démarche est identique à celle de cet exercice, elle est basée sur l’analyse de la discontinuité du
champ des contraintes entre deux éléments adjacents.
en MPa
Dans cette section le diagramme des contraintes est le suivant
σ VM
145
solution cherchée
Discontinuité
solution éléments finis
constante par morceau
83
62
25
L’erreur est beaucoup trop importante.
Ce modèle n’est pas satisfaisant, il faut
affiner le maillage
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
26/100
Exercice 9 : Utilisation d'éléments finis de degré deux
Objectifs : Amélioration de la convergence en augmentant le degré de l'approximation
x
Pour approximation polynomiale du second degré de la forme.
u ( x, t ) = a0 + a1x + a2 x 2 = < 1 , x, x 2 > {ai }
g
ℓ = 6h
Nous devons utiliser un élément fini à 3 nœuds, et
construire l'approximation nodale sur < u1 u2 u3 >
u1
1
u3 x
u2
2
l
3
1- Déterminer les fonctions d'interpolation nodale de cet élément de degré 2.
2- Calculer la matrice raideur élémentaire correspondante.
3- Calculer la force généralisée due au poids propre de cet élément.
4- Déduire des calculs précédents les résultats avec un modèle à 1 élément fini de la colonne.
Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le degré de l’approximation
élémentaire. Cette méthode dite « p convergence » est en général beaucoup plus rapide, elle
nécessite moins d’éléments finis.
Les figures suivantes illustrent les deux choix d’améliorations possibles d’un modèle numérique dont l’erreur liée à un
maillage grossier est trop importante.
En utilisant des éléments de degré 2
"p" convergence
En affinant le maillage localement
"h" convergence
Exercice 10 : Étude d’un treillis symétrique de trois barres
Objectifs : Techniques de mise en œuvre de la méthode des éléments finis, changement de base,
assemblage, résolution, calcul des efforts, et vérification des équations d'équilibre.
Considérons le treillis de trois barres ci-contre
h
Modélisation.
Préciser la numérotation de vos éléments et de vos nœuds.
h
Définissez vos vecteurs globaux :
{U } vecteur des déplacements nodaux (ui , vi )
F
{FD } vecteur force généralisé associé aux efforts donnés
{FI } vecteur force généralisé associé aux efforts inconnus
Calcul de la matrice raideur
Exprimer la matrice raideur de chaque élément sur ses variables nodales.
26
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
27/100
En déduire l'expression de la matrice raideur assemblée complète.
Extraire la matrice raideur réduite.
Résolution statique - Efforts aux appuis
Déterminer la déformée statique, et représenter l'allure de la déformée.
Calculer les efforts aux appuis, et vérifier l'équilibre global de la structure.
Post traitement
Calculer les contraintes sur chaque élément, puis vérifier l'équilibre du nœud qui est chargé.
Isoler une des barres à 45° de la structure, et calculer les efforts extérieurs sur cet élément.
Retrouver les résultats précédents.
Utiliser la symétrie
Préciser le nouveau maillage en tenant compte de la symétrie.
Calculer la matrice raideur réduite et retrouver la solution en déplacement.
Exercice 11 : Modélisation EF du treillis de l'exercice 7
Objectifs :
Élimination des mouvements d'ensemble, et prise en compte des symétries.
F
Nous cherchons la réponse statique du treillis de 6 barres, en utilisant
un modèle éléments finis.
ℓ
ℓ
1. Pourquoi ce problème est-il mal posé ?
2. Définir un modèle EF de la structure qui soit bien posé.
3. Simplifier le modèle en tenant compte des symétries.
F
4. Déterminer la déformé statique et les efforts dans les barres
Validez vos résultats.
Pour assimiler le cours il faut traiter des exercices non corrigés.
27
Modèle Éléments finis pour l'étude des Treillis
28/100
28
Mise en équations des poutres
29/100
Mise en équations des poutres
en flexion plane
Les hypothèses du modèle poutre et la loi de comportement généralisée sont présentées en détail dans le
chapitre sur la modélisation des poutres que vous pouvez consulter sur le site.
H1 : modèle de Bernoulli u ( M ) = u (G ) + θ Λ GM et θ = rot (u (G ))
− y v, x 


Soit en flexion plane θ = v , x zo d'où u ( M , t ) =  v  ==> ε xx = − y v , x 2
 0 


H2 : état de contrainte uni axial σ xx = Eε xx
Le calcul du torseur des efforts de cohésion sur une section droite permet de définir le moment de flexion.
M f = EI v , x 2
I est le moment quadratique de la section droite de la poutre.
Application du PFD
Nous allons écrire les équations de Newton f = ma pour une tranche d’épaisseur dx de la poutre
Le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre)
fait apparaitre le torseur des efforts de cohésion, l'effort tranchant est associé
aux contraintes de cisaillement qui s'opposent au glissement des sections.
Les équations de résultante et de moment dynamique sont :
f
Mf
T + dT − T + fdx = ρ Svɺɺ dx


dx
dx
(T + dT ) 2 + M f + dM f − M f + T 2 ≅ 0
Soit
Mf + dMf
T
dx
x
T + dT
On néglige le moment dynamique
de rotation des sections.
∀x ∈ ]0, ℓ[ ρ Svɺɺ + M f , xx = f
T = −M f ,x
Compte tenu de la loi de comportement intégrée, l'équation locale est : ∀x ∈ ]0, ℓ[
ρ Svɺɺ + EIv, x4 = f
Les conditions aux limites aux extrémités de la poutre peuvent être,
en déplacement imposé :
v = vd (t ) ou θ = θ d (t )
ou en force imposée :
T = Td (t ) ou Mf = Mf d (t )
Ces 4 conditions permettent de fixer les quatre constantes d'intégration en x
Pour déterminer la réponse dynamique en temps, il faudra se donner les deux conditions initiales:
v ( x , 0) = vo ( x )

vɺ( x , 0) = vɺo ( x )
Déformée et vitesse de déformation
initiales de la poutre
29
Mise en équations des poutres
30/100
Application du PTV
y
Nous allons écrire le principe des travaux virtuels ∀δ u δ W = δ A
pour une poutre chargée sur sa longueur et à ses extrémités.
f
Fo
Fℓ
Mo
ℓ
0
Mℓ
x
ℓ
Le travail virtuel des quantités d’accélération est : δ A = ∫ ρ Svɺɺ δ v dx
o
On néglige le moment dynamique
de rotation des sections.
Le travail virtuel des efforts se décompose en travail virtuel des efforts de cohésion et celui des efforts
extérieurs soit :
ℓ
Pour les efforts de cohésion δ Wint = − ∫ σ : δ ε dV = − ∫ ∫ σ xx δε xx dS dx
0S
D
ℓ
δ Wint = − ∫ EIv, xx δ v, xx dx
Soit
0
ε xx = − y v, x
2
σ xx = Eε xx
ℓ
δ Wext = ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ
Pour les efforts extérieurs
o
Le PTV conduit à l’équation intégrale suivante :
ℓ
∀δ v
ℓ
ℓ
∫ ρ Svɺɺ δ v dx = −∫ EIv, xx δ v,xx dx + ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ
o
o
o
C’est la forme variationnelle du problème.
Les quatre derniers termes correspondent au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités de la
poutre. Dans le cas ou les conditions aux limites portent sur les déplacements, les efforts de liaison sont
des inconnues du problème. Pour déterminer l'équation du mouvement il faudra tenir compte des
conditions aux limites en déplacements.
Restreindre le choix des déplacements virtuels à des champs virtuels admissibles, permet d'éliminer les
efforts de liaison inconnus de la forme variationnelle.
Si v = vd ( t ) respectée alors δ v = 0 et le F δ v est éliminé de la Formulation
Si θ = θ d (t ) respectée alors δθ = 0 et le M δθ est éliminé de la Formulation
Le travail des efforts de cohésion δ Wint peut s'exprimer à partir de la variation de l'énergie de déformation
de la poutre δ Wint = −δ Ed
ℓ
avec 2 Ed = ∫ σ : ε dV = ∫ EI ( v, xx ) dx
D
2
0
Équivalence des principes
Dans le chapitre sur la mise en équation des barres nous Partions du PFD pour retrouver le PTV. Nous
allons ici faire la démarche inverse. Partons du PTV et transformons l’équation intégrale pour retrouver le
PFD (équation locale) et les conditions aux limites du problème.
30
Mise en équations des poutres
31/100
ℓ
Effectuons deux intégrations par partie du terme ∫ EIv, xx δ v, xx dx
o
ℓ


Fait apparaître les conditions aux
limites en rotation et moment
ℓ
ℓ
∫ EIv, xx δ v, xx dx = δ v,x EI v, x2  0 − ∫ δ v,x EI v, x3 dx
Fait apparaître les conditions aux
limites en flèche et force
0
o
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ

 

∫ EIv, xx δ v, xx dx = δ v, x EI v, x2 0 − δ v EI v,x3  0 + ∫ δ v EI v, x4 dx
0
o
ℓ
Reportons dans : ∀δ v
ℓ
ℓ
∫ ρ Svɺɺ δ v dx = −∫ EIv, xx δ v,xx dx + ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ
o
o
o
∫ δ v ( ρ Svɺɺ + EIv, x
ℓ
En regroupant les termes : ∀δ v
4
−f
o
Le choix δ v ≠ 0 de sur
]0, ℓ[
(
, x3
)
x =0
=0
ℓ
o
, x2 o
ℓ
, x3 ℓ
(
M o = − EI v
Pour δ vℓ ≠ 0
Fℓ = − EI v
Pour (δ v, x ) ≠ 0
M ℓ = EI v
(
(
)
, x 2 x =0
)
)
, x3 x =ℓ
, x 2 x =ℓ
x=0
Cette condition tient compte de l’orientation de
la normale extérieure au domaine
Fo = −To
Pour (δ v, x ) ≠ 0
ℓ
o
]0, ℓ] , nous donne la condition aux limites en force en
De la même façon
o
) + δθ ( M + EI v )
) + δθ ( M − EI v )
nous donne l’équation locale : ρ Svɺɺ + EIv, x 4 − f = 0
Le choix de δ vo ≠ 0 et δ v = 0 sur
Fo − EI v
)
(
(
δ v F − EI v
 o
, x3
dx = 
 δ vℓ F + EI v 3
,x

= −M f o
= Tℓ
= M fℓ
Vous devez être capable de faire la démonstration dans les deux sens PTV ⇔PFD.
Bilan & exercice
Le PFD donne un système d’équations aux dérivées partielles (EDP), c'est une formulation locale
équation locale : ∀x ∈ ]0, ℓ[ ρ Svɺɺ + EIv, x4 = f
PFD : 
4 conditions aux limites : 2 en x = 0 et 2 en x = ℓ
Il est utilisé pour rechercher la solution analytique d'un problème.
Les conditions initiales ne servent que pour résoudre l'équation différentielle en temps
Réponse dynamique d'une structure.
Le PTV est la forme variationnelle du problème, c'est une formulation globale (notion d'énergie)
ℓ
ℓ
ℓ
∀δ v ∫ ρ Svɺɺ δ v dx = − ∫ EIv, xx δ v, xx dx + ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθ o + M ℓδθ ℓ
o
o
o
Sera utilisé pour rechercher les solutions numériques du problème.
Solutions approchées
Vous devez être capable d'écrire ces deux formulations pour un problème donné.
31
Mise en équations des poutres
32/100
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Exercice 3 : Mise en équations d’une poutre en flexion plane
Objectifs : Savoir écrire les conditions aux limites pour une poutre,
Résoudre un problème simple en statique,
Pouvoir écrire le PTV et savoir passer du PTV au PFD.
Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le
matériau est supposé homogène isotrope élastique
1- Écriture des conditions aux limites
Exprimer les 4 conditions aux limites homogènes suivantes :
extrémité libre
encastrée
appui simple
Exprimer les 3 conditions aux limites non homogènes suivantes :
M, I
F
appui glissant
k
2- Mise en équations par le PFD
Donnez le système d’équations correspondant au problème ci-dessous
Mf
A
Pb de flexion
B
g
Déterminer la solution analytique en statique, pour M = 0 .
Calculer la déformée de la poutre
Déterminer le diagramme du moment de flexion
3- Application du PTV.
Pour le problème représenté par la figure ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant
à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.
yo
g
(ρ , E, I, S)
Γt
M
xo
Peut-on transformer le PTV pour retrouver l'équation locale et les conditions aux limites.
Exercice 4 : Mise en équations poutre "encastrée-masse en bout"
Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation
variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations.
Intéressons-nous aux vibrations dans son plan principal de la poutre
ℓ
M
droite de longueur ℓ représentée par la figure ci contre.
La masse M en bout de poutre est supposée ponctuelle
Mise en équations
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.
Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque.
Formulation variationnelle
En partant du système d'EDP du problème retrouver la forme intégrale du PTV.
32
Mise en équations des poutres
33/100
Exercice 5 : Mise en équations d'un arbre en torsion
Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation
variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations.
Intéressons-nous aux vibrations en torsion de l'arbre de longueur ℓ auquel
ΓM
est appliqué un couple moteur via un engrenage d'inertie en rotation I. Le
ℓ
problème est représenté par la figure ci contre.
Mise en équations
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.
Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque.
Retrouver les équations locales en partant du PTV.
33
Mise en équations des poutres
34/100
34
Méthodes d'approximation appliquées aux poutres
35/100
Méthodes d'approximation
appliquées aux poutres
Rappel des objectifs :
Système d'EDP
Problème aux limites
formulation forte du problème
Méthode des
résidus pondérés
Forme intégrale forte du problème
Les conditions aux limites restent à satisfaire
Nombreuses méthodes
collocation, valeur moyenne
Galerkin (==> éléments finis)
Transformation de
la forme intégrale
Formulation faible du problème
Les CL de Neuman ou mixte sont prises en compte
Approximation
Forme variationnelle
du problème
Traitement numérique
Solution
numérique
Forme matricielle
Figure 1 : Passage d'un système EDP à une solution numérique
Méthode des résidus pondérés
Le point de départ est le système d'équations différentielles (PFD)
Partons de l'équation locale ∀x ∈ ]0, ℓ[
ρ Svɺɺ + EIv, x 4 − f = 0
Admettons que nous soyons capables de construire une approximation u h satisfaisant toutes les
conditions aux limites du problème.
Le résidu R(v h ) = ρ Svɺɺh + EIv,hx4 − f est alors l'erreur commise en utilisant cette approximation sur ]0, ℓ[
Annuler l'erreur pondérée sur le domaine, consiste à écrire la forme intégrale suivante
ℓ
∀ϕ ( x )
∫ ϕ ( x) ( ρ Svɺɺ
h
Forme intégrale forte
Les CL ne sont pas prises en compte
+ EIv,hx4 − f ) dx = 0
0
Les fonctions ϕ ( x ) sont dites fonctions de pondération.
Ce sont des fonctions tests (poids) quelconques définies sur ]0, ℓ[
Pour utiliser une approximation à n paramètres dans la formulation forte, nous devons construire une base
de n fonctions de forme wi ( M ) satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème, et deux fois
dérivables. Ce sont des fonctions de comparaison.
n
Sous forme matricielle l'approximation est définie par : v h ( x , t ) = ∑ wi ( x ) qi ( t ) = < w( x ) > {q (t )}
i =1
ℓ
L’équation
∫ ϕ ( x) ( ρ Svɺɺ
h
+ EIv,hx4 − f ) dx = 0 est une équation à n inconnues qi (t )
0
35
Méthodes d'approximation appliquées aux poutres
36/100
Pour obtenir un système matriciel de n équations à n inconnues, au lieu d'écrire l'équation pour une
infinité de fonctions tests nous nous limiterons aux choix de n fonctions.
Le choix de ces fonctions de pondération différentie les méthodes
Collocation : choix ϕi = δ ( M − M i )

valeur moyenne par sous domaine
Galerkin : choix ϕ = w
i
i

Perte d'information ==> Erreur
M = ρ S
M (uɺɺ) + L(u ) − f = 0 avec 
4
4
 L = EI ∂ / ∂x
Si l'on écrit l'équation locale sous la forme ∀x ∈ ]0, ℓ[
La méthode de Galerkin nous donne n équations dont la forme matricielle est :
ℓ

T
M
=
Il est important de comprendre
[
]

∫0 < w > M (< w >)dx
cette écriture matricielle.

ℓ

[ M ]{ qɺɺ} + [ K ]{ q} = { F } : avec [ K ] = ∫ < w >T L (< w >)dx
0

ℓ

{ F } = ∫ < w >T f dx

0
Il faut que les fonctions de forme wi soit L fois dérivables, et satisfassent toutes les
conditions aux limites du problème
Formulation variationnelle du problème
La formulation variationnelle consiste à effectuer deux intégrations par parties du terme correspondant
aux efforts intérieurs pour faire apparaitre les conditions aux limites en force et moment (conditions aux
limites naturelles).
Nous obtenons (cf chapitre équations des poutres) le PTV :
ℓ
∀δ v
ℓ
ℓ
∫ ρ Svɺɺ δ v dx = −∫ EIv, xx δ v,xx dx + ∫ f
o
o
δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ
o
C'est la formulation faible du problème
L'approximation n'a pas besoin de satisfaire les CL en force puisqu'elles apparaissent dans l'équation.
Les fonctions de forme n'ont plus besoin d'être L fois dérivables
Le choix des fonctions de forme est très large
En restreignant le choix des fonctions de forme à des fonctions admissibles, c'est-à-dire vérifiant les
conditions aux limites cinématique du problème, il ne reste que les efforts donnés dans l’équation
intégrale précédente, c’est l’équation du mouvement (toutes les CL du problème sont prises en compte).
En reportant l'approximation dans l'équation du mouvement
v h ( x , t ) = < w( x ) > {q (t )} et sa variation δ v ( x ) = < w( x ) > {δ q}
ℓ

T
M
=
[
]

∫0 < w > ρ S < w > dx

ℓ

L’équation matricielle est : [ M ]{qɺɺ} + [ K ]{q} = {FD } + {φ } avec [ K ] = ∫ < w, xs >T EI < w, xx > dx
0

ℓ

{φ } = ∫ < w >T f dx

0
36
Méthodes d'approximation appliquées aux poutres
37/100
Exercices
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Exercice 9 : Formulation forte d’un problème de flexion
Objectifs : Appliquer la méthode des Résidus pondéré avec des fonctions de comparaison.
Toutes les applications numériques peuvent être réalisées avec le fichier Maple
Intéressons-nous aux vibrations transversales (flexion plane) de la
ℓ
poutre droite cylindrique de longueur ℓ représentée par la figure ci
contre.
g
Elle est encastrée à son extrémité gauche et repose sur un pivot à
l'autre extrémité.
Mise en équations - Construction d'une approximation.
Écrivez le système d'équations différentielles régissant ce problème.
Montrer que ϕ ( x) = x 2 (ℓ − x) vérifie toutes les conditions aux limites en déplacement.
fonction cinématiquement admissible
On envisage des fonctions de la forme : W ( x) = P( x) ϕ ( x)
avec P( x) polynôme de degré 1 puis de degré 2
Déterminer deux fonctions P( x) satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème.
Approximation à un paramètre.
Pour les 2 approximations à 1 paramètre dont la fonction de forme est un des 2 polynômes précédents
Déterminer l'équation du modèle "masse - ressort" obtenue par la méthode de Galerkin.
En déduire deux approximations de la première pulsation propre.
Comparez les résultats entre eux et avec la solution analytique *.
Qu'en pensez-vous?
Approximation à deux paramètres.
Déterminer l'équation matricielle du modèle utilisant l'approximation à deux paramètres construite
sur les deux fonctions de forme polynomiale (méthode de Galerkin).
Comparer l'approximation des 2 premières fréquences obtenue avec cette approximation.
Posez les calculs, et utilisez MAPLE ou MATLAB pour les faire. Il est intéressant sur ce problème
de comparer les déformées modales de la solution approchée et de la solution analytique.
La structure est maintenant placée dans le champ de pesanteur, déterminer la réponse statique dans
le cadre de cette approximation à deux paramètres. Que pensez-vous des résultats ?
* Vous chercher la solution analytique de ce problème de flexion. Nous donnons ci-dessous les 3
premières pulsations de résonance.
EI
EI
EI
ω12 = 237, 72
, ω22 = 2496,5
, ω32 = 10876, 6
4
4
ρ Sℓ
ρ Sℓ
ρ S ℓ4
37
Méthodes d'approximation appliquées aux poutres
38/100
Exercice 10 : Formulation variationnelle d’un problème de flexion
Objectifs : mettre en oeuvre de la formulation variationnelle sur un problème de vibration.
Intéressons-nous aux vibrations transversales de la poutre droite de
ℓ
M
longueur ℓ représentée par la figure ci contre.
La masse M en bout de poutre est supposée ponctuelle
Mise en équations - Construction d'une approximation.
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.
Vérifier que les fonctions de forme wn ( x ) = 1 − cos Cn x sont cinématiquement admissibles.
Déterminer Cn pour que l’approximation satisfasse la condition de moment nul en ℓ .
Formulation variationnelle – forme matricielle.
Appliquez la méthode des résidus pondérés en transformant la forme intégrale par intégration
par parties pour faire apparaître les conditions aux limites.
En déduire l’équation matricielle du modèle ainsi construit, pour une approximation à n
paramètres de la forme : v h ( x , t ) = [ w( x ) ] {q (t )}
Déterminer l’expression des coefficients des matrices masse et raideur.
Application du Principe des Travaux Virtuels
Écrire la forme intégrale associée au PTV, et vérifier que les expressions matricielles sont
identiques.
Application numérique.
Comparez avec les résultats obtenus avec une approximation à un, puis deux paramètres et la
solution analytique.
Vous pouvez utiliser MAPLE ou MATLAB pour faire les calculs.
Les 2 premières pulsations de résonance obtenue analytiquement sont:
, ω2 = 16, 25 EI
ω1 = 1, 557 EI
ρ Sℓ4
ρ Sℓ4
38
Éléments finis pour l'étude des portiques
39/100
Modèle éléments finis
pour l'étude des portiques 2D
Un portique bidimensionnel est constitué d'éléments poutres qui travaillent qu'en traction & flexion. Nous
allons utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous présentons l'élément fini
poutre de flexion plane, en détaillant le principe de calcul des matrices élémentaires conduisant à la forme
matricielle du principe des travaux virtuel. Nous verrons alors comment utiliser ces résultats pour
modéliser des portiques bidimensionnels
L’élément fini de flexion plane
y
vi
Approximation :
L’élément fini « poutre » utilise comme variables nodales la flèche et sa
dérivée première (rotation de la section droite), il fait partie de la famille
des éléments de type l'Hermite.
i
vj
θi
ℓ
θj
j
x
Considérons un élément de longueur ℓ
Le repère local orthonormé lié à l'élément, a pour direction x l'axe de la poutre orienté de i vers j,
et pour direction y un vecteur du plan principal d'inertie de la section droite.
Les quatre variables nodales sont les déplacements notés < vi (t ) θi (t ) v j (t ) θ j (t ) >
Pour identifier nos quatre variables nodales, nous utilisons une approximation polynomiale cubique de la
forme :
 a1 (t ) 


Approximation de degré 3
h
2
3  a2 (t ) 
v ( x, t ) =< 1 x x
x >

à 4 variables
 a3 (t ) 
a4 (t ) 
Par identification des variables nodales avec l’approximation de la flèche et de la rotation aux noeuds, nous
obtenons la relation matricielle suivante :
h
 vi (t )   v ( o, t )  1

θ (t )   h
 i  θ ( o, t )  0
 v (t )  =  h

 j   v ( ℓ , t )  1
θ j (t )   h


 θ (ℓ, t )  0
0   a (t ) 
1
1 0
0  a (t ) 
2


ℓ ℓ 2 ℓ3   a3 (t ) 

1 2ℓ 3ℓ 2  a4 (t ) 
0
0
Inversons cette relation et reportons le résultat dans l'expression de l'approximation, nous obtenons :
 vi (t ) 
θ (t ) 
 i 
h
v ( x, t ) = < N >e {U e } = < N1 N 2 N3 N 4 > 
v (t ) 
 j 
θ j (t ) 


Avec les fonctions d'interpolation suivantes :
39
Éléments finis pour l'étude des portiques
40/100
 N 1 ( s) = 1 − 3s 2 + 2 s 3
x
où s =

2
3
ℓ
 N 3 ( s) = 3s − 2 s
N1 et N3 représentent la déformée d'une poutre bi - encastrée pour laquelle
on impose un déplacement unité à une des deux extrémités
 N 2 ( s ) = ℓ( s − 2 s 2 + s 3 )

 N 4 ( s ) = ℓ(− s 2 + s 3 )
N2 et N4 représentent la déformée d'une poutre encastrée à une extrémité.
Pour laquelle on impose une rotation unité à l'autre extrémité.
Principe des travaux virtuels
N3 ( s )
N1 ( s )
1
s=
1
0
x
ℓ
N2 (s)
1
1
0
N4 ( s)
1
s
On néglige le moment dynamique
de rotation des sections.
L

δ
A
=

∫o ρ Svɺɺ δ v dx

L

2
Partons de ∀δ u δ W = δ A avec δ Wint = −δ Ed avec 2 Ed = ∫ EI ( v, xx ) dx
o

L

δ Wext = ∫ f δ v dx + Foδ vo + FLδ vL + M oδθo + M Lδθ L

o
La poutre pouvant être modélisée par plusieurs éléments finis nous calculerons les énergies sur
chaque élément puisque l'approximation nodale est une approximation élémentaire.
Matrice raideur élémentaire
ℓ
L'énergie de déformation associée à notre élément est 2 Ed = ∫ EI ( v, xx ) dx
2
o
Utilisons l’approximation nodale du champ des déplacements v, xx = < N, xx > {U e }
Le terme ( v, xx ) = v, xxT v, xx = {U e } < N, xx >T < N , xx > {U e }
2
T
En reportant dans l'énergie de déformation, pour chaque élément nous obtenons l'expression
matricielle de l'énergie de déformation élémentaire :
2 Ed = {U e }
T
ℓ
∫ [ N,xx ]
T
EI [ N, xx ] dx {U e }
0
ℓ
La matrice raideur associée est [ K e ] = ∫ [ B ]T EI [ B ] dx
0
avec [ B ] = < N , xx > = <
6
ℓ
2
 12 6ℓ
EI  6ℓ 4ℓ 2
Tout calcul fait on trouve : [ K e ] = 3 
ℓ  −12 −6ℓ
 6ℓ 2ℓ 2
( −1 + 2 s ) ,
2
( − 2 + 3s ) ,
ℓ
6
ℓ
2
(1 − 2s ) ,
2
( − 1 + 3s ) >
ℓ

A titre d’exercice calculez le terme
−6 ℓ 2 ℓ 
(1,2) de cette matrice

12 −6ℓ 
2
−6ℓ 4ℓ  sur <v ,θ ,v ,θ >
i i j j
−12
6ℓ
2
Cette matrice n'est pas adimensionnelle car v et θ n'ont pas la même dimension.
Pour que les coefficients de la matrice soient adimensionnels il faut travailler sur les variables v et ℓθ
40
Éléments finis pour l'étude des portiques
41/100
6
 12

EI
[ Ke ] = 3z −612 −46
ℓ 
2
 6
−12
−6
12
−6

2 

−6 
4  sur <v ,ℓθ ,v ,ℓθ >
i
i j
j
6
Cette expression peut vous
permettre de simplifier vos
calculs numériques.
Matrice masse élémentaire
On peut calculer ce terme à partir
de l'énergie cinétique.
ℓ
Le travail virtuel des quantités d'accélération : δ A = ∫ ρ Svɺɺ δ v dx
o
De la même façon en utilisant l’approximation nodale du champ des déplacements, l'expression
matricielle pour un élément est : δ Ae = {δ U e }
T
ℓ
∫< N >
T
ρ S < N > dx {Uɺɺe }
0
11
9
 13
−13 420 
70
210
 35

1
13
1 
 11
−
420
140
105

D'où la matrice masse élémentaire est [ M e ] = ρ S ℓ  210
13
13
11
−
 9 70
420
35
210 


 −13 420 −1140 −11 210 1105 
sur <vi ,ℓθi ,v j ,ℓθ j >
Vecteur force généralisée élémentaire
y
f
Soit un élément poutre chargé par une densité linéique d'efforts
transversaux f
f s'exprime en N/L
Le travail virtuel de ces efforts est
ℓ
δ W f = ∫ f . δ v dx = {δ U e }
T
0
ℓ
∫[N ]
T
i
ℓ
j
x
f dx
0
Il faut se donner la fonction f
Pour le champ de pesanteur f
Pour une densité de charge uniforme nous obtenons : { Fd }e =
ℓe
∫
0
La prise en compte d'une charge répartie
sur un élément ne consiste pas à appliquer
simplement des efforts fl/2 aux noeuds.
.
 ℓ 
 2 
 2 
 ℓ 
 12 
f < N ( x ) >T dx = f 

 ℓ 
 2 
 2
− ℓ 
 12 
(x)
= − ρ gS
M 1 = fℓ 2 / 12
f
ϕ1 = fℓ / 2
M 2 = − fℓ 2 / 12
ϕ 2 = fℓ / 2
PTV
1
2
1
Charge réelle f=Cte
2
Charge nodale équivalente
Vecteur force généralisée nodale
Lorsqu'un chargement est appliqué sur un nœud de la structure le travail virtuel des charges s'exprime
directement sur les variables nodales concernées : δ Wext = Fiδ vi + M iδθi
Les valeurs de Fi et M i se mettent directement dans le vecteur des charges extérieures
41
Éléments finis pour l'étude des portiques
Exemple
Objectif : Déterminer la réponse statique de la poutre avec un modèle élément fini.
F
y
x
ℓ
Y1
v2
ℓ
Modèle à 1 élément fini
Ce modèle comporte 4 variables : X T =< v1 , θ 1 , v 2 , θ 2 >
Les conditions aux limites : (v1 , θ1 ) = (0, 0)
M1
1
42/100
2 déplacements inconnus : X IT =< 0, 0, v2 , θ 2 >
θ2
2 efforts inconnus : FI T =< Y1 , M 1 , 0, 0 >
2
La charge conduit à : FDT =< 0, 0, − F , 0 >
 12 6ℓ
EI  6ℓ 4ℓ 2
Le PTV appliqué à l'élément nous donne l'équation matricielle 3 
ℓ  −12 −6ℓ
 6ℓ 2ℓ 2
6ℓ   0 
 Y1 


 
2
−6 ℓ 2 ℓ   0   M 1 
 =  
12 −6ℓ  v2
  − F 
2
−6ℓ 4ℓ  θ   0 
 2  
−12
 v2 
EI  12 −6ℓ   v2  − F 
F ℓ3 1/ 3 
Les équations donnant la déformée sont : 3 
 =   ==> 
=−
 
2
EI 1/ 2 
ℓ  −6ℓ 4ℓ  θ 2   0 
ℓθ 2 
C'est la solution exacte de la RDM
Les équations donnant les efforts à l'encastrement sont :
Y 
EI  −12 6ℓ   v2   Y1 
 −12 6ℓ   1/ 3   F 
=
==>  1  = − F 
= 
2
3  −6ℓ 2ℓ 2  θ   M 
ℓ 
  2   1
 −6ℓ 2ℓ  1/ 2ℓ   F ℓ 
 M1 
On vérifie les équations d'équilibre de la structure
Dans cet exemple le modèle élément fini donne la solution exacte car celle-ci est un polynôme d'ordre 3
comme l'approximation utilisée.
Pour calculer l’état de contrainte sur les éléments, le diagramme du moment de flexion et celui de l'effort
tranchant, nous utilisons la loi de comportement intégrée.
 M f = EI v, xx = EI < N , x 2 > {U e }
Pour chaque élément nous écrirons : 
T = − EI v, xxx = − EI < N , x3 > {U e }
Rappel :
Vous notez que le moment de flexion Mf
est linéaire et que l’effort tranchant est
constant par élément.
Exemple
F
y
x
< N,x2 > = <
< N , x3
6
2
2
( −2 + 3 s ) ,
ℓ
6
12
6
, − 3, 2 >
2
ℓ
ℓ
ℓ
( −1 + 2 s ) ,
ℓ
12
> = < 3,
ℓ
6
ℓ
2
(1 − 2s ) ,
2
( − 1 + 3s ) >
ℓ
Tracer le diagramme des efforts intérieurs
6
2
F ℓ3  −1/ 3 
M f1 = EI < 2 (1 − 2 s )
( −1 + 3s ) >

 = F ℓ( s − 1)
ℓ
EI −1/ 2ℓ 
ℓ
ℓ
T1 = − EI <
−12
6
ℓ3
ℓ2
>
F ℓ3  −1/ 3 

 = −F
EI −1/ 2ℓ 
On retrouve la solution analytique
On vérifie bien que M f1 ( x = 0) = − M1
42
Éléments finis pour l'étude des portiques
43/100
Exercice 15 : Étude d’une poutre sous son poids propre
Objectifs : mise en œuvre de la méthode des éléments finis, et illustrer la notion d'erreur liée à
l'approximation.
Nous cherchons la réponse statique sous son poids propre de la poutre sur
appuis représentée par la figure ci contre.
Pb de flexion
A
B
g
Modèle à 1 élément.
Déterminer
la matrice raideur, et le vecteur force généralisé associé au poids propre.
Écrivez le système réduit des équations, calculez les déplacements nodaux.
Calculer la flèche au centre de la poutre, comparer à la solution analytique
v ( ℓ / 2) = −
5 ρ gS ℓ 4
384 EI
Calculer les efforts aux appuis, et vérifier l'équilibre global de la structure.
Calculer les efforts sur l'élément, tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de
flexion, comparer à la solution analytique.
Modèle à 2 éléments.
Déterminer la matrice raideur assemblée complète.
Déterminer le vecteur force généralisé associé au poids propre de la structure.
Écrivez le système réduit des équations, calculez les déplacements nodaux et comparer à la
solution analytique.
Calculer les efforts aux nœuds, comparer à la solution analytique.
Calculer les efforts sur l'élément et tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment de
flexion, et comparer à la solution analytique.
Comparer à la solution analytique..
Répondez aux mêmes questions
Prise en compte de la symétrie
Utiliser la symétrie pour simplifier le modèle
Calculer la matrice raideur et retrouver la solution du modèle à 2 éléments.
Exercice 16 : Études statique et dynamique d’une poutre
Objectifs : Illustrer la notion d'erreur liée à l'approximation.
Nous cherchons la réponse statique de la poutre sur appuis y
o
représentée par la figure ci contre.
Modèle à 1 élément.
Déterminer
ℓ
A
C
B
xo
la matrice raideur.
le vecteur force généralisé associé à la charge
Calculer la réponse statique, les efforts aux appuis et tracer le diagramme des efforts sur l’élément.
Comparer à la solution analytique :
43
Éléments finis pour l'étude des portiques
44/100
7 Fℓ 3
1 Fℓ 2
1 Fℓ 2
, θ (C ) = −
, θ (B) =
768 EI
128 EI
32 EI
M f ( A) = 3F ℓ /16 , M f (C ) = 5 F ℓ / 32
v (C ) = −
Que pensez-vous de ce modèle, est-il satisfaisant ?
Modèle à 2 éléments.
Calculer la réponse statique, les efforts aux appuis et tracer le diagramme des efforts sur les
éléments. Justifier les résultats de ce modèle.
Réponse dynamique : Calcul des fréquences propres de la structure
Modèle à 1 élément fini
Modèle à deux éléments finis (vous pouvez utiliser Matlab ou Maple)
Comparer à la solution analytique :
EI
EI
EI
ω 1 = 15,42
, ω2 = 49,96
, ω3 = 104, 3
4
4
ρSℓ
ρ S ℓ4
ρSℓ
Les solutions analytiques des poutres sont données sur le site
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Pour assimiler le cours il faut aussi traiter des exercices non corrigés.
Application aux portiques
Pour calculer les portiques nous devons utiliser un élément poutre tridimensionnel. Cet élément est
obtenu par superposition des trois modèles suivants :
• le modèle de traction,
La flexion se décompose en deux problèmes de flexion plane
• le modèle de torsion,
dans les deux plans principaux de la section droite de la poutre.
• le modèle de flexion.
Traction
Torsion
Flexion ( x , o, y )
Flexion ( x , o, z )
variables
u
θx
v, θ z
w,θ y
Caractéristiques mécaniques
ES , ρ S
GJ , ρ I avec G = E 2(1 + ν )
EI z , ρ S
EI y , ρ S
L'élément fini poutre tridimensionnel est un élément à deux noeuds et
6 degrés de liberté par nœud.
Les 12 degré de liberté sont définis sur la base locale de l'élément.
{δ U e }T
= < (u , v, w, θ x , θ y , θ z )i
zo
(u , v, w, θ x , θ y , θ z ) j >
La matrice (12*12) du modèle tridimensionnel est obtenue par
superposition des quatre matrices élémentaires elle est donnée à titre
indicatif. :
44
θx
v
ye
θy
bo
xo
j
e
i
yo
u
ze
θz
w
xe
Éléments finis pour l'étude des portiques
45/100
Il est clair que nous ne manipulerons pas ces matrices manuellement, d'autant que pour effectuer
l'assemblage d'une structure portique il faut effectuer un changement de base pour exprimer toutes les
matrices élémentaires sur une base globale.
Il faut passer aux calculs numériques MEFlab, Cast3M ou Abaqus
Statique des portiques plans simples
Manuellement nous ne traiterons que le cas simple de portique plan ayant des éléments d’axe x ou y
pour éviter le changement de base, et souvent pour simplifier le modèle nous négligeons les déformations
dues à l'effort normal dans les éléments.
Matrice raideur élémentaire d'un modèle traction - flexion
ES / ℓ
Sℓ
On pose : α =
=
3
I
EI / ℓ
α=
2
0
0
α
 0 12 6ℓ

EI  0 6ℓ 4ℓ 2
[ Ke ] = 3 −α 0 0
ℓ
 0 −12 −6ℓ

 0 6ℓ 2ℓ 2
−α
0
0
α
0
0
0
−12
0 
6ℓ 

−6 ℓ 2 ℓ 2 
0
0 
12 −6ℓ 

−6ℓ 4ℓ 2  sur <u ,v ,θ ,u ,v ,θ >
i i i j j j
S ℓ2
Élancement de la poutre
I
EI / ℓ3
Pour α → ∞ on tend vers la solution obtenue en négligeant les déformations de traction
ES / ℓ
=
Pour un élément horizontal (orienté de i vers j suivant la direction des x)
y
vi
La base locale et la base globale correspondent, la matrice raideur est
celle donnée juste avant sur < ui , vi ,θi , u j , v j ,θ j >
i
45
θi
vj
ui
ℓ
j
θj u
j
x
Éléments finis pour l'étude des portiques
46/100
Pour un élément vertical (orienté de j vers i suivant la direction des y)
La base locale correspondra à la base globale, on
raideur :
0
0
−α 0
α
 0 12 6ℓ
0 −12

2
EI
[ Ke ] = 3 −0α 60ℓ 4ℓ0 α0 −06ℓ
ℓ
 0 −12 −6ℓ
0
12

2
0 −6 ℓ
 0 6ℓ 2ℓ
y
retrouvera la même matrice
vj
θj
j
uj
0 
6ℓ 

2ℓ 2 
0 
−6ℓ 

4ℓ 2  sur <v ,u ,θ ,v ,u ,θ >
j j j i i i
ℓ
vi
i
θi
ui
x
Mais attention à l’ordre des variables élémentaires
Exemple
v2
θ2
F 2
Objectif : Déterminer la réponse statique de ce portique.
Modèle à 2 éléments finis
u2
ℓ
3
u3
ℓ
1
θ2
F
2
u2
ℓ
3
ℓ
1
u2
Ce modèle est suffisant pour obtenir la solution exacte du problème. C’est un
modèle à 4 variables < u2 , v2 , θ 2 , u3 >
Il conduit à résoudre un système de 4 équations, pour simplifier ce modèle
nous allons négliger les déformations dues à l'effort normal dans les éléments.
v =0
Cette hypothèse permet d'écrire deux équations de liaison :  2
u3 = u2
Le modèle ne comporte plus que 2 variables
Calculons directement les matrices élémentaires sur ces 2 variables.
12 6ℓ 
 6ℓ 4ℓ 2 


Pour l’élément 1 (2-1) : [ K1 ] =
EI
ℓ3
Pour l’élément 2 (2-3) : [ K 2 ] =
EI 0 0 
ℓ3 0 4ℓ 2 

2 F ℓ3
u
=
 2
EI 12 6ℓ  u2   F 
15 EI
D'où le système réduit des équations : 3 
=
==>
U
=
{
}
  

2
2
ℓ 6ℓ 8ℓ  θ 2   0 
θ = − 1 F ℓ
 2
10 EI
C'est la solution exacte de la RDM
u
u
θ
Allure de la déformée
Calcul des réactions
46
Éléments finis pour l'étude des portiques
Élément 1 : (2-1)
M 21
2
R21
M11
1
Élément 2 : (2-3)
M 22
R22
R32
M 32
2
6ℓ
− 12 6ℓ  u   R21 
 12


2
2  
EI  6ℓ 4 ℓ − 6ℓ 2 ℓ  θ   M 21 

  = 

ℓ 3 − 12 − 6ℓ 12 − 6ℓ 0   R11 
2
2
 6ℓ 2 ℓ − 6ℓ 4 ℓ  0   M 
   11 
< R21
R11
3
47/100
M 21
R11
M 11 >= F < 1 0,4 ℓ − 1 0,6ℓ >
6ℓ
− 12 6ℓ   0   R22 
 12


2
2  
EI  6ℓ 4 ℓ − 6ℓ 2 ℓ  θ   M 22 


=
  

ℓ 3 − 12 − 6ℓ 12 − 6ℓ 0   R32 
2
2
 6ℓ 2 ℓ − 6ℓ 4 ℓ  0   M 
   32 
< R22
M 22
R32
M 32 >= F < − 0,6 − 0,4ℓ 0,6 − 0,2 ℓ >
Ce modèle ne nous donne pas toutes les composantes d’effort car nous avons négligé les allongements
des éléments.
Pour calculer la composante verticale de l’effort au
noeud 1, nous pouvons écrire les équations d'équilibre
de la structure.
0,6 F
F
- 0,2 Fℓ
Efforts aux appuis
-F
0,6 Fℓ
- 0,6 F
Exercice 17 : Étude d’un portique
Objectifs : mise en œuvre de la méthode des éléments finis, changement de base, assemblage,
résolution, calcul des efforts aux appuis, calcul des contraintes dans les éléments, et calcul des
efforts aux nœuds internes.
A
Intéressons-nous à la réponse statique du portique plan représenté par la
figure ci-contre.
On ne néglige pas l'effet de l'effort normal
On posera α =
3 DDL par nœuds ( u i , v i , θ i ).
ES / ℓ
EI / ℓ
ℓ
f
ℓ
yo
3
xo
Modèle à 2 éléments.
Définissez vos vecteurs globaux : {U } { FI } (bilan inconnues – équations)
Déterminer
Pour α = 2
la matrice raideur assemblée réduite.
le vecteur force généralisé associé à la pression linéique.
Déterminer la déformée statique (déplacements nodaux).
Calculer les efforts aux appuis, et vérifier les équations d’équilibre global de la structure.
Pour chaque élément calculer les efforts (contraintes) au point A et analysez les discontinuités.
47
Éléments finis pour l'étude des portiques
48/100
Pensez-vous que votre modèle est satisfaisant ? (justifier votre réponse)
Proposer un modèle plus satisfaisant, pensez-vous pouvoir résoudre ce modèle à la main ?
48
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
49/100
Formulation Variationnelle
& Écriture Matricielle
Ce paragraphe consacré à la formulation variationnelle d’un problème de mécanique, généralise les
notions présentées avec les méthodes d'approximation des barres et des poutres.
Problème aux limites
formulation forte du problème
Système d'EDP
Méthode des
résidus pondérés
Forme intégrale forte du problème
Les conditions aux limites restent à satisfaire
Nombreuses méthodes
collocation, valeur moyenne
Galerkin (==> éléments finis)
Transformation de
la forme intégrale
Formulation faible du problème
Les CL de Neuman ou mixte sont prises en compte
Approximation
Forme variationnelle
du problème
Traitement numérique
Solution
numérique
Forme matricielle
Passage d'un système EDP à une solution numérique
Toutes les méthodes d'approximation ont un même objectif, remplacer un problème mathématique défini
sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret
(équation matricielle). Problème de dimension finie que l'on sait résoudre numériquement.
Formulation intégrale
Partons de l’équation locale et des conditions aux limites définies dans le cadre de la MMC.
∀M ∈ D

∀M ∈ Γu

∀M ∈ Γσ
ρ uɺɺ − divσ = f
PFD appliqué à un élément
de matière
u = ud
σ n = Td
Pour exprimer l’équation locale en fonction des déplacements ρuɺɺ + L (u ) = f
Il faut associer au système précédent deux relations :
- Les lois de comportement:
σ = fct (ε )
- Les Relations déplacements - déformations:
ε = fct ( u )
L’équation locale
"EL" ⇔ ∀P
∫ P.( ρ uɺɺ − div( σ ) - f ) dV = 0
D
49
(Formulation forte)
Physique du matériau
& expérimentale.
Géométrique
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
50/100
Sachant que* σ : grad s ( P) = div(σ P) − P.div (σ )
"EL" ⇔ ∀P
∫ ( P.ρ uɺɺ
+ σ : grad s (P) − div(σ P) - P. f ) dV = 0
D
Appliquons le TH d'Ostrogradsky :
∫ div(σ P) dV = ∫ σ P. n dS = ∫
D
"EL" ⇔ ∀P
∫ ( P.ρ uɺɺ
∂D
P. σ n dS
∂D
+ σ : grad s (P) - P. f ) dV −
D
∫ ( P. σ n ) dS = 0
∂D
En tenant compte des conditions aux limites sur la frontière : Γσ
∀M ∈ Γσ
σ n = Td
 "EL."

C.L sur Γσ
⇔
∫ ( P.ρ uɺɺ + σ : grad s (P)
∀P
- P. f ) dV −
∫ P. σ n dS − ∫ P.Td . dS = 0
Γu
D
Γσ
σ n est un champ inconnu sur cette frontière
Pour obtenir une équation ne dépendant que du champ inconnu u , nous utilisons des fonctions test à
valeur nulle sur la frontière Γu
Fonction Cinématiquement
Admissible
∀M ∈ Γu
P(M ) = 0
∫ P. σ n dS = 0
Γu
D’où la formulation variationnelle équivalente au système d'équations aux dérivées partielles du problème,
pour des fonctions de pondération cinématiquement admissibles.
∀PCA
∫ ( P.ρ uɺɺ
+ σ : grad s (P ) - P. f ) dV =
∫ P.Td . dS
Γσ
D
Les conditions aux limites en déplacement ∀M ∈ Γu
u = u d doivent être vérifiées
La méthode des éléments finis utilise cette formulation, avec deux idées fortes
• la construction systématique des fonctions de forme par sous domaine « éléments finis »
• utilisation des variables nodales comme paramètres d’approximation ce qui permet d’imposer
les conditions aux limites en déplacement du problème.
Équivalence avec le PTV
PTV : ∀δ u
δ W = δ A à tout instant
Avec: δ A
travail virtuel des quantités d'accélération : ∫ γ ( P ).δ u dm( P ) =
D
δW
*
travail virtuel des efforts intérieurs et extérieurs
Cette formule utilise la symétrie du tenseur des contraintes et les relations suivantes:
T
σ : grad (u ) = div(σ u ) − u .div (σ )
T
σ : grad (u ) = div(σ u ) − u .div (σ )
La démonstration de ces relations se fait simplement à partir d'une relation indicielle de la forme suivante:
σ ij ui , j = (ui σ ij ), j − ui σ ij , j
50
∫ δ u.ρ uɺɺ
D
dV
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
51/100
= δ Wint = − ∫ σ : δ ε dV + ∫ f .δ u dV +
D
D
∫ T .δ u dS
∂D
Compte tenu des relations déplacements - déformations : δε = grad s (δu )
*
Le PTV : ∀δ u
∫ δ u.ρ uɺɺ dV = − ∫ σ
D
: grad s (δ u ) dV +
D
∫ δ u. f
dV +
D
∫ δ u.T dS
∂D
Notez que pour δ u = 0 sur Γu
Équivalence avec la FV
P ≡ δu
∫ δ u.T dS = ∫ δ u.Td . dS
∂D
Γσ
L'intérêt de ce principe est de fournir directement la forme intégrale sans avoir à passer par les équations
aux dérivées partielles
Écriture matricielle du PTV
Pour obtenir une équation matricielle, nous cherchons une solution approchée du problème sous la forme
d'une combinaison linéaire de fonctions de forme. La méthode consiste alors à affaiblir la forme intégrale
précédente en ne la satisfaisant que pour un nombre fini de fonctions de pondération.
La méthode de Galerkin consiste à utiliser les mêmes fonctions pour l’approximation et la pondération.
Pour l'approximation {u h ( M , t )} = [W ( M ) ] {q (t )}
avec:
Pondération
Pour
[W (M )] matrice des fonctions de forme
{q(t )} vecteur des paramètres de l’approximation.
{P( M )} = [W ( M )]{δq}
δ q =< 1, 0, 0,.... >
δ q =< 0,1, 0,.... >
==>
P1 = W1
==>
P2 = W2
==>
Pn = Wn
Etc.…
δ q =< 0, 0, 0,.,1 >
Pour exprimer le produit σ : δ ε nous utilisons une représentation vectorielle des tenseurs
σ : δ ε = {ε } {σ }
T
avec:
{ε }T =< ε xx , ε yy , ε zz ,2ε xy ,2ε xz ,2ε yz >
T
{σ } =< σ xx , σ yy , σ zz , σ xy , σ xz , σ yz >
La forme matricielle associée aux lois de comportement est alors : {σ
(M )
} = [D( M )]{ε ( M ) }
Les relations déformations - déplacements peuvent aussi s'écrire sous forme matricielle.
{ε
{
}
} = grad su ( M ) = [ L] {u ( M )}
[L] Matrice d'opérateurs différentiels correspondant à l'expression du gradient
(M )
symétrique des déplacements.
{
}
Compte tenu de ces notations le produit σ : δ ε ==> σ h : grad s (P ) = { P ( M )} [ L ] [ D ( M ) ] [ L ] u h ( M )
T
T
Soit compte tenu de l'approximation et de la pondération
σ h : grad s (P) = {P ( M )} [ B ( M ) ] [ D ( M ) ] [ B ( M ) ] {q ( t )} avec
T
T
[B ( M )] = [L][W ( M )]
Reportons ces expressions dans la formulation variationnelle nous obtenons:
∀δ q
(
{δ q}T ∫ [W ]T ρ [W ]{qɺɺ} + [ B ]T [ D ] [ B ]{q} + [W ]T { f }
D
) dV = {δ q}
T
T
∫ [W ] {T } dS
∂D
Cette équation pouvant être écrite quelque soit {δq} , nous obtenons l'équation matricielle :
*
Cette relation sur le taux de déformation est démontrée en MMC, nous admettons, ici, ce résultat sans démonstration.
51
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
[ M ] {qɺɺ}
52/100
+ [ K ] {q} = {F }
avec:
[M ] = ∫ [W ]T ρ [W ] dV
D
[K ] = ∫ [B]T [D][B] dV
D
{F } = ∫ [W ]T { f } dV + ∫ [W ]T {Td } dS
Γσ
D
Application aux modèles de l’ingénieur
Pour le modèle « traction – compression » présenté pour l'étude des treillis : [ D ] = ES
[ L] =
∂
∂x
∂2
Pour le modèle « flexion » présenté pour l'étude des portiques : [ D ] = EI [ L ] = 2
∂x
Pour les modèles « de l’élasticité plane »
Le modèle « contraintes planes » s'applique à des pièces peu épaisses chargées transversalement dont
les faces ne sont pas chargées (plaques et coques minces, les membranes, capacité sans effet de fond,
etc…)
On considère que l'état de contrainte à
σ11 σ12 0 
l'intérieur du domaine est voisin de l'état de
Hypothèse
[σ ] = σ 21 σ 22 0
contrainte sur les surfaces, donc plan par rapport
à la normale à la surface
 0

0 0
soit : {σ } =< σ11 σ 22 σ12 >
T
Écrivons l''inverse de la loi de HOOKE ε = −
ν
trace(σ ) 1 +
1 +ν
σ
E
E
Pour déterminer le tenseur des déformations à partir du tenseur des contraintes, en ne conservant que les
termes à travail non nul.
 ε11 
1

 1
 ε 22  =  −ν
2ε  E  0
 12 

−ν
 σ11 



1
0  σ 22 
0 2(1 +ν )  σ12 

1 ν
σ11 
E 


Puis inversons cette relation : σ 22  =
ν 1
2 
σ  (1 −ν ) 
 12 
0 0

La déformation
0
ε 33
qui n’est pas prise en compte
dans la loi de comportement, peut être calculée à
posteriori par : ε 33 = − ν (σ 11 + σ 22 )
E

  ε11 


0   ε 22  ==> [ D ]
(1 −ν )  2ε12 

2 
0
Le modèle « déformations planes » s'applique à des pièces massives dont les déformations
longitudinales seront suffisamment faibles pour être négligées.
Hypothèse :
 ε11 ε12
[ε ] = ε 21 ε 22
 0
0
Écrivons la loi de HOOKE :
0
0
0
soit : {ε } =< ε 11 ε 22
T
σ = λ trace(ε ) 1 + 2 µ ε
52
2ε 12 >
λ = Eν

(1 + ν )(1 − 2ν )
avec 
E
µ = 2(1 + ν )
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
53/100
Ne conservons que les termes à travail non nul.

1 −ν
ν
σ11 

E


1 −ν
σ 22  =
 ν
+
−
(1
)(1
2
)
ν
ν
σ 

 12 
0
 0


  ε11 


0   ε 22  ==> [ D ]
(1 − 2ν )   2ε12 

2

0
La contrainte
σ 33
qui n’est pas prise en compte
dans la loi de comportement, peut être calculée à
posteriori par : σ 33 = λ (ε11 + ε 22 )
En résumé pour l’élasticité plane
La matrice d'élasticité est de la forme:

 1

E (1 − aν )
 ν
[D] =
(1 + ν )(1 − ν − aν )  (1 − aν )

 0

ν
(1 − aν )
1
0
∂

 ε11   ∂x

 
L’opérateur différentiel [ L ] :  ε 22  =  0
2ε  
 12  
∂

 ∂y
Exemple
a = 0 en contraintes planes
avec 
a = 1 en déformations planes

0

∂  u 
   tel que {ε } = [ L ]{u}
∂y   v 
∂

∂x 
Objectif : construction des matrices élémentaires pour un
élément triangulaire quelconque
yo
y3




0

(1 − ν − aν ) 

2(1 − aν ) 
0
Soit un élément triangulaire à trois nœuds, nous avons trois
variables nodales à identifier. Nous cherchons donc une
approximation polynomiale linéaire de la forme :
3
élément réel
y2
y1
2
1
u
x3
x1
x2
h
( x, y)
= [1 x
xo
 a1 
 
y ]  a2 
a 
 3
(1)
Pour exprimer l'approximation en fonction des déplacements nodaux nous allons identifier les valeurs
nodales des déplacements
 u1  1 x1 y1   a1 
  
 
soit pour le déplacement suivant x ui = u h ( xi , y i ) , aux 3 nœuds : u2  = 1 x 2 y 2  a 2 
u  1 x
y 3  a 3 
3
 3 
Il est simple de vérifier que la résolution de ce système conduit à :
 a1 
∆ 23
1 
 
a 2  =
 y 23
2
A
a 
 x 32
 3
∆ 31
y 31
x13
∆ 12 

y12 
x 21 
 A = aire du triangle
 u1 

 
u2  avec  xij = xi − x j et yij = yi − y j
u 
∆ = x y − x y
i j
j i
 3
 ij
53
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
54/100
Reportons ce résultat dans l’approximation (1) , nous obtenons :
u
h
( x, y)
= [ N1
N2
 u1 
 
N3 ] u2 
u 
 3
avec par permutation circulaire de ijk
Ni =
De la même façon nous aurons : v
u   N 1
Soit   = 
v   0
Nous avons vu que : {ε
0
N1
(M )
N2
0
0
N2
N3
0
h
( x, y )
1
( ∆ + x y jk − y x jk )
2 A jk
= [ N1
N2
 v1 
 
N3 ] v2 
v 
 3
 u1 
v 
 1
0  u 2 
  = [N ( x , y ) ]{U e } C'est l'approximation nodale du T3
N 3  v 2 
u 3 
 
 v 3 
} = [ L] {u ( M )} = [ L][ N ( x, y ) ]{U e } = [ B( M ) ] {U e }
 N1, x

D'où l'expression : [ B ( x , y ) ] =  0
 N1, y

0
N 2, x
0
N 3, x
N1, y
N1, x
0
N 2, y
N 2, y
N 2, x
0
N 3, y
 y23
1 
[ B( x, y ) ] =  0
2A
 x32
y13
0
x31
0
x32
y23
y31
0
x13
0
x13
y31
0 

N 3, y 
N 3, x 
0
x31  cette matrice est constante.
y13 
L'approximation de l'état de contrainte est donc constante par élément.
Pour calculer les matrices élémentaires [ M ]e , [ K ]e et { F }e le vecteur associé à une densité de charge sur
l'élément, il reste à calculer les produits des matrices et à intégrer sur l'élément.
Exercices : Formulations Variationnelles en physique
Exercice 1: Formulation variationnelle d'un problème de thermique
Objectifs : Établir la formulation variationnelle tridimensionnelle d’un problème de thermique.
En donner la forme matricielle pour la méthode de Galerkin.
Soit un corps de masse volumique ρ ,
de chaleur massique à volume constant cv , et de conductivité λ .
Équations du problème
Le flux thermique est donné par la loi de Fourier : q = −λ grad T
∂T
∂t
ou r est un flux de chaleur créé par unité de volume
L'équation générale du bilan énergétique est :
divq − r = − ρ cv
A ces deux équations il faudra associer une condition initiale (répartition initiale des températures)
Les conditions aux limites du problème peuvent être :
De type champ (problème de Dirichlet)
T = Td
54
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
55/100
q.next = ϕ d
De type flux (problème de Neumann)
ϕ c = hc (Ts − T∞ ) Condition de convection
De type mixte (problème de Fourier)
1- Écrire le système d'EDP général d’un problème de thermique stationnaire.
2- Transformer cette formulation forte pour obtenir la formulation variationnelle faible de ce
problème.
3- Donner l’expression matricielle de cette formulation faible pour la méthode de Galerkin, avec une
approximation de la forme T =< ψ > {q}
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Pour assimiler le cours il faut aussi traiter des exercices non corrigés.
Exercice 2: Écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite.
Objectifs : Obtenir différentes formulations variationnelles de ce problème
Appliquer les méthodes d'approximation générale sur le domaine.
Considérons le problème de l'écoulement stationnaire d'un fluide visqueux incompressible dans une
conduite de section droite carrée Ω .
y
p − p1
La chute linéique de pression est donnée π = 2
Γ
ℓ
p1
u p2
2a
On note µ la viscosité cinématique du fluide.
x
Ω
L'inconnue est le champ des vitesses u = u ( x, y ) z .
Section
2a
ℓ
Pour cet écoulement les équations de Navier-Stokes se réduisent à :
L'équation locale
∀M ∈ Ω ∆ (u ) =
Les conditions aux limites
∀M ∈ Γ u = 0
π
µ
W ( x , y ) = ( x 2 − a 2 )( y 2 − a 2 )
1- Soit :  1
Deux fonctions de forme définies sur le domaine
2
2
W2 ( x , y ) = W1 ( x , y ) ( x + y )
Ces deux fonctions de forme W1 ( x , y ) et W2 ( x , y ) sont-elles cinématiquement admissible ?
2- Formulation forte du problème
Établir la formulation forte du problème.
Peut-on utiliser cette formulation avec les fonctions de forme précédente ?
Donner l'écriture matricielle de l'équation pour des pondérations P(x, y) quelconques.
3- Pour une approximation à 1 paramètre sur W1 ( x , y ) Comparer les résultats obtenus pour :
La méthode de collocation au point (0,0) puis au point (a/2,a/2)
La méthode de la valeur moyenne de l'erreur P(x, y) = 1
La méthode de Galerkin : P(x, y) = W1 ( x, y )
4- Formulation faible du problème (formulation variationnelle)
Établir la formulation faible de ce problème
Donner la forme matricielle correspondant à la méthode de Galerkin
Retrouver l'approximation obtenue pour une approximation à 1 paramètre.
Calculer la nouvelle approximation pour une approximation à 2 paramètres
u h = < W ( x , y ) > {q} = W1 ( x , y ) q1 + W2 ( x , y ) q2
Le fichier Maple vous simplifiera les calculs numériques
55
Formulation variationnelle & Écriture Matricielle
56/100
Exercice 3: Discrétisation "EF" de la conduite
Objectifs : Appliquer les méthodes d'approximation par sous domaines.
Effectuer les calculs au niveau élémentaire sans utiliser la notion d'élément de référence.
yo
Le domaine étudié est un carré le coté 2a , pour simplifier les calculs
3
nous avons orienté différemment le repère d'observation.
2a
La discrétisation que nous allons utiliser est représentée sur la figure ci
(2) (1)
contre. Les mailles sont des éléments finis de type T3.
4
2 xo
(3) 1 (4)
sur D
 ∆u = f
Le champ des vitesses u ( x, y ) vérifie 
u = 0 sur le contour de D
5
Formulation
Rappeler la forme variationnelle du problème.
Donner la forme matricielle correspondant à une approximation de cette équation intégrale.
Calcul de la matrice raideur élémentaire
Les quatre éléments étant identiques, on limitera les calculs au premier élément (l'élément 123).
Définir les fonctions d'interpolation de cet élément.
Déterminer la matrice raideur et le vecteur force généralisé de cet élément.
Montrer que pour les autres éléments les résultats sont identiques.
Résolution
Calculer l'approximation du champ de vitesse au centre de la conduite
Exercice 4: Formulation matricielle d'un problème axisymétrique
Objectifs : Appliquer les méthodes d'approximation par sous domaines.
Pour les modèles « axisymétriques » Nous utilisons le système de coordonnées cylindriques. Compte
tenu des hypothèses de symétrie, le champ des déplacements est de la forme
b
 ur ( r , z , t ) = u 
u 
{u ( M , t )} =  uθ = 0  =  
u ( r , z , t ) = w   w
 z

zo
symétrie cylindrique
1- Exprimer l'opérateur gradient du = grad (u ) dX sur la base b
xo
θ
ez
yo
eθ
b
2- En déduire en petites déformations l'opérateur [ L ] ; {ε } = [ L ]{U }
er
3- Exprimer la matrice d’élasticité [D] correspondant à la loi de HOOKE : σ = λ trace(ε ) 1 + 2 µ ε
4- pour un élément triangulaire T3
zo
u 
Rappeler l'expression de la matrice [ N ] ;   = [ N ( x , y ) ]{U e }
 w
En déduire l'expression de la matrice [ B ] ; {ε } = [ B ]{U e }
56
k
élément réel
T3
j
i
symétrie cylindrique
Méthodes numériques
57/100
Méthodes numériques
dans le cadre de la MEF
Les principales étapes de construction d'un modèle éléments finis sont les suivantes :
• Discrétisation du milieu continu en sous domaines.
• Construction de l'approximation nodale par sous domaine.
• Calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème.
• Assemblage des matrices élémentaires - Prise en compte des conditions aux limites.
• Résolution du système d'équations.
Discrétisation du milieu
Cette opération consiste à décomposer le domaine continu en un nombre fini de sous domaines
« éléments finis ».
ne


D = ∑ De
telle que
lim  ∪ De  = D
taille des e → 0 e
e =1
Il ne doit y avoir ni recouvrement ni trou entre deux éléments ayant une frontière commune. De plus
lorsque la frontière du domaine est complexe, une erreur de discrétisation géométrique est inévitable.
Cette erreur doit être estimée, et éventuellement réduite en modifiant la forme ou en diminuant la taille
des éléments concernés.
Modifier la taille des
éléments
Pièce présentant des
congés de raccordement
Changer la géométrie
éléments à frontière courbe
Erreur de discrétisation
géométrique
Erreur de discrétisation géométrique.
Approximation nodale
La méthode des éléments finis est basée sur la construction systématique d'une approximation u h du
champ des variables par sous domaine. Cette approximation est construite sur les valeurs approchées du
champ aux noeuds de l’élément. On parle de représentation nodale de l’approximation ou plus
simplement d’approximation nodale.
L'approximation par éléments finis est une approximation nodale par sous domaines ne faisant intervenir
que les variables nodales du domaine élémentaire
De .
∀M ∈ De
{u } = [ N
h
(M )
(M )
] {U n }
{u }
Valeur de la fonction approchée en tout point M de l'élément
{U n }
Matrice des fonctions d'interpolation de l'élément
Variables nodales relatives aux nœuds d'interpolation de l'élément
h
[N]
57
Méthodes numériques
58/100
Valeurs approchées
aux noeuds xi
élément 1
+
élément 2
x
+
Approximation linéaire
utilisant 3 éléments
élément 3
Approximation nodale linéaire à une dimension
Éléments de référence
Un élément de référence est un élément de forme géométrique simple (frontières rectilignes, bords de
longueur unité). Pour la majorité des éléments de référence, l'approximation nodale est construite sur une
base polynomiale de degré 1 ou 2. Le nombre de variables nodales à identifier étant égal à la dimension de
la base.
Bases polynomiales complètes:
1D:
linéaire
[1, x]
quadratique [1, x, x2]
2 variables
3 variables
2D:
linéaire
[1, x, y]
quadratique [1, x, y, x2, xy, y2]
3 variables
6 variables
T3
T6
3D:
linéaire
[1, x, y, z]
quadratique [1, x, y, z, x2, xy, y2, xz, z2, yz]
4 variables
10 variables
Tétraèdre d°1
Tétraèdre d°2
Bases polynomiales incomplètes:
2D:
3D:
"quasi-linéaire"
[1, x, y, xy]
4 variables
Q4
"quasi-quadratique" [1, x, y, x2, xy, y2, x2y, y2x] 8 variables
Q8
"quasi-linéaire"
cube
[1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz]
8 variables
Ce choix ne comporte
que des monômes de
degré 1, et respecte la
symétrie de la base.
Construction de l'approximation nodale
L’approximation nodale est construite sur l'approximation polynomiale : ∀M u h ( M ) =< Φ ( M ) > {a}
L'approximation est identifiée à la valeur du champ de variables aux n nœuds M i de l'élément
{U n } = {u h ( M n )} =
< Φ( M n ) >
{a}
En résolvant ce système d'équation, nous exprimons {a} en fonction des variables nodales {U n }
−1
 < ... > 
{a} = [T ]{U n } avec [T ] = < Φ( M i ) > 
 < ... > 
Reportons ce résultat dans l'approximation
La matrice à inverser doit être bien
conditionnée. Conditionnement lié au
choix de la base polynomiale et à la
géométrie des éléments de référence.
Nous obtenons la matrice des fonctions d'interpolation : < N ( M ) >=< Φ ( M ) > [T ]
58
Méthodes numériques
59/100
Les fonctions d'interpolation satisfont la propriété suivante ∀M i
Éléments à une dimension
s
0
1
C'est un segment de droite de longueur unité : s ∈ [ 0,1]
Approximation linéaire
base polynomiale utilisée est (1, s )
 N 1 ( s) = L1 = 1 − s

 N 2 ( s) = L2 = s
Approximation quadratique
Base polynomiale (1, s, s 2 )
0 si i ≠ j
N j ( Mi ) = 
1 si i = j
2 nœuds
1
N1
0
1
1
2
N2
1 N1
3 nœuds
 N 1 ( s) = L1 (2 L1 − 1)

 N 2 ( s) = 4 L1 L2
 N ( s) = L (2 L − 1)
2
2
 3
N2
N3
0
 N 1 ( s) = 1 − 3s 2 + 2 s 3

2
3
 N 2 ( s) = s − 2 s + s

2
3
 N 3 ( s) = 3s − 2 s
 N 4 ( s) = − s 2 + s 3
s
1
2
1
Approximation cubique
Base polynomiale (1, s, s 2 , s 3 )
4 nœuds
L1

 N 1 ( s) = 2 (3 L1 − 1)(3 L1 − 2)

9
 N 2 ( s) = L1 L2 (3 L1 − 1)

2

9
 N 3 ( s) = L1 L2 (3 L2 − 1)
2

L2

 N 4 ( s) = 2 (3 L2 − 1)(3 L2 − 2)
Identification du champ et sa dérivée (pente)
s
3
Tous ces éléments sont
de type Lagrange
1
N1
N2
N3
N4
0
1
1
s
1
2
N1
3
u et u , x
4
N3
N2
1
1
1
N4
Cet élément est de type Hermite
cf. élément poutre.
s
s
2
1
Éléments triangulaires
t
C'est un triangle rectangle de coté unité. s ∈ [ 0,1] et t ∈ [ 0,1 − s ]
Approximation linéaire : Base polynomiale (1, s, t )
élément à 3 nœuds, triangle de type "T3"
(0,1) 3
1
(0,0)
Les fonctions d'interpolation sont :
59
2
(1,0)
s
Méthodes numériques
60/100
N1 = 1 − s − t
N2 = s
N1
t
N3 = t
t
N2
3
N3
3
1
1
2
t
3
1
2
s
2
s
s
Approximation quadratique
Base polynomiale (1, s, t , st , s 2 , t 2 )
élément à 6 nœuds, triangle de type "T6".
t
(0,1) 3
4
5
On pose : L1 = 1 − s − t , L2 = s , L3 = t
Les fonctions d'interpolation sont :
s
2
1
6
(0,0)
(1,0)
Pour les 3 noeuds d'interface (4,5,6):
Pour les 3 noeuds sommet: i = 1,2,3
N i = Li (2 Li − 1)
N i+3
3
i = 1, 2,3 avec j ≠ i, k et k ≠ i
= 4 L j Lk
1
5
1
6
4
5
1
1
6
N1 = L1 (2 L1 − 1)
N 4 = 4 L2 L3
2
2
4
3
Éléments rectangulaires plans
L'élément de référence est un carré de coté 2 : ( s, t ) ∈ [ −1,1]
Approximation linéaire "Q4" (1, s, t , st )
 N1

N2

N3
N
 4
t
3
4
(-1,1)
1
N1
= 4 (1 − s)(1 − t )
1
= 4 (1 + s)(1 − t )
1
= 4 (1 + s)(1 + t )
1
= 4 (1 − s)(1 + t )
(1,1)
s
3
1
2
1
(-1,-1)
1
(1,-1)
2
Approximation quadratique "Q8"
t
Pour éviter d’avoir des nœuds internes, on utilise des bases polynomiales
incomplètes mais symétriques contenant tous les monômes d’un même degré.
2
2
2
7
6
8
5
4
2
s
Base polynomiale (1, s, t , st , s , t , s t , t s )
1
2
3
Nous avons donné les fonctions d’interpolation des éléments les plus simples pour lesquels il est possible
de faire un certain nombre de calculs analytiquement. Signalons que les expressions des fonctions
d'interpolation de nombreux autres éléments de référence sont données dans le livre de Dhatt et Touzot
"Une présentation de la méthode des éléments finis". Vous y trouverez aussi des exemples de programmes
pour la construction systématique de ces fonctions d’interpolation.
60
Méthodes numériques
61/100
Calcul des matrices élémentaires
Présentons maintenant les techniques numériques élémentaires (utilisées sur chaque élément) permettant
de calculer les formes matricielles déduites de la formulation variationnelle (forme intégrale) d’un
problème de physique.
Le calcul des matrices élémentaires nécessite une dérivation puis une intégration sur le domaine
élémentaire. Le calcul analytique n'est possible que pour des éléments très simples, les éléments
monodimensionnels ou en 2D le T3 et le Q4 rectangulaire. Un code éléments finis a donc recours aux
calculs numériques, basés sur l’utilisation d'éléments de référence, de la matrice Jacobienne de la
transformation géométrique, et de l’intégration numérique pour calculer les coefficients des matrices.
Ce paragraphe présente quelques aspects du calcul numérique, indispensables pour comprendre les
erreurs numériques liées à la forme du maillage, lors de l’analyse de résultats.
Transformation géométrique
Tout élément réel peut être défini comme l'image par une transformation géométrique d'un élément
parent dit de référence pour lequel les fonctions d'interpolation sont connues.
Nous entendons par élément réel un élément quelconque du domaine discrétisé.
La transformation géométrique définit les coordonnées ( x, y, z ) de tout point de l'élément réel à partir des
coordonnées ( s, t , u ) du point correspondant de l'élément de référence. Un même élément de référence
permet donc de générer toute une classe d'éléments réels.
A chaque élément du domaine réel correspond une transformation bijective unique.
En 3D la transformation géométrique est définie par :
 x =< N g ( s , t , u ) > { x n }

{ xn } , { yn } , { zn } Coordonnées des noeuds de l'élément réel
 y =< N g ( s , t , u ) > { y n } avec : 
Fonctions de la transformation géométrique
< N g ( s , t , u ) >
 z =< N ( s , t , u ) > z
{ n}
g

Dans ce cours nous ne présentons que des éléments iso paramétriques pour lesquels les nœuds
d'interpolation et les nœuds géométriques sont confondus. Les fonctions de la transformation
géométrique N g seront identiques aux fonctions d'interpolation N .
Exemples d'éléments de référence classiques
Éléments à une dimension.
Référence
linéaire
Réel
τe
quadratique
cubique
Transformations géométriques d'éléments à une dimension
Ces transformations géométriques utilisent les fonctions d'interpolation linéaire,
quadratique et cubique définies plus haut.
Éléments à deux dimensions.
Pour ces éléments les transformations géométriques conduisent respectivement à des frontières linéaires,
quadratiques.
61
Méthodes numériques
t
62/100
Éléments triangulaires:
t
Éléments carrés:
(-1,1)
t
t
(1,1)
(0,1)
s
s
1/2
s
s
(0,0)
(1,0)
Linéaire (3)
(-1,-1)
(1,-1)
Linéaire (4)
Quadratique (6)
Éléments à trois dimensions.
u
u
Quadratique (8)
u
(0,0,1)
(0,0,1)
t
(0,1,0)
(1,0,0)
s
tétraédrique (4)
(0,0,-1)
(0,1,1)
(-1,-1,1)
(1,0,1)
(1,-1,1)
t
(-1,-1,-1)
(0,1,-1)
(1,-1,-1)
s
(1,0,-1)
prismatique (6)
(-1,1,1)
(1,1,1)
t
(-1,1,-1)
(1,1,-1)
s
cubique (8)
Éléments volumiques à transformation linéaire
Matrice Jacobienne - transformation des opérateurs de dérivation
Nous connaissons (savons calculer) les dérivées des fonctions d'interpolation par rapport aux coordonnées
de l'élément de référence. ( s, t , u ) . Or il faut calculer les dérivées des fonctions d'interpolation par rapport
aux coordonnées réelles ( x, y, z ) .
La matrice Jacobienne de la transformation [ J ] est définie par:
∂ 
 ∂ s 
∂ ∂ t  =
∂ 
 ∂ u 
∂y
∂ x
∂ z  ∂ 
∂ 
∂s
∂ s  ∂ x 
 ∂s
 ∂ x
∂y
∂ x
∂ z   ∂  = [ J ]  ∂ 
∂y
∂t
∂ t ∂ y
 ∂t



∂y
∂ x

∂ 
∂ 
∂z


∂u
∂ u  ∂ z 
 ∂ z
 ∂ u
 x =< N g ( s , t , u ) > { x n }

Compte tenu de l’expression de la transformation géométrique  y =< N g ( s , t , u ) > { y n }
 z =< N ( s , t , u ) > z
{ n}
g

∂ < N g > 
∂ 

∂ s
 ∂ s 


[ J ] =  ∂ ∂ t  < x y z >=  ∂ < N g >  {x n } { y n } {zn }
∂t
∂ 

<
N
>
∂
 ∂ u 
g


∂ u

[ J ] est le produit d'une matrice (3, n) par une matrice (n, 3) connues.
[
]
Pour chaque élément, la matrice Jacobienne s'exprime en fonction des dérivées des fonctions
de la transformation géométrique et des coordonnées des nœuds géométriques de l'élément
réel.
62
Méthodes numériques
63/100
La relation inverse permet alors de calculer les dérivées premières par rapport aux coordonnées réelles des
fonctions d'interpolation.
∂ 
∂ 
 ∂ x
 ∂ s 
∂ 
−1
−1  ∂
La transformation devant être une bijection [ J ] existe
 ∂ y = [ J ]  ∂ t 
∂ 
∂ 
 ∂ z 
 ∂ u 
Une singularité de J peut apparaître lorsque l'élément réel est trop "distordu" par rapport à l'élément de
référence « élément dit dégénéré ». De façon générale on évite lors du maillage d'utiliser des éléments
trop disproportionnés, car ils nuisent à la précision numérique du modèle
De plus en plus de logiciels de pré-traitement proposent des outils de contrôle de la qualité
du maillage basé sur la taille, les proportions et le calcul du Jacobien des éléments utilisés.
Pour le calcul des dérivées secondes
∂2
∂x
2
et
∂2
∂x∂y
des fonctions d'interpolation (problèmes de flexion), la
démarche est identique mais les calculs sont plus complexes, reportez vous au livre de D&T (pages 55-57).
Calcul numérique d'une intégrale
Le jacobien de la transformation géométrique permet de passer de l'intégration d'une fonction f définie
sur l'élément réel à l'intégration sur l'élément de référence :
∫f
(x, y, z)
dxdydz =
De
∫f
(s, t, u)
det[ J ] dsdtdu
Dref
Cette dernière intégrale ne peut être évaluée analytiquement que dans des cas extrêmement simples. En
général, la fonction à intégrer est une fraction rationnelle polynomiale compliquée. Le calcul de l'intégrale
sur l'élément de référence est donc effectué numériquement.
Les formules d'intégration numérique permettent d'évaluer l'intégrale sous la forme générale suivante :
∫
Dref
où
Npi
f dv ≅ ∑ f (ξi )ωi
i =1
N pi
représente le nombre de points d'intégration sur l'élément de référence.
ξi
ωi
les coordonnées paramétriques des points d'intégration.
les poids d'intégration.
L'intégration numérique exacte n'est possible que si la fonction à intégrer est polynomiale. La matrice
Jacobienne doit être constante (l'élément réel garde la même forme que l'élément de référence). Nous
connaissons alors l'ordre de la fonction polynomiale à intégrer, et nous pouvons choisir en conséquence le
nombre de point d’intégration.
Dans le cas d'éléments réels de forme quelconque, la matrice Jacobienne est une fonction polynomiale. Les
termes à intégrer sont donc des fractions rationnelles, et la précision de l'intégration numérique diminue
lorsque l'élément réel est mal conditionné (disproportionné)
La précision de l'intégration numérique dépend aussi du choix du nombre de points d'intégration, ce
nombre est proposé par défaut dans les codes éléments finis. Pour les problèmes non linéaires en
dynamique on utilise souvent un nombre de points d'intégration plus faible pour diminuer les temps de
calcul (Abaqus par exemple fait de l'intégration réduite par défaut), attention un nombre de points
d'intégration insuffisant peut conduire à des résultats faux*.
*
Pour un problème de dynamique l’intégration réduite peut introduire des modes parasites (phénomènes d’hourglass)
63
Méthodes numériques
64/100
Les schémas d'intégration les plus utilisés pour les éléments 2D sont :
Coordonnées ξi
points
3
1
1
3
4
s=±
1
s=
3
1/ 6
s = 2/3
1/ 6
2
1
3
t=±
Poids ωi
1
3
ω =1
1
3
ω = 1/ 6
1/ 6
t = 1/ 6
2/3
ω = 1/ 6
t=
Vous trouverez dans le D&T (pages 280 à 300) les tableaux et les figures donnant la
position et les poids d'intégration pour différents schémas d'intégration.
Organisation des calculs numériques
pour chaque élément
∀e
pour chaque point d'intégration
∀i = 1, Np (ξi , ωi )
Calcul
du jacobien,
des fonctions d'interpolation,
et de leurs dérivées.
N g (ξ i ), { xn } , { yn } , { zn }
[ J (ξi )] , [ J (ξi )]−1
[ N (ξi )] ; [ B(ξi )]
[ Ke ] = [ Ke ] + [ Bξi ]T [ D] [ Bξi ]det( Jξi )ωi
[ M e ] = [ M e ] + [ Nξi ]T ρ [ Nξi ]det( Jξi )ωi
{Fe } = {Fe } + [ Nξi ]T f det( Jξi )ωi
Somme sur les points
d'intégration
==> Matrices élémentaires
Fin de l'intégration numérique
[ K ] = [ K ] + [ Ke ]
[M ] = [M ] + [M e ]
{F } = {F } + {Fe }
Assemblage dans les
matrices globales
Fin du calcul
Exemple : L'élément triangulaire "T3"
yo
τe
t
3
1
3
e
1
s
2
référence
x3 x1
C'est un élément iso-paramétrique
2
x2
xo
Les fonctions d’interpolation sont :
N1 = 1 − s − t
élément réel
64
N2 = s
N3 = t
Méthodes numériques
65/100
La matrice Jacobienne de cette transformation géométrique.
∂ < N g >

  x1 

 −1 1 0    
∂
s
[ J ] = ∂ < N >  { xn } { yn } =  −1 0 1    x2 

  x 
g


 3 
∂ t

x − x
[ J ] =  x2 − x1

3
1
y2 − y1   x21
=
y3 − y1   x31
−1
Son inverse : [ J ]
y21 
y31 
 y1 
 
 y2  
 y 
 3 
Cette matrice est
une constante
A est l’aire de l'élément réel.
J =2A est le jacobien de la transformation.
1  y31 − y21 
=


2 A  − x31 x21 
∂

∂
 ∂ x  1  y31 − y21   ∂
Sachant que : 
=


∂ ∂ y  2 A  − x31 x21  ∂ ∂



s

t 
Nous en déduisons :
1 − y31 + y21  1  y23 
 N1, x 
−1  −1

= J  =

=
 
 N1, y 
−1 2 A  x31 − x21  2 A  x32 
 N 2, x 
1  y31 
−1 1 

= J  =


0  2 A − x31 
 N 2, y 
ε   u

xx
,x
 N 3, x 
1 − y21 
−1 0 





 

= J  =


=
=
v
ε
ε
{
}



 = [ B ] {U e }
yy
,
y
N
1  2 A  x21 
 3, y 

 

2ε xy  u, y + v, x 
D'où l’expression de la matrice [ B ( x, y ) ]
N
 1, x
[ B ( x, y ) ] =  0

 N1, y
 y23
1 
[ B ( s, t ) ] =  0
2A
 x32
0
N 2, x
0
N3, x
N1, y
0
N 2, y
0
N1, x
N 2, y
N 2, x
N3, y
0
y31
0
y12
x32
y23
0
x13
x13
y31
0
x21
0 

N 3, y 

N3, x 
0 
x21 
y12 
Ces résultats sont ensuite utilisés pour le calcul des matrices élémentaires :
Matrice raideur:
[K e ] = ∫ [ B( M )]T [ D( M )] [ B( M )] dv
« e » Épaisseur supposée
uniforme de l’élément
1 1− s
= e ∫ ∫ [ B ( s, t )]T [ D] [ B( s , t )] 2 A dsdt
0 0
De
Les termes de cette matrice sont des constantes.
Matrice masse:
[M e ] = ∫ [N ( x, y )]T ρ [N ( x, y )] dv
1 1− s
= e∫
T
∫ [N (s, t )] ρ [N ( s, t )] 2 A dsdt
0 0
De
1 1− s
Dans le cas d’une charge de volume f d
{Fde } = e ∫ ∫ [ N ( s, t )]T { f d }
2 A dsdt
0 0
N’ayant que des polynômes à intégrer le calcul analytique ou numérique de ces matrices ne
pose pas de problème, et il conduira à des résultats exacts qui pourront être réutilisés.
65
Méthodes numériques
66/100
Assemblage et conditions aux limites
Ne
Les règles d'assemblage sont définies par la relation : D ≅ ∑ De
e =1
Ne
T
T
∑ {δ U e } [ M e ]{Uɺɺe } = {δ U } [ M ]{Uɺɺ}
e =1
Ne
ne
et
T
T
∑ {δ U e } [ Ke ]{U e } = {δ U } [ K ]{U }
Il faut penser énergie ou travail virtuel pour
effectuer la sommation des termes
T
T
∑ {δ U e } {Fde } = {δ U } {Fd }
e =1
e =1
Cette opération traduit simplement que l’énergie associée au domaine étudié est la somme des énergies
élémentaires des sous domaines. Cela consiste à ranger dans une matrice globale les termes des matrices
élémentaires. Le programme définira l’ordre des variables globales pour optimiser la place mémoire
(disque) de la matrice globale, mais aussi le temps de calcul en fonction des algorithmes de résolution
utilisés*. Deux méthodes classiques « matrices bandes » et « matrices ligne de ciel » sont présentées dans
le livre de D&T.
Après assemblage, nous obtenons la forme matricielle du principe des travaux virtuels :
[ M ] {Uɺɺ} + [ K ] {U } = { Fd } + { Fi }
Soit N équations pour N+P inconnues. Pour résoudre, il faut tenir compte des P conditions
aux limites cinématiques associées aux P composantes inconnues du vecteur { Fi } .
Dans le cas d’un calcul statique, La méthode directe de résolution par blocs, peut se présenter sous la
forme suivante en regroupant les termes des matrices.
[ K11 ]

[ K 21 ]
{U i } = [ K11 ]−1 {{Fd 1} − [ K12 ]{U d }}

{ Fi } = [ K 21 ]{U i } + [ K 22 ]{U d } − { Fd 2 }
[ K12 ] U i  =  Fd 1  +  0 
[ K 22 ] U d   Fd 2   Fi 
Dans le cas particulier ou {U d } = {0} seul les termes de [ K11 ] et [ K 21 ] sont utiles
−1
{U i } = [ K11 ] { Fd 1}
En effet 
{ Fi } = [ K 21 ]{U i } − {Fd 2 }
Nous n’abordons pas ici les méthodes numériques de résolution de ces équations matricielles. Ces
méthodes sont vues en analyse Numérique. Pour les problèmes de statique vous trouverez dans les codes
EF deux types de méthodes
• Les méthodes directes : Élimination de Gauss, décomposition LDU, ou Cholesky …
• Les méthodes itératives de type Gauss-Seidel.
Exercice
Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé.
Exercice 1 : EF-T3 pour l’élasticité plane
Objectifs : Assimiler les techniques de calcul au niveau élémentaire mise en œuvre dans un
modèle élément finis pour un problème de mécanique.
*
Le choix de l’algorithme d’assemblage est un problème numérique & informatique. Les algorithmes dépendent de la taille du
système matriciel, de la nature du problème (dynamique, statique, linéaire, non linéaire, etc… ), de la machine utilisée (place
mémoire disponible, espace de stockage, parallélisme, …. ).
66
Méthodes numériques
67/100
La structure à étudier est une plaque mince homogène
isotrope chargée dans son plan. Nous utiliserons donc un
modèle contraintes planes. Les conditions aux limites et le
modèle éléments finis à utiliser sont représentés sur la figure
ci-contre.
Les éléments sont les éléments de type T3 présenté dans ce
chapitre de cours.
3
4
(2)
a
1
F
(1)
2a
yo 1
2
xo 1
Formulation
Rappeler :
la forme variationnelle du problème.
la forme vectorielle de la loi de comportement.
la matrice reliant le vecteur des déformations et les déplacements nodaux.
l'expression matricielle de la matrice raideur élémentaire.
Calcul de la matrice raideur élémentaire
Nous voulons utiliser l'élément de référence T3 pour effectuer les calculs en suivant les étapes d'un
code éléments finis. On se limitera au premier élément pour éviter les calculs répétitifs.
Exprimez la matrice Jacobienne de la transformation géométrique du premier élément.
Calculer les dérivées des fonctions d'interpolation sur l'élément réel Ni,x et Ni,y
Donnez l'expression matricielle permettant de calculer la matrice raideur du premier élément.
Calcul de l'état de contrainte sur les éléments
La solution en déplacement est supposée connue.
Donner l'expression du vecteur des contraintes pour les deux éléments du modèle.
Vous exprimerez ces vecteurs en fonction des déplacements nodaux.
Comparer les expressions.
Exercice 2 : Élément Q4 en contraintes planes
Objectifs : Transformation géométrique et intégration numérique, analyse du script Q4_ke de
MEFlab
Soit l'élément de référence quadrilatère à quatre nœuds de type Q4.
τe
t
4
3
yo
4
3
e
1
s
1
2
référence
2
x1
x4
x2
x3
xo
élément réel
Rappeler :
la base polynomiale de l’approximation.
le principe de construction de l'approximation nodale.
u 
l’expression de [ N ( s , t ) ] telle que :   = [ N ( s , t ) ]{U e }
v 
Transformation géométrique du Q4
Appliquez la transformation au centre du carré puis au point de coordonnées s = t = 0,5
Donner l’expression de la matrice Jacobienne de cette transformation géométrique en fonction
de s, t et xi , yi
Que pensez-vous du calcul de l'inverse de la matrice Jacobienne ?
67
Méthodes numériques
68/100
Dans le cas particulier ou l'élément réel est un rectangle
1  2a 0 
Montrer que la matrice Jacobienne est : [ J ] = 
4  0 2b 
yo
a
4
3
b
1
e
En déduire l’expression de [ J ]
2
−1
xo
Calculer la dérivée première par rapport aux coordonnées réelles des fonctions d'interpolation.
En déduire l’expression de la matrice [ B ] en fonction de s et t
Est –il possible de calculer analytiquement la matrice raideur d’un élément rectangulaire ?
Calculs numériques
Analyser le script « Q4_ke » qui utilise l’intégration numérique
Le diaporama Q4 proposé sur le site vous aidera à faire le lien avec le cours.
Utiliser MEFLAB pour réaliser un modèle en contrainte plane d'une poutre console.
F=200Kg
Poutre en acier
yo
L=3m
section
rectangulaire
h=20cm
e=1cm
xo
Pour un maillage de 5 par 3 éléments pour une longueur L et une hauteur h.
Analyser les résultats et comparer avec la solution analytique poutre car L >> h
Effectuez une étude de convergence
Pour assimiler le cours il faut traiter des exercices non corrigés.
68
Utilisation d'un logiciel éléments finis
69/100
Utilisation d'un logiciel éléments finis
Un programme général de type industriel doit être capable de résoudre des problèmes variés de grandes
tailles (de mille à plusieurs centaines de milliers de variables). Ces programmes complexes nécessitent une
bonne maîtrise, de l’analyse du problème et des résultats obtenus, avant d'espérer pouvoir modéliser un
problème réel de façon correcte.
Les possibilités offertes par de tels logiciels sont nombreuses
- Analyse linéaire ou non d'un système physique continu,
- Analyse statique ou dynamique,
- Prise en compte de lois de comportement complexes,
- Prise en compte de phénomènes divers (élasticité, thermiques, électromagnétiques, de plasticité,
d'écoulement, etc. ...) ceux-ci pouvant être couplés,
- Problèmes d'optimisation,
- etc. ....
Et ils ne cessent de se développer !
L'utilisation de tels logiciels nécessite une formation de base minimum. La mise en œuvre pratique sur des
cas tests (si possible simples) permettra de savoir comment modéliser et analyser différents éléments d’un
problème plus complexe.
Création et vérification des données:
Cette étape dépend essentiellement du logiciel utilisé pour définir le jeu de données. Des exemples de
formation "didacticiels" et la documentation du bloc fonctionnel correspondant, vous permettront de vous
familiariser avec la syntaxe utilisée pour définir le jeu de données. La création et les vérifications relatives
au jeu de données se font généralement graphiquement, grâce à un module informatique appelé préprocesseur. En sortie, un fichier est créé, qui contient toutes les informations nécessaires à l'exécution des
calculs.
Des logiciels tels que HyperMesh sont spécialisés pour faciliter cette étape qui, sur les problèmes
complexes, est longue et fastidieuse. Ces logiciels permettent de récupérer des DAO, de les « réparer,
transformer », et de préparer un jeu de donnés ; et cela en fonction du logiciel de calcul que l’on souhaite
utiliser. Ce sont des outils puissants qui nécessitent un temps d’apprentissage pour connaître les
différentes fonctionnalités. Nous utiliserons peu ces logiciels, dans le cadre de votre formation ingénieur,
car nos objectifs sont différents. Nous visons la compréhension physique de problèmes plus simples, la
somme de ces connaissances devant vous permettre d’aborder plus tard la complexité dans le cadre
industriel.
Différents contrôles peuvent être utilisés pour valider le jeu de données :
•
Vérification de la géométrie de la pièce et du maillage. Le bon sens et l’expérience acquise vous
guideront pour vérifier à l’œil que votre maillage n’est pas aberrant.
•
Vérification de la prise en compte des sollicitations et des conditions cinématiques imposées à la
structure.
•
Vérification des propriétés mécaniques utilisées.
L’objectif de ces premiers contrôles est d’éviter les calculs inutiles. D’autant plus que la recherche d’une
solution acceptable pour un problème donné est rarement le résultat d’un seul calcul !
69
Utilisation d'un logiciel éléments finis
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Exécution du calcul:
Ce bloc, le plus coûteux en temps machine est souvent exécuté en tâche de fond. Un fichier de résultats
permet généralement de vérifier que les différentes phases de calculs se sont correctement déroulées :
- Interprétation des données, vérification des paramètres manquants
- Construction des matrices (espace utile pour les gros problèmes)
- Singularité de la matrice raideur (problème de Conditions aux limites ou de définition des
éléments)
- Convergence, nombre d'itérations, etc. ...
Ce fichier peut éventuellement contenir les résultats du calcul (déplacements, résidus, contraintes,...) ce
qui lui confère dans ce cas un volume généralement très important.
Il peut arriver que le calcul échoue. Les principales sources d'erreurs, généralement observées à ce niveau,
sont les suivantes:
"erreurs"
Singularité de [K]
Résolution
"causes"
éléments mal définis,
existence de modes rigides,
intégration numérique.
Arrondi numérique,
Non convergence.
"remèdes"
modifier la topologie du maillage,
modifier les liaisons,
modifier le nombre de points d'intégration.
travailler en double précision,
changer d'algorithme,
augmenter le nombre d’itérations.
Exploitation des résultats:
Les calculs demandés dans le cahier des charges ont le plus souvent pour objectif de valider ou de vérifier
le dimensionnement d'une structure.
Les résultats obtenus et les conclusions relatives aux phénomènes à étudier devront être présentés de
façon synthétique: tableaux, courbes, visualisation.
Cela justifie largement l’utilisation d’un post-processeur, qui propose des outils pour sélectionner les
informations que l'on veut étudier.
- Valeur moyenne sur un élément : Comment est-elle définie?
- Valeur maximale sur l'élément : Comment est-elle calculée?
- Valeurs aux nœuds et écarts entre les éléments : A quoi correspondent-elles?
- Les courbes d'iso contraintes : ont-elles une signification?
- etc. ...
Attention: lors de l'utilisation de ces outils, il faut savoir (donc se poser la question) ce que représente
(ou cache) l'information qui vous est proposée graphiquement. Celle-ci est construite (calculée) à partir
de résultats discrets :
Différentes vérifications doivent être effectuées pour valider les résultats. Ces vérifications entraînent dans
la plupart des cas à remettre en cause le modèle pour en créer un nouveau, dont on espère qu’il
améliorera la solution précédente.
Pour valider une solution, il faut procéder dans l’ordre
• dans un premier temps, estimer la précision du modèle.
• Puis procéder à sa validation. Vérification (et remise en cause) des hypothèses du modèle.
70
Utilisation d'un logiciel éléments finis
71/100
Les indicateurs sur la précision du modèle sont généralement locaux, ils concernent des informations
élémentaires calculées aux nœuds ou aux points d’intégration. Or ces informations sont souvent
extrapolées ou lissée pour être représenté en valeur moyenne sur l’élément ou en courbe d’iso – valeurs
sur le domaine.
Les indicateurs locaux sur la précision d’un modèle mécanique peuvent être :
• Discontinuité des contraintes entre des éléments adjacents. Le plus simple, pour un matériau
isotrope, est de visualiser la contrainte équivalente de Von Mises, cela permet d’avoir une idée des
zones fortement chargées et ayant un fort gradient de contrainte. Ces zones seront l’objet de toute
notre attention.
• Valeur du tenseur des contraintes sur les bords libres ou chargés (certaines valeurs sont alors
connues). En pratique il faudra estimer ces valeurs à partir des valeurs obtenues aux points
d’intégration.
• Densité d’énergie interne de déformation sur chaque élément, l’idéal étant d’avoir un écart le plus
faible possible.
Ayant quantifié la qualité de la solution numérique (précision), différents contrôles vous permettrons de
valider votre modèle :
• Ordre de grandeur des résultats obtenus
• Vérification des hypothèses du modèle
Par exemple en élasticité linéaire il faut vérifier que l’amplitude des déplacements reste
faible par rapport aux dimensions de la structure, que les déformations et les contraintes
observées respectent les hypothèses de linéarités de la loi de comportement.
• Que les choix de départs sont justifiés.
La comparaison et l’analyse des résultats des différentes modélisations que vous aurez réalisées, vous
permettra d'améliorer puis de valider un modèle "final" fiable. L’étude menée vous amènera à conclure sur
l’adéquation entre la structure et le cahier des charges.
La synthèse de ces calculs préliminaires est indispensable car elle vous permet de justifier et de définir
les limites (du ou) des modèles retenus.
Votre parcours pédagogique
Dans le cadre des projets vous aurez à utiliser un code de calcul industriel. Il faudra formaliser votre
analyse du problème, en précisant les choix explicites ou implicites de votre modèle. Puis à partir des
simulations numériques, valider la discrétisation du modèle, et analyser les résultats de l'étude. Le rapport
fera la synthèse de vos calculs et présentera vos conclusions.
Avant de passer à la pratique, précisons comment se déroule une étude basée sur l'utilisation d'un logiciel
éléments finis.
71
Utilisation d'un logiciel éléments finis
72/100
Organigramme d'un logiciel éléments finis
Tout logiciel de calcul par la méthode des éléments finis contient les étapes caractéristiques ou blocs
fonctionnels suivants :
LOGICIEL
UTILISATEUR
Analyse du problème
PRÉPOCESSEUR : " interactif "
Fonctions: Lecture et vérification des données
Modification des données
Données:
Coordonnées des noeuds
Définition des éléments "mailles"
Paramètres physiques
Sollicitations
Conditions aux limites
Vérifications:
Visualisation du maillage
Lecture du "fichier résultat"
où
"questions - réponses -vérifications"
Création du fichier des données
Vérification des données
BLOC - CALCUL : "Non interactif"
Fonctions: Calcul des matrices et vecteurs
et résolution du système d'équations
Pour chaque élément
- Calcul des matrices élémentaires
(comportement, sollicitations)
- Assemblage dans les matrices globales
Résolution
- Prise en compte des sollicitations nodales
- Prise en compte des conditions aux limites
- Résolution
Création des fichiers résultats
Vérification des calculs
POSTPROCESSEUR : " interactif "
Fonctions : Traitement des résultats & visualisation
- Calcul des variables secondaires ( σ , ε ,...)
- Traitement des variables
isocontraintes, isodéformations
déformées, valeurs maximales
normes, ...
- Superposition de problèmes
- etc...
Analyse des résultats
Visualisation
Note de calcul
72
Processus d'analyse et modélisation
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Processus d’analyse & modélisation
Si l'utilisation de la méthode se démocratise de par la simplicité croissante de mise en oeuvre, la
fiabilité des algorithmes et la robustesse de la méthode, il reste néanmoins des questions essentielles
auxquelles l'ingénieur devra répondre s'il veut effectuer une analyse par éléments finis dans de bonnes
conditions.
Il lui faudra :
Formaliser les non dits et les réflexions qui justifient les choix explicites ou implicites de son
analyse du problème (définition de son modèle).
Évaluer la confiance qu'il accorde aux résultats produits.
Analyser les conséquences de ces résultats par rapport aux objectifs visés.
Ne perdez jamais de vue que l'analyse des résultats nécessite une bonne compréhension des
différentes étapes mathématiques utilisées lors de l'approximation, pour pouvoir estimer l'erreur du
modèle numérique par rapport à la solution exacte du problème mathématique. N'oubliez pas non plus
que le modèle numérique ne peut fournir que des résultats relatifs aux informations contenues dans le
modèle mathématique qui découle des hypothèses de modélisation.
De façon générale, les différentes étapes d'analyse d'un problème physique s'organisent suivant le
processus schématisé par la figure suivante.
Processus d’analyse
Problème physique
Hypothèses de modélisation
Modèle mathématique
P
r
o
c
é
d
u
r
e
EF
Hypothèses de discrétisation
Modèle numérique
Erreur de discrétisation (évaluation)
précision sur les grandeurs d’intérêt
Analyse des résultats
Vérification des hyp. de modélisation
Réponse obtenue
73
Évolution du
modèle
numérique
Évolution du
modèle
mathématique
Évolution modèle physique
Processus d'analyse et modélisation
74/100
Qu'est-ce qu'un modèle ?
Nous partons d'un problème physique. Le cadre précis de l'étude est défini par les hypothèses
simplificatrices « hypothèses de modélisation » qui permettent de définir un modèle mathématique. La
difficulté pour l'ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique celles dont les équations
traduiront avec la précision voulue la réalité du problème physique. Le choix du modèle mathématique
est un compromis entre le problème posé à l'ingénieur "quelles grandeurs veut-on calculer et avec
quelle précision?" et les moyens disponibles pour y répondre. Un bon choix doit donner une réponse
acceptable pour des efforts de mise en oeuvre non prohibitifs.
Pour définir le cahier des charges de l'étude il faut :
•
Évaluer le niveau de complexité en identifiant les phénomènes physique les plus importants à
modéliser, et savoir s'il existe des interactions entre ces phénomènes dans le cadre de l'étude.
Ce travail est basé sur l'expérience acquise, ou sur une recherche documentaire dans la
bibliographie existante.
•
Fixer les objectifs de l'étude en regardant le niveau possible des facteurs d'influence sur le
modèle. Il faudra s'assurer de la faisabilité pratique de l'étude à partir des outils disponibles.
•
Définir les grandeurs d'intérêt de l'étude, pour cela il faut connaitre la nature de ces grandeurs
et savoir comment elles sont calculées dans la phase de post-traitement du logiciel utilisé.
Observer la contrainte de Von Mises n'a pas de sens si on ne sait pas ce qu'est cette contrainte.
•
Il faut organiser les expériences numériques.
En pratique, pour gagner du temps, on préfère définir un ordre de priorité d'étude des facteurs
que l'on juge les plus influents, quitte à risquer de perdre de l'information sur les interactions
entre les différents facteurs étudiés. Il faut donc s'assurer, lors de l'analyse des résultats, de la
robustesse de la démarche suivie notamment vis à vis :
• De la pertinence des choix effectués
• Des facteurs non étudiés, en contrôlant (justifiant) qu'ils n'ont effectivement pas
d'influence.
• Des interactions possibles entre les facteurs étudiés
Si les facteurs d'influence interagissent fortement, il peut être nécessaire de mettre en place un
plan factoriel complet, ce qui évite de choisir à priori les combinaisons de facteurs, mais est
beaucoup plus lourd à mettre en place.
Petit bilan
Le domaine d'étude est défini par le cadre mathématique des modèles. Il faut connaître le domaine de
validité des hypothèses des modèles pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante.
Un cadre mal défini ne permet pas d'analyser les résultats obtenus.
Le cadre sera toujours un compromis entre les objectifs et les coûts (temps de mise en œuvre des
modèles).
Plus il y a d'hypothèses, plus le modèle mathématique sera simple et facile (rapide) à
traiter numériquement. Par contre il peut ne plus correspondre à la réalité physique.
Moins il y a d'hypothèse plus le modèle sera proche de la réalité, mais son niveau de
complexité sera croissant et les temps (capacité) de mise en œuvre peuvent devenir
prohibitifs.
Dans tous les cas un modèle n'est pas la réalité physique, et les différences de comportement des
modèles doivent être analysées.
74
Processus d'analyse et modélisation
75/100
En résumé, les questions essentielles auxquelles l'ingénieur devra répondre s'il veut effectuer une
analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont :
Quel modèle mathématique utiliser ?
Quel modèle numérique faut-il lui associer ?
Quelle est l'erreur d'approximation commise ? (Cette question est abordée ci-dessous)
Peut-on améliorer le modèle numérique ?
Faut-il changer le modèle mathématique ?
Comment estimer les erreurs de discrétisation ?
Les erreurs de discrétisations sont relatives au choix du maillage à savoir :
La taille des mailles (éventuellement le type un T3 et un Q4 ne donne pas les mêmes résultats)
Le degré des fonctions de formes (approximation linéaire ou quadratique)
Des estimateurs d'erreurs existent dans la plus part des codes éléments finis, ils peuvent être globaux
ou locaux. Dans les deux cas il faut utiliser ces estimateurs avec la plus grande précaution, car ils sont
basés sur des critères mathématiques qui (à l'heure actuelle) ne sont pas en mesure de tenir compte
des objectifs de l'étude réalisée.
Il n'est intéressant d'assurer la convergence que sur les grandeurs d'intérêt de l'étude.
Les grandeurs globale pouvant être observé sont en mécanique :
Le champ de déplacement de la structure
L'énergie de déformation emmagasinée dans la structure.
Les grandeurs locales pouvant être observées sont en mécanique :
Le champ des contraintes :
Le tenseur : soit 6 composante en 3D ou les contraintes principales (3 valeurs et
orientation)
La contrainte de Von Mises qui est une norme du tenseur des contraintes utilisée pour
définir la limite du domaine de déformation élastique d'un matériau homogène isotrope.
La contrainte de Tresca qui est un critère plus ancien basé sur le cisaillement maximal.
Les déformations locales (utile en plasticité) pour voir les zones plastifiées.
L'énergie de déformation élémentaire.
Pour les problèmes métier par exemple : la mécanique des sols, les matériaux composites, etc. ...
d'autres possibilités de visualisation sont proposées et elles sont nombreuses. Dans tout les cas, il faut
savoir à quoi correspond la grandeur observée.
Il est tout aussi indispensable de savoir comment elle est calculée sur l'élément, car là encore il existe
de nombreuses possibilités :
Valeur moyenne sur l'élément
Valeur aux points de Gauss (avec un mappage sur l'élément)
Valeur aux nœuds de l'élément (avec un mappage élémentaire)
Valeur moyenne aux nœuds (avec un mappage sur le domaine structurel
En pratique c'est l'analyse de ces grandeurs élémentaires qui informe le mieux sur la précision locale du
modèle numérique. En effet la méthode des éléments finis assure la continuité du champ des valeurs
nodales, mais pas la continuité des dérivées. Or les champs de déformations et celui des contraintes
sont obtenus par dérivation du champ des déplacements l'analyse des discontinuités observées sur les
frontières des éléments renseigne directement sur l'erreur de discrétisation locale.
De même un maillage utilisant des éléments à base polynomiale linéaire ou quasi-linéaire doivent
donner des niveau de contraintes (déformations) uniforme ou quasi-uniforme suivant les directions
locales de l'élément. Si ce n'est pas le cas et que l'on observe un fort gradient de contrainte, c'est que le
maillage est insuffisant dans la direction du gradient observé.
75
Processus d'analyse et modélisation
76/100
Il faut savoir qu'une erreur locale importante n'entraîne pas que les résultats sur le reste de la structure
sont faux, il peut y avoir convergence globale avec des erreurs locales importantes. (il faut estimer la
zone concernée par l'erreur locale et voir s'il est raisonnable de considérer qu'elle n'aura pas
d'influence sur les autres résultats, l'expérience vous y entrainera)
Dans tous les cas il faut comprendre l'origine de l'erreur locale, elle peut simplement être liée au
maillage, il est alors simple de la réduire si besoin. Ou bien venir d'une singularité du modèle en quel
cas un maillage grossier la fera disparaitre, et un maillage fin la rendra encore plus importante et pourra
cacher les autres résultats sur la pièce étudiée.
Un modèle élément finis classique ne peut pas donner de résultats satisfaisants au voisinage d'une
singularité. Il faut si c'est nécessaire changer le modèle pour remplacer la singularité par un modèle
régulier, il sera alors possible de calculer la grandeur avec la précision souhaitée.
Votre parcours pédagogique
Dans le cadre des projets vous aurez à utiliser un code de calcul industriel. Il faudra formaliser votre
analyse du problème, en précisant les choix explicites ou implicites de votre modèle. Puis à partir des
simulations numériques, valider la discrétisation du modèle, et analyser les résultats de l'étude.
Le rapport de projet ou la note de calcul devra faire la synthèse de vos calculs et présenter vos
conclusions. Sur le site un document vous propose quelques conseils utiles pour la rédaction d'une note
de calcul, à vous de les utiliser intelligemment (il n'est pas forcément utile de tout prendre au pied de la
lettre)
A vous de passer à la pratique sur les différents projets proposés sur le site, nous vous conseillons de
débuter par les projets d'initiation qui sont plus simple à modéliser. Les projets industriels ont deux
principaux objectifs :
L'analyse du problème conduisant à proposer des modèles simplifiés
L'analyse des résultats pour valider (ou non) ces modèles.
76
Textes des TP MEFlab
77/100
Texte des TP avec MEFlab
Avant les TP
Il est conseillé d'avoir lu le chapitre suivant de présentation des scripts MEFlab.
Pour ceux qui souhaitent travailler avec leur ordinateur personnel
Installer Octave, et télécharger le dossier MEFtave.zip pour vérifier votre installation
Une page sur le site peut vous aider pour ce travail.
TP1 : Prise en main des scripts (2h)
Objectifs
L'objectif de cette première séance de TP est la prise en main des scripts MEFtave. Celle-ci se fera sur
des problèmes de treillis.
Étapes de travail du TP1
• Utiliser les fichiers exemples treillis_cours.m, treillis_exo10.m, treillis_MEF6.m (dans\DATA) pour
comprendre le fonctionnement du logiciel.
• Identifier les étapes de calcul vues en TD et les différentes variables, en examinant notamment les
programmes : statiqueUR.m et barre_ke.m..
• Créer le script qui vous permettra de vérifier les résultats du TA1.
TP2 : Étude numérique des treillis (2h)
Objectifs
L'objectif de cette deuxième séance de TP est l'utilisation plus avancée de MEFtave pour les problèmes
de treillis.
Fin du TP1
Dans un premier temps vous pouvez terminer le travail débuté lors du premier TP. Pour cela, il est
demandé de simuler avec MEFtave les treillis étudiés en TD et en travail d'application (TA).
Étude numérique d'un treillis
On se propose d'étudier le treillis de la figure suivante:
2m
3m
yo
S1 = 49cm 2
S1 = 49cm2
1.5 m
S 2 = 25cm 2
F=950KN
xo
L'objectif de l'étude est de vérifier le dimensionnement de la structure. Les barres doivent rester dans le
domaine élastique sans flamber.
Les barres sont de section circulaire pleine en acier E = 210GPa
•
•
•
•
ρ = 7800 Kg / m3 Re = 350MPa
Déterminer les efforts dans les barres, la déformée statique et calculer les réactions.
Vérifier l'équilibre global de la structure, et l'équilibre du nœud chargé.
Programmer le test de plastification de la structure.
Programmer le test de flambement des barres.
77
Textes des TP MEFlab
•
78/100
Programmer le calcul de la force limite avec affichage de l'information sur la plastification ou le
flambement des barres.
EI
r4
La charge critique d'Euler est définie par Fc = π 2 2 avec pour une section circulaire I = π
ℓc
4
TP3 : Étude numérique des portiques 2D (2h)
Objectifs
L'objectif de cette troisième séance de TP est l'utilisation de MEFtave pour les poutres et portiques.
Étude des poutres
• Retrouver tous les résultats du TA2, vous analyserez l'influence du paramètre α
• Retrouver les résultats du TA3, et généralisez à un maillage à n éléments finis.
78
Textes des TP MEFlab
79/100
TP4 : Illustration des méthodes numériques avec MEFlab (1h)
Objectifs
Ce TP "NUM Q4" vous propose d'aller un peu plus loin dans l'analyse des résultats que vous avez
obtenus à la fin de l'exercice 2 proposé dans le chapitre méthodes numériques.
Pour Préparer du TP4
Étudier les deux exercices de cours du chapitre Méthodes numériques concernant:
• L'élément "T3" pour les problèmes d'élasticité plane.
• L'élément "Q4" en contrainte plane.
Vous pouvez utiliser les corrigés sur le site
Étudier les scripts "T3_ep" et "Q4_ep"
Pour vous aider vous trouverez sur le site des présentations PPT qui vous permettront de comprendre
les scripts en les reliant aux notions présentées en cours. Ces présentation sont associées aux deux
exercices de cours que vous venez d'étudier.
Travail à réaliser
Le script qui permet de réaliser un maillage automatique en éléments rectangulaires de type Q4
de la structure ci-dessous est téléchargeable sur le site.
F=200Kg
Poutre en acier
yo
L=3m
section
rectangulaire
h=20cm
e=1cm
xo
Les paramètres du script sont
nex : nombre d'éléments sur la longueur
ney : nombre d'élément sur la hauteur
Le script effectue alors le calcul en élasticité plane de cette poutre console et compare la solution
obtenue à celle donnée par le modèle monodimensionnel poutre
1- Analyser ce script pour comprendre les résultats qui sont affichés
2- Réaliser une étude de convergence, poussez l'étude jusqu'à un maillage de (100 par 10)
3- Qu'en pensez-vous :
Pourquoi les deux modèles donnent des résultats identiques ?
Comment expliquez-vous les résultats sur les contraintes au voisinage de l'encastrement ?
4- Traitez le cas de la même poutre mais de longueur 30cm, qu'en pensez-vous ?
TP5 : Illustration des méthodes numériques avec MEFlab
Compter 3 heures pour effectuer ce travail.
Structure à étudier
M f = 4 103 Nm
Poutre en acier
yo
section
rectangulaire
L=3m
xo
79
h=20cm
e=1cm
Textes des TP MEFlab
80/100
1er modèle
Le moment de flexion est modélisé par deux forces ponctuelles appliquées à l'extrémité droite de la
poutre
• Modifier le script fourni avec le "TP-NUMQ4"
• Effectuez une étude de convergence en fonction du maillage
• Présenter une synthèse de vos résultats en analysant l'erreur commise.
Second modèle
Le moment de flexion est modélisé par des charges nodales aux nœuds de la section droite de la poutre
• Modifier / compléter votre script
• Effectuez une étude de convergence en fonction du maillage
• Présenter une synthèse de vos résultats en analysant l'erreur commise et comparer au 1er
modèle
Troisième modèle (s'il vous reste du temps)
Le moment de flexion est modélisé par des pressions linéiques uniformes sur chaque élément de la
section droite.
• Modifier / compléter votre script
• Effectuez une étude de convergence en fonction du maillage
• Présenter une synthèse de vos résultats en analysant l'erreur commise et comparer aux deux
premiers modèles
Travail à rendre : par binôme ou personnel (environ 4 pages)
Prise en compte du chargement dans vos Scripts
Synthèse et analyse des résultats obtenus
À envoyer par mail dans un fichier PDF à votre nom.
80
Présentation de MEFlab
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Présentation de MEFlab / MEFtave
C'est un ensemble de scripts1 MATLAB / OCTAVE permettant d’illustrer les différents chapitres du cours
éléments finis, cet ensemble est ouvert et évolutif.
Vous pouvez l’utiliser tel quel comme un applicatif du cours et ne traiter que les exemples proposés
dans les différents chapitres, il est alors inutile de lire ce document.
Vous pouvez, à partir de l’étude des scripts proposés, développer vos propres scripts pour d’autres
problèmes, que ceux abordés dans le cadre de ce cours.
Ce document présente :
Analyse des scripts éléments finis
Description des scripts de données
Le script d'initialisation MEFlab /MEFtave
L'intérêt de ce script est de permettre une utilisation rapide et directe de tous les autres scripts. Sous
MATLAB comme sous OCTAVE il permet de définir les chemins d’accès aux différents répertoires ce qui
est indispensable pour pouvoir utiliser les scripts éléments finis que nous proposons. Sous OCTAVE il y a
en plus le choix du kit graphique "qt", "fltk" ou "gnuplot", par défaut le Kit "qt" est sélectionné. Le script
MEFtave supprime aussi l'affichage de tous les "warnings"
L’organisation des répertoires est la suivante :
[Data]
Scripts MEFlab des exercices proposés sur le site
[Dessin]
Fonctions d'affichage graphique
[Elements]
Fonctions élémentaires (matrices Ke Me Fe)
[Generaux]
Scripts éléments finis de résolution du problème.
[Sol_analytique]
Solutions analytiques connues (comparaison)
[Work]
Scripts Matlab indépendants des routines MEFlab
Le script d'initialisation n'est exécuté qu'en début de session de travail, vous pouvez ensuite lancer
n'importe quel script situé dans un des répertoires [Data] ou [Work]
L’organigramme général des scripts MEFlab est le suivant :
MEFLab
Script de données
Fonctions Mise en données
Résolution
Post-traitement
Calcul au niveau élémentaire
Scripts éléments finis
Assemblage et CL
Résolution
Analyse des scripts éléments finis
Les scripts éléments finis sont placés dans les répertoires [Generaux] et [Elements]
Ces scripts illustrent le cours EF, analyser ces scripts sans avoir étudié le cours est illusoire. Ne pas
analyser la structure de ces programmes vous fera inévitablement passer à coté de certaines
compétences.
1
Fichier M-file « nom.m », contenant une séquence d’instructions MATLAB / OCTAVE qui sera exécutée en tapant « nom »
dans la fenêtre de commande.
81
Présentation de MEFlab
82/100
Les variables globales :
Les variables globales sont communes à tous les scripts éléments finis. Ces variables globales sont
définies par un « pré-processeur ». C’est le premier rôle du script de mise en données du problème
(l’analyse de la mise en données est proposée dans le paragraphe suivant).
global nddln nnod nddlt nelt nnode ndim ncld
global Coord Connec Typel Nprop Prop Ncl Vcl F
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
nddln
nnod
nddlt
nelt
nnode
ndim
ncld
:
:
:
:
:
:
:
nb de ddl2 par noeud
nb de noeuds
nb de ddl total (= ndln*nnod)
nb d'éléments
nb de noeuds par élément
dimension du problème (1D,2D ou 3D)
nb de conditions en déplacement imposé (Dirichlet)
Coord(nnod,ndim) :
Connec(nelt,nnode):
Typel(nelt)
:
Nprop(nelt)
:
Prop(nprop,ncar) :
Ncl(nddlt)
:
Vcl(nddlt)
:
F(nddlt)
:
Tableau des coordonnées des noeuds
Tableau de connectivités des éléments
Type des éléments (barre, poutre, …)
N° de la caractéristique de chaque élément
Tableau des caractéristiques mécaniques (…)
vaut 1 si le champ est imposé (O sinon)
valeurs des déplacements imposés
vecteur des charges nodales données
Le type « Typel » caractérise le type d'élément utilisé pour résoudre le problème physique EF-treillis,
EF-portique, EF-élasticité plane, EF-thermique, etc.
Le tableau des propriétés « Prop » dépendra bien entendu du type des éléments utilisés, et de la nature
du problème traité statique, dynamique linéaire non linéaire, etc.
Le vecteur « Vcl » indique si sur le ddl concerné il y a une condition de Dirichlet (champ imposé). Le
vecteur « Vcl » représente les valeurs du champ imposé (par défaut il est initialisé à zéro). Et le vecteur
« F » donne les valeurs des flux imposés (conditions de Neumann).
Les calculs :
L’objectif des 3 scripts « statiqueU, statiqueUR, statique » est la résolution d'un problème linéaire
statique ou stationnaire. Ils peuvent être utilisés pour le calcul statique des structures treillis ou
portiques telles que celles que vous avez eu l’occasion de traiter à la main en TD et en TA. Mais aussi
pour les problèmes d'élasticité plane ou les problèmes stationnaires de la physique.
StatiqueU
StatiqueUR
Statique
: ne donne en sortie que les valeurs nodales du champ.
: même script complété par le calcul des réactions (flux inconnus).
: équivalent au précédent avec un autre algorithme de résolution3.
Le script «vibrations » donne les fréquences et modes de vibration d'une structure modélisée en
éléments finis.
Comprendre le fonctionnement de ces scripts vous permettra par la suite de développer vos propres
scripts adaptés au type de problème que vous aurez à traiter.
2
3
ddl : « degrés de liberté » ce sont les variables nodales du modèle éléments finis
Utilise l'algorithme de la méthode du terme unité sur la diagonale proposé par Dhatt & Touzot.
82
Présentation de MEFlab
83/100
Analysons le script « StatiqueUR »
L’assemblage des matrices élémentaires
Boucle caractéristique de la méthode des éléments finis:
for iel=1:nelt
%boucle sur les éléments
[Ke,Fe] = feval(Typel(iel,:),iel); %calcul des matrices élémentaires
loce=[];
for i=1:nnode
%localisation des ddl de l'élément
loce=[loce,(Connec(iel,i)-1)*nddln+[1:nddln]];
end
K(loce,loce)=K(loce,loce) + Ke;
%assemblage
Fg(loce)=Fg(loce) + Fe;
end
Analyse:
L’assemblage des matrices élémentaires nécessite de localiser la position des ddl de l’élément dans le
vecteur global. La boucle interne consiste à placer dans le vecteur «loce» la position des ddl de chaque
nœud de l’élément.
Exemple
Soit l’élément 7-9 d’un treillis 2D
Les variables élémentaires (ddl) sont :
u7
v7
u9
v9
Qui occupent respectivement les positions [13 14 17 18] = loce
Les instructions MATLAB permettent de manipuler globalement les matrices, ce
qui rend très simple la création du vecteur «loce».
Exercice :
Ces lignes de programmation conviennent pour des éléments de même type
nnode = Cte
Proposez une simple modification de la boucle qui permette de créer le vecteur «loce» pour des
éléments ayant un nombre de nœuds différents.
Indication : «nnode» sera le nombre maxi de nœuds des éléments utilisés. 4
L’assemblage consiste ensuite à placer matrice et vecteur élémentaires dans la matrice globale, en
manipulant globalement les matrices merci Matlab.
Matrice et vecteur élémentaires
Le script Matlab effectuant le calcul porte le nom Typel(iel) , tous ces scripts sont regroupés dans le
répertoire [Elements]
Exemple «barre_ke»
Calcul de la matrice raideur élémentaire et du vecteur force généralisé d’une charge répartie
pour un élément barre.
Les variables globales utilisées par ce script sont : la table de coordonnées des nœuds (Coord), la
table de connectivité des éléments (Connec), les tables des caractéristiques mécaniques (Nprop
et Prop) donnant les valeurs de la raideur ES et les pressions linéiques fx et fy appliquées sur
l’élément, et la dimension du problème (ndim).
Regardez et analyser ce script, vous identifierez aisément les résultats de cours que nous avons
utilisés pour effectuer les calculs à la main.
4
Correction : voir un des scripts "statique" réellement proposé
83
Présentation de MEFlab
84/100
Vous pouvez modifier ce script pour faire afficher les matrices élémentaires si vous
souhaitez utiliser ce programme pour vérifier vos calculs à la main.
Les autres scripts proposés concernent:
«poutre_ke»
pour le calcul statique des portiques, EF poutre (1D, 2D et ...)
«barre_keme»
Pour les calcul dynamique des treillis et portiques
(calcul des matrices masse et raideur)
«poutre_keme»
«barre_stress»
Pour le calcul des efforts intérieurs
«poutre_stress»
(contraintes sur les éléments)
«T3_ep» «T3_stress» EF triangle à 3 noeuds pour l'élasticité plane en statique
«Q4_ep» «Q4_stress» EF quadrilatère à 4 noeuds pour l'élasticité plane en statique
«Q4_th»
EF quadrilatère à 4 noeuds de thermique stationnaire
Vous devez étudier ces scripts avant de les utiliser.
La prise en compte des conditions aux limites
F = F + Fg;
ir = 0;
for i=1:nddlt
if ( Ncl(i) == 1 )
%déplacements imposés dans F
F = F - K(:,i)*Vcl(i); ir=ir+1;
end
end
for i=nddlt:-1:1
if ( Ncl(i) == 1 )
Kr(ir,:) = K(i,:);
%pour le calcul des réactions
Kr(:,i) = []; R(ir,1) = -F(i); ir = ir-1;
K(i,:) = []; K(:,i) = [];
%suppression ligne colonne dans K
F(i)=[];
%suppression ligne dans F
end
end
On commence par sommer les charges nodales données (variable globale «F») avec le vecteur des
charges réparties sur les éléments (variable «Fg»).
L'algorithme proposé ici est basé sur une résolution par bloc du système d’équations, c'est la méthode
vue en cours et utilisée en TD.
[ K11 ] [ K12 ]   {U i }  {Fd }
= 



U
K
K
{
}
[
]
[
]

  { Fi } 
21
22
d


Le premier bloc d'équations nous donne le vecteur des déplacements nodaux inconnus:
{U i } = [ K11 ] {{Fd } − [ K12 ]{U d }}
−1
C’est le système réduit
En reportant dans le second nous obtenons le vecteur des efforts de liaison inconnus:
{Fi } =  K 22 − K 21K11−1 K12  {U d } +  K 21 K11−1  {Fd }
Dans le script nous modifions dans un premier temps le vecteur du chargement en tenant compte des
déplacements imposés. Notez que cette opération est inutile si tous les déplacements imposés sont
nuls.
Variables globales utilisées
Nddlt : nombre de degré de liberté total
Ncl
: vecteur de dimension nddlt qui vaut 1 si le ddl est imposé
Vcl
: vecteur de dimension nddlt valeurs des déplacements imposés
La boucle suivante remonte le système d’équations pour supprimer les lignes et les colonnes de K et les
lignes de F permettant ainsi d’obtenir le système réduit (ou premier bloc du système global). Avant
84
Présentation de MEFlab
85/100
cette opération nous stockons dans une matrice Kr les éléments de K qui seront utiles pour calculer les
réactions aux appuis (second bloc du système global).
Comme vous pouvez le voir l’intérêt de MATLAB est de pouvoir manipuler globalement les
matrices, ce qui nous donne une programmation simple et efficace.
Dans le script «vibrations» il suffit d’éliminer les lignes et colonnes de K et M.
Il existe d’autres méthodes pour prendre en compte les conditions aux limites en déplacement sans
avoir à réduire le système d’équations ce qui évite ensuite d’avoir à réintroduire les déplacements
imposés dans le vecteur solution. La plus efficace est celle du terme unité sur la diagonale voir (G. Dhatt
- G. Touzot & E Lefrancois : méthode des éléments finis. Hermes Lavoisier, 2005).
Exercice :
Étudier l'algorithme de la méthode du terme unité sur la diagonale proposé par Dhatt & Touzot,
puis programmer le script correspondant.
Correction : regardez le script statique.
La résolution Sol =K\ F
en statique
Ayant une matrice symétrique définie positive la méthode utilisée est celle de Choleski.
Attention si vous laissez des modes rigides le programme affichera un message d’erreur indiquant que
la matrice est singulière, c’est donc à vous de modifier le jeu de données pour éliminer les modes
rigides de la structure.
Pour calculer les «n» premières fréquences et modes propres de vibrations d’une structure nous avons
les commandes MATLAB suivantes :
[modes,omega] = eigs(K,M,n,'sm');
f = sqrt(diag(omega))/(2*pi);
Le script se termine en replaçant les valeurs imposées dans le vecteur U et en calculant les réactions
(flux) inconnus correspondants.
L'étude attentive de ces scripts vous permettra d'approfondir vos connaissances en EF et
de vous perfectionner dans l'utilisation de MATLAB.
Sauf à développer la bibliothèque des programmes ou éléments finis proposés vous n'aurez pas à
modifier ces scripts pour utiliser MEFlab.
Description des scripts de données
Ces scripts se déroulent en trois temps :
Définition des données du problème : caractéristiques de la structure
Calcul résolution du problème
Post-traitement calculs complémentaires & analyse des résultats (graphiques)
La mise en données se termine logiquement par une représentation graphique du maillage script
«plotstr» dans les premiers scripts on vous demande si vous souhaitez poursuivre le calcul, avant
l'appel du script de résolution du problème.
Vous pouvez supprimer ce test pour gagner du temps lorsque vous développerez vos scripts de données.
Ce sont les lignes suivantes :
disp('Les variables globales sont initialisees');
disp('Fin de lecture des donnees');
% trace du maillage pour validation des donnees
plotstr
reponse = input('Voulez-vous continuer? O/N [O]: ','s');
if isempty(reponse) | reponse =='O'
85
Présentation de MEFlab
U = zeros(nddlt,1);
R = zeros(nddlt,1);
[U(:,1),R(:,1)] = statiqueUR;
86/100
% ----- resolution du probleme
Post traitement
Le post traitement effectue une mise en forme des résultats (formats d'impression) et liste les variables
à afficher.
Vous trouverez quasiment systématiquement
Tracé de la déformée fonction «plotdef» en mécanique, représentation du champ calculé aux
nœuds pour un problème de physique «plot_therm». Éventuellement un listing des champs
nodaux (déplacements, températures etc.) et des flux inconnus (efforts nodaux, quantité de
chaleur, etc.).
En dynamique : tracé des modes de vibrations
En statique le calcul des contraintes sur les éléments est systématiquement effectué car comme
vous l'avez vu en cours l'analyse de la discontinuité sur ces résultats nous donne une information
sur la qualité de notre modèle numérique (discrétisation).
Exemple, la fonction «barre_stress» affiche l’effort normal calculé dans les éléments
barre.
Comparaison avec une solution analytique
Lorsqu'elle existe il peut être intéressant de programmer la solution analytique du problème pour la
comparer aux résultats du modèle éléments finis, lorsque nous utilisons un script pour ces
comparaisons nous l'avons mis dans le répertoire [Sol_analytique]
Il est tout aussi simple de compléter les lignes du script de données pour programmer, à partir des
résultats du modèle éléments finis, les calculs que vous souhaitez effectuer pour répondre aux objectifs
de votre étude.
Ci-dessous les lignes de post-traitement d'un script treillis
%----- format d'impression des vecteurs
form =' %8.3e
%8.3e
%8.3e '; format = [form(1:8*nddln),' \n'];
disp(' ');disp('------- déplacements nodaux sur (x,y,z) ----------');
fprintf(format,U)
plotdef(U)
%----- post-traitement
disp(' ');disp('------- Efforts aux appuis ----------');
fprintf(format,R(:,1));
[Rx,Ry,Rz] = feval('resultante',R);
%----- résultantes et réactions
disp(' ');
fprintf('La résultante des charges nodales
en (x,y,z) est : %8.3e
%8.3e
%8.3e
\n',Fx,Fy,Fz);
fprintf('La résultante des charges réparties en (x,y,z) est : %8.3e
%8.3e
%8.3e
\n',-Rx-Fx,-Ry-Fy,-Rz-Fz);
fprintf('La résultante des efforts aux appuis en (x,y,z) est : %8.3e
%8.3e
%8.3e
\n',Rx,Ry,Rz);
disp(' ');disp('------- Contraintes sur les éléments ----------');
for iel=1:nelt
%----- boucle sur les éléments
loce=[]; for i=1:nnode loce=[loce,(Connec(iel,i)-1)*nddln+[1:nddln]];end
Ue=U(loce);
feval('barre_stress',iel,Ue);
end
86
Présentation de MEFlab
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Données du problème
Cette première partie du script sert à définir les valeurs des variables globales, du modèle éléments finis.
Il vous faudra modifier ces lignes pour les adapter à la nouvelle structure que vous souhaitez étudier.
Regardons le script du treillis étudié dans le chapitre de cours.
treillis_cours.m
Coord=[ 0 , 0 ; ...
2*h , 0 ; ...
h , h ];
[nnod,ndim]=size(Coord);
nddln=2; nddlt=nddln*nnod;
Connec=[ 1 , 2 ; ...
1 , 3 ; ...
2 , 3 ];
[nelt,nnode]=size(Connec);
% définition des coordonnées des nœuds X , Y
% dimension du tableau
% Nombre de ddl par nœuds et total
% définition de la matrice de connectivité
% dimension du tableau
Typel = 'barre_ke';
% définition du type des éléments
for i=1:nelt
Typel = str2mat('barre_ke',Typel);
end
% définition des caractéristiques mécaniques
Nprop=[1;1;1];
% pour chaque élément N° de la propriété
Prop=[ 100*sqrt(2) 0 0];
% tableau des différentes valeurs de ES fx fy
CL=[ 1 , 1 , 1 ; ...
2 , 0 , 1 ];
Ncl=zeros(1,nddlt);
Vcl=zeros(1,nddlt);
%Vcl(2)=1;
% définition des CL en déplacement
% N° du nœud, type sur u et v (1 ddl imposé ,
0 ddl libre)
% Valeurs des déplacements imposés
% à utiliser pour imposer une valeur non nulle
for i=1:size(CL,1)
% Variables globales associées
for j=1:nddln
if CL(i,1+j)==1 Ncl(1,(CL(i,1)-1)*nddln+j)=1; end
end
end
% définition des charges nodales
Charg=[ 3 40. 0 ];
% N° du noeud , Fx , Fy
F=zeros(nddlt,1);
% vecteur sollicitation
for iclf=1:size(Charg,1)
noeud=Charg(iclf,1);
for i=1:nddln
F((noeud-1)*nddln+i)=F((noeud-1)*nddln+i) + Charg(iclf,i+1);
end
end
Il est simple de modifier cette partie du script pour créer un nouveau jeu de données.
On peut programmer tous les calculs si on souhaite paramétrer la discrétisation de la structure pour
mener une étude de convergence, c'est ce qui est fait dans d'autres scripts de données.
Un regard sur ces scripts vous permettra de voir différentes options pour gagner ensuite
du temps lors de la réalisation de vos propres scripts.
Bilan
Si vous avez lu en détail cette présentation et traité les différents exercices proposés vous avez compris
le fonctionnement de l’application MEFlab, et le principe d’utilisation des différents scripts proposés.
A vous de jouer.
Si vous effectuez des développements sous MEFlab n'hésitez pas à m'en faire part pour les mettre en
ligne et les partager.
87
Présentation de MEFlab
88/100
88
TP Abaqus
89/100
Premiers calculs avec ABAQUS
Objectif :
prise en main du logiciel sur un cas simple
Analyse des résultats avec évolution du maillage et du modèle
Prise en main du logiciel
Problème : statique linéaire en contrainte plane
Géométrie de la plaque.
épaisseur de la plaque est de 5 mm,
pression de résultante 600 N sur 1cm2.
30
p
e=5
Premier modèle r = 0 sans congé, vous pourrez
ensuite faire le calcul avec un congé.
100
r
20
yo
300
xo
Démarche : Vous devez passer successivement dans les modules (à partir de la liste déroulante):
Part
Property
Assembly
Step
Interaction
Load
Mesh
Job
définition et création des géométries
Propriétés des matériaux
Création d’un ensemble de part
Type de calcul et sorties souhaitées
liaisons (contacts) entre les parts
Conditions aux limites du modèle
Réalisation du maillage
Paramètres et lancement du calcul
PART
pour créer la géométrie 2D (ouverture de la fenêtre et des outils de dessin)
Utiliser la barre d’outils pour
Dessiner la géométrie (ne pas oublier les éléments utiles pour les CL)
Donner les dimensions
La validation se fait dans le menu du bas
PROPERTY
Création du matériau et de ses propriétés, entrez les caractéristiques d’un acier
Définissez une section solide homogène en acier d’épaisseur 5mm
Associez la section à votre géométrie (domaine)
ASSEMBLY
Création d’instance (assemblage des entités précédentes)
STEP
Vous allez effectuer un calcul statique (pour l’instant on ne précise pas de grandeurs à conserver)
INTERACTION : pour ce modèle il n’y en a pas
LOAD
89
TP Abaqus
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Pour définir les chargements,
ici une pression de 6MPa appliqué sur la surface définie par un segment de 2cm
il faut que le segment ai été défini dans PART
Pour définir vos conditions aux limites en déplacement
Rotule en A et appui simple en B
MESH
Vous devez préalablement sélectionner Part pour mailler votre géométrie (message d’erreur)
Pour définir la taille moyenne des éléments (vous pouvez utiliser 5mm pour un premier calcul)
Pour définir le type d’élément (utilisez une interpolation de degré 1 et l’intégration réduite)
Pour réaliser le maillage de la pièce
JOB : après avoir créé votre Job, il faut le lancer, vous pouvez le monitorer, puis voir les résultats à partir
de cette fenêtre :
Résultats
C’est maintenant que commence votre travail
90
TP Abaqus
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Analyse des résultats
Avant toute analyse :
Il faut savoir ce que vous voulez observez (quelle grandeur ? Comment est-elle calculée ?)
Et comprendre comment est construite l’image que vous observez
Dans Abaqus les possibilités de visualisation sont extrêmement nombreuses, vous apprendrez à les
utiliser au fur et à mesure et cela en fonction des problèmes que vous aurez à traiter.
Pour débuter :
Dans le menu : Result / Field output vous permettra de sélectionner le champ à visualiser
Regardez les déplacements, les contraintes, les réactions, les déformations
Testez différents type de visualisation
Outils utiles
Permet de définir les options de tracé (Nombre d’intervalle et type de contour)
Permet de choisir l’information à visualiser (valeur moyenne ou par élément)
Permet de lister les valeurs avec l’option probe values
En jouant sur les options et ces outils essayez de comprendre ce que vous observez
Outils pratiques
Viewport : Vous pouvez modifier, entre autre, la taille des caractères avec "annotation option".
Tool : Vous pouvez créer un chemin (path par exemple une suite de noeuds) puis visualiser une
grandeur le long de ce chemin (c'est bien pratique).
Premières analyses ( Début du TP : Étude de cas)
Que pensez-vous des résultats
En déplacement ?
Quelle est votre analyse globale ?
Pouvez-vous donner les valeurs maximales de u ? de v ?
(Relevez les valeurs)
En contrainte ?
Quelle est votre analyse globale ? (Von Mises ? Tenseur ?)
(Relevez les valeurs)
Quelle est la précision sur la contrainte de Von Mises ?
En conclusion la précision sur la contrainte maximale peut-elle être jugée suffisante pour ce modèle?
TP : Étude de cas
L'objectif de ce TP est de comparer les résultats obtenus pour différentes modélisations d'un même
problème.
On se propose de réaliser un modèle 2D en élasticité plane de la pièce sans modéliser le congé.
Les grandeurs d'intérêt.
Le comportement général de la pièce
Le déplacement maximal en x et y
La contrainte de Von Mises et les contraintes principales dans la pièce.
Les facteurs d'influence à étudier sont :
La prise en compte d'un congé
La modélisation des conditions d'appui
La modélisation du chargement.
91
TP Abaqus
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Savoir analyser un problème est indispensable pour mener une étude numérique dans de bonnes
conditions, c'est la phase la plus complexe de l'étude nous y reviendrons un peu plus tard, il faut savoir
choisir le modèle, définir les objectifs de l'étude et les grandeurs d'intérêt, être capable de prévoir les
facteurs qui influencerons les résultats.
Premier modèle : Nous avons utilisé un maillage grossier avec des éléments de Type Q4 & T3.
Un maillage de ce type donne de mauvais résultats.
Pouvez-vous justifier cette assertion, en regardant et analysant différents résultats ?
Étude de convergence
Modifiez le type d'intégration en utilisant 4 point de gauss. (Dans Mesh modifier le type d'élément)
Cela modifie t'il les résultats ?
(Expliquer pourquoi)
Que pensez-vous de la convergence: Globale ? Locale ?
Améliorer ce maillage et étudiez la convergence des résultats.
Dans un premier temps en affinant le maillage de degré 1.
Dans un second temps en utilisant des éléments à base quadratique (degré 2).
Pour étudier cette convergence vous pouvez utiliser les grandeurs d'intérêt.
Pour analyser les résultats chercher les bonnes options de visualisation.
Le fait d'améliorer les résultats numériques du modèle 2D, pose de nouveaux problèmes numériques.
Identifier ces problèmes.
Pouvez-vous donner la valeur de la contrainte maximale dans la pièce ? (avec quelle précision)
Pouvez-vous déterminer la valeur des contraintes au voisinage des appuis ? (à justifier)
Comment peut-on améliorer ce modèle?
Modèle avec congé
La contrainte maximale est située dans l'angle, pour pouvoir la calculer nous devons modéliser un
congé.
Prise en compte d'un congé de 1mm dans l'angle
Revenir dans le module PART, dans l'arbre allez à part puis Features et enfin éditer votre sketch,
Utilisez l'outil Fillet pour créer le congé, donnez lui sa dimension.
Validez le sketch et remailler la structure avant de relancer le calcul.
Que pensez-vous des résultats ?
Affinez votre maillage pouvez-vous conclure sur la convergence du modèle ?
Donnez les valeurs maximales (déplacements et contraintes) avec leur précision
Modifiez le rayon du congé pour introduire un congé numérique (congé < à 1mm)
Donnez les valeurs maximales avec leur précision
Qu'en pensez-vous?
Quel rayon de congé proposez-vous pour un acier de limite élastique Re = 250 MPa
Validez numériquement votre choix de congé.
Faut-il s'y intéresser aux contraintes au voisinage des conditions aux limites ?
Travail à rendre
Une note de calcul synthétisant les principaux résultats et les éléments d'analyse que vous avez
effectuée.
Synthèse
Le prochain cours "Processus de modélisation" s'appuiera sur une synthèse des résultats de ce TP.
92
TP Abaqus
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Pour aller un peu plus loin
Influence des conditions aux limites
Vérifier que l'on peut introduire le chargement par une force ponctuelle équivalente.
Qu'elle est l'influence du frottement au niveau des appuis sur les résultats ?
Proposer des modèles permettant d'évaluer cette influence.
Prise en compte de la plasticité du matériau
Pour un congé numérique, et un chargement de 800N une zone plastique existe localement dans le
congé, l’objectif de l’étude est de simuler le comportement élasto-plastique de la pièce et de
déterminer les contraintes et déformations résiduelles après décharge.
Vous utiliserez un acier dont la loi de comportement est définie par la courbe contrainte – déformation
plastique suivante :
σ
MPa
207
210
230
250
270
εp
0
0,001028
0,001763
0,002718
0,003925
300
250
200
150
Série1
100
50
0
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
Modifiez en conséquence le jeu de données
Création des propriétés plastiques (courbe d’écrouissage isotrope)
Création du « Step » de décharge
Analyser les étapes du calcul (processus itératif associé aux non linéarités)
Analyser les résultats.
Refaire le calcul avec une loi de comportement élasto-plastique parfaite (pas d'écrouissage) et un rayon
de congé nul, que pensez-vous de ces résultats ?
93
TP Abaqus
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94
Projets
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Support d'étagère
L’objectif de ce projet est de modéliser des supports d’étagère tels que ceux photographié ci-dessous.
En étudiant plus particulièrement :
La convergence numérique des modèles
Les résultats obtenus pour différentes modélisation (analyse et synthèse de ces résultats)
La validation des hypothèses de modélisation de la pièce.
Position du problème
Le cadre de notre étude est la validation de la pièce et son optimisation avant une production grande
série
La géométrie du support est donnée (mm)
2
300
φ8
(-10,48)
(-8,18)
acier
épaisseur e=2
(305,75)
(305,60)
(14,55)
(25,40) 55 70
Dimensions et positions des points en mm
Les congés sont tous de 2mm
6
(-4,2)
(0,10)
Les hypothèses de bases sont :
• Géométrie supposée connue (on utilisera la cotation de la pièce ci-dessus)
• Analyse statique linéaire (pas d’étude dynamique)
• Matériau acier (les caractéristiques sont supposées connues)
Module d’élasticité : E = 210GPa ,
Coefficient de poisson : υ = 0.3 ,
Contrainte de limite élastique σ o = 360 MPa .
• charge maximale en bout de support 20Kg (donnée fabriquant)
Déroulement du projet.
Étude des conditions aux limites
Posez les hypothèses que vous allez utiliser pour modéliser les conditions aux limites
a) au niveau du rail de fixation du support
b) au niveau de la charge par l'étagère
Vous devez faire des choix, qualifier leur pertinence (importance)
Vous devez pouvoir proposer et justifier à priori un modèle simplifié du support tel que celui
représenté par la figure ci dessous
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Projets
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P
zone A
zone B
Géométrie simplifiée
Démarche académique
Le point de départ est un modèle simplifié (celui qui vous semble le plus pertinent)
Vous effectuez vos premiers calculs en vous posant les questions suivantes :
Validité des résultats numériques
Se pose la question du choix des variables que vous allez observer
Nous utiliserons deux critères; la contrainte de Von Mises maximale
La flèche maximale
Validité des hypothèses utilisées
Ces analyses devront vous permettre de valider les résultats de vos calculs (précision
numérique)
Et de valider vos hypothèses de modélisation.
Vous devez à la fin de cette étape avoir un modèle fiable dont vous maitrisez la précision des
calculs et qui va vous permettre d'optimiser la pièce.
Indications (en vrac) Vous aurez regardé :
L'influence des conditions aux limites
La prise en compte ou non des pattes de fixation dans le rail
La prise en compte ou non des congés
L'influence de la prise en compte du chargement
Démarche industrielle
On effectue un minimum d'hypothèses simplificatrices, ce modèle proche de la réalité donne
donc des informations qui seront pertinentes si le maillage le permet. L'analyse de ces résultats
doit vous permettre de retrouver les résultats du modèle simplifié.
Inconvénients : maillage plus lourd (même pour un cas simple comme ici)
Souvent associé à une analyse moins complète du problème
(il est rare que l'Ingénieur simplifie son modèle sauf obligation)
Optimisation de la pièce (hors pattes de fixation et en respectant son design)
Choisir le modèle qui vous semble le plus pertinent, proposez une ou plusieurs modifications de
la géométrie de la pièce pour améliorer les résultats et optimiser la masse de matière nécessaire
à la fabrication.
Vérifier et validez vos idées par des simulations.
Travail à rendre
Rédiger un compte rendu de projet (environ 6 pages).
À envoyer par mail dans un dossier compressé à votre nom
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Étude locale d’une poutre soumise à un effort
d’élingage
Position du problème
La manutention des structures métalliques, représentant
plusieurs centaines de tonnes, et destinées à être
assemblées pour constituer l’«ossature» du navire est une
opération d’élingage.
Figure1 : opération d’élingage
Problématique
La réalisation des perçages dans
les poutres en T, et la pose des
tuyaux et des câbles est
beaucoup plus économique dans
les ateliers de fabrication qu’en
cale sèche. Or tout perçage situé
dans la zone hachurée définie
géométriquement par le bureau
d’étude (figure 3) ne sera finalisé
qu’après la manutention du bloc.
Les élingues, câbles métalliques reliant la structure au
portique, sont connectées à des pitons soudés sur la partie
supérieure des blocs. Pour reprendre les efforts de levage,
les panneaux constitutifs du bloc sont reliés par des tôles
appelées entretoises qui assurent la cohésion de
l’ensemble de la structure.
Figure2 : structure générale d’un bloc
Figure3 : recommandations du bureau d’étude
Données du montage au voisinage d’un piton (en mm)
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Projets
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Selon les normes de conception en construction navale, les perçages sont situés à une distance
minimale de 400mm par rapport à l’intersection des poutre T1 et T2. La force « F » appliquée par
l’élingue sur le piton est comprise entre 20 et 30 tonnes. La distance entre le centre du rayon du
perçage et l’about du piton notée « X » est un paramètre de l’étude qui sera supérieur à 25mm.
Les différents éléments sont en acier, vous utiliserez les caractéristiques suivantes :
Module d’élasticité : 206 GPa
Limite élastique : 235 MPa
Coefficient de Poisson : 0.3
Coefficient de sécurité : 1.5
Votre mission,
•
Formuler les hypothèses simplificatrices permettant de proposer un modèle local
bidimensionnel permettant d’obtenir, par un calcul éléments finis, la répartition des contraintes
au voisinage du perçage.
•
Réaliser les simulations numériques permettant de préciser et justifier vos hypothèses.
•
Votre modèle étant validé, déterminer l’ensemble des valeurs combinées X et F pour lesquels le
perçage est admissible.
•
Pour les valeurs non admissibles de X valider la solution alternative utilisant un surbau, ce qui
permet la réalisation totale du perçage avant l’élingage.
surbau
Rapport
Présenter ; le problème et vos hypothèses de modélisation pour passer à un modèle plan, les
calculs de validation que vous avez effectué pour valider vos hypothèses, les résultats de
l’analyse pour la géométrie initiale, puis ceux de la géométrie modifiée par l’ajout du surbau.
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Projets
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Étude d'un clip d'habillage
Le produit - les objectifs
Le clip est un habillage intérieur servant à cacher l’ancienne
feuillure en bois lors de la mise en place d’une menuiserie de
rénovation en aluminium de type prêt-à -poser. La figure cicontre représente une menuiserie type, et les deux clips
nécessaires à la pose.
L'objectif de l'étude est de proposer des solutions permettant de
diminuer de façon significative l’effort nécessaire à la pose du clip
d'habillage pour faciliter sa mise en place dans le profil dormant
de la fenêtre.
La longueur d'un clip peut aller de 50 à 300 cm. La géométrie de la section du clip à étudier est la
suivante :
La géométrie de la section du clip est définie dans un fichier dxf5
La force P symbolise la pression à appliquer au clip pour le mettre en place, et D le débattement maximal nécessaire compte
tenu de la géométrie, des tolérances et du phénomène de laquage dans les angles.
Le clip est en aluminium 6060 T5 les caractéristiques de ce matériau sont :
E = 71000 MPa
Re = 150 MPa
ν = 0.34
Les contraintes de conception sont :
D = 0,6 mm
La forme géométrique du profil recevant le clip
Le type de fabrication du clip (extrusion à chaud
La forme extérieure du clip
épaisseur strictement supérieure à 1mm)
Travail proposé
5
•
Proposer une démarche et un modèle permettant d'avoir une bonne estimation de la force à
appliquer pour positionner le clip. Il faudra préciser et justifier vos hypothèses.
•
En déduire un modèle 2D éléments finis permettant de calculer l'état de contrainte et de
déformation maximal dans la pièce. Votre modèle devra être validé.
•
Analyse des résultats
Les fichiers dxf sont des fichier AutoCAD contenant un modèle filaire que vous pouvez récupérer sous ALGOR (Import/modèle filaire CAO).
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L'analyse des résultats obtenus, doit vous permettre dans une démarche de conception de
proposer puis de valider une géométrie facilitant d'une manière significative la mise en place du
clip. Il faut bien entendu respecter les contraintes citées précédemment.
Rapport
Présenter votre analyse du problème et les résultats obtenus pour la géométrie initiale. Puis
décrivez la démarche de conception que vous avez suivie en présentant les résultats les plus
significatifs pour terminer avec la géométrie finale et son analyse.
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