etude poutre

MEF
Méthode des Éléments Finis
Polycopié de cours ITII
filière mécanique
Responsable du cours : Hervé Oudin

Objectifs :
Aborder les notions fondamentales de la méthode des éléments finis à partir de l'étude des
structures treillis et portiques. Puis généraliser à différents problèmes de la physique pour
comprendre et savoir utiliser les modèles numériques de type éléments finis dans le cadre de
problèmes plus complexes utilisant des modèles de l'ingénieur.
Ce cours arbore la notion de modélisation indispensable pour dimensionner et valider un produit
avec un logiciel de calcul industriel.
Pré requis :
En Mathématiques : Algèbre linéaire, géométrie, intégration et équations différentielles.
En Physique : Mécanique des solides et mécanique des milieux continus. Des connaissances en
vibration des structures sont un plus.
Supports du cours :
Tous les éléments de ce polycopié peuvent être consultés sur le site
https://meefi.pedagogie.ec-nantes.fr/MEF/MEF.htm
Vous y trouverez entre autre les corrigés des exercices de cours mais aussi d'autres supports pédagogiques
qui peuvent vous servir pour compléter votre formation.
Les notions abordées :
Modèle barre application aux treillis
Modèle poutre application aux portiques
Méthodes variationnelles et méthodes numériques
Notion de modélisation application à l'utilisation d'un code éléments finis
Méthodes et outils d'analyse des résultats d'un modèle éléments finis
Déroulement : sur la base de 15 demi-journées de 4h (les TP & projet en salle informatique)
Travail en salle Travail personnel / évaluation
S 1 C-TD : Étude des barres
S 2 TD1 / C-TD : Étude des portiques TA1 : exercice à rédiger
S 3 TD2 /TD3 : Portiques TA2 : exercice à rédiger
S 4 C-TD : Méthodes d'approximation-MEF TA3 : exercice à rédiger
S 5 TD4 /TD5 : Techniques numériques
S 6 TP1 - TP2 utilisation de MEFlab : Treillis
S 7 TP3 : MEFlab : Portiques DS 2h
S 8 TP4 & TP5 MEFlab : NumQ4 CR de TP à rédiger
S 9 TP6 initiation Abaqus
S10 Cours "modélisation" / fin du TP support
S11-13 Projet Abaqus: Support d'étagère CR de projet à rédiger
S14 TA4 : analyse de l'élingage - TA5 : analyse du clip d'habillage
S15 DS ABAQUS analyse et modélisation d'une pièce -analyse des résultats
Pour les TD et TP MEFlab :
Chaque thème est abordé en TD de façon analytique pour montrer ce qu'il est possible de traiter à la main
et établir des solutions de référence. Les TP sont basés sur des exercices simples à réaliser avec MATLAB.
Ces TP sont l'occasion d'utiliser des outils numériques pour voir comment les calculs sont abordés pour des
structures plus complexes.
Les TA "Travail en Autonomie" L'objectif est pédagogique, ils vous permettent d'avoir une évaluation
pédagogique de votre travail et de résoudre vos difficultés au fur et à mesure. Ils doivent être rendus lors
de la séance suivante dans le déroulement du cours.

Le TP et le projet ABAQUS : L'objectif est de savoir analyser les résultats obtenus pour différentes
modélisations d'un même problème. Être capable d'en faire une synthèse et de la présenter dans un
rapport.
Le dernier TP consistent à préparer une analyse éléments finis en réfléchissant sur la modélisation de deux
problèmes industriels.
Évaluation :
Le DS (1h) : des questions de cours et 2 exercices : un treillis, un portique.
Document autorisé : une page RV de synthèse du cours.
Le CR de TP (3-4 pages)
Le CR de projet (10 pages)
Le DS ABAQUS qui sera réalisé par binôme
Une importance particulière est portée à la présentation des hypothèses et à la synthèse des résultats

Table des matières
MISE EN ÉQUATIONS DES BARRES........................................................................................................................................... 7
Application du PFD.........................................................................................................................................7
Application du PTV.........................................................................................................................................8
Équivalence des principes..............................................................................................................................8
Bilan & exercice..............................................................................................................................................9
MÉTHODES D'APPROXIMATION APPLIQUÉES AUX BARRES........................................................................................... 11
Méthode des résidus pondérés ...................................................................................................................11
Formulation variationnelle du problème.....................................................................................................13
Exercices.......................................................................................................................................................15
MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES TREILLIS.............................................................................................. 17
L’élément fini barre......................................................................................................................................17
Modèle éléments finis d'un treillis ..............................................................................................................20
Exercices.......................................................................................................................................................25
MISE EN ÉQUATIONS DES POUTRES EN FLEXION PLANE............................................................................................... 29
Application du PFD.......................................................................................................................................29
Application du PTV.......................................................................................................................................30
Équivalence des principes............................................................................................................................30
Bilan & exercice............................................................................................................................................31
MÉTHODES D'APPROXIMATION APPLIQUÉES AUX POUTRES........................................................................................ 35
Méthode des résidus pondérés ...................................................................................................................35
Formulation variationnelle du problème.....................................................................................................36
Exercices.......................................................................................................................................................37
MODÈLE ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ÉTUDE DES PORTIQUES 2D ................................................................................... 39
L’élément fini de flexion plane ....................................................................................................................39
Application aux portiques............................................................................................................................44
Statique des portiques plans simples ..........................................................................................................45
FORMULATION VARIATIONNELLE & ÉCRITURE MATRICIELLE .............................................................................. 49
Formulation intégrale ..................................................................................................................................49
Écriture matricielle du PTV ..........................................................................................................................51
Application aux modèles de l’ingénieur ......................................................................................................52
Exercices : Formulations Variationnelles en physique ................................................................................54
MÉTHODES NUMÉRIQUES DANS LE CADRE DE LA MEF.................................................................................................. 57
Discrétisation du milieu ...............................................................................................................................57
Approximation nodale .................................................................................................................................57
Calcul des matrices élémentaires ................................................................................................................61
Assemblage et conditions aux limites..........................................................................................................66
Exercice ........................................................................................................................................................66
UTILISATION D'UN LOGICIEL ÉLÉMENTS FINIS ................................................................................................................ 69
Création et vérification des données:..........................................................................................................69
Exécution du calcul: .....................................................................................................................................70
Exploitation des résultats: ...........................................................................................................................70