04 - algebre lineaire exercices-3

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 04 : Algèbre linéaire (Exercices). - 1 -
Algèbre linéaire.
Exercices 2018-2019
Niveau 1.
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, dimension.
1. Etudier si les ensembles proposés sont des sous-espaces vectoriels des espaces précisés.
Si oui, en donner une base et la dimension.
• 1 F = {(
z
y
x
,
,
) ∈ 
3
, 0
=
−
+
zyx }, et : 2 F = {(
z
y
x
,
,
) ∈ 
3
, 0.2
=
+
+
=
+
−
zyxzyx }, dans 
3
.
• G = {(
t
z
y
x
,
,
,
) ∈ 
4
, 0.2.3.2
=
+
+
−
=
−
−
+
tzyxtzyx }, dans 
4
.
•
H
= {
P
∈ 
2
[X], 0)2(
=
P }, dans [X].
2. Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : (
v
u
,
) ∈ E
2
, tel que : 0
≠
u .
a. Montrer que la famille (
v
u
,
) est liée si et seulement si : ∃
λ
∈ K, uv .
λ
=
.
b. A-t-on l’implication : ((
v
u
,
) est liée)  (∃
µ
∈ K,
v
u
.
µ
=
) ?
3. Déterminer dans F(,), la dimension de cos)(sin,Vect .
4. Soit E un K-espace vectoriel, et soit (
p
ee ,...,
1
) une famille libre de vecteurs de E.
Montrer que si :
a
∈ E, tel que : ),...,(
1p
eeVecta∉ , alors ( aeae
p
++ ,...,
1
) est libre.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires, sommes directes.
Dans les 3 exercices suivants, indiquer si les sous-espaces vectoriels proposés sont supplémentaires.
5. Dans 
3
,
F
= {(
z
y
x
,
,
) ∈ 
3
, 0.2
=
+
+
=
+
−
zyxzyx }, et : G = ))1,1,1(),1,1,0((
−
Vect .
6. Dans E rapporté à une base ( 321 ,, eee ), on note :
321 eeeu +−= , 321 .2.2 eeev ++= , 31 .3.4 eew += , 21 .2 eex +−= ,
puis : ),,( wvuVectF
=
, et : )(xVectG
=
.
7. Dans M
n
(K), les sous-espaces vectoriels formés des matrices symétriques et antisymétriques.
Même question avec les fonctions paires et impaires dans F(,).
8. Dans 
4
, soient :
))2,0,1,0((VectE
=
, ))0,1,2,1((
−
=
VectF ,
=
G {(
t
z
y
x
,
,
,
) ∈ 
4
, 0.2.3.2
=
+
+
−
=
−
−
+
tzyxtzyx }.
A-t-on : 
4
= GFE
⊕
⊕
?
9. Soient :
=
F
{ f ∈ C
1
(,), 0)0(')0(
=
=
ff }, et :
=
G { bxax
+
. a , ( ba, ) ∈ 
2
}.
Montrer que
F
et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C
1
(,).
Applications linéaires.
10. Soit :
u
∈ L(E), où E est un K-espace vectoriel quelconque.
a. Montrer que : ( 0
2
=u ) ⇔ ( )ker()Im( uu
⊂
).
b. Si f et
g
sont deux éléments de L(E), montrer de même que: ( 0
=
fog ) ⇔ ( )ker()Im( fg
⊂
).
11. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie
n
, et soit : f ∈ L(E), tel que : 0
3
=f .
Montrer que :
2
)(
2
n
frg ≤ .
12. Soient E un K-espace vectoriel et :
f ∈ L(E), nilpotent (c'est-à-dire tel que : ∃
n
∈ *, 0=
n
f ).
En s’inspirant de la factorisation de
n
x−1 , montrer que : fidg
E
−= , est inversible et exprimer son
inverse en fonction de f .

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13. Pour : 2
≥
n , on note :
n
i
e
π
ω
..2
= .
Pour tout polynôme
P
, on pose par ailleurs :
−
=
=1
0).()( n k
kk XPPF
ω
.
Montrer que
F
définit un automorphisme de 
n-1
[X].
14. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et soit : ( gf , ) ∈ L(E)², tel que :
)ker()ker()Im()Im( gfgfE
+
=
+
=
.
En raisonnant sur les dimensions, montrer que les sommes précédentes sont directes.
15. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit : ( gf , ) ∈ L(E)
2
, tel que : E idfogf =+
2.
Montrer que f et
g
commutent (on pourra commencer par montrer que f est bijective).
16. Soit E l’espace C
∞
(,).
On définit
ϕ
et
ψ
sur E, par : ∀ f ∈ E, ')( ff
=
ϕ
, et : gf
=
)(
ψ
, avec : ∀
x
∈ , =
x
dttfxg
0
).()( .
a. Montrer que
ϕ
et
ψ
sont des endomorphismes de E.
b. Déterminer
ψ
ϕ
o
et
ϕ
ψ
o
.
c. Déterminer image et noyau de
ϕ
et de
ψ
.
17. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et :
u
∈ L(E,F).
Montrer que pour tout sous-espace vectoriel E’ de E, on a : ))ker('dim()'dim())'(dim( uEEEu
∩
−
=
.
18. Soient E, F et G des espaces vectoriels de dimension finie.
Soient : f ∈ L(E,F), et :
g
∈ L(F,G).
Montrer que : ( gof est un isomorphisme) ⇔ ( f est injective,
g
est surjective, et : )ker()Im( gfF
⊕
=
).
19. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et : f ∈ L(E,F).
On note : =
f
A {
g
∈ L(F,E), 0
=
fogof }.
a. Montrer que
f
A est un espace vectoriel.
b. Montrer que si f est injective, alors : =
f
A {
g
∈ L(F,E), )ker()Im( gf
⊂
}.
c. Montrer que si f est surjective, alors : =
f
A {
g
∈ L(F,E), )ker()Im( fg
⊂
}.
20. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et : f ∈ L(E), tel que : )()(
2
frgfrg = .
a. Montrer que : )Im()Im(
2
ff = , et : )ker()ker(
2
ff = .
b. En déduire que : )ker()Im( ffE
⊕
=
.
c. Plus généralement, montrer que :
∀ ( gf , ) ∈ L(E)
2
, ( )()( grggofrg
=
) ⇔ ( )ker()Im( gfE
+
=
),
∀ ( gf , ) ∈ L(E)
2
, ( )()( frggofrg
=
) ⇔ (
{
}
)ker()Im(0 gf ∩= ).
21. Images et noyaux itérés.
Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie : 1
≥
n .
Pour tout entier naturel
p
, on note : )Im(
p
p
fI = , et : )ker(
p
p
fN = , où : offofof
p
...= (
p
fois).
a. Montrer que les suites ( p I ) et ( p N ) sont respectivement décroissantes et croissantes pour l’inclusion.
b. Justifier l’existence d’un entier :
r
∈ , tel que : rr II =
+1.
c. Vérifier que les deux suites ( p I ) et ( p N ) sont alors constantes à partir du rang
r
.
d. Montrer que :
ENI
rr
=⊕ .
e. Justifier que la plus petite valeur
r
vérifiant l’égalité de la question b est telle que :
n
r
≤
.
Projecteurs.

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 04 : Algèbre linéaire (Exercices). - 3 -
22. Soient E un -espace vectoriel et : f ∈ L(E), tel que : 0.2.3
2
=+−
E
idff .
a. Montrer que )ker(
E
idf − et ).2ker(
E
idf − sont supplémentaires dans E.
b. On note
p
(respectivement
q
) le projecteur de E sur )ker(
E
idf − (respectivement ).2ker(
E
idf − )
dans la direction ).2ker(
E
idf − (respectivement )ker(
E
idf − ).
Déterminer
q
p
+
et montrer que : qpf .2
+
=
.
c. Calculer n f pour tout valeur entière
n
en fonction de
p
et
q
.
d. Justifier que f est inversible et exprimer 1− f en fonction de
p
et
q
.
23. Soient :
u
∈ L(
2
,
3
), et :
v
∈ L(
3
,
2
), tels que
uov
soit un projecteur de rang 2 de 
3
.
Montrer que : )Im()Im( uuov
=
, puis que :
2
R
idvou = .
24. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et
p
un projecteur de E.
On note
φ
l’application de L(E) dans L(E) définie par : ∀ f ∈ L(E), poffopf
+
=
)(
φ
.
a. Montrer que
φ
est un endomorphisme de L(E).
b. Montrer que : ∀ f ∈ L(E), ( ff
=
)(
φ
) ⇔ ( )Im())(ker( ppf
⊂
, et : )ker())(Im( ppf
⊂
).
25. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie
n
et soit : f ∈ L(E).
Montrer que : ( f est un projecteur) ⇔ ( nidfrgfrg
E
=−+ )()( ).
On pourra faire intervenir )ker( f et )ker(
E
idf − .
Matrices.
26. On note, pour : 30
≤
≤
k ,
k
k
XP )1( += , puis : B’ = ( 3210 ,,, PPPP ).
a. Justifier que B’ est un base de 
3
[X].
b. Déterminer la matrice de passage de B, base canonique de 
3
[X], à B’ puis celle de B’ à B.
27. Soit : =11
23
A .
a. Montrer que : 0.4
2
2
=+− IAA .
b. En déduire que
A
est inversible et donner 1−
A
.
c. Montrer alors que : ∀ k ∈ , ),(
2
AIVectA
k
∈ (on distinguera suivant le signe de k ).
28. Soit :
−− −
−
=201 335
212
A .
Calculer
3
3
)( IA+ , en déduire que
A
est inversible et préciser
1 −
A
.
29. On note : =010 001
100
J .
a. Déterminer le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l’inclusion)
F
de M
3
() contenant J et
stable par multiplication.
b. Préciser la dimension et une base de
F
.

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30. On note :
=
F
{ =
abb
b
b
bba
baM
L
OOM
MOO
L
),( , ( ba, ) ∈ 
2
} ⊂ M
n
(), avec : 2
≥
n , et : =
11
11
LL
MM
MM
LL
U .
a. Montrer que
F
est un sous-espace vectoriel de M
n
(), et en préciser une base et la dimension.
b. Calculer le produit de deux éléments de
F
à l’aide de U .
c. Calculer : p baM ),( , pour tout : ( ba, ) ∈ 
2
, et :
p
∈ .
d. Trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur ( ba, ) pour que ),( baM soit inversible et
préciser alors 1 ),(
−
baM .
31. Soient : CBA ,, ∈ M
n
(K), non nulles avec : 2
≥
n , vérifiant : 0..
=
CBA .
Montrer qu'au moins deux des matrices CBA ,, ne sont pas inversibles.
32. a. Déterminer noyau et image de f dont la matrice dans la base canonique de 
3
est −− 000 110
221
.
b. Sont-ils supplémentaires ?
f est-il un projecteur ?
c. Que dire du rang de la matrice, ou du rang de f ?
Quels résultats étaient prévisibles ?
33. On note : E = M
2
(), =42
21
A , et
u
l’endomorphisme de E dans E, qui à
X
fait correspondre AX. .
Montrer que :
u
∈ L(E), trouver son image, son noyau, et sa matrice représentative dans la base
canonique de E.
34. Soit
ϕ
l’endomorphisme de 
n
[X] défini par : ∀
P
∈ 
n
[X], )1()(
+
=
XPP
ϕ
.
a. Ecrire la matrice
A
de
ϕ
dans la base canonique B de 
n
[X].
b. Montrer que
A
est inversible et calculer 1−
A
.
35. Soit E un K-espace vectoriel de dimension
n
, et soit : f ∈ L(E), tel que : )ker()Im( ffE
⊕
=
.
Montrer à l’aide par exemple d’une analyse-synthèse, qu’il existe une base B de E telle que :
mat
B
=
00
0'
)( A f , matrice par blocs avec :
'
A
∈ Gl
r
(K), où : )( frgr
=
.
36. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et :
u
∈ L(E), tel que : 0
≠
u , 0
2
= u .
a. Si
u
est solution du problème, comparer )Im( u et )ker( u , et en déduire )( urg .
b. A l’aide d’une analyse-synthèse, montrer qu’il existe une base B de E dans laquelle :
mat
B
=000 001
000
)(u .
37. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, et soit : f ∈ L(E), tel que : 0
3
= f , 0
2
≠ f .
a. Montrer qu’il existe une base B de E telle que :
mat
B
== 010 001
000
)( Af .
b. Monter que : ∀
g
∈ L(E), ( foggof
=
) ⇔ ( ),,(
2
ffidVectg
E
∈ ).

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c. Généraliser pour un espace de dimension
n
.
38. Matrice à diagonale strictement dominante.
Soit : )(
,ji
aA = ∈ M
n
(), telle que : ∀ ni
≤
≤
1 , ii
n
ij
jji
aa
,
1,
<
≠
=.
a. En utilisant :
X
∈ M
n,1
(), 0
≠
X , 0.
=
XA , et 0 i tel que : i
ni
i
xx
≤≤
=
1
max
0
, aboutir à une contradiction.
b. En déduire que la matrice
A
est inversible.
Trace.
39. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
a. Pour : ( gf , ) ∈ L(E)
2
, calculer )( goffogtr
−
.
b. En déduire que dans un espace vectoriel de dimension finie, il n’existe pas de couple ( gf , )
d’endomorphismes tel que : E idgoffog =− .
40. Soit :
A
∈ M
n
(), telle que : 0)(
≠
Atr , et soit
φ
définie sur M
n
() par :
∀
M
∈ M
n
(), AMtrMAtrM ).().()(
−
=
φ
.
a. Montrer que
φ
est un endomorphisme de M
n
().
b. Déterminer le noyau puis l’image de
φ
.
41. Soit
A
et
B
deux éléments de M
n
(K).
On considère l’équation : BAXtrX
=
+
).( , d’inconnue :
X
∈ M
n
(K).
a. Montrer qu’une solution de cette équation est nécessairement de la forme : ABX .
λ
+
=
, où :
λ
∈ K.
b. Réciproquement, montrer que :
• si : 1)(
−
≠
Atr , cette équation admet une solution unique que l’on précisera.
• si : 1)(
−
=
Atr , l’équation n’admet pas de solution ou en admet une infinité suivant la valeur de
)(Btr , et préciser alors ces solutions.
Formes linéaires, dualité, hyperplans.
42. Soient
D
une droite vectorielle et
H
un hyperplan d'un K-espace vectoriel E de dimension :
n
∈ *.
a. Montrer que si : HD
⊄
, alors
D
et
H
sont supplémentaires dans E.
b. La réciproque est-elle vraie ?
43. Soit :
n
∈ *, et soit
φ
définie par : ∀
P
∈ 
n
[X],
)(.2
2
1
2
)( XP
X
P
X
PP −
−+
= φ
.
a. Déterminer le degré de )(P
φ
en fonction de celui de
P
, pour :
P
∈ 
n
[X].
b. En déduire que
φ
permet de définir un endomorphisme de 
n
[X] (que l’on notera encore
φ
).
c. Déterminer )ker(
φ
et une base de )Im(
φ
.
d. On considère alors l’application de 
n
[X] dans  notée θ et définie par : ∀
P
∈ 
n
[X], =
1
0
).()( dttPP θ .
Montrer que θ est une forme linéaire sur 
n
[X] et que : )Im()ker(
φ
θ
=
.
44. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie
n
,
u
∈ E, et f une forme linéaire non nulle sur E.
On appelle
φ
l’endomorphisme de E défini par : ∀
x
∈ E, uxfx ).()(
=
φ
.
Montrer que : )(1)det( ufid
E
+=+ φ .
Calcul de déterminants.