cours d'Algèbre L1 UICI

COURS D’ALGEBRE EN 1ère ANNEE
SCIENCES ECONOMIQUES
KOFFI ENYONAM ABALO
Première édition : Mai 2016

ii

Contents
PREFACE vii
1 ELEMENTS DE LOGIQUE 1
1.1 REGLES ELEMENTAIRES DE LOGIQUE . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Formules de négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Deduction ou méthode directe . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Disjonction des cas ou cas par cas . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Par contrexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.5 Par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.6 Par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 ENSEMBLES........................... 10
1.5.1 Dé…nitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.3 Injection - surjection - bijection . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 RELATIONS D’EQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iii

iv CONTENTS
2 NOMBRES COMPLEXES 31
2.1 GENERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Opérations dans C.................... 31
2.1.3 Conjugué, module, argument . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 FORME TRIGONOMETRIQUE - FORME EXPONENTIELLE 33
2.2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Equations à coe¢ cients complexes . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Racine nième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . 36
2.3 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 POLYNONE - FRACTION RATIONELLE 41
3.1 POLYNÔME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Fonction associée à un polynôme . . . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 FRACTION RATIONNELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Decomposition en élément simple . . . . . . . . . . . . 47
3.3 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 GROUPE - ANNEAU - CORPS 55
4.1 GROUPE ............................. 55
4.1.1 Loi de composition interne (lci) . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Magma........................... 55
4.1.3 Groupe .......................... 58
4.1.4 sous groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.5 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.6 noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Anneaux- Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Sous Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.3 Morphisme d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.4 Corps ........................... 62
4.3 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 MATRICES 69
5.1 GENERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.2 Egalité de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

CONTENTS v
5.2 OPERATIONS SUR LES MATRICES . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 Addition des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.3 Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . 73
5.2.4 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 DETERMINANTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 CALCUL DE L’INVERSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.1 Règle de calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - AP-
PLICATION LINEAIRE 89
6.1 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Résolution du système par la méthode de pivot Gauss . 90
6.1.3 Cas des systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.4 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 ESPACE VECTORIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.2 Exemples d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.3 Sous espace vectoriel (s.e.v) . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.4 Base-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.5 Somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.6 Matrice d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . 102
6.3 APPLICATION LINEAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.2 Noyau, Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 104
6.4 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107