cours d'Algèbre L1 UICI

COURS D’ALGEBRE EN 1ère ANNEE
SCIENCES ECONOMIQUES
KOFFI ENYONAM ABALO
Première édition : Mai 2016
ii
Contents
PREFACE
vii
1 ELEMENTS DE LOGIQUE
1.1 REGLES ELEMENTAIRES DE LOGIQUE
1.1.1 Proposition . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Formules de négation . . . . . . . . . . . . .
1.4 Méthodes de démonstration . . . . . . . . .
1.4.1 Deduction ou méthode directe . . . .
1.4.2 Disjonction des cas ou cas par cas . .
1.4.3 Contraposition . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Par contrexemple . . . . . . . . . . .
1.4.5 Par l’absurde . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Par recurrence . . . . . . . . . . . . .
1.5 ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Dé…nitions élémentaires . . . . . . .
1.5.2 Opérations sur les ensembles . . . . .
1.5.3 Ensemble des parties d’un ensemble .
1.5.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . .
1.6 APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Composition des applications . . . .
1.6.3 Injection - surjection - bijection . . .
1.6.4 Application réciproque . . . . . . . .
1.7 RELATIONS D’EQUIVALENCE . . . . . .
1.7.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Relation d’équivalence . . . . . . . .
1.8 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . .
1
1
1
5
6
6
6
7
7
8
8
9
10
10
11
13
13
14
14
15
17
18
19
19
20
22
iii
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iv
CONTENTS
2 NOMBRES COMPLEXES
31
2.1 GENERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Conjugué, module, argument . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 FORME TRIGONOMETRIQUE - FORME EXPONENTIELLE 33
2.2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Equations à coe¢ cients complexes . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Racine nième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . 36
2.3 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
3.1 POLYNÔME . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Fonction associée à un polynôme . .
3.1.3 Arithmétique des polynômes . . . . .
3.2 FRACTION RATIONNELLE . . . . . . . .
3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Decomposition en élément simple . .
3.3 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . .
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41
41
41
42
43
46
46
47
53
4 GROUPE - ANNEAU - CORPS
4.1 GROUPE . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Loi de composition interne
4.1.2 Magma . . . . . . . . . . .
4.1.3 Groupe . . . . . . . . . .
4.1.4 sous groupe . . . . . . . .
4.1.5 Morphisme de groupe . . .
4.1.6 noyau, image . . . . . . .
4.2 Anneaux- Corps . . . . . . . . . .
4.2.1 dé…nition . . . . . . . . .
4.2.2 Sous Anneau . . . . . . .
4.2.3 Morphisme d’anneau . . .
4.2.4 Corps . . . . . . . . . . .
4.3 EXERCICES CORRIGES . . . .
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55
55
55
58
59
60
60
61
61
62
62
62
62
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69
69
69
70
71
5 MATRICES
5.1 GENERALITES . . . . . . . .
5.1.1 Dé…nitions . . . . . . . .
5.1.2 Egalité de deux matrices
5.1.3 Matrices particulières . .
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(lci)
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CONTENTS
5.2 OPERATIONS SUR LES MATRICES . .
5.2.1 La transposition . . . . . . . . . . .
5.2.2 Addition des matrices . . . . . . .
5.2.3 Multiplication d’une matrice par un
5.2.4 Multiplication des matrices . . . .
5.3 DETERMINANTS . . . . . . . . . . . . .
5.4 CALCUL DE L’INVERSE . . . . . . . . .
5.4.1 Règle de calcul de l’inverse . . . . .
5.5 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . .
v
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scalaire
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73
73
73
74
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79
79
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6 SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LINEAIRE
89
6.1 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Résolution du système par la méthode de pivot Gauss . 90
6.1.3 Cas des systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.4 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 ESPACE VECTORIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.2 Exemples d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.3 Sous espace vectoriel (s.e.v) . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.4 Base-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.5 Somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.6 Matrice d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . 102
6.3 APPLICATION LINEAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.2 Noyau, Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 104
6.4 EXERCICES CORRIGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
vi
CONTENTS
PREFACE
Le présent cours est destiné aux étudiants de première année de Licence
en Sciences Econonomiques et de Gestion. Il est élaboré à partir des cours
dispensés à l’UFR des Sciences Economiques et de Gestion de l’Universite
FHB de Cocody depuis quelques années. Le fait que les étudiants de cette
UFR viennent de diverses séries de baccalauréat nous a amené à rédiger un
cours résumant l’essentiel des notions d’algèbre utiles pour la suite de leur
formation. C’est un cours pratique qui évite les longues démonstrations mais
qui illustre les notions exposées par des exemples simples et signi…catifs.
Notre pratique de l’enseignement tant en cours magistral que dans les
travaux dirigés nous a montré que la principale di¢ culté des étudiants en
Sciences économiques ne réside pas dans l’assimilation des concepts et des
résultats contenus dans le cours ni de leurs applications mécaniques, mais
plutôt dans la connaissance et l’utilisation des règles élémentaires de logique.
C’est pourquoi pour cette première édition, le cours débute par un exposé
sur la logique qui di¤ère de peu du cours de logique dispensé dans les …lières
à prédominance mathématique.
Ce cours est réparti en six chapitres:
Au chapitre 1, nous présentons les règles de raisonnement logique et les
di¤érentes méthodes de démonstration, et quelques notions de la théorie des
ensembles, des applications, ainsi qu’un exposé sommaire sur les relations
d’équivalence.
Le chapitre 2 est consacré à l’étude des nombres complexes qui est essentiellement ce qui est dispensé en Terminale dans les série scienti…ques
mais qui n’est plus enseigné dans certaines séries littéraires et techniques de
l’enseignement secondaire.
Au chapitre 3, nous exposons les généralités sur les polynômes et les
fractions rationnelles. Elles débouchent sur la décomposition des fractions
rationnelles en éléments simples.
Le chapitre 4 est consacré à l’étude des structures algébriques, principalement les groupes, les anneaux et les corps.
En…n, les chapitres 5 et 6 présentent sous une forme simple et pratique,
vii
viii
PREFACE
les notions classiques de l’algèbre linéaire telles que les matrices, les systèmes
d’équations linéaires, les espaces vectoriels et les applications linéaires
A la …n de chaque chapitre, des exercices corrigés convenablement choisis
permettront à l’apprenant de mésurer sa compréhension et sa maîtrise de ce
cours.
L’auteur
Chapitre 1
ELEMENTS DE LOGIQUE
1.1
1.1.1
REGLES ELEMENTAIRES DE LOGIQUE
Proposition
Dé…nition
Une proposition ou assertion est une a¢ rmation qui est soit vraie (V ) soit
fausse (F ):
Exemple 1: Platon est vivant (F )
Dans ce cours une proposition est notée par une lettre minuscule.
Table de vérité
Soit p une proposition. p a deux possibilités de valeurs: V; F:
p
V
Le table de p est donc
F
Soient p; q deux propositions. Il y a 22 possibiltés de valeurs:
p q
V V
V F
F V
F F
Plus généralement, la table de vérité de n propositions distinctes p1 ,p2 ,...,pn
comporte 2n possibilités.
1
2
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Dans une théorie, une proposition est déterminée par sa table de vérité.
Opérations sur les propositions
Soient p; q deux propositions.
Négation
La négation de p est la proposition qui a la valeur contraire de p, notée p
ou nonp:
p p
V F
F V
Conjonction
La conjonction de p et q est la proposition notée"p et q" ou "p ^ q" qui
est vraie seulement lorsque p et q sont vraies.
p q p et q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Disjonction
La disjonction de p et q est la proposition notée "p ou q" ou "p _ q" qui
est vraie seulement si l’un au moins des deux propositions est vraie.
p q p ou q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Implication
On dit que p "implique" q si q est vraie dès que p l’est.On écrit alors "
p =) q".
La proposition p =) q est fausse seulement si p est vraie et q est fausse.
1.1. REGLES ELEMENTAIRES DE LOGIQUE
3
p q p =) q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Remarque 1
- p =) q se lit aussi " si p alors q "
- p =) q signi…e que " p est une condition su¢ sante pour q " ou que " q
est une condition nécessaire pour p ".
- Pour montrer que p =) q; on suppose que p est vraie et on montre que
q est vraie.
Equivalence
On dit que p est équivalent à q et on écrit p () q si q est vraie chaque
fois que p est vraie, et fausse chaque fois que p est fausse.
Donc p () q est la proposition qui est vraie seulement si p et q ont la
même valeur de vérité.
p q p () q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
Remarque 2
- p () q se lit aussi " p si et seulement si q "
- p () q signi…e que " p est une condition necessaire et su¢ sante pour
q " et vice versa.
- Deux propositions sont équivalentes si elles ont la même table de vérité.
Dé…nition 1: Les opérateurs "et", "ou", =) et () sont appelés les
connecteurs
Nous donnons maintenant les premières propriétés des connecteurs qui
sont des évidences et ne nécessitent aucune démonstration.
Propriétés des connecteurs
Soient p; q et r des propositions; on a:
a) (p et p) () p () (p ou p)
4
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
b) (p et q) () (q et p)
c) (p ou q) () (q ou p)
d) [(p et q) et r] () [p et (q et r)]
e) [(p ou q) ou r] () [p ou (q ou r)]
f) [(p =) q) et (q =) r)] =) (p =) r)
g) [(p () q) et (q () r)] =) (p () r)
Les propriétés b) et c) traduisent la commutativité des connecteurs "et" et
"ou"; d) et e) traduisent leur associativité. Les propriétés f) et g) traduisent
la transitivité des connecteurs "=)" et "()".
Théorème 1.1: on a:
(p =) q) () (p ou q)
Preuve: Prouvons le par une table de vérité.
p q p =) q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
p p ou q
F
V
F
F
V
V
V
V
On voit que p =) q et p ou q ont la même table de vérité, donc elles sont
équivalentes
Théorème 1.2: On a
(p () q) () [(p =) q) et (q =) p)]
Corollaire: On a
[(p =) q) et (q =) r) et (r =) p)] () [p () q () r]
Lorsqu’on utilise cette propriété pour démontrer l’équivalence d’une suite
d’assertions, on dit qu’on a fait une preuve par implications circulaires
Théorème 1.3: ( contraposition) : On a:
1.2. QUANTIFICATEURS
5
(p =) q) () (q =) p)
Preuve: Prouvons le par une table de vérité
p q p =) q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
q p q =) p
F F
V
V F
F
F V
V
V V
V
On voit que p =) q et q =) p ont la même table de vérité, alors elles
sont équivalentes.
1.2
Quanti…cateurs
Soit E un ensemble, p une proposition portant sur les éléments de E.
Si x 2 E, on écrit p(x) qui est la valeur de p pour l’élément x de E.
Exemple 2: p(n): n2 > n
p(1) est :12 > 1 (F); p(5) est : 52 > 5 (V)
Quanti…cateur universel: 8
8 se lit "pour tout" ou "quelque soit"
"8x 2 E; p(x)" signi…e que p a lieu pour tous les éléments de E.
Exemple 3: 8x 2 R, x
0 (F)
Quanti…cateur existentiel: 9
9 se lit "il existe au moins un(e) et "=" se lit "tel(s,le,les) que"
"9x 2 E = p(x)" signi…e que p a lieu pour au moins un élément x de E.
Exemple 4: 9x 2 R = x
0 (V)
Quanti…cateur d’unique existence: 9!
9! se lit "il existe un(e) unique
"9!x 2 E = p(x)" signi…e que p a lieu pour un uniqe élément x de E
Exemple 5: 9!x 2 R = x2 = 1 (F)
6
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
1.3
Formules de négation
Soient p; q des propositions; on a:
p () p
(p ou q) () p et q
(p et q) () p ou q
(p =) q) () p et q
non (8x 2 E; p(x)) () 9x 2 E = p(x)
non (9x 2 E = p(x)) () 8x 2 E; p(x)
Exemple 6:. f : I ! R; où I est un intervalle ouvert, est continue en
un point a de I si:
(p) : 8" > 0; 9 > 0 = 8x 2 I; jx aj
=) jf (x) f (a)j "
La négation de cette a¢ rmation est:
non (p) : 9" > 0 = 8 > 0; 9x 2 I = jx aj
et jf (x) f (a)j > "
1.4
1.4.1
Méthodes de démonstration
Deduction ou méthode directe
Cette méthode repose sur le résultat suivant:
Théorème 1.4: Soient p; q deux propositions telles que:
p est vraie et p =) q est vraie; alors q est vraie
Pour montrer une proposition q; on part d’une proposition vraie p0 , alors:
si p =) p0 alors p1 est vraie.
si p1 =) p2 alors p2 est vraie aussi.
On procède ainsi par le choîx judicieux de propositions pi telles que chaque
pi implique la suivante et la dernière des pi soit q:
Exemple 7: Montrons que 8x 2 R; x2 2x 1
On part de la proposition vraie p0 : 8x 2 R; (x 1)2
0 (vraie car le
carré de tout réel est positif)
8x 2 R; (x 1)2
0 =) 8x 2 R; x2 2x + 1
0 (développement de
2
(x 1) )
=) 8x 2 R; x2 2x 1
Conclusion: on a 8x 2 R; x2 2x 1
1.4. MÉTHODES DE DÉMONSTRATION
1.4.2
7
Disjonction des cas ou cas par cas
Pour montrer qu’une proposition p est vraie sur un ensemble E; on peut
morceler E en plusieurs parties et montrer que p est vraie sur chaque partie.
Exemple 8: Montrer que 8x 2 R; x2 + 2 j2x 1j
Ceci revient à étudier le signe de x2 + 2 j2x 1j : On a:
j2x 1j = 2x 1; si x 12 ; j2x 1j = 2x + 1; si x 12
1er cas: x 12
Alors x2 + 2 j2x 1j = x2 + 2 (2x 1)
= x2 2x + 3
= (x 1)2 + 2 0
Donc x2 + 2 j2x 1j
2ème cas: x 12
Alors x2 + 2 j2x 1j = x2 + 2 ( 2x + 1)
= x2 + 2x + 1
= (x + 1)2 0
Donc x2 + 2 j2x 1j
Dans tous les cas on a obtenu ce qu’on voulait. On a donc montré que
8x 2 R; x2 + 2 j2x 1j
La preuve d’une assertion par une table de vérite est une démonstration
par disjonction de cas
1.4.3
Contraposition
Pour montrer p =) q, il su¢ t ( si c’est plus facile) de
montrer que q =) p.
Exemple 9: Montrer que 8a; b 2 R; ab = 0 =) (a = 0 ou b = 0)
Il s’agit de montrer p =) q où p est" ab = 0"; q est "a = 0 ou b = 0"
On va montrer la contraposée (q =) p)en utilisant la propriété suivante:
8x 2 R; x admet un inverse
1
() x 6= 0 ( )
x
Supposons q c.à.d.a 6= 0 et b 6= 0: Alors d’après ( ) ; a admet un inverse
1
1
et b admet un inverse : On obtient:
a
b
1 1
1
1
(ab)
= a
b
=1 1=1
a b
a
b
8
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
1
1 1
=
: Comme ab admet un inverse,
ab
a b
alors d’après ( ) ; on a ab 6= 0 donc on a p
On vient de montrer que q =) p donc p =) q est vraie
Conclusion: on a 8a; b 2 R; ab = 0 =) (a = 0 ou b = 0)
Donc ab admet un inverse avec
1.4.4
Par contrexemple
On veut montrer qu’une proposition du type "8x 2 E; p(x)" est fausse.
Sachant que la négation de 8x 2 E; p(x) est "9x 2 E = p(x); il su¢ t de
trouver un élément concret x de E tel que p(x) soit fausse.
Trouver un tel élément x c’est trouver un contrexemple
Exemple 10: Montrer que la proposition 8x 2 R; x2 2 est fausse
Ici p(x) est "x2 2"
Pour x = 1; p(1) est 12 2 ce qui est faux
On a trouvé un contrexemple, en l’occurrence x = 1 2 R; pour lequel
p(x) est fausse. Donc la proposition 8x 2 R; x2 2 est fausse.
1.4.5
Par l’absurde
On veut montrer une proposition p.
On suppose que p est fausse. Si on arrive à une absurdité (c’est-à-dire
une proposition qui est fausse ou contraire aux hypothèses données) alors p
est vraie.
p
Exemple 11: Montrer que 2 est un irrationnel
p
On procède par l’absurde. Supposons que 2 soit rationnel. Alors il
existerait un couple (p; q) d’entiers positifs qu’on peut choisir premiers entre
p
p
p2
eux tels que 2 = : Il s’ensuit que 2 = 2 puis, que 2q 2 = p2 ( )
q
q
- Si p est impair, alors p2 est impair et ( ) serait une égalité entre un
nombre pair et un nombre impair, ce qui est absurde
p2
- Si p est pair alors d’une part p2 est un multiple de 4 et donc
est un
2
nombre pair et d’autre part, q est un nombre impair car par hypothèse, p
et q sont choisis premiers entre eux, d’où q 2 est impair. Maintenant ( ) =)
p2
q2 =
et cette dernière relation est une égalité entre un nombre impair et
2
un nombre pair, ce qui est absurde
p
Conclusion: Supposer
que 2 est rationnel amène dans tous les cas à une
p
absurdité, donc 2 n’est pas un rationnel
1.4. MÉTHODES DE DÉMONSTRATION
9
Remarque 3: Dans cette preuve, on a combiné un raisonnement par
l’absurde avec un raisonnement cas par cas. Il est fréquent de trouver dans
la preuve de certains théorèmes, une combinaison de plusieurs méthodes de
démonstration
Par récurrence
1.4.6
Elle repose sur le résultat suivant:
Théorème 1.5: (Axiome de Peano) Soit p une proposition portant
sur les entiers naturels (donc pour chaque n 2 N on a p(n)). On suppose
que:
- p(0) est vraie ( p est vraie au rang 0 );
-8n 2 N; p(n) =) p(n + 1);
alors p(n) est vraie 8n 2 N.
Remarque 4: Si p est dé…nie seulement à partir de n = n0 6= 0 , alors
la recurrence se fait ainsi:
On suppose que:
- p(n0 ) est vraie;
- 8n n0 , p(n) =) P (n + 1) ;
alors p(n) est vraie 8n n0
Exemple 12: Montrer que 8n 2 N ;
Soit P (n) :
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
2
Pour n = 1; on a P (1) :
1
X
k = 1;
n
X
k=
k=1
1(1+1)
2
n(n + 1)
2
=1
k=1
alors
1
X
k=
1(1+1)
2
donc P (1) est vraie
k=1
Soit n
1; supposons P (n) est vraie et véri…ons P (n + 1).
(n + 1)(n + 2)
A t-on
k=
?
2
k=1
On a
n+1
n
X
X
k = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) =
k + (n + 1)
n+1
X
k=1
k=1
10
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
or d’après l’hypothèse de récurrence, on a:
n
n+1
X
X
n(n + 1)
n(n + 1)
k=
d’où
k=
+ (n + 1)
2
2
k=1
k=1
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
n+1
X
(n + 1)(n + 2)
k=
2
k=1
donc P (n + 1) est vraie.
n
X
n(n + 1)
Conclusion: on a 8n 2 N ;
k=
2
k=1
1.5
ENSEMBLES
1.5.1
Dé…nitions élémentaires
Objet
Tout ce qui existe de manière précise, concrète ou déterminable est un
objet.
Exemple 13: un livre de maths, un entier naturel, une droite du plan,
un mouton, le Doyen de l’UFR sont des objets.
Ensemble
Un ensemble est une collection d’objets.
Soit E un ensemble. Si un objet x fait partie de la collection qui constitue
E, on dit que " x est un élément de E " ou x appartient à E" et on écrit
"x 2 E": sinon on dit que "x n’appartient pas à E" et on écrit "x 2
= E".
Ecriture d’un ensemble
Un ensemble s’écrit soit en extension c’est -à-dire par énumeration de ses
éléments, soit en compréhension c’est-à-dire par une ou plusieurs propriétés
exclusives des éléments qui le composent.
règles de l’écriture en extension
1.5. ENSEMBLES
11
- Les éléments sont écrits entre deux accolades et séparés par des virgules
ou des points -virgules
- Les éléments énumérés doivent être tous distincts;
- L’ordre de placement des éléments ne compte pas; exemple: fa; bg =
fb; ag
Exemple 14:
E = f0; 1; 2; 3g extension
E = fn 2 N; n 3g compréhension
Ensemble vide: ;
c’est l’ensemble qui ne contient aucun élément.
On le note ; ou fg.
Reférentiel:
un reférentiel d’une étude est un ensemble qui contient tous les objets
élémentaires de l’étude.
Exemple 15: Lorsqu’on étudie des nombres entiers naturels, le référentiel est N
1.5.2
Opérations sur les ensembles
Inclusion
On dit que A B si tous les éléments de A sont dans B.
A B () 8x 2 A; x 2 B
A
B se lit "A est inclus (ou contenu) dans B" ou "A est une partie
(ou un sous -ensemble ) de B:
Propriété: Pour tout ensemble A; On a: A
A
On suppose que E est un référentiel contenant A et B; alors:
A B () 8x 2 E; x 2 A =) x 2 B
Par convention: l’ensemble vide est contenu dans tous les ensembles
Dans toute la suite, E est un reférentiel et A et B des ensembles contenus
dans E:
12
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Egalité de deux ensembles
A = B () A et B ont les mêmes éléments.
On suppose que E est un référentiel contenant A et B; alors:
A = B () (8x 2 E; x 2 A () x 2 B)
Théorème 1.6: A = B () (A
B et B
A)
Intersection
- A \ B est l’ensemble des éléments communs à A et à B
A \ B = fx 2 A et x 2 Bg
- Si A \ B = ;; on dit que A et B sont disjoints
Réunion
A [ B = fx 2 A ou x 2 Bg
Propriétés de l’intersection et de la réunion
Soit E un référentiel, A; B et C des ensembles contenus dans E: On a:
A \ A = A; A [ A = A
A \ B = A , A B () A [ B = B
A
A\B
A [ B:
B
A \ B = B \ A; A [ B = B [ A (commutativité de \ et de [)
(A \ B) \ C = A \ (B \ C) ; (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (associativité
de \ et de [)
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) (distributivité de \ par rapport à [)
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) (distributivité de [ par rapport à \)
Complementaire
Soit E un référentiel. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des
éléments de E qui n’appartiennent pas à A: Il est noté CEA ou A: On a donc
A = CEA = fx 2 E; x 2
= Ag
Di¤érence
Soient A et B deux ensembles. On dé…nit:
A
B = fx 2 A et x 2
= Bg
1.5. ENSEMBLES
On a: A
1.5.3
13
B =A\B
Ensemble des parties d’un ensemble
Un ensemble dé…ni de manière précise et concrète est un objet; donc il peut
devenir un élément d’un autre ensemble
Soit A un ensemble. L’ensemble de toutes les parties de A est appelé
l’ensemble des parties de A et noté P (A)
Exemple 16: On a:
P(;) = f;g ; P(fag) = f;; fagg ; P(fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg
propriéte
On désigne par card(A) ou A# le nombre d’éléments d’un ensemble A:
Si A est …ni avec card(A) = n; alors on a:
card(P(A)) = 2n
1.5.4
Produit cartésien
couple - p-uplet
Dé…nition: Soient a et b deux objets. L’objet noté (a; b) est appelé un couple
Egalité: Soient a; b; c et d des objets. Alors :
(a; b) = (c; d) () a = c et b = d
NB: En général on a (a; b) 6= (b; a)
Plus généralement, soit p un entier 2; a1 ; a2 ; :::; ap des objets. L’objet
noté (a1 ; a2 ; :::; ap ) est appelé un p-uplet
Soient (a1 ; a2 ; :::; ap ) et (b1 ; b2 ; :::; bp ) deux p-uplets; alors
(a1 ; a2 ; :::; ap ) = (b1 ; b2 ; :::; bp ) () ai = bi ; pour i = 1; 2; :::; p
La formule ci-dessus montre que l’ordre de placement des objets compte
dans un p-uplet. C’est pourquoi on dé…nit aussi un p-uplet comme étant une
suite ordonnée de p objets.
Pour i = 1; 2; :::; p; ai est appelé la i ème composante du p-uplet (a1 ; a2 ; :::; ap )
Soient A et B deux ensembles.
14
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
A
B
B = f(a; b); a 2 A et b 2 Bg est appelé le produit cartésien de A par
Exemple A = fa; b; cg ; B = f1; 2g : Alors:
A B = f(a; 1) ; (a; 2) ; (b; 1) ; (b; 2) ; (c; 1) ; (c; 2)g
Propriétés
Soient A et B deux ensembles. On a:
A B = ; () A = ; ou B = ;
card(A B) = card(A) card(B)
Produit cartésien multiple
Soient A1 ; A2 ; :::; Ap des ensembles.
A1 A2 ::: Ap = f(a1 ; a2; :::; ap ); ai 2 Ai pour 1
1.6
1.6.1
i
pg
APPLICATION
Fonction
Dé…nitions
Fonction
soient E et F deux ensembles
- Une fonction de E vers F est un triplet f = (E; F; ) où
est une
partie de E F telle que:
8x 2 E; l’ensemble x = fy 2 F; (x; y) 2 g est vide ou réduit à un
élément.
En d’autres termes, une foncion de E vers F est une correspondance qui
à chaque élément de l’ensemble E associe un ou zéro élément de F:
- Soit f = (E; F; ) une fonction. E est appelé l’ensemble de départ, F
l’ensemble d’arrivé et le graphe.
- Soit x 2 E; si x 6= ;; alors l’unique élément y 2 F tel que (x; y) 2
est appelé l’image de x et est noté f (x). Donc:
8x 2 E; 8y 2 F; f (x) = y () (x; y) 2 :
1.6. APPLICATION
15
L’ensemble des éléments de E qui ont une image dans F est appelé
l’ensemble de dé…nition de f . et noté Df
- Soit y 2 F ; si un élément x de E est tel que f (x) = y; alors x est dit
un antécédent de y
Application
une application de E dans F est une correspondance de E versF telle
que, tout élément de E a une unique image dans F .
L’ensemble des applications de E dans F est noté A (E; F ) ou F E
Egalité de deux applications
Soient f; g : E ! F deux applications de même ensemble de départ et
de même ensemble d’arrivée. Alors:
- f = g signi…e que 8x 2 E; f (x) = g(x)
1.6.2
Composition des applications
Dé…nition
Soient E; F et G des ensembles,
f : E ! F ; g : F ! G des applications (l’ensemble de départ de g est
l’ensemble d’arrivée de F )
La composée de f par g est l’application
E !G
g f:
x 7 ! g f (x) = g [f (x)]
Exemple 17:
R ! R+
R+ ! R
f:
; g:
x 7 ! x2 + 1
x7 !x 1
g f =?
g f :R!R
8x 2 R; (g f ) (x) = g [f (x)] = g [x2 + 1]
= (x2 + 1)
Donc
R !R
g f:
x 7 ! x2
1 = x2:
f g =?
g : R+ ! R
f : R ! R+ donc f og : R+ ! R+
8x 2 R+ ; f g(x) = f [g(x)] = f [(x 1)]
16
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
= (x 1)2 + 1
= x2 2x + 2
f
g:
R+ ! R+
x 7 ! x2 2x + 2
On constate que f
g 6= g f
Associativité de la composée
Théorème 1.7: soient f : E
applications alors on a
! F;g : F
! G; h : G
! H trois
(h g) f = h (g f )
Preuve: (h g) f : E ! H; h (g f ) : E ! H donc les deux
applications ont le même ensemble de départ et le même ensemble d’arrivée.
Maintenant, soit x 2 E, posons y = f (x); z = g(y) et t = h(z): On a:
[(h g) f ] (x) = (h g) [f (x)] = (h g) (y) = h [g(y)] = h(z) = t
[h (g f )] (x) = h [(g f )(x)] = h [g [f (x)]] = h [g(y)] = h(z) = t
Donc on a [(h g) f ] (x) = [h (g f )] (x); 8x 2 E
conclusion: On a: (h g) f = h (g f )
Application identique ou identité de E: IdE
IdE :
E !E
x7 !x
On a 8x 2 E; IdE (x) = x
Propriétés
Pour toute application f : E ! F; on a:
f
IdE = f ; IdF
f =f
donc pour toute application f : E ! E; on a:
IdE
f =f =f
IdE
1.6. APPLICATION
1.6.3
17
Injection - surjection - bijection
Soit f : E ! F une application.
- f est dite injective si:
8x; y 2 E; f (x) = f (y) =) x = y
- f est dite surjective si tout élément de F a au moins un antécédant.
Donc
f : E ! F surjectif () 8y 2 F; 9x 2 E = f (x) = y:
- f est dite bijective si f est injective et surjective.
Une application injective (resp surjective; resp bijective) est dite une injection (resp une surjection; resp une bijection)
Théorème 1.8: Soit f : E ! F une application.
8y 2 F; on considère l’équation:
(Ey ) : x 2 E; f (x) = y
(Les solutions de (Ey ) sont les antécédents de y)
– si 8y 2 F; (Ey ) admet au plus une solution alors f est injective.
–si 8y 2 F; (Ey ) admet au moins une solution alors f est surjective.
–si 8y 2 F; (Ey ) admet une unique solution alors f est bijective
( donc f est bijective si et seulement si chaque élément de l’ensemble
d’arrivé de f admet un unique antécédent).
Théorème 1.9: Soient f : E ! F ; g : F ! G deux pplications.
a) si f et g sont injectives, alors g f est injective
b) si f et g sont surjectives, alors g f est surjective
c) si f et g sont bijectives, alors g f est bijective
En d’autres termes, la composée de deux injections est une injection, la
composée de deux surjections est une surjection, la composée de deux bijections est une bijection.
Preuve:
a) Supposons f et g injectives et montrons que g f est injective.
8x; y 2 E; (g f ) (x) = (g f ) (y) =) g [f (x)] = g [f (y)] (par dé…nition
de g f )
=) f (x) = f (y) (car g est
injective)
18
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
=) x = y (car f est injective)
Alors g f est injective
b) Supposons f et g surjectives et montrons que g f est surjective.
Soit z 2 G: g étant surjective, il existe un élément y de F tel que g(y) = z;
comme f est surjective, alors il existe un élément x de E tel que f (x) = y:
Par suite on a: z = g [f (x)] = (g f ) (x) :
On vient de montrer que 8z 2 G; 9x 2 E tel que (g f ) (x) = z; alors
(g f ) est surjective
c) Supposons f et g bijectives et montrons que g f est bijective. (
f et g bijectives) =) (f et g injectives et surjectives) ; comme f et g sont
injectives, alors d’après a) g f est injective. Comme f et g sont surjectives,
alors d’après b) g f est surjective. Etant injective et surjective, alors g f
est bijective.
1.6.4
Application réciproque
Dé…nition
Soit f : E ! F une application.
Une application g : F ! E est dite reciproque de f si on a:
g f = IdE et f g = IdF
On écrit alors: g = f 1 ; appelé l’application réciproque de f:
Théorème 1.10: Une application f admet une application réciproque
f si et seulement si elle est bijective.
1
Propriétés
Soit f : E ! F une bijection et soit . f 1 : F ! E sa réciproque. Alors:
- f 1 aussi est bijective;
- 8y 2 F; f 1 (y) = x () f (x) = y;
- f 1 f = IdE ; f f 1 = IdF
En particulier si E = F; on a: f 1 f = f f 1 = IdE
1
- (f 1 ) = f
- Si g : F ! G est une autre bijection, alors on a: (g f ) 1 = f 1 g 1
Remarque 5: La relation f 1 (y) = x () f (x) = y permet souvent de
trouver l’expression analytique de f 1 connaissant celle de f :
En e¤et dans l’expression y = f (x); il su¢ t d’exprimer x en fonction de
y:
1.7. RELATIONS D’EQUIVALENCE
19
Z ! 2Z
n 7 ! 2n
Montrer que f est bijective et déterminer f 1 :
f injective ?
8n; m 2 Z; f (n) = f (m) =) 2n = 2m =) n = m
donc f est injective
f surjective?
Soit y 2 2Z; alors il existe k 2 Z tel que y = 2k; il s’ensuit que f (k) = y
On a montré que 8y 2 2Z; 9k 2 Z tel que f (k) = y; donc f est surjective.
f bijective?
Etant injective et surjective, alors f est bijective
Déterminons f 1
8x 2 Z; 8y 2 2Z; f (x) = y () 2x = y () x = 21 y
2Z ! Z
Donc f 1 :
n 7 ! 12 n
Exemple 18: Soit f :
1.7
RELATIONS D’EQUIVALENCE
1.7.1
Relation binaire
Dé…nitions
Soit ; 6= E un ensemble. On appelle relation binaire sur E toute partie <
de E E:
Si (x; y) 2 <; on dit que "x est en relation avec y" et on écrit x<y:
Soit ; =
6 E un ensemble et < une relation binaire sur E:
Ré‡exivité
On dit que < est ré‡exive si 8x 2 E; x<x
Symétrie
On dit que < est symétrique si 8x; y 2 E; x<y =) y<x
Antisymétrie
20
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
On dit que < est antisymétrique si 8x; y 2 E; (x<y et y<x) =) x = y
En d’autres termes < est antisymétrique si 8x; y 2 E; (x 6= y et x<y) =)
non (y<x)
Transitivité
On dit que < est transitive si 8x; y; z 2 E; (x<y et y<z) =) x<z
Exemple 19 : Etudier la relation < dé…nie sur R; par:
8x; y 2 R; x<y () x = y
Ré‡exivité
< n’est pas ré‡exive: en e¤et 1 n’est pas en relation avec 1 car 1 6= 1
Symétrie
< est symétrique car 8x; y 2 R; x<y =) x = y =) y = x =) y<x
Antisymétrie
< n’est pas antisymétrique car on a (1< ( 1) et ( 1) <1) et pourtant
1 6= ( 1) :
Transitivité
< n est pas transitive car (1< ( 1) et ( 1) <1) et pourtant 1 n’est pas
en relation avec 1
1.7.2
Relation d’équivalence
Dé…nition
Soit ; 6= E un ensemble et < une relation binaire sur E: On dit que < est
une relation d’équivalence si elle est ré‡exive, symétrique et transitive.
Exemple 20: Soit n un entier non nul et soit la relation < dé…nie sur Z
par:
8x; y 2 Z; x<y () x y 2 nZ (où nZ = fnk; k 2 Zg est l’ensemble des
multiples de n)
Montrer que < est une relation d’équivalence
Ré‡exivité
< est ré‡exive car 8x 2 Z; x x = 0 = n 0 2 nZ; d’où x<x
Symétrie
< est symétrique car 8x; y 2 Z; x<y =) x y 2 nZ =) 9k 2 Z tel que
x y = nk =) y x = nk = n( k) 2 nZ =) y<x:
Transitivité
1.7. RELATIONS D’EQUIVALENCE
21
< est transitive: en e¤et soient x; y; z 2 Z tels que x<y et y<z: Alors on
a x y 2 nZ et y z 2 nZ: Par conséquent il existe des entiers k et l tels
que x y = nk et y z = nl: Il s’ensuit:
x z = (x y) + (y z) = nk + nl = n (k + l) 2 nZ =) x<z
Etant ré‡exive, symétrique et transitive, alors < est une relation d’équivalence.
Propriété : Si < est une relation d’équivalence sur E; alors pour toute
partie non vide F de E; < est une relation d’équivalence sur F:
Classe d’équivalence - ensemble quotient
classe d’équivalence
Soit ; =
6 E un ensemble et < une relation d’équivalence sur E
8x 2 E; on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble:
x = fy 2 E; x<yg qu’on note aussi x:
Un élément d’une classe d’équivalence est appelé un représentant de cette
classe.
Propriétés
Soit ; =
6 E un ensemble et < une relation d’équivalence sur E
8x; y 2 E; on a:
- x 2 x; donc x 6= ;;
- x<y () y 2 x () y = x;
- si y 6= x; alors y \ x = ;;
(les classes d’équivalences sont deux à deux disjointes)
- La réunion de toutes les classes d’équivalences est égale à E:
L’ensemble de ces propriétés est résumé dans le résultat suivant:
Théorème 1.11: Soit ; =
6 E un ensemble et < une relation d’équivalence
sur E: Alors les classes d’équivalences de < forment une partition de E:
22
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
Ensemble quotient Soit ; =
6 E un ensemble et < une relation d’équivalence
sur E: Alors l’ensemble des classes d’équivalences de < est appelé l’ensemble
quotient de E par < et noté E=<
Exemple 21: Reprenons l’exemple donné ci-dessus où < est la relation
dé…nie sur Z par:
8x; y 2 Z; x<y () x y 2 nZ
Nous avons montré que < est une relation d’équivalence. Soit x 2 Z: La
formule de la division euclidienne de x par n donne un couple unique (q; r) 2
Z2 tel que x = qn + r avec 0 r n 1: on en déduit que x r = qn 2 nZ;
d’où x<r et donc x = r: Par conséquent chaque classe d’équivalence de <
admet un unique représentant dans l’ensemble f0; 1; 2; :::; n 1g : en outre il
est clair que les classes d’équivalences r 0
r
n 1 sont distinctes car
si 0
r 6= s
n 1; alors on a 0 < jr sj < n; donc r s n’est pas un
multiple de n: l’ensemble quotient Z=< est donc 0; 1; :::; n 1 :
8r 2 f0; 1; :::; n 1g ;on a r = fq 2 Z; r<qg = fq 2 Z; r q 2 nZg =
fq 2 Z; r q = nk avec k 2 Zg = fq 2 Z; q = r + nk avec k 2 Zg = r + nZ
1.8
EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
Soient p; q; r des propositions. A l’aide d’une table de vérité, montrer
que les propositions (A) et (B) sont équivalentes:
a) (A) : (p et q) et r; (B) : p et (q et r) ;
b) (A) : (p ou q) ou r; (B) : p ou (q ou r) ;
c) (A) : (p ou q) et r; (B) : (p et r) ou (q et r)
d) (A) : (p et q) ou r; (B) : (p ou r) et (q ou r)
Exercice 2
Donner la négation de chacune des assertions suivantes:
a) Tout triangle isocèle possède un angle droit;
b) Dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs;
c) 9n0 2 N tel que 8p 2 N; p n0 ;
d) 8" > 0; 9 > 0 tel que 8x 2 R; jx 1j < =) j2x 3j < ":
Exercice 3
Ecrire à l’aide des quanti…cateurs et des connecteurs les propositions suivantes et leurs négations. Préciser lesquelles sont vraies. Pour celles qui sont
fausses donner un contrexemple.
1) Aucun entier n’est supérieur à tous les autres.
2) Il existe un entier multiple de tous les autres.
1.8. EXERCICES CORRIGES
23
3)Tout réel positif possède une racine carrée.
4) Tous les réels ne sont pas des quotients d’entiers.
5) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
Exercice 4
Soit E = fx 2 N; x 10g le référentiel dans cet exercice.
On considère les ensembles, A; B; C dé…nis par:
A = fx 2 E; x est pairg; B = fx 2 E; x est impairg; C = fx 2 E; x est
un multiple de 3g.
Déterminer les ensembles: A [ B; A \ B; A C; C A; B \ C; B [ C:
Exercice 5
N !N
Soit f :
n7 !n+1
f est elle injective? surjective? bijective?
Exercice 6
2) Soient f : A ! B; g : B ! C; h : C ! D des applications.
Montrer que:
a) g f injective =) f injective
b) g f surjective =) g surjective
c) ( g f et h g bijectives) () (f; g; h bijectives)
Exercice 7
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
k2 =
Montrer que 8n 2 N ;
6
k=1
Exercice 8
1 Soit < la relation dé…nie sur R par:
8x; y 2 R; x<y () x3
y 3 = 3 (x
y)
a) Montrer que < est une relation d’équivalence
b) Déterminer la classe d’équivalence de a 2 R
2 Soient E et F des ensembles non vides f : E ! F une application.
On dé…nit sur E la relation binaire <f par:
8x; y 2 E; x<f y () f (x) = f (y)
a) Montrer que <f est une relation d’équivalence.
<f est appelée la relation d’équivalence associée à f:
b) En utilisant le résultat ci-dessus, retrouver le résultat de la question
1 a).
c) Utiliser le même résultat pour montrer que les relations suivantes sont
des relations d’équivalence:
i) L dé…nie dans N2 par:
8 (a; b) ; (c; d) 2 N2 ; (a; b) L(c; d) () a + d = b + c;
24
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
ii) E étant un ensemble non vide et A une partie de E; = dé…nie sur
P(E) par:
8X; Y 2 P(E); X=Y () X \ A = Y \ A:
Resolution
Exercice 1
Il s’agit dans chaque cas de véri…er que les assertions (A) et (B) ont la
même table de vérité. Ici il y a 3 propositions donc les tables comportes
23 = 8 lignes.
a)
p
V
F
V
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
V
V
V
F
F
F
F
p et q
V
F
F
F
V
F
F
F
(p et q) et r
V
F
F
F
F
F
F
F
q et r
V
V
F
F
F
F
F
F
p et (q et r)
V
F
F
F
F
F
F
F
On remarque que A et B ont la même table de vérité, donc elle sont
équivalentes.
b)
p
V
F
V
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
V
V
V
F
F
F
F
p ou q
V
V
V
F
V
V
V
F
(p ou q) ou r
V
V
V
V
V
V
V
F
q ou r
V
V
V
V
V
V
F
F
p ou (q ou r)
V
V
V
V
V
V
V
F
On remarque que (A) et (B) ont la même table de vérité, donc elle sont
équivalentes.
c)
1.8. EXERCICES CORRIGES
p
V
F
V
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
V
V
V
F
F
F
F
p ou q
V
V
V
F
V
V
V
F
(p ou q) et r
V
V
V
F
F
F
F
F
25
p et r
V
F
V
F
F
F
F
F
q et r
V
V
F
F
F
F
F
F
(p et r) ou (q et r)
V
V
V
F
F
F
F
F
On remarque que (A) et (B) ont la même table de vérité, donc elle sont
équivalentes.
d)
p
V
F
V
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
V
V
V
F
F
F
F
p et q
V
F
F
F
V
F
F
F
(p et q) ou r
V
V
V
V
V
F
F
F
p ou r
V
V
V
V
V
F
V
F
q ou r
V
V
V
V
V
V
F
F
(p ou r) et (q ou r)
V
V
V
V
V
F
F
F
On remarque que (A) et (B) ont la même table de vérité, donc elle sont
équivalentes.
Exercice 2
Donnons les négations:
a) Il existe au moins un triangle isocèle qui ne possède pas un angle droit.
b) Il existe au moins une écurie où au moins un cheval n’est pas noir.
c) 8n 2 N; 9p 2 N tel que p > n:
d) 9" > 0 tel que 8 > 0; 9x 2 R tel que jx 1j < et j2x 3j ":
Exercice 3
Ecrivons à l’aide de quanti…cateurs et donnons la négation, les valeurs de
vérité et le contrexemple:
1) 8n 2 Z; 9p 2 Z tel que p > n Vraie
Négation: 9n 2 Z tel que 8p 2 Z; n p Fausse
26
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
contrexemple: 8n 2 Z; posons p = n + 1 2 Z: On a bien p > n: Donc
8n 2 Z; 9p 2 Z tel que p > n:
2) 9n 2 Z tel que 8p 2 Z; 9k 2 Z tel que n = kp Vraie
Négation: 8n 2 Z; 9p 2 Z tel que 8k 2 Z; n 6= kp Fausse
Contrexemple: 0 est un multiple de tout entier.
3) 8x 2 R+ ; 9y 2 R tel que x = y 2 Vraie
Négation: 9x 2 R+ tel que 8y 2 R; x 6= y 2 Fausse
p
4) 9x 2 R tel que 8 (p; q) 2 Z Z ; x 6= Vraie
q
p
Négation: 8x 2 R; 9 (p; q) 2 Z Z tel que x = Fausse
q
contrexemple: n’est pas un rationnel.
5) 9x 2 R tel que x > x2 Vraie
Négation: 8x 2 R; x x2 Fausse
contrexemple: prenons x = 12 : On a x2 = 41 et 12 > 14 : Donc 9x 2 R tel
que x > x2
Exercice 4
Ecrivons d’abord en extension les ensembles E; A; B et C: on a:
E = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g
A = f0; 2; 4; 6; 8; 10g ; B = f1; 3; 5; 7; 9g ; C = f0; 3; 6; 9g
Déterminons les ensembles indiqués:
A [ B = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g = E: A \ B = ;;
A C = f2; 4; 8; 10g ; C A = f3; 9g ; B \ C = f3; 9g ;
B [ C = f0; 1; 3; 5; 6; 7; 9g
Exercice 5
N !N
1) f :
n7 !n+1
injectivité:
Soient n; m 2 N.
f (n) = f (m) =) n + 1 = m + 1
=) (n + 1) 1 = (m + 1)
=) n = m
donc f est injective.
surjectivité:
Soit m 2 N.
8x 2 N; f (x) = m () x + 1 = m
() x = m 1
or pour m = 0; x = 1 2
= N.
donc 0 n’a pas d’antécédent.
conclusion f n’est pas surjective.
1
1.8. EXERCICES CORRIGES
27
bijectivité:
f n’est pas bijective car elle n’est pas surjective.
Exercice 6
a) Montrons que g f injective =) f injective
Supposons g f injective et montrons que f est injective.
Soient x; y 2 A; f (x) = f (y) =) g[f (x)] = g[f (y)]
=) (g f ) (x) = (g f ) (y) =) x = y,
car g f injective.
conclusion: f est injective.
b) Montrons que g f surjective =) g surjective.
Supposons que g f est surjective et montrons que g est surjective.
Soit z 2 C: g f sujective =) 9x 2 A tel que (g f ) (x) = z; d’où
g[f (x)] = z
Posons f (x) = y 2 B; on a g(y) = z donc tout élément z de C admet au
moins un antécédent pour g.
conclusion g est surjective.
c) Montrons que ( g f et h g bijectives) () (f; g; h bijectives)
Procédons par une double implication
((=) : supposons f; g; h bijectives
(f et g bijectives) =) g f bijective car la composée de deux bijections
est une bijection
(g et h bijectives) =) h g bijective
(=)) : supposons g f et h g bijectives.
g f bijective =) g f surjective =) g surjective
h g bijective =) h g injective =) g injective
( g injective et surjective) =) g bijective.
g bijective.=) g 1 existe et est bijective.
on a g 1 (g f ) = (g 1 g) f = IdB f = f
f étant la composée de deux bijections, alors f est bijective.
On a (h g) g 1 = h; donc h est bijective comme composée de deux
bijections
Exercice 7
Montrons que 8n 2 N ;
Pour n
n
X
k2 =
k=1
1; posons P (n) :
n
X
k=1
pour n = 1 on a:
n(n + 1)(2n + 1)
6
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
28
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
1
X
2 3
1(1 + 1)(2 1 + 1)
=
=1
6
6
k=1
donc P (1) est vraie.
Soit n 1, supposons P (n) vraie et véri…ons P (n + 1).
n+1
X
(n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]
A t-on
k2 =
?
6
k=1
k 2 = 12 = 1;
On a:
n+1
X
k 2 = 12 + 22 + 32 + ::: + n2 + (n + 1)2
k=1
=
n
X
k 2 + (n + 1)2
k=1
Or d’après l’hypothèse de recurrence
n
X
k=1
n+1
X
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
; d’où
6
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
k=1
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
=
6
(n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]
=
6
(n + 1)[n(2n + 1) + 2n + 4n + 6]
=
6
(n + 1)[n(2n + 3) + 2(2n + 3)]
=
=
6
(n + 1)[(2n + 3)(n + 2)]
6
n+1
X
(n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]
k2 =
6
k=1
donc P (n + 1) est vraie.
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
Conclusion: 8n 2 N ;
k2 =
6
k=1
k2 =
Exercice 8
1 a) Montrons que < est une relation d’équivalence.
- Ré‡exivité
8x 2 R; on a x3 x3 = 3 (x x) (= 0) ; donc x<x; alors < est ré‡exive.
- Symétrie
8x; y 2 R; x<y =) x3 y 3 = 3 (x y) =) (x3 y 3 ) = 3 (x y) =)
y 3 x3 = 3 (y x) =) y<x; alors < est symétrique.
- Transitivité
1.8. EXERCICES CORRIGES
29
Soient x; y; z 2 R tels que x<y et y<z; montrons que x<z:
x<y =) x3 y 3 = 3 (x y) (1) ; y<z =) y 3 z 3 = 3 (y z) (2) : En
additionnant les égalités (1) et (2) ; on obtient x3 z 3 = 3 (x z) ; d’où x<z;
alors < est transitive.
Etant ré‡exive, symétrique et transitive, < est une relation d’équivalence.
b) Déterminons la classe a de a 2 R:
a = fx 2 R; x<ag
8x 2 R; x<a () x3 a3 = 3 (x a)
() (x a) (x2 + ax + a2 ) = 3 (x a)
() (x a) (x2 + ax + a2 ) 3 (x a) = 0
() (x a) (x2 + ax + a2 3) = 0
() x a = 0 ou x2 + ax + a2 3 = 0
() x = a ou P (x) = 0 avec P (x) = x2 + ax + a2 3; un
polynôme de second degré en x:
Le nombre de racines de P (x) dépend du signe de son discriminant.
Calculons le discriminant de P (x):
= a2 4 (a2 3) = 3a2 + 12 = 3 (4 a2 )
= 0 () a = 2 ou a = 2
- Si a 2] 2; 2[; alors
> 0; d’où P (x) admet deux racines réelles
distinctes x1 et x2 :
Alors a = fa; x1 ; x2 g (Pour simpli…er, nous avons volontairement ignoré
dans cette discussion les cas éventuels où une des racines de P (x) est égale
à a).
- Si a 2] 1; 2[[]2; +1[; alors
< 0; d’où P (x) n’a pas de racines
réelle.
Alors a = fag
- Si a = 2 ou a = 2; alors
= 0; d’où P (x) admet une seule racine
x0 = 1 pour a = 2 et x0 = 1 pour a = 2
Alors 2 = f2; 1g et 2 = f 2; 1g :
2 a) Montrons que <f est une relation d’équivalence
- Ré‡exivité
8x 2 E; on a f (x) = f (x); donc x<f x; alors <f est ré‡exive.
- Symétrie
8x; y 2 E; x<f y =) f (x) = f (y) =) f (y) = f (x) =) y<f x; alors <f
est symétrique.
- Transitivité
Soient x; y; z 2 E tels que x<f y et y<f z; montrons que x<f z:
x<f y ) f (x) = f (y)
g =) f (x) = f (z) =) x<f z; alors <f est transiy<f z =) f (y) = f (z)
tive.
Etant ré‡exive, symétrique et transitive, <f est une relation d’équivalence.
30
CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
b) Retrouvons le résultat du 1 a).
8x; y 2 R; x<y () x3 y 3 = 3 (x y) () x3 3x = y 3 3y ()
f (x) = f (y) avec
R !R
f:
x 7 ! x3 3x
Par conséquent d’après 1 a), < est la relation d’équivalence associée à f:
c) Montrons que les relations suivantes sont des relations d’équivalence
en utilisant 1 a).
i) 8 (a; b) ; (c; d) 2 N2 ; (a; b) L (c; d) () a + d = c + b () a b =
c d () g [(a; b)] = g [(c; d)] avec
N2 ! Z
g:
(n; m) 7 ! n m
Par conséquent d’après 1 a), L est la relation d’équivalence associée à g:
ii) 8X; Y 2 P (E) ; X=Y () X \ A = Y \ A () h(X) = h (Y ) avec
P(E) ! P (A)
h:
X 7 !X \A
Par conséquent d’après 1 a), = est la relation d’équivalence associée à h
Chapitre 2
NOMBRES COMPLEXES
2.1
GENERALITES
Dé…nition
Un nombre complexe est un nombre qui s’écrit
z = a + ib avec a; b 2 R; i2 = 1:
– Cette écriture est appelée l’écriture algébrique de z: a est appelé la
partie réelle de z et est notée Re(z), b est appelé la partie imaginaire de z
et noté Im(z):
- L’ensemble des nombres complexes est noté C:
2.1.1
Propriété
8a; b; a0 ; b0 2 R; a + ib = a0 + ib0 () a = a0 et b = b0
conséquence: l’écriture z = a + ib avec a; b 2 R; i2 =
2.1.2
1 est unique.
Opérations dans C
0
0
0
Soient z = a + ib; z = a + ib 2 C
addition
0
0
0
z + z = (a + a ) + i(b + b )
multiplication
0
0
0
0
0
zz = (a + ib)(a + ib ) = aa + ab i + iab
31
0
0
0
bb = (aa
0
0
0
bb ) + i(ab + ab )
32
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
Propriétés
–l’addition et la multiplication sont commutatives:
0
0
0
0
8z; z 2 C; z + z = z + z; zz = z 0 z
–l’addition et la multiplication sont associatives:
0
8z; z ; z" 2 C; (z + z 0 ) + z" = z + (z 0 + z"); (zz 0 )z" = z(z 0 z")
–0 est l’élément neutre pour "+" et 1 est un élément pour " "
8z 2 C; z + 0 = z; z 1 = z
Tout element de C admet un opposé et tout element non nul de C admet
un inverse:
8z = a + ib 2 C; z = a ib 2 C
a ib
1
= 2
2C
8z = a + ib 2 C = Cnf0g;
z
a + b2
–la multiplication est distributive par rapport à l’addition:
8z; z1 ; z2 2 C; z(z1 + z2 ) = zz1 + zz2
- Intégrité de C :
8z; z 0 2 C; zz 0 = 0 () z = 0 ou z 0 = 0
2.1.3
Conjugué, module, argument
Soit z = a + ib 2 C avec a; b 2 R
conjugué
z=a
ib
module
p
jzj = a2 + b2
Argument: z 6= 0
z
a + ib
a
b
=p
=p
+ ip
2
2
2
2
2
jzj
a +b
a +b
a + b2
b
a
et = p
en posant
=p
2
2
2
a +b
a + b2
2
2
on obtient
+
= 1. Alors 9 2 R tel que
= cos et
= sin
est appelé un argument de z,il est de…ni modulo 2 :
9! 2 ]
; ] tel que
= cos et
= sin
Cet unique est appelé l’argument principal de z et est noté arg(z):Donc
arg(z) 2]
; ]:
on a
8z = a + ib 2 C ; l’argument
de z est dé…ni par le système:
2.2. FORME TRIGONOMETRIQUE - FORME EXPONENTIELLE
33
8
a
>
< cos =
jzj
b
>
: sin =
jzj
NB: Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument.
Propriétés
8z; z 0 2 C on a:
z + z0 = z + z0
zz 0 = z z 0
z + z = 2 Re(z)
z z = 2i Im(z)
z 2 R () Im(z) = 0 () z = z
z imaginaire pur() Re(z) = 0 () z =
jzj = 0 () z = 0
jzz 0 j = jzj jz 0 j
zz = jzj 2
1
z
=
z
jzj 2
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 ) mod(2 )
2.2
z
FORME TRIGONOMETRIQUE - FORME
EXPONENTIELLE
Soit z = a + ib 2 C . On a vu qu’il existe un unique 2]
; ] tel que:
a
b
cos =
et sin =
: En posant r = jzj on a:
jzj
jzj
z = r(cos + i sin )
Cette écriture est appelée la forme trigonométrique de z.
On pose ei = cos + i sin , alors z = rei ; avec r = jzj 2 R+ et 2
]
; ]:
Cette écriture est la forme exponentielle de z
2.2.1
Formule de Moivre
On a:
8n 2 Z; [r(cos + i sin )]n = rn [cos(n ) + i sin(n )]
par conséquent, on a:
34
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
8n 2 Z; (rei )n = rn ein
Application: linéarisation
Soit 2 ]
;
on a: 2 cos
on a: 8n 2
2i sin n = z n
] et z = ei = cos + i sin
= z + z = ei + e i ; 2i sin = z z = ei
e i
N ; z n = ein = cos(n ) + i sin(n ); avec 2 cos n = z n + z n ;
zn
Exemple 1: Calculons cos3 en fonction de cos (3 ) et cos
z = ei ; z = e i
1
cos3 x = [ (eix + e ix )3 ]
2
1
= [(eix )3 + 3(eix )2 e ix + 3eix (e ix )2 + (e ix )3 ]
8
1
= [e3ix + 3eix + 3e ix + e 3ix ]
8
1 3ix
= [e + e 3ix + 3(eix + e ix )]
8
1
= [2 cos 3x + 3 2 cos x]
8
1
3
3
cos x = cos 3x + cos x
4
4
2.2.2
Equations à coe¢ cients complexes
Théorème 2.1 (de Gauss): Soit P (Z) = an Z n + an 1 Z n 1 + ::: + a1 Z + a0
avec n 2 N et ai 2 C ,8n
1 et an 6= 0 un polynôme non constant à
coe¢ cient dans C.
Alors 9(z1 ; z2 ; :::; zn ) 2 Cn tels que:
P (Z) = an (Z z1 )(Z z2 )(Z z3 ):::(Z zn )
En d’autres termes un polynôme de degré n (n 2 N ) à coe¢ cients dans
C admet n racines (distinctes ou non)
Equations du second degré à coe¢ cients.dans C :
Théorème 2.2: Tout nombre complexe non nul admet deux racines complexes opposés.
Z = a + ib 2 C
w = x + iy racine carrée de Z () w2 = Z
() (x + iy)2 = a + ib
2.2. FORME TRIGONOMETRIQUE - FORME EXPONENTIELLE
35
() x2 y 2 + 2ixy = a + ib (1)
D’autre part, ! 2 = Z =) j! 2 j = jZj =) j!j2 = jZj =) x2 + y 2 = jZj (2)
De (1) et (2) on tire les trois relations suivantes su¢ santes pour déterminer
8 !: 2
x
y2 = a
<
x2 + y 2 = jZj
:
Si gn(xy) = Si gn(b)
Exemple 2: Trouver les racines carrées de z = i
z = x + iy = i est racine de i =) z 2 = i et jzj2 = jij2 () x2 y 2 = 0
(1) ,x2 + y 2 = 1 (2) et xy > 0 (3)
(1) + (2)=) 2x2 = 1
r
1 2
1
2
x = 2 =(
)
2
p
p
2
2
x=
ou x =
2
2
(2) - (1)=) 2y 2 =p
1
p
2
2
ou y =
y=
2
2
p
p
p
p
2
2
2
2
(3)=) (x =
et y =
) ou (x =
et y =
)
2 p
2
2
p 2
2
2
=) z =
(1 + i) ou z =
(1 + i)
2
2
Résolutions des équations du second degré
soit (E) : aZ 2 + bZ + c = 0; avec a 6= 0
une équation du second degré à coe¢ cient dans C on pose
C
Soit une racine carrée de alors:
si 6= 0; (E) admet deux racines distinctes:
b+
b
Z1 =
; Z2 =
;
2a
2a
si = 0; (E) admet une racine double:
b
Z0 =
2a
Exemple 3: Resolvons
dans
p
p C l’équation
2
(E) : Z +p(i
2)Z
p i 2=0
2
2)p
+ 4i p
2
= (i
=1 p
2i 2 + 4i 2
= 1 + 2i 2 p
j j2 = 12 + (2 2)2 = 9 =) j j = 3
z = x + iy est racine de
() x2 y 2 = 1 (1)
et xy > 0 (3)
= b2
4ac 2
; x2 + y 2 = 3
(2)
36
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
p
(1) +p(2)=) 2x2 =p4 =) x2 = 2 = ( 2)2
2
x = 2 ou x =
2
(2) - (1)=) 2y = 2 =) y 2 = 1
y = 1 ou x = 1
(3))px et y sont de p
même signe.
z = 2 + ipou zp=
2 i
p
p
i+ 2
2
i+ 2+ 2+i
; z2 =
z1 =
2
2
p
z1 = 2; z2 = i
i
Racines complexes d’un polynôme à coe¢ cients réels
Théorème 2.3: Soit P (Z) = an Z n + an 1 Z n 1 + ::: + a1 Z + a0 un
polynôme d’un variable complexe à coe¢ cient dans R. Alors les racines
complexes non réels sont deux à deux conjuguées et de même ordre de multiplicité
2.2.3
Racine nième d’un nombre complexe
Théorème 2.4: Tout nombre complexe non nul admet n racines n-ième
distinctes, 8n 2 N .
Soit Z 2 C , on met Z sous forme exponentielle donc:
; ]; alors les racines nièmes de Z sont
Z = rei avec r 2 R+ et 2]
9
8
2k
=
<
)
p i( +
les éléments de la famille. zk = n re n n ; 0 k n 1
;
:
Exemple 4: Determinons les racines cubiques de Z =
On a jZj = 2
Soit = arg(Z) on a
cos = 0 et sin =
1 alors
=
2i
2
i
Donc Z = 2e 2 .
2k
)
Les racines cubiques de Z sont : 2e 3 3 ; 0 k 2.
2 i
5 i
p
p
p i
p
3
3
On trouve: z0 = 2e 6 ; z1 = 2e 6 ; z2 = 3 2e 2 = i 3 2
p
3
i(
2
+
2.3. EXERCICES CORRIGES
2.3
37
EXERCICES CORRIGES
1) calculer le module et l’argument de Z = 1 + ei ; avec 0
< :
2) Ecrire sous forme algébrique:
2 + 5i 2 5i
3 + 6i
; Z2 =
+
:
Z1 =
3 4i
1 i
1+i
i
3) calculer le module et l’argument de: Z = ee :
4) mettre sous la forme algébrique:
- Le nombre complexe Z de module 2 et d’argument ;
3
- Le nombre complexe T de module 3 et d’argument
:
8
p
p
6 i 2
et v = 1 i.
5) Module et argument de u =
2
u
En déduire le module et l’argument de
v
6) Module et argument de z = ei + ei 0 : Discuter suivant les valeurs de
et 0 :
Résolution
1) Z = 1 + cos + i sin
En considérant que
= 2 avec
= ; on a:
2
Z = 2 cos2
+ 2i cos sin
2
2
2
= 2 cos [cos + i sin ]
2
2
2
i
= 2 cos e 2
2
Comme 0
<
alors 0
<
2
2
=) cos > 0; donc: jZj = cos ; arg (Z) =
2
2
2
Autre méthode
Z = 1 + ei
= ei 2 e i 2 + ei 2 ei 2
= ei 2 (e i 2 + ei 2 )
Z = 2 cos 2 ei 2
3 + 6i
(3 + 6i)(3 + 4i)
9 + 12i + 18i
2) on a Z1 =
=
=
2
2
3 4i
3 +4
25
3 6i
Z1 =
+
5
5
2 + 5i 2 5i
+
Z2 =
1 i
1+i
24
=
15 + 30i
25
38
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
(2 + 5i)(1 + i) + (2 5i)(1
12 + 12
2 + 5i 2 5i
+
Z2 = 3Z2 =
1 i
1+i
(2 + 5i)(1 + i) + (2 5i)(1
=
12 + 12
Z2 = 3
i
3) z = ee
= ecos +i sin
= ecos ei sin
On a ecos > 0; d’où:
jzj = ecos et arg(z) = sin
4) Z = 2ei 3
= 2(cos + i sin )
3p
3
Z =1+i 3
=
i
Z = 3e 8 = 3(cos(
8
) + i sin(
i)
i)
8
)) = 3(cos
8
cos
i sin )
8
= 1 + cos
et 2 sin2 = 1
4
8
4
p
p
2
2
2 cos2 = 1 +
et sin2 = 1
; d’où
8
2
8
p
p2
1
2
1
2
cos2 = +
et sin2 =
8
2
4
8
2
4
En outre, on a 0 < < ; donc on a cos( ) > 0 et sin( ) > 0; d’où:
2
8
8
r
r
p 8
p
1
2
1
2
cos =
+
sin =
8
2r 4 p 8 r 2 p4
1
2
1
2
alors T = 3
+
3i
2p 4
2
8
p
6 i 2
5) u =
2
2
6 2
2
juj = + = 2
p4 4
juj = 2
p
p
3 1
i)
=) u = 2(
2
2
p
3
1
cos =
et sin =
alors = arg u =
2
2
6
p
=) u = 2e i 6
v=1 i
p
p
p
p
2
2
2
jvj = 2 =) jvj = 2 =) v = 2(
i
)
2
2
or 2 cos2
8
2.3. EXERCICES CORRIGES
p
2
et sin 0 =
cos 0 =
2
p i
=) v =p 2e 4
u
2ei 6
ei 6
= p i = i =e
v
e 4
2e 4
u
u
= 1; arg( ) =
v
v
12
6) z = ei + ei 0
= ei
+ 0
2
(ei
on a
si
;
2
<
0
2
0
+ ei
2]
2
0
0
<
2
ou
0
= arg v =
= ei( 4
e
+ 0
2
)
= ei 12
2
<
2
0
2
0
<
>0
2
0
2
+
2
0
(mod 2 )
alors cos
<
0
2
+ )
et arg(z) =
4
0
cos
<
6
et arg z =
2
2
0
alors
i6 i4
) = 2ei
0
2
2
d’où z = 2 cos ei(
20
2 cos
2
2
< 2 ; alors cos
d’où jzj = 2 cos
jzj =
p
; ] donc
2
si - <
0
39
+
2
0
+
(mod 2 )
<0
40
CHAPITRE 2. NOMBRES COMPLEXES
Chapitre 3
POLYNONE - FRACTION
RATIONELLE
3.1
3.1.1
POLYNÔME
Généralités
Dans ce chapitre | désigne le corps R ou C
dé…nitions
- Un polynômes à une indéterminée X à coe¢ cient dans | est une expression:
n
X
2
n
P (X) = a0 + a1 X + a2 X + ::: + an X =
ak X k :
k=0
avec n2N et ak 2 |; 80
k
n:
- L’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans | est noté | [X]:
– Un monôme en X est une expression aX p avec a 2 | et p 2 N: a
est appelé le coe¢ cient de aX p et p le degré. Un polynôme est une somme
…nie de monômes. Les coe¢ cients d’un polynôme sont les coe¢ cients des
monômes dont il est la somme. Son degré est le degré du monôme du plus
haut degré.
–0 est appelé le polynôme nul.
–tout polynôme P = a0 2 | est dit constant.
– un polynôme unitaire est un polynôme dont le coe¢ cient du monôme
du plus haut degré est 1.
Propriété
41
42
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
On a: a0 + a1 X + ::: + an X n = 0 () a0 = a1 = ::: = an = 0:
En d’autres termes, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coef…cients sont nuls.
- Un polynôme constant non nul est de degré 0.
- Par convention 0 est de degré 1:
On note deg P (x) le degré de P (x):
Opérations sur les polynômes
On dé…nit l’addition et la multiplication des polynômes et la multiplication
d’un polynôme par un scalaire (un nombre réel ou complexe) qui se font
comme au secondaire.
Exemple 1: P (X) = 2
X + X 2 ; Q(x) = 3X
2X 2
P (X) + Q(X) = 2 + 2X X 2 X 3
1
1
X + X2
P (x) = 1
2
2
P (X):Q(X) = (2 X + X 2 )(3X 2X 2 X 3 ) = 6X
2X 3 + X 4 + 3X 3 2X 4 X 5
= 6X 7X 2 + 3X 3 X 4 X 5
3.1.2
4X 2
x3 ;
=
2X 3
1
2
3X 2 +
Fonction associée à un polynôme
soit P (X) =
n
X
k=0
ak X k 2 | [X]:On appelle fonction associée à P (X) l’application:
| !|
n
X
Pe :
x 7 ! Pe(x) =
ak x k
k=0
Par abus d’écriture , on notera Pe(a) = P (a)
Exemple 2: P (X) = 2 X + X 2
P (0) = 2 0 + 02 = 2
P (3) = 2 3 + 32 = 8
3.1. POLYNÔME
3.1.3
43
Arithmétique des polynômes
Dans la suite de ce chapitre on notera P au lieu de P (X) un polynôme de
|[X]:
Divisibilité
Soient A; B 2 |[X]: On dit que B divise A s’il existe Q 2 |[X] tel que
A = BQ (on dit aussi que A est un multiple de B).
On écrit alors "B j A":
Propriétés
0 est multiple de tout polynôme.
–Si B j A et A 6= 0 alors deg B deg A:
Théorème 3.1(de la division euclidienne): Soient A; B 2 |[X] f0g:
Alors 9!(Q; R) 2 |[X]2 tel que A = BQ + R avec deg R < deg B:
Q est appelé le quotient et R le reste.
Pour déterminer le couple (Q; R), on fait la division euclidienne de A par
B:
Exemple 3: A = 2X 4
X3
2X 2 + 3X
On a donc: 2X 4 X 3 2X 2 +3X
1 et B = X 2
X +1
1 = (X 2 X +1)(2X 2 +X
3) X +2
44
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
Remarque 1: De la formule A = BQ + R avec deg R < deg B; on déduit
que:
B j A () R = 0
Division d’ordre croissant
Dé…nition 1: La valuation d’un polynôme est le degré de son monôme du
plus bas degré. Par convention, v(0) = +1
Exemple 4: P = 2 X + X 2
on a deg(P ) = 2; v(P ) = 0
Théorème 3.2: Soient A; B 2 |[X] avec v(B) = 0 (c.à.d le terme
constant de B est 6= 0) et soit n 2 N: Alors 9!(Q; R) 2 |[X]2 , tel que
A = BQ + R avec deg Q n < v(R):
L’écriture A = BQ + R avec deg Q
n < v[R] est appelée la division
d’ordre croissant à l’ordre n de A par B:
Exemple 5: division d’ordre croissant à l’ordre 2 de 2
1 + 2X
2
X + X 2 = ( 1 + 2X)( 2
3X
7X 2 ) + 14X 3
X + X 2 par
3.1. POLYNÔME
45
Racine –Factorisation
Dé…nition 2: Soit P 2 |[X]: a2| est dit racine de P si P (a) = 0:
On dit aussi que a est un zéro de P:
P
Proposition 1: Soit a 2 R et P 2 |[X]: a racine de P , X
a divise
Dé…nition 3: Soient a 2 |; P 2 |[X] et r 2 N . On dit que a est racine
d’ordre r de P:Si on a P = (X a)r Q, avec Q(a) 6= 0:
r est alors appelé l’ordre de multiplicité de a dans P:
Théorème 3.3: soient a 2 |[X]; r 2 N :On note: P (0) = P; P (1) = P 0
la dérivée de P; P (2) = P 00 la dérivée seconde de P; :::; P (k) la dérivée k-ieme
de P; k 2 N: Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
– a est racine d’ordre r de P
P (a) = P 0 (a) = P 00 (a) = P (k 1) (a) = 0 et P (k) (a) 6= 0
Polynôme irreductible
Diviseur strict: Soit P 2 |[X]: Q 2 |[X] est dite un diviseur strict de P si
Q j P et si deg Q < deg P:
P 2 |[X] est dit irreductible si P n’admet pas de diviseur strict dans
|[X]:
Polynômes premiers entre eux
Deux polynômes à coe¢ cients réels ou complexes sont dits premiers entre
eux s’ils n’ont aucun diviseur irréductible commun.
Deux polynômes à coe¢ cient réels ou complexes sont premiers entre eux
si et seulement si ils n’ont aucune racine commune dans C:
Factorisation dans C[X] et |[X]
Théorème 3.4: - Les polynômes irreductibles de C[X] sont les polynômes
de degré 1.
- les polynômes irreductibles de R[X] sont les polynômes de
degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant négatif. En conséquence:
- Tout polynôme de C[X] de degré n
1 s’écrit de manière unique.
r
Y
mi
P (X) = an (X
i) ;
i=0
46
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
ou an est le coe¢ cient de X n ; 1 6= 2 ::: 6= n : les racines distinctes de
P et pour 1 n r; mi est l’ordre de multiplicité de la racine i :
– Tout polynôme de R[X] s’écrit de manière unique comme produit de
polynômes de degré 1 et de polynôme de degré 2 de discriminant négatif.
Exemple 6: Factoriser dans R[X] et dans C[X] les polynômes suivants:
P = X 4 2X 3 2X + 1
Q = X3 + X2 X 1
P et Q sont-ils premiers entre eux?
Résolution
P = (X 4 2X 3 + X 2 ) + (X 2 2X + 1)
= X 2 (X 2 2X + 1) + (X 2 2X + 1)
= (X 2 + 1)(X 2 2X + 1)
P = (X 2 + 1)(X 1)2
Dans R[X] ; on a : P = (X 2 + 1)(X 1)2
Dans C[X] ; on a: P = (X i)(X + i)(X 1)2
Q = X 2 (X + 1) (X + 1)
= (X + 1)(X 2 1)
Q = (X + 1)(X + 1)(X 1)
Dans R[X] ; on a Q = (X + 1)2 (X 1)
Dans C[X] ; on a: Q = (X + 1)2 (X 1)
Q et P ne sont pas premiers entre eux car ils ont un facteur en commun:
X 1
3.2
3.2.1
FRACTION RATIONNELLE
Généralités
dé…nition 4: Une fraction rationnelle est le rapport de deux polynômes,
P
donc de la forme R = ; avec P; Q 2 |[X] et Q 6= 0. R est dite irréductible
Q
si P et Q sont premier entre eux; c’est-à-dire s’ils n’ont pas de facteurs ( ou
des racines) communs. Sinon on dit que R est réductible. Si R est réductible
on peut la rendre irréductible en simpli…ant tous les facteurs communs de P
et de Q:
L’ensemble des fractions rationnelles à coe¢ cient dans | est noté | (X)
3.2. FRACTION RATIONNELLE
Dans toute la suite R =
47
P
est une fraction rationnelle supposée irréQ
ductible.
zéro; pôle
–Les racines de P sont appelées les zéros de R:
–Les racines de Q sont appelées les pôles de R:
L’ordre d’un pôle de R est son ordre de multiplicité dans Q:
3.2.2
Decomposition en élément simple
R est dit propre si deg(P ) < deg(Q)
Théorème 3.5: Toute fonction rationnelle s’écrit de manière unique
sous la forme:
R = A+T , où A est un polynôme et T est une fraction rationnelle propre.
A est alors appelé la partie entière de P et notée E(R)
Preuve: En e¤et par la division euclidienne de P par Q, on a: P = AQ+C
P
C
C
avec deg(C) < deg(Q) =)
= A+ ; et T = est une fraction rationnelle
Q
Q
Q
propre.
Dé…nition 5 – un élément simple de 1ère espèce est une fraction rab
avec b; 2 R et k 2 N
tionnelle de la forme B =
(X
)k
– un élément simple de 2ème espèce est une fraction rationnelle de la
aX + b
forme B =
avec a; b; ; 2 R; k 2 N et X 2 + X + de
2
(X + X + )k
discriminant négatif.
Théorème 3.6 –toute fraction rationnelle à coe¢ cent dans C[X] s’écrit
de manière unique comme somme de sa partie entière et d’élément simples
de première espèce. Plus précisement:
si est un pôle de R d’ordre k, alors on a:
R=
b1
X
+
b2
(X
)2
+ ::: +
bk
(X
où T est une fraction rationnelle n’admettant pas
)k
+T
comme pôle.
48
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
– toute fraction rationnelle à coe¢ cient réel s’écrit de manière unique
comme somme de sa partie entière et d’éléments simples de 1ère ou de 2ème
espèce. Plus précisement, si (X 2 + X + )k de discriminant négatif est
facteur maximale dans Q alors on a:
R=
a1 X + b 1
+ X+
X2
+
a2 X + b 2
ak X + b k
+ ::: +
+T
2
2
+ X+ )
(X + X + )k
(X 2
où T est une fraction rationnelle dont X 2 + X +
du dénominateur.
n’est pas un facteur
Determination des coe¢ cients ai et bi
Soit un pôle de R
–si est un pôle simple, on a:
b
+ T où n’est pas un pôle de T: Alors on a:
R=
X
b = lim (x
x!a
)R (x)
On note aussi: lim (x
)R (x) = (x
)R (x) jx=
x!a
–si est un pôle d’ordre k, on a:
b2
bk
b1
+
+
:::
+
+ T où n’est pas un pôle de
R=
X
(X
)2
(X
)k
T:
Alors on a: 80
i
k
bk
1:
i
=
1
lim [(x
i! x!a
)k R (x)](i) ;
où (i) désigne la dérivée ieme:
On note aussi: lim [(x
x!a
)k R (x)](i) = [(x
– On peut aussi utiliser lim xR (x)
x!1
l’égalité.
)k R (x)](i) jx=
appliqué aux deux membres de
- Dans la formule de décomposition en éléments simples, on peut donner
à la variable X une ou plusieurs valeurs particulières dans C; pour obtenir
une ou plusieurs relations supplémentaires entre les coe¢ cients à déterminer
3.2. FRACTION RATIONNELLE
–On peut aussi faire la division d’ordre croissant à l’ordre k
la multiplicité du pôle.
49
1; où k est
Procédé de décomposition en éléments simples
soit à décomposer R =
P
en éléments simples:
Q
–1ère étape:
Si R n’est pas propre, on extrait la partie entière par la division euclidienne de P par Q:
On obtient R = E(R) + R1 ; où R1 est propre.
–2ème étape:
Si Q n’est pas sous forme de produit de facteurs irréductibles on factorise
Q
– 3ème étape :
On écrit la formule de la composition avec des coe¢ cients à déterminer
– 4ème étape:
On calcul les coe¢ cients
Exemple 7: Décomposer en éléments simples des C(X) et dans R(X)
R=
X4
2X 5 3X
2X 1
;U=
3
2
2X + 2X
2X + 1
(X 1) (X + 2)3
Résolution
Décomposition de R
1) R n’est pas propre, donc on extrait sa partie entière par une
division euclidienne.
50
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
On a donc 2X 5
4X + 3X 4
3X = (X 4
2X 3 + 2X 2
2X + 1) (2X + 4) + 4X 3
2
4X 3 4X 2 + 3X 4
d’où R = 2X + 4 + 4
X
2X 3 + 2X 2 2X + 1
2) on factorise le denominateur
2) Q = X 4 2X 3 + 2X 2 2X + 1
Dans l’exemple 6, on a trouvé
X 4 2X 3 + 2X 2 2X + 1 = (X 1)2 (X 2 + 1) donc
2X 5 3X
P =
(X 1)2 (X 2 + 1)
3) On écrit la formule de la décomposition de P en éléments simples
Dans R(X)
a2
bX + c
a1
+
+ 2
P = 2X + 4 +
2
X 1 (X 1)
X +1
4) on détermine a1 , a2 , b et c
2x5 3x
1
a2 = lim 2
=
x!1 (x + 1)
2
0
5
1
2x
3x
(10x4 3)(x2 + 1) 2(2x5 2)
1
a1 = lim
=
lim
=
2
2
2
x!1
1!
(x + 1)
(x + 1)
2
x!1
X=0)0=4
)0=4
1
)c=
2
4
a1 + a2 + c
1
+c
2
3.2. FRACTION RATIONNELLE
X=
1)
a1 a2
+
+
2
4
1
=2
8
) 1 = 16
4a1 + 2a2
) 1 = 16
16
1
)b=0
P = 2X + 4 +
51
b+c
2
4b + 4c
4b + 2
4
X
1
1=2
1=2
+ 2
2
(X 1)
X +1
Dans C
posons P1 (X) =
P1 (X) =
1=2
X2 + 1
a
b
1=2
=
+
i)(X + i)
X i X +i
(X
1=2
=
+i
a = lim
1
i
4
x!i X
b = lim
1=2
x!i X
1
= i
i
4
P = 2X + 4 +
4
X
1
1=2
(X 1)2
1=4
1=4
i+
i
X i
X +i
Décomposition de U
1) E(U ) = 0
2) Le dénominateur est déjà sous la forme factorisée
3) On écrit la formule de la décomposition de U en éléments simples
U=
a
X
1
+
b1
b2
b3
+
+
X + 2 (X + 2)2 (X + 2)3
4) on détermine a; b1 ; b2 et b3
posons t = X + 2 ) X = t
U=
2
2(t 2) 1
2t 5
=
3
(t 2 1)t
(t 3)t3
Division d’ordre croissant de 2t
5 par t
3 à l’ordre 2.
52
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
1 2
1
On a donc: 2t 5 = (t 3)
t
t + 53 +
27
9
5=3 1=9 1=27
1=27
5 + 2t
= 3
+
)
3
2
( 3 + t)t
t
t
t
3+t
On en déduit:
5=3
1=9
1=27
1=27
U=
+
3
2
(X + 2)
(X + 2)
X +2 X 1
Autre méthode
2x 1
1
a = lim
=
3
x!1 (x + 2)
27
2x 1
5
b3 = lim
=
x! 2 x
1
3
lim xQ (x) = 0 = a + b1 + 0 + 0
x!1
1
) b1 = a =
27
1
1
1
1
X = 0 ) = a + b1 + b2 + b3
8
2
4
8
1
1
1 = 8a + 4b1 + b2 + b3
4
8
4
5
8
1=
+ 2b2 +
27 27
3
1
4 5
) b2 = [1 +
]
2
9 3
1
b2 =
9
1
27
3.3. EXERCICES CORRIGES
Ou encore
2X
1
b2 = lim[
1!
X
x! 2
10
1
] = lim
=
x! 2 (X
1
1)2
53
1
9
a b
c d
ax + b 0
) =
rappel: on a (
cx + d
(cx + d)2
3.3
EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
Factoriser dans C [X] puis dans R [X] P = X 4 + 1
Exercice 2
Décomposer en éléments simples dans R (X) :
X2 + 1
R= 4
X +1
Résolution
Exercice 1
P = X4 + 1
Dans C(X)
P = (X 2 ) i2 = (X 2 i)(X 2 + i)
= (X 2 i)(X 2 ( i))
= (X 2 ei =2 )(X 2 e i =2 )
= (X 2 (ei =4 )2 )(X 2 (ei =4 )2 )
i =4
i =4
i =4
i =4
p = (X
p e )(X
p + e p )(X ep )(X
p +e
p)
2
2
2
2
2
2
2
P = (X
i
)(X +
+i
)(X
+i
)(X +
2
2
2
2
2
2
2
Autre méthode
Résolvons l’équation (E) : X 4 + 1 = 0
(E) () X 4 = 1 ) X 4 = ei
X 2 fei( =4+2k 4 ) ; 0 k 3g
k = 0 =) X = ei =4
k = 1 =) X1 = e3i =4
k = 2 =) X2 = e5i =4 = e 3i =4
k = 3 =) X = e7i =4 = e i =4
donc: P (X) = (X ei =4 )(X e3i =4 )(X e 3i =4 )(X e i =4 )
Dans R(X)
P = (X ei =4 )(X e3i =4 )(X e 3i =4 )(X e i =4 )
= (X ei =4 )(X e i =4 ) (X e3i =4 )(X e 3i =4 )
i
p
2
)
2
54
CHAPITRE 3. POLYNONE - FRACTION RATIONELLE
= X 2 (ei =4 + e i =4 X + 1) X 2 (e3i =4 + e
= X 2 2 cos 4 X + 1 X 2 + 2 cos 34 X + 1
p
p
2X + 1)(X 2 + 2X + 1)
P = (X 2
Autre méthode
P = X 4 + 2X 2 + 1 2X 2
2
= (X 2 + 1) p 2X 2
p
= X2 + 1
2X X 2 + 2X + 1
p
p
2X + 1)(X 2 + 2X + 1)
P = (X 2
3i =4
X + 1)
Exercice 2
X2 + 1
R= 4
X +1
1) E(R) = 0; R est propre.
p
p
2X + 1)(X 2 + 2X + 1)
2) D’après l’exercice 1, X 4 + 1 = (X 2
X2 + 1
p
p
d’où R =
(X 2
2X + 1)(X 2 + 2X + 1)
aX + b
cX + d
p
p
3) R =
+
X2
2X + 1 X 2 + 2X + 1
lim xR(x) = 0 = a + c
(1)
x!1
X =0)1=b+d
(2)
ai + b ci + d
p + p
X=i)0=
i 2
i 2
) 0 = (ai + b) + ci + d
) ( a + c)i b + d = 0
a=c
(3);
b=d
(4)
(1) et (3) =) a = c = 0
1
(2) et (4) =) b = d =
2
1=2
1=2
p
p
R=
+
2
2
X
2X + 1 X + 2X + 1
Chapitre 4
GROUPE - ANNEAU CORPS
4.1
4.1.1
GROUPE
Loi de composition interne (lci)
dé…nition 1: Soit E un ensemble non vide. une lci sur E est une application
de E E dans E: Dans ce cours nous noterons souvent " " cette loi donc:
:E E !E
(x; y) 7 ! x y
Exemples 1:
- l’addition dans N : (n; m) 7 ! n + m 2 N
- la multiplication dans N : (n; m) 7 ! nm 2 N
- Plus généralement l’addition et la multiplication sont des lci sur Z; Q; R
et C
- Soit ; =
6 E un ensemble et A(E) l’ensemble des applications de E dans
E: la loi (composition des applications) est une lci sur A(E):
* P(E); l’ensemble des parties de E. la réunion et l’intersection sont des
lci sur P(E)
4.1.2
Magma
Dé…nition 2: un magma est un objet (E; ) où E est un ensemble non vide
et une lci sur E:
* Table de Cayley d’un magma
Soit (E; ) un magma, E …ni avec E = fa1 ; :::; an g
55
56
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
table de Cayley de (E; )
y
?
E E
a1
a2
..
.
a1
a2
aj
a1 a1
a2 a1
..
.
a1 a2
a2 a2
..
.
a1 aj
a2 aj
..
.
an
a1 an
a2 an
..
.
ai
..
.
ai a1
..
.
ai a2
..
.
ai aj
..
.
ai an
..
.
an
an a1
an a2
an aj
an an
Exemple 2: E = f 1; 0; 1g
E E=E
x y = xy
table de Caylay de (E; )
y
?
E E
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
Dans toute la suite (E; ) est un magma.
commutativité
La loi est dite commutative si:
8x; y 2 E; x y = y x
associativité
La loi est dite associative si:
8x; y; z 2 E; (x y) z = x (y z) (qu’on écrit alors x y z)
élément neutre
e 2 E est dite élément de E pour
8x 2 E; x e = x = e x
si:
Element symétrique
On suppose que E possède un élément neutre e:
Soit x 2 E: y 2 E est dite symétrique de x si:
x y=e=y x
4.1. GROUPE
57
Element régulier
a 2 E est régulier si:
8x; y 2 E; a x = a y ) x = y et x a = y a ) x = y
propriétés
–L’élément neutre de E s’il existe est unique. On le note eE
– Si (E; ) possède un élément neutre et si est associative alors le
symétrique d’un élément x lorsqu’il existe est unique. On le note x 1 :
Dans la suite, on suppose que
est associative et admet un élément neu-
tre.
–Si x est symétrisable alors x 1 est symétrisable et on a:
(x 1 ) 1 = x
–Si x et y sont symétrisables alors x y est symétrisable et on a:
(x y) 1 = y 1 x 1
Règles de calculs
8x 2 E; on pose:
x0 = eE ; x1 = x; x2 = x x; :::; xn = |x x {z::: x}; 8n 2 N :
n facteurs
si x est symétrisable, on pose x n = (xn ) 1 .
Alors 8x; y 2 E; 8n; m 2 Z on a:
xn xm = xn+m ; (xn )m = xnm
Si x y = y x alors (x y)n = xn y n
Exemples 3
L’élément neutre de (N; +); (Z; +); (Q; +); (R; +) et (C; +) est 0
L’élément neutre de (N; ); (Z; ); (Q; ); (R; ) et (C; ) est 1
Tout élément de (Z; +); (Q; +); (R; +) et (C; +) est symétrisable, le symétrique
de x est x:
0 est le seul élément symétrisable de (N; +)
–l’élément neutre de (A(E); ) est l’application identique de E; IdE :
Une application f 2 A(E) est symétrisable si et seulement si elle est
bijective et son symétrique est son application réciproque f 1 :
Cas particulier
Dans certains magmas (E; ) où est commutative la loi est notée " + "
notamment l’addition dans les anneaux. L’élément neutre de E est noté 0E
58
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
et est appelé l’élément nul ou le zéro de E: 8x 2 E; le symétrique de x est
noté x et est appelé l’opposé de x:
On pose: 0x = 0E ; 1x = x; 2x = x + x; nx = x
{z::: + x}; et ( n)x =
| +x+
n termes
(nx)
4.1.3
Groupe
Un groupe G est un ensemble muni d’une loi véri…ant:
– est interne (c’est-à-dire 8x; y 2 G; x y 2 G)
– est associative
–G admet un élément neutre pour
–tout élément de G est symétrisable.
Si de plus est commutative alors le groupe est dit commutatif ou abélien.
Le groupe est noté (G; ):
Propriétés
Tout élément d’un groupe est régulier.
La table de Cayley d’un groupe est un carré latin (tout élément de G
…gure une et une seule fois sur chaque ligne et chaque colonne de la table).
Exemple 4:
(Z; +); (Q; +); (R; +) et (C; +) sont des groupes abéliens.
(Q ; ); (R ; ) et (C ; ) sont des groupes abéliens.
Théorème du monoïde
Dé…nition 3: Un monoïde est un objet (M; ) où M est un ensemble non
vide, une lci sur M; associative et possédant un élément neutre.
Théorème 4.1 (du monoïde): Soit (E; ) un monoïde, on note U (E)
l’ensemble des éléments symétrisables de E. alors (U (E); ) est un groupe (
qui est abélien si est commutatif).
Application
Soit ; =
6 X un ensemble, on note S(X) l’ensemble des bijections de X. Alors
(S(X); ) est un groupe appelé le groupe symétrique de X.
En e¤et considérons (A(E); ); l’ensemble des applications de E dans E
muni de la composition des applications
4.1. GROUPE
59
(A(E); ) est un magma. On a vu en logique que la composée de deux
applications dans E est une application dans E donc la loi " est interne dans
A(E)": On a vu aussi que la composition des applications est associative. On
a vu aussi que A(E) possède un élément neutre pour la loi " " qui est IdE :
Alors d’après le théorème, (U (A(E)); ) est un groupe.
f 2 U (A(E)) , f est symétrisable pour la loi " " ce qui équivaut à f
est bijective c.à.d que f 2 S(X) donc U (A(E)) = S(X)
Conclusion: (S(X); ) est un groupe.
Dans ce qui suit, (G; ) est un groupe.
4.1.4
sous groupe
Un ensemble H est dit un sous groupe de G si H
des conditions équivalentes suivantes:
i) (H; ) est un groupe;
ii) eG 2 H et 8x; y 2 H; x y 2 H et x 1 2 H;
iii) eG 2 H et 8x; y 2 H; x y 1 2 H:
G et si H véri…e l’une
On écrit alors H < G ou (H; ) < (G; )
Si loi est notée +; alors ces conditions s’écrivent:
ii) , 0G 2 H et 8x; y 2 H; x + y 2 H et x 2 H
iii) , 0G 2 H et 8x; y 2 H; x y 2 H
Exemples 5:
- Soit (G; ) un groupe. Alors:
feg < G et G < G
feg et G sont appelés les sous groupes triviaux de G:
- On a:
(Z; +) < (Q; +) < (R; +) < (C; +)
(Q ; ) < (R ; ) < (C ; )
Z(G) = fg 2 G; g x = x g; 8x 2 Gg est un sous groupe de G appelé
le centre de G:
Propriété: Tout sous groupe d’un groupe abelien est abelien.
60
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
4.1.5
Morphisme de groupe
morphisme de magma
Soient (M; ) et (N; ?) des magmas. Une application f : M
un morphisme de magma si:
! N est dite
8x; y 2 M; f (x y) = f (x) ? f (y)
- si en plus f est bijective alors f est appelé un isomorphisme.
- Deux magmas sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de l’un
dans l’autre.
- Si (M; ) et (N; ?) sont des groupes, f est alors appelé un morphisme
de groupes, et un isomorphisme de groupes si en plus f est bijective.
Exemple 6:
R ! R+
f:
x 7 ! ex
Montrer que f est un isomorphisme du groupe (R; +) dans le groupe
(R ; ):
Résolution
8x; y 2 R; f (x + y) = ex+y
= ex ey
= f (x) f (y)
f est donc un morphisme.
En plus on sait que ex est une bijection de R ! R+
f est bijective. En conclusion f est un isomorphisme de groupe.
Théorème 4.2: Soit f : M ! N un isomorphisme des magmas (M; )
et (N; ?): Alors si l’une des lois est associative (resp. commutative, resp.
admet un élément neutre, resp. tout élément symétrisable), alors il en est de
même pour l’autre. En particulier, si l’un des magmas est un groupe (resp.
un groupe abelien) alors il en est de même pour l’autre.
En d’autres termes, si deux magmas sont isomorphes, alors ils ont la
même nature.
4.1.6
noyau, image
Soient (G; ) et (G0 ; ?) deux groupes et f : G
groupe.
! G0 un morphisme de
4.2. ANNEAUX- CORPS
61
Le noyau de f est ker f = fg 2 G; f (g) = eG0 g:
l’image de f est: Im f = f (G) = ff (g); g 2 Gg = fg 0 2 G0 ; 9g 2 G =
f (g) = g 0 g
Propriétés Soit f : G ! G0 un morphisme de groupe. Alors on a:
- ker f < G;et Im f < G0
- f (eG ) = eG0
- 8g 2 G; f (g 1 ) = [f (g)] 1
- si H < G alors f (H) < G0
- si H 0 < G0 alors f 1 (H 0 ) < G
- f est injective , ker f = feG g
- f est surjective , Im f = G0
Si f est bijective alors f 1 est un morphisme de groupes.
- La composée de deux morphisme de groupes est un morphisme de
groupes.
4.2
4.2.1
Anneaux- Corps
dé…nition
Un anneaux est un objet (A; +; :) où A est un ensemble " + " et ":" des lci
sur A telles que:
- (A; +) est un groupe abelien;
- La loi ":" est associative
- La loi ":" admet un élément neutre
- La loi ":" est distributitive par rapport à la loi " + " c’est-à-dire
8a; x; y 2 A; on a: a:(x + y) = a:x + a:y et (x + y):a = x:a + y:a
Si de plus ":" est commutative l’anneau est dit commutatif.
Notation
Les notations et les règles de calculs de (A; +) sont celles des groupes
additives.
L’élément neutre de A pour la loi ":" est appelé l’élément unité de A et
noté 1A
Exemples 7
(Z; +; :); (Q; +; :); (R; +; :) et (C; +; :) sont des anneaux commutatifs.
Dans toute la suite (A; +; :) est un anneau
62
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
4.2.2
Sous Anneau
B est dit un sous anneau de A si B A et si B véri…e l’une des conditions
équivalentes suivantes:
i) (B; +; :) est anneau
ii) 1A 2 B et 8x; y 2 B; x y 2 B et x:y 2 B
Exemple 8: Z est un sous anneau de Q; Q est un sous anneau de R; et
R est un sous anneau de C:
4.2.3
Morphisme d’anneau
Soit (A; +; :) et (A0 ; ; ) des anneaux.
f : A ! A0 est dit un morphisme d’anneau si on a:
- f (1A ) = 1A0
- 8x; y 2 A; f (x + y) = f (x) f (y) et f (x:y) = f (x)
f (y)
Les dé…nitions de noyau, d’image et des propriétés des morphismes d’anneau
sont les mêmes que ceux d’un morphisme de groupes.
Element inversible
x 2 A est dit inversible s’il est symétrisable pour la loi ":"
4.2.4
Corps
(A; +; :) est un corps si tout élément de A = Anf0A g est inversible.
Exemple 9: (Q; +; :); (R; +; :) et (C; +; :) sont des corps commutatifs.
4.3
EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
Etudier les lois suivantes sur R dé…nies 8x; y 2 R par:
1
x y = (x + y)
2
x y =x+y 1
Exercice 2
On munit R de la loi dé…nie par:
8x; y 2 R; x y = x + y
xy
4.3. EXERCICES CORRIGES
63
1 Etudier la loi : (R; ) est il un groupe?
2 a) Quels sont les éléments symétrisables de (R; )?
b) Montrer que (Rn f1g ; ) est un groupe abélien.
3 Montrer que l’application f : x 7 ! 1 x est un isomprphisme de
(Rn f1g ; ) vers (R ; )
Exercice 3
Sur E =]0; +1[ on dé…nit la loi par:
8x; y 2 E; x y = xln y
1 Montrer que la loi est une loi de composition interne sur E:
2 Montrer que l’application g : x 7 ! ex est un isomorphisme de (R; +; )
vers (E; ; ) : qu’en déduit-on pour (E; ; )?
Résolution
Exercice 1
La loi
- est-elle interne dans R?
1
8x; y 2 R; x y = (x + y) 2 R donc la loi est interne dans R
2
- commutativité
8x; y 2 R; a t-on x y = y x?
1
x y = (x + y)
2
1
= (y + x) (car + est commutative dans R)
2
x y = y x donc la loi est commutative
- Associativité
8x; y; z 2 R; a t-on (x y) z = x (y z)?
1
(x y) z = (x + y) z
2
1 1
= [ (x + y) + z]
2 2
1
1
1
= x+ y+ z
4
4
2
1
(y + z)
x (y z) = x
2
1
1
= [x + (y + z)]
2
2
1
1
1
= x+ y+ z
2
4
4
1
1
1
1
1
1
On n’a pas toujours : x + y + z = x + y + z
4
4
2
2
4
4
64
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
à:
par exemple si:
x = 0; y = 0; z = 2
1
5
(1 0) 2 = + 0 + 1 =
4
4
1
1
1 (0 2) = + 0 + = 1
2
2
on a (1 0) 2 6= 1 (0 2) donc la loi n’est pas associative
- Elément neutre?
e 2 R est élément neutre pour si:
8x 2 R;on a: e x = x e = x; comme est commutative ceci équivaut
8x 2 R; e x = x
1
e x = x , (e + x) = x
2
, e + x = 2x
,e=x
Tout élément de R est élément neutre pour la loi ce qui est impossible
car l’élément neutre est unique.
Donc R n’a pas d’élément neutre.
- Elément symétrique
Comme la loi n’admet pas d’élément neutre, on ne peut pas parler
d’élément symétrique.
La loi
- est elle interne dans R?
8x; y 2 R; x y = x + y 1 2 R
donc est interne dans R
- Commutativité
8x; y 2 R; a t-on x y = y x?
x y =x+y 1
= y + x 1 (car + est commutative dans R)
x y = y x donc est commutative
Associativité
8x; y; z 2 R; a t-on (x y) z = x (y z)?
(x y) z = (x + y 1) z
= (x + y 1) + z 1
(x y) z = x + y + z 2
(1)
x (y z) = x (y + z 1)
= x + (y + z 1) 1
x (y z) = x + y + z 2
(2)
(1) et (2) =) (x y) z = x (y z) donc est associative.
- Elément neutre
e 2 R est élément neutre pour si:
4.3. EXERCICES CORRIGES
65
8x 2 R; x e = e x = x
ceci équivaut à 8x 2 R; x e = x car est commutative
x e=x,x+e 1=x
e 1 = 0 () e = 1
Donc 1 est élément neutre pour :
- Elément symétrique
Soit x 2 R. y 2 R est symétrique de x si:
x y = y x = 1 ce qui équivaut à x y = 1 (car est commutative)
x y =1,x+y 1=1
,y = x+2
Donc chaque élément x de R admet y = x + 2 comme symétrique.
En conclusion (R; ) est un groupe abélien.
à:
Exercice 2
1 Etudions la loi
- La loi est-elle interne dans R?
8x; y 2 R; x y = x + y xy 2 R; donc la loi est interne dans R:
- commutativité
8x; y 2 R; a t-on x y = y x?
x y = x + y xy
= y + x yx
x y=y x
alors la loi est commutative.
- associativité
8x; y; z 2 R; a t-on (x y) z = x (y z)?
(x y) z = (x + y xy) z
= (x + y xy) + z (x + y xy) z
= x + y xy + z xz yz + xyz
(x y) z = x + y + z xy xz yz + xyz (1)
x (y z) = x (y + z yz)
= x + (y + z yz) x (y + z yz)
= x + y + z yz xy xz + xyz
x (y z) = x + y + z xy xz yz + xyz (2)
(1) et (2) =) (x y) z = x (y z) donc la loi est associative
- élément neutre
e 2 R est élément neutre pour la loi si:
8x 2 R; on a e x = x e = x: Comme est commutative, ceci équivaut
8x 2 R; e x = x
e x = x () e + x ex = x
() e ex = 0; 8x 2 R
66
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
Ceci signi…e que la foncion polynôme P (x) = e ex est nulle. Alors tous
ses coe¢ cients sont nuls c.àd e = 0:
Donc e = 0 est élément neutre pour la loi :
- élément symétrique
Soit x 2 R: y 2 R est élément symétrique de x pour la loi si:
on a x y = 0 = y x: Comme est commutative, ceci équivaut à:
x y = 0:
x y = 0 () x + y xy = 0
() y(1 x) = x ( )
x
Si x 6= 1; on a y =
x 1
Pour x = 1; ( ) s’écrit:
0y = 1; impossible donc 1 n’a pas d’élément symétrique.
x
En somme, 8x 2 Rn f1g ; x admet un symétrique avec x 1 =
;1
x 1
n’a pas de symétrique
En dé…nitif, (R; ) n’est pas un groupe car 1 n’est pas symétrisable.
2 Eléments symétrisables de (R; )
On vient de montrer à l’instant que les éléments symétrisables de (R; )
sont les éléments de Rn f1g
Montrons que (Rn f1g ; ) est un groupe
On a montré que la loi est interne dans R; qu’elle est associative et
qu’elle admet un élément neutre, donc (R; ) est un monoïde. Alors d’après
le théorème du monoïde, (U (R); ) est un groupe, où U (R) désigne l’ensemble
des éléments symétrisables de (R; ) : Or d’après ce qui précède, on a U (R) =
Rn f1g : Par conséquent, (Rn f1g ; ) est un groupe qui est abélien car la loi
est commutative.
3 Montrons que f est un isomorphisme.
Il s’agit de montrer que f est un morphisme et que f est bijective.
- Montrons que f est un morphisme
8x; y 2 Rn f1g ; a t-on f (x y) = f (x) f (y)?
f (x y) = f (x + y xy)
= 1 (x + y xy)
= 1 x y + xy
= 1 x y (1 x)
= (1 x) (1 y)
f (x y) = f (x) f (y) donc f est un morphisme
- Montrons que f est bijective.
8y 2 R ; résolvons l’équation, x 2 Rn f1g ; f (x) = y
8x 2 Rn f1g ; f (x) = y () 1 x = y
() x = 1 y
4.3. EXERCICES CORRIGES
67
Comme y 2 R ; alors y 6= 0; d’où 1 y 6= 1 et alors on a x 2 Rn f1g :
On vient de montrer que tout élément y de R admet un antécédent unique
x = 1 y dans Rn f1g ; donc f est bijective.
En somme, f est un isomorphisme.
Exercice 3
1 Montrons que la loi est interne dans E:
8x; y 2 E; on a x > 0 et y > 0 donc ln x et ln y sont dé…nis.
On a x y = xln y = e(ln x) (ln y) > 0; donc x y 2 E: Alors la loi est
interne dans E:
2 Montrons que g est un isomorphisme.
Il s’agit de montrer que g est un morphisme et qu’elle est bijective
- On sait que la fonction x 7 ! ex est une bijection de R dans ]0; +1[;
donc g est bijective.
- Montrons que g est un morphisme
8x; y 2 R; a t-on: g(x + y) = g(x) g(y) et g(x y) = g(x) g(y)?
: g(x + y) = ex+y
= ex ey
g(x + y) = g(x) g(y);
: g(x y) = exy
x
y
= eln(e ) ln(e ) (car 8x 2 R; ln (ex ) = x)
= ex ey (car on a montré au début que a b = e(ln a) (ln b) )
g(x y) = g(x) g(y)
En somme, g est un morphisme
Etant un morphisme bijectif, alors g est un isomorphisme.
Déduisons la structure de (E; ; )
Comme g est un isomorphisme, alors (R; +; ) et (E; ; ) sont isomorphes, donc ils sont de même nature. Or (R; +; ) est un corps commutatif,
alors (E; ; ) aussi est un corps commutatif.
68
CHAPITRE 4. GROUPE - ANNEAU - CORPS
Chapitre 5
MATRICES
5.1
5.1.1
GENERALITES
Dé…nitions
- Une matrice est un tableau de nombres réels ou complexes organisé en lignes
et en colonnes.
Exemple 1:
T =
2 1 0
3 5
2
C1 C2 C3
L1
L2
- Les nombres réels ou complexes …gurant dans le tableau sont appelés
les coe¢ cients de la matrice.
Exemple 2: les coe¢ cients de T sont: 2; 1; 0; 5; 3; 2
Le format d’une matrice est le couple (m; n) 2 (N )2 où m est le nombre
de lignes et n est le nombre de colonnes.
Exemple 3: T est de format (2; 3)
- L’ensemble de matrices de format (m; n) à coe¢ cients dans | (| = R
ou | = C) est noté Mm;n (|):
On a Mm;n (R) Mm;n (C)
69
70
CHAPITRE 5. MATRICES
Exemple 4: T 2 M2;3 (R)
- Soit A 2 Mm;n (|) . On note Li la ieme ligne de A, Cj la jeme colonne
de A:
On pose A = (aij )1 i m 2 Mm;n (|) ou simplement (aij ) en absence de
1 j n
risque de confusion. Pour le coe¢ cient aij , i représente sa ligne et j sa
colonne.
0
1
a11 a12 ::: a1j ::: a1n
L1
B a21 a22 ::: a2j ::: a2n C L2
B
C
B :::
::: ::: ::: ::: ::: C
B
C :::
(aij )1 i m = B
C
1 j n
B ai1 ai2 ::: aij ::: ain C Li
@ :::
::: ::: ::: ::: ::: A :::
am1 am2 ::: amj ::: amn
Lm
:C1 :C2 ::: :Cj ::: :Cn
81 i m; Li est aussi assimilé à un vecteur de Rn et 81 i n; Cj
est assimilé à un vecteur de Rm :
1
0
a1j
B a2j C
C
B
en e¤et, Li = (ai1 ; ai2 ; :::; ain ) Cj = B .. C
@ . A
amj
2 1 0
Exemple 5: T =
: On peut poser T = (aij ) 1 i 2 : Alors:
3 5
2
1 j 3
a11 = 2; a23 = 2
2 ) v (3; 5; 2) 2 R3
L2 = ( 3 5
1
C2 =
v (1; 5) 2 R2
5
5.1.2
Egalité de deux matrices
Deux matrices A = (aij ) , B = (bij ) sont égales si:
A et B ont le même format (m; n)
pour tout 1 i m et 1 j n; aij = bij , c’est -à-dire les coe¢ cients
de A et de B de même ordre sont égaux.
Exemple 6:
Soient les matrices A =
a + b 2a + c
a
b+d
Détermine a; b; c; d pour qu’on ait A = B
Résolution
; B=
1 2
0 3
5.1. GENERALITES
71
8
8
a
+
b
=
1
a=0
>
>
>
>
<
<
2a + c = 2
b=1
A = B ()
()
a=0
c=2
>
>
>
>
:
:
b+d=3
d=2
5.1.3
Matrices particulières
–matrice nulle
La matrice nulle de Mm;n (|) est la matrice de format (m; n) dont tous les
coe¢ cients sont nuls. On la note: 0Mm;n (|) ou 0
Exemple 7:
0M2;3 (|) =
0 0 0
0 0 0
–matrice de format (1; 1)
Une matrice de format (1; 1) est constituée d’un seul élément de | et
assimilé à cet élément. On a donc 8a 2 |; (a) = a
– matrice ligne, matrice colonne
Une matrice ligne est une matrice constituée d’une seule ligne:
L = a1 a2 ::: an
Une matrice colonne est une matrice constituée d’une seule colonne:
0
1
b1
B b2 C
C
C=B
@ ::: A
bm
–matrice carrée
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice ayant le même nombre n de
lignes et de colonnes. On note Mn (|) l’ensemble des matrices carrées d’ordre
n à coe¢ cients dans | .
Diagonale - antidiagonale
Soit A = (aij )1 i;j n 2 Mn (|) ;alors:
le n-uplet D = (a11 ; a22 ; :::; ann ) est appelé la diagonale de A:
Le n-uplet (a1n ; a2n 1 ; ::; an1 ) est appelé antidiagonale de A
72
CHAPITRE 5. MATRICES
0
B
B
B
A=B
B
B
@
a11
a21
:::
ai1
:::
an1
a12
a22
:::
ai2
:::
an2
:::
:::
:::
:::
:::
:::
a1j
a2j
:::
aij
:::
anj
:::
:::
:::
:::
:::
:::
a1n
a2n
:::
ain
:::
ann
1
C
C
C
C
C
C
A
–matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coe¢ cients en dehors de la diagonale sont tous nuls.
A = (aij ) 2 Mn (K) est une matrice diagonale () aij = 0 si i 6= j; on la
note alors: A = Diag(a11 ; a22 ; :::; ann )
Exemple 8:
0
1
2 0 0
A = @ 0 3 0 A est une matrice diagonale
0 0 0
A = Diag( 2; 3; 0)
- Matrice unité d’ordre n : In
In est la matrice diagonale d’ordre n dont les éléments diagonaux sont
égaux à 1.
In = Diag(1; 1; :::; 1) = ( ij )
1 si i = j
où: ij =
0 si i 6= j
Exemple 9:
0
1
1 0 0
I3 = @ 0 1 0 A
0 0 1
- Matrice triangulaire
Une matrice triangulaire supérieure ( resp inférieure) est une matrice dont
les coe¢ cient en dessous (resp au dessus) de la diagonale sont tous nuls.
Exemple 10:
0
2 0
1
A=@ 3
5 0
1
0
0 A est une matrice triangulaire inférieure
2
5.2. OPERATIONS SUR LES MATRICES
5.2
5.2.1
73
OPERATIONS SUR LES MATRICES
La transposition
Soit A 2 Mm;n (|) , la transposée de A est la matrice t A obtenu en échangeant
les lignes et les colonnes de A: Donc si A = (aij ) 2 Mm;n (|) alors t A = (aji ) 2
Mn;m (|)
Exemple 11:
T =
2 1
3 5
0
2
t
@
1
on a T =
0
0
2
1
3
5 A
2
–Matrice symétrique
Une matrice symétrique est une matrice carrée A telle que: t A = A
5.2.2
Addition des matrices
8A = (aij )1
i m
1 j n
, B = (bij )1
i m
1 j n
On dé…nit:
A + B = (aij + bij )1
i m
1 j n
2 Mm;n (|) ; donc de même format (m; n).
2 Mm;n (|)
Exemple 12:
2 4
1 0
A=
3
2
et B =
3
2
1 0
1 5
on a:
2+3 4 1
1+2 0+1
A+B =
A+B =
1 3
3 1
3+0
2+5
3
7
- Propriété: (Mm;n (|); +) est un groupe abelien. L’élément neutre de
Mm;n (|) est 0Mm;n (R) ou 0; l’opposé de A = (aij ) est A = (aij )
5.2.3
Multiplication d’une matrice par un scalaire
8A = (aij )1
i m
1 j n
on pose:
2 Mm;n (|) ;
A = ( aij )1
i m
1 j n
2|
2 Mm;n (|)
74
CHAPITRE 5. MATRICES
A est la matrice de même format que A obtenue en multipliant chaque
coe¢ cient de A par :
- Propriétés
8A; B 2 Mm;n (R); 8 ; 2 R; on a:
(AB) = ( A)B = A ( B) ;
( + )A = A + A
(A + B) = A + B
5.2.4
Multiplication des matrices
Produit d’une ligne par une colonne
Soient
a1 a2 ::: an
L=
On pose:
0
1
b1
B b2 C
n
C
;C=B
@ ::: A 2 R
bn
X
! !
ak b k
LC = L C = a1 b1 + a2 b2 + ::: + an bn =
n
k=1
La multiplication des matrices est dé…nies par les règles suivantes:
–le produit AB est dé…nie si et seulement si le nombre de colonnes de A
est égal au nombre de lignes de B;
–elle véri…e l’axiome de Chalse pour les formats:
A
B = AB
(m; n) (n; p) ! (m; p)
t
–pour 1 i m et 1 j p, le coe¢ cient cij de AB est égal au produit
de la ieme ligne de A par la jeme colonne de B :
cij = Li Cj0
Exemple 13:
2 1
3 5
A=
0
2
0
3
@
1
et B =
1
1
0
2 A
2
Le produit AB est dé…ni car le nombre de colonnes de A égal à 3 qui est
égal au nombre de lignes de B et AB est de format:
(2; 3) (3; 2) ! (2; 2)
t
5.2. OPERATIONS SUR LES MATRICES
75
On a:
C10 C20
1
3
0
L
2 1 0
@ 1 2 A
AB = 1
L2
3 5
2
1
2
0
0
6 1+0 0+2+0
L1 C1 L1 C2
=
=
9 5 2 0 + 10 + 4
L2 C10 L2 C20
0
5 2
2 14
AB =
Propriétés:
La multiplication des matrices est:
–associative: (AB)C = A(BC)
–distributive par rapport à l’addition
A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA
- Elle n’est pas commutative en général
Exemple 14:
A=
2
1
0
1
1
0
3
1
: On a:
0
1
1
0
3
1
=
2+0 6+0
1+0 3+1
=
2 6
1 4
1 3
0
1
On a AB 6= BA
2
1
0
1
=
2+3 0 3
0 1 0+1
=
5
1
AB =
BA =
2
1
; B=
3
1
Cas des matrices carrées
– Le produit de deux matrices carrées d’ordre n est une matrice carrée
d’ordre n
–Le produit de deux matrices diagonales d’ordre n est une matrice diagonale d’ordre n: Plus précisement on a:
Diag a1 a2 ::: an
Diag b1 b2 ::: bn = Diag a1 b1 a2 b2 ::: an bn
- Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures)
d’ordre n est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) d’ordre n:
- 8A 2 Mn (R); on a: AIn = In A = A
Par conséquent In est l’élément neutre de la multiplication dans Mn (R).
En dé…nitif, (Mn (R); +; ) est un anneau
76
CHAPITRE 5. MATRICES
Matrice inversible
A 2 Mn (R) est inversible s’il existe B 2 Mn (R) telle que AB = In = BA
B est alors appelée la matrice inverse de A et notée A 1 :
Propriété: Binôme de Newton
Si AB = BA alors 8n 2 N on a
n
(A + B) =
n
X
Cnk Ak B n
k
k=0
5.3
DETERMINANTS
Le dérminant d’une matrice carré d’ordre n; A est un élément de | noté
det (A) ou jAj qui est dé…ni par recurrence de la façon qui suit:
n = 1 , A = (a) = a
det(a) = a
a b
n=2,A=
c d
a b
det A =
= ad bc
c d
n = 30: regle de Sarrus
1
a11 a12 a13
A = @ a21 a22 a23 A
a31 a32 a33
det(A) =
det(A) = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )
a33 a21 a12 )
Cas general
–mineur
(a31 a22 a13 + a32 a21 a11 +
5.3. DETERMINANTS
77
Soit A = (aij ) 2 Mn (K): 81 i; j n , on appelle mineur (i; j) de A le
scalaire minij (A) égal au déterminant de la matrice carrée d’ordre
n 1 obtenu en supprimant la ieme ligne et la j ieme colonne de A:
–cofacteur
Le cofacteur (i; j) de A est cofij (A) = ( 1)i+j minij (A)
Formule de calcul du déterminant suivant une ligne ou une
colonne
Soit A = (aij ) 2 Mn (K): Alors:
–pour i …xé, on a:
det(A) =
n
X
i+j
( 1)
aij minij (A) =
j=1
n
X
aij cofij (A) (calcul suivant Li )
j=1
–pour j …xé, on a:
n
n
X
X
i+j
det(A) =
( 1) aij minij (A) =
aij cofij (A) (calcul suivant Cj )
i=1
i=1
Exemple 15: calculer det(A) avec
0
1
3 2
1
1 0 A
A=@ 1
0 3
2
Résolution
méthode de Sarrus
3
jAj = 1
0
jAj = 13
2
1
3
1
0
2
= (6 + 0 + 3)
(0 + 0
Calculons jAj suivant L1
1 0
3
2
=6+4+3
jAj = 13
jAj = 3
2
Calculons jAj suivant C2
1
0
0
1
+1
2
0
1
3
4) = 13
78
CHAPITRE 5. MATRICES
jAj =
2
1
0
0
2
1
3
0
1
2
3
3 1
1 0
=4+6+3
jAj = 13
Propriétés du déterminant
Soit A = (aij ) 2 Mn (R). Alors:
det(A) = 0 dès que:
–une ligne (ou une colonne) de A est nulle
–une ligne (ou une colonne) est multiple d’une autre
–une ligne (ou une colonne) est une combinaison linéaire des autres
det(A) ne change pas si:
–on ajoute à une ligne (ou une colonne) de A un multiple d’une autre
–on ajoute à une ligne ( ou une colonne) de A une combinaison linéaire
des autres
(On utilise souvent ces règles pour annuler des coe¢ cients dans une ligne
(ou une colonne) où y obtenir un facteur commun).
–Si on multiplie une ligne (ou une colonne) de A par 2 R; le déterminant est multiplié par
Par conséquent on a:
- det( A) = n det(A)
- det(t A) = det(A)
- Le déterminant d’une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments de la diagonale.
Théorème 5.1: 8A; B 2 Mn (R); on a: det(AB) = det(A)
det(B)
Exemple 15: Calculer le déterminant des matrices suivants:
0
1
0
1
2
4 6
2
2 4
7 11 A ; B = @ 1
3 2 A
A=@ 1
1 2
3
5 1 8
Résolutions
jAj = 0 car L1 =
jBj =
2
1
5
2 4
3 2
1 8
2L3
=
2
1
5
C1 + C2 C3
0
2
6
2C1
0
0
2
= 2 ( 2) ( 2) =
5.4. CALCUL DE L’INVERSE
79
8
5.4
CALCUL DE L’INVERSE
Théorème 5.2: Soit A 2 Mn (|): Alors A est inversible si et seulement si
det(A) 6= 0
5.4.1
Règle de calcul de l’inverse
Soit A = (aij ) 2 Mn (|):
Comatrice
La comatrice de A est la matrice notée Com(A) obtenue en remplaçant
chaque coe¢ cient aij de A par cofij (A)
Théorème 5.2: On suppose A inversible c’est-à-dire det(A) 6= 0:Alors
on a:
A
1
=
1
1 t
com(A) =
comt A
det(A)
det(A)
Exemple 17:
0
1
2
2 4
3 2 A
B=@ 1
5 1 8
montrons que B est inversible et calculer B
Resolution:
B est inversible , det(B) 6= 0
On a calculé det(B) = 8 6= 0 donc B est inversible
1 t
B 1=
comB
jBj
3 2
1 2
1
3
1 8
5 8
5 1
2 4
2 4
2
2
com(B) =
1 8
5 8
5 1
2 4
2 4
2
2
3 2
1 2
1
3
0
1
26 2
16
4
12 A
com(B) = @ 20
8
0
4
80
CHAPITRE 5. MATRICES
0
1
26 20
8
t
4 0 A
Com(B) = @ 2
16
12
4
0
1
26 20
8
1@
1
2
4 0 A
B =8
16
12
4
0
1
13 10 4
1
2 0 A
B 1= @ 1
4
8
6
2
Propriété
On suppose A inversible alors: jAj
5.5
1
=
1
jAj
EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
Calculer les determinants Di suivants et lorsqu’ils dépendent de paramètres,
determiner pour quelles valeurs du paramètre ils sont nuls:
a
D1 = a
a
1 a
m 2
2
1
2
m
2
a 1 ; D2 =
a 0
2m 2m + 2 m + 1
Exercice 2
0
2
On considère les matrices A = @ 5
8
, où x et y sont des réels.
1
4
7
1
0
3 A et B =
6
Determiner les réels x et y tels que: BA = C où C =
4x 0
2y
y
0
y
0
30
5x + y
10
20
30
Exercice 3
On considère la matrice suivante. Véri…er que l’on a bien l’égalité demandée; en déduire l’inversibilité de cette matrice. Déterminer de deux
manières0di¤érentes son
1inverse.
1 0
0
5 6 A et A2 + A 2I = 0
A=@ 6
3
3 4
Exercice 4
5.5. EXERCICES CORRIGES
81
0
0
Soit la matrice A dé…nie par: A = @ 1
1
1
0
1
1
1
1 A.
0
1- Calculer A2
2- Trouver un polynôme P (X) de degré 2 tel que P (A) = 0:
3- En déduire A 1 : Retrouver A 1 par une autre méthode.
Exercice 5
0
1
Soit A = @ 0
0
0
0
1
1
0
1 A:
0
1- Calculer A2 et A3 et A3 A2 + A I
2- Exprimer A 1 en fonction de A2 ; A et I
3- Exprimer A4 en fonction de A2 ; A et I
Résolution
Exercice 1
a 1 a
a 1 L2 L1
D1 = a
a
a 0 L3 L1
a
1
a
a 1 1 a
= 0
0
a 1
a
a 1 1 a
=a
a 1
a L2
=a
a 1 1 a
0
1
D1 = a (a + 1)
D1 = 0 , a (a + 1) = 0
, a = 0 ou a + 1 = 0
, a = 0 ou a = 1
m
D2 =
2
2m
C1
2
C3
2
1
m
2
2m + 2 m + 1
L1
82
CHAPITRE 5. MATRICES
m
1
2
1
0
m
2
=
m 1 2m + 2 m + 1
1
2
1
m
2
1) 0
1 2m + 2 m + 1
= (m
= (m
1 2
1
2
1) 0 m
0 2m m + 2
= (m
1)
L3
L1
m
2
2m m + 2
D2 = (m 1) [m (m + 2) 4m]
= m (m 1) (m + 2 4)
D2 = m (m 1) (m 2)
D2 = 0 , m (m 1) (m 2) = 0
, m = 0 ou m 1 = 0 ou m
, m = 0 ou m = 1 ou m = 2
2=0
Exercice 2
0
2
@
5
A=
8
1
4
7
1
0
3 A et B =
6
4x 0
2y
y
y
0
Determinons x et y tels que BA = C; où C =
BA =
=
BA =
4x
2y
0
y
0
y
0
8x + 0 + 8y
4y 5y + 0
8x + 8y
y
BA = C ()
2
@ 5
8
1
4
7
1
0
3 A
6
4x + 0 + 7y
2y 4y + 0
4x + 7y
2y
8x + 8y
y
0
10
30
5x + y
20
30
0 + 0 + 6y
0 3y + 0
6y
3y
4x + 7y
2y
6y
3y
=
0
10
30
5x + y
20
30
5.5. EXERCICES CORRIGES
Par identi…cation, on a:
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
83
8x + 8y = 0
4x + 7y = 30
6y = 5x + y
y = 10
2y = 20
3y = 30
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(4) =) y = 10 d’où (1) =) 8x + 80 = 0 =) x = 10
(2) () 40 + 70 = 30 Vrai
(3) () 60 = 50 + 10 Vrai
(5) () 20 = 20
Vrai
(6) () 30 = 30
Vrai
Conclusion: BA = C () x = 10 et y = 10
Exercice 3
0
1 0
5
A=@ 6
3
3
Calculons A2
A2 = A
A2 + A
A2 + A
1
0
6 A et A2 + A
4
10
1
1 0
0
1 0
0
5 6 A@ 6
5 6 A
A=@ 6
3
3 4
3
3 4
0
1
1+0+0
0+0+0
0+0+0
= @ 6 30 + 18 0 + 25 18 0 30 + 24 A
3 18 + 12 0 + 15 12 0 18 + 16
0
1
1
0 0
6 A
A2 = @ 6 7
3 3
2
0
1 0
1
0
1
1
0 0
1 0
0
1 0 0
6 A+@ 6
5 6 A 2@ 0 1 0 A
2I = @ 6 7
3 3
2
3
3 4
0 0 1
0
1 0
1 0
1
1
0 0
1 0
0
2 0
0
6 A+@ 6
5 6 A+@ 0
2 0 A
=@ 6 7
3 3
2
3
3 4
0
0
2
0
1
0 0 0
@
0 0 0 A
2I =
0 0 0
Donc A2 + A
0
2I = 0
2I = 0
84
CHAPITRE 5. MATRICES
Déduisons que A est inversible
On a:
A2 + A 2I = 0 ) A2 + A = 2I
=) A (A + I) = 2I
1
=) A
(A + I) = I
2
1
On a trouvé une matrice B = (A + I) telle que AB = I alors A est
2
inversible et A 1 = B
1
donc A 1 = (A + I)
2
0
1 0
1 0
1
1 0
0
1 0 0
2 0
0
5 6 A+@ 0 1 0 A=@ 6
4 6 A
A+I =@ 6
3
3 4
0 0 1
3
3 5
0
1
2 0
0
1
4 6 A
Donc A 1 = @ 6
2
3
3 5
2e méthode
1
A 1=
det (A)
1
6
3
det (A) =
det (A) =
2
0
B
B
B
com (A) = B
B
B
@
0
com (A) = @
A
1
=
0
1@
2
Exercice 4
t
com (A)
0
5
3
0
6
4
=1
5 6
=
6 4
6 6
5 6
3 4
3 4
0
0
1 0
3 4
3 4
0 0
1 0
5 6
6 6
1
2
6
3
0
4
3 A
0
6
5
1
0
2 0 0
2
1@
A
6 4
6
6
=
2
3 3
5
3
20 + 18
6
3
5
3
1 0
3
3
1 0
6
5
0
4
3
1
0
6 A
5
1
C
C
C
C
C
C
A
5.5. EXERCICES CORRIGES
0
0
A=@ 1
1
1
0
1
85
1
1
1 A
0
1- Calculons A2
0
0
2
@
1
A =
1
1
0
1
10
1
0
A
@
1
1
0
1
1
0
1
2- Déterminer P (X)
0
2
2
@
1
A =
1
1
2
1
1 0
1
0
A
@
1
1
=
2
1
1 0
1
2
A
@
1
1
=
0
1
1
0
1
1
2
1
1 0
1
2
A
@
1
0
+
0
0
1
1
1 A
2
0
2
0
1
0
0 A
2
A2 = A + 2I () A2 A 2I = 0
P (A) = 0 avec P (X) = X 2 X 2
3- Déduisons A 1
A2 A 2I = 0 =) A2 A = 2I
=) A (A I) = 2I
1
(A I) = I
=) A
2
1
On a trouvé une matrice B = (A I) telle que AB = I:
2
1
1
Donc A est inversible;A = (A I)
2
0
1
1 1
1
1@
1
1
1 1 A
A =
2
1
1
1
2e méthode
1
t
A 1=
com (A)
det (A)
det (A) = (0 + 1 + 1) (0 + 0 + 0) = 2
0
com (A) = @ 1
1
0
t
1
com (A) = @ 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
1
A
86
CHAPITRE 5. MATRICES
A
1
=
0
1@
1
2
1
1
Exercice 5
0
1 0
@
0 0
A=
0
1
1
1
1
1
1
1
1
A
1
0
1 A
0
1 Calculons A2 et A3
A2 = A A
0
10
1
1 0
0
1 0
0
1 A@ 0 0
1 A
A2 = @ 0 0
0
1 0
0
1 0
0
1
1 0
0
1 0 A
A2 = @ 0
0 0
1
0
10
1
1 0
0
1 0
0
1 0 A@ 0 0
1 A
A3 = A2 A = @ 0
0 0
1
0
1 0
0
1
1 0 0
3
@
0 0
1 A
A =
0 1 0
0
1 0
1 0
1 0 0
1 0
0
1
1 A @ 0
1 0 A+@ 0
A3 A2 +A I = @ 0 0
0 1 1
0
0 0
1
0
0
1 0
1 0 0
0 0 0
@ 0 1 0 A=@ 0 0 0 A
0 0 1
0 0 0
Donc A3
A2 + A
0
0
1
1
0
1 A
0
I=0
2- Exprimons A 1 en fonction de A2 ; A et I
On a:
A3 A2 + A I = 0 () A3 A2 + A = I
A (A2 A + I) = I
On a trouvé une matrice B = A2 A + I tel que: AB = I: Alors A est
inversible et A 1 = A2 A + I
3- Exprimons A4 en fonction de A2 ; A et I
On a:
A3 A2 + A I = 0 =) A3 = A2 A + I
5.5. EXERCICES CORRIGES
=) A:A3 = A (A2 A + I)
=) A4 = A3 A2 + A
=) A4 = (A3 A2 + A I) + I
=) A4 = I
87
88
CHAPITRE 5. MATRICES
Chapitre 6
SYSTEME D’EQUATIONS ESPACE VECTORIEL APPLICATION LINEAIRE
Dans ce chapitre | est un corps commutatif, | = R ou | = C.
6.1
SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
La forme générale d’un système d’équations linéaires est:
8
a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1
>
>
<
a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2
(S)
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm
où, m; n 2 N ; x1 ; :::; xn sont les inconnues réels. Les aij et les bj sont des
réels donnés.
6.1.1
Ecriture matricielle
La matrice associée au système (S) est :
0
1
a11 a12
a1n
B a21 a22
a2n C
B
C
A = B ..
.. C
@ .
. A
am1 am2
amn
le second membre de (S) est:
89
90CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LI
0
1
b1
B
C
B = @ ... A 2 Rm
bm
La matrice colonne des inconnues est,
0
1
x1
B
C
X = @ ... A 2 Rn
xn
L’écriture matricielle de (S) est:
AX = B
Trois cas se présentent dans la résolution d’un système d’équations linéaires:
Soit il n’admet pas de solution, soit il admet une unique solution, soit il
en admet une in…nité.
6.1.2
Résolution du système par la méthode de pivot
Gauss
Dé…nition 1: Soit A une matrice et L une ligne de A:
- On appelle pivot de L le premier coe¢ cient non nul de L:
- Le rang d’un pivot est le rang de la colonne sur laquelle il est situé
Soit (S) un système d’équations linéaires. Le pivot d’une ligne de (S) est
le pivot de cette ligne dans la matrice associée.
L’inconnue d’un pivot de (S) est l’inconnue dont il est le coe¢ cient.
Exemple 1:
0
0
3
@
5 2
A=
0
0
1
4
6
1
7
0 A
1
Pour la matrice A; le pivot de la ligne L1 est 3; celui de L2 est 5 et
celui de L3 est 6: 3 est un pivot de rang 2; 5 est de rang 1 et 6 de rang 3:
Algorithme de résolution par la méthode de pivot de Gauss
Soit le système d’équations linéaires:
6.1. SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
91
8
a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1
>
>
<
a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2
(S)
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm
où m; n 2 N ; x1 ; :::; xn sont les inconnues réels et les aij et les bj sont des
réels donnés.
Règles:
- On se sert du pivot pour éliminer l’inconnue du pivot sur les lignes en
dessous de sa ligne.
- Le rang du pivot utilisé pour annuler une inconnue sur les lignes en
dessous de sa ligne doit être inférieur ou égal aux rangs de tous les pivots des
lignes en dessous de sa ligne.
1ère étape: échelonnement
- Si le pivot de L1 est de rang minimal, alors on le prend comme premier
pivot: On conserve L1 et on utilise ce pivot pour annuler son inconnue sur
les lignes en dessous.
L’élimination de l’inconnue sur la ligne Lj se fait à l’aide d’une combinaison de lignes du type: L1 + Lj
Sinon on échange L1 avec une ligne ayant un pivot de rang minimal
qui devient donc la ligne L1 du nouveau système et dont le pivot devient le
premier pivot qu’on utlise pour annuler l’inconnue sur les lignes en dessous.
Après l’élimination de l’inconnue du pivot de la ligne L1 sur les lignes en
dessous, on passe à la ligne L2 :
- Si le pivot de L2 est de rang minimal, alors on le prend comme deuxième
pivot: On conserve L2 et on utilise ce pivot pour annuler son inconnue sur
les lignes en dessous
L’élimination de l’inconnue sur la ligne Lj se fait à l’aide d’une combinaison de lignes du type: L2 + Lj
Sinon on échange L2 avec une ligne en dessous ayant un pivot de rang
minimal qui devient donc la ligne L2 du nouveau système et dont le pivot
devient le deuxième pivot qu’on utlise pour annuler l’inconnue sur les lignes
en dessous.
- On procède ainsi jusqu’à la dernière ligne non nulle
Le système obtenu à la …n de cette étape est dit échelonné.
2ème étape: résolution du système échelonné
A partir du système échelonné, on envoie les inconnues éventuelles n’ayant
pas de pivot dans le second membre et celles ci deviennent des paramètres en
92CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LI
fonction desquelles vont s’exprimer les autres inconnues appelés les inconnues
principales
Ensuite on résoud le système échelonné en cascade de la dernière ligne à
la première.
Exemple 2: Résoudre le système d’équations linéaires suivant:
8
< 3x + y + z = 5
2x + y 4z = 0
(S1 )
:
x y+z = 3
Résolution
le premier pivot est 3
8
< 3x + y + z = 5
5y 10z = 10
(S10 )
:
2y + 4z = 4
le deuxième pivot est
8
< 3x + y + z = 5
00
5y 10z = 10
(S )
:
0y + 0z = 0
3x + y = 5 z
()
5y = 10 + 10z
3L2 + 2L1
3L3 + L1
5
5L3 + 2L2
(z qui n’a pas eu de pivot est envoyé au second membre)
L2 =) y = 2 + 2z
L1 ) 3x + 2 + 2z = 5 z
3x = 3 3z
x=z 1
SR3 = f(z 1; 2 + 2z; z); z 2 Rg
Exemple 3: Résoudre le système d’équations linéaires suivant:
8
< 4x y 12z = 2
x+y =1
(S2 )
:
x 2y z = 1
Résolution
Le premier pivot est 4
6.1. SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
8
< 4x y 12z = 2
3y 12z = 6
(S2 )
:
7y + 8z = 6
93
4L2 + L1
4L3 L1
Le deuxième pivot est 3
8
< 4x y 12z = 2
3y 12z = 6
(S2 )
:
60z = 24
3L3 + 7L2
24
2
L3 ) z =
=
60
5
24
24
2
L2 =) 3y +
= 6 ) 3y = 6
=) y =
5
5
5
2 24
2 24
+
= 2 =) 4x = 2 +
L1 =) 4x
5
5
5
5
12
3
4x =
; d’où x =
5
5
3 2 2
)g
SR3 = f( ; ;
5 5 5
6.1.3
Cas des systèmes homogènes
Un système d’équations linéaires est dit homogène
si le second membre est nul, c.à.d. si le système est de la forme:
8
>
> a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = 0
<
a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = 0
(SH )
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = 0
donc de forme matricielle:
AX = 0
Un système d’équations homogènes admet au moins une solution:
En e¤et 0Rn = (0; 0; :::; 0) est une solution de (SH )
6.1.4
Méthode de Cramer
Dé…nition 2: Un système d’équations linéaire est dit carré si le nombre
d’équations qu’il comporte est égal au nombre d’inconnues
94CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LI
Soit (S) un système carré d’équations linéaires à n inconnues. Alors la
matrice associée est une matrice carrée A 2 Mn (R) :
Exemple 4: le système
8
< 4x y 2z = 2
x+y+z =0
(S) :
:
x 2y z = 0
est un système carré. car le nombre d’équations est égal à 3 et c’est
également le nombre d’inconnues.
La matrice associée est :
0
4
A=@ 1
1
On a le résultat suivant:
1
1
2
1
2
1 A 2 R3 :
1
Théorème 6.1: Soit (S) un système carré d’équations linéaires et A
la matrice associé. Alors (S) admet une solution unique si et seulement si
det (A) 6= 0:
Si det (A) 6= 0; le système (S) est dit de Cramer
Soit
8
a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1
>
>
<
a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2
(S)
>
>
:
an1 x1 + a2 x2 + : : : + ann xn = bn
un système
x1 ; x2 ; :::; xn ; A 2 Mn (R) la matrice asso0 carré
1 d’inconnues
0
1
x1
b1
B x2 C
B b2 C
B
C
B
C
ciée, X = B .. C et B = B .. C :
@ . A
@ . A
xn
bn
La forme matricielle de (S) est: AX = B ( )
Si det (A) 6= 0; alors A est inversible et en multipliant ( ) par A 1 ; on
obtient:
6.1. SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
95
X = A 1B
Théorème 6.2: On suppose det (A) 6= 0: On pose
= det (A) et pour
1 i n; soit xi le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la
colonne de xi (c.à.d. Ci ) par B:
Alors la solution unique de (S) est (x1 ; x2 ; :::; xn ) avec pour 1 i n;
xi
xi =
Exemple 5: Résoudre par la méthode de Cramer le système d’équations
de l’exemple 4:
Résolution
Soit A la matrice
0
4
1
@
1 1
A=
1
2
8
< 4x y 2z = 2
x+y+z =0
(S) :
:
x 2y z = 0
associée à (S) : On a:
1
2
1 A
1
On a det (A) = = ( 4 1 4) ( 2 1
Cramer, il admet une solution unique (x; y; z)
avec: x =
x
=
y
=
z
=
2
0
0
4
1
1
4
1
1
x
; y=
1
1
2
2
0
0
y
z
; z=
2
1 =2
1
2
1 = 2
1
1 2
1 0 =2
2 0
1
2
1
1
1
1
: On a:
1
1
1
1
1
2
= 2 d’où x =
2
2
= 0 d’où x =
= 2 d’où x =
La solution de (S) est donc SR3 = f(1; 0; 1)g
Si det (A) = 0
8) = 2 6= 0 donc (S) est de
2
2
= 1;
0
2
= 0;
= 1;
96CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LI
Alors, soit (S) n’admet pas de solution, soit il en admet une in…nité. On
utilise alors la méthode de Gauss (ou toute autre méthode) pour le résoudre.
Cas particulier: Si det (A) = 0 et s’il existe i 2 f1; 2; :::; ng tel que
xi 6= 0; alors (S) n’a pas de solution.
6.2
6.2.1
ESPACE VECTORIEL
Dé…nition
Un espace vectoriel sur | ou un |-espace vectoriel (en abrégé |-e:v) est un
objet (E; +; ) où E est un ensemble non vide,+ une lci sur E; " " une loi
externe sur E; c’est-à-dire:
| E !E
" ":
( ; x) 7 !
x2E
Véri…ant:
–(E; +) est un groupe abelien;
–8u; v 2 E; 8 ; 2 |;
1 u = u;
( u) = ( ) u
(u + v) = ( u) + ( v)
( + ) u = ( u) + ( u)
Soit (E; +; ) un |-e:v: Alors les éléments de E sont appelés des vecteurs.
L’élément neutre de (E; +) est appelé le vecteur nul de E et noté 0E ou
simplement 0:
NB: A partir de maintenant, on va poser | = R mais les résultats restent
valablent pour | = C:
8 2 R; 8u 2 E; on notera
u= u
6.2.2
Exemples d’espace vectoriel
1) 8n 2 N ; Rn = f(x1 ; x2 ; :::; xn ); x1 ; x2 ; :::; xn 2 Rg est l’ensemble des
n-uplets d’élémenst de R.
Rn est muni de l’addition dé…nie par:
8u = (x1 ; x2 ; :::; xn ); v = (y1 ; y2 ; :::; yn ) 2 Rn
u + v = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; :::; xn + yn )
Rn est muni de multiplication par un réel dé…nie par:
8u = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Rn ; 8 2 R;
u = ( x1 ; x2 ; :::; xn ):
6.2. ESPACE VECTORIEL
97
Alors (Rn ; +; ) est un R-e:v:
2) L’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans R; R[X] est muni de
l’addition des polynômes et de la multiplication d’un polynôme par un réel
dé…nies au chapitre 3.
Alors (R[X]; +; ) est un R-e:v:
3)8(m; n) 2 (N )2 ; l’ensemble Mm;n (R) des matrices de format (m; n) est
muni de l’addition des matrices et de la multiplication d’une matrice par un
réel dé…ni au chapitre 5.
Alors (Mm;n (R); +; ) est un R-e:v:
6.2.3
Sous espace vectoriel (s.e.v)
Dans ce qui suit (E; +; ) est un R-e:v:
Dé…nition 3: Un ensemble F est un s.e.v de E si:
–F E;
–0E 2 F ;
–8x; y 2 F; 8 2 R; x + y 2 F et x 2 F:
Proposition 1: F E est un s.e.v de E
() 0E 2 F et 8u; v 2 F; 8 ; 2 R; u + v 2 F
() 0E 2 F et 8u; v 2 F; 8 2 R; u + v 2 F
Exemples 6
1) f0E g et E sont des s.e.v de E appelés les s.e.v trivaux de E:
n
X
2) 8n 2 N; Rn [X] = fP (X) =
ak X k ; ak 2 R; 80
k
ng est
k=0
l’ensemble des polynômes de degré
est un s.e.v de R[X]:
n à coe¢ cients dans R: Alors Rn [X]
3) Théorème 6.3: L’ensemble des solutions d’un système homogène à
n inconnues est un s.e.v. de Rn :
6.2.4
Base-dimension
–Combinaison linéaire
Soit P = fv1 ; :::; vn g une famille non vide de vecteurs de E: On appelle combinaison linéaire (en abrégé comb lin) des v1 ; :::; vn ; tout vecteur w de E de
98CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION LI
la forme: n
X
w=
i vi
=
1 v1
+
2 v2
+ ::: +
i=1
n vn ;
avec
i
2 R; pour 1
i
Exemple 7: E = R2 ; P = fv1 ; v2 g; avec v1 = ( 1; 2); v2 = (3; 5) ;
1; 2 = 3
w = v1 + 3v2 = ( 1; 2) + 3(3; 5) = (1; 2) + (9; 15)
w = (10; 13) est une comb lin de v1 et v2 :
n:
1
=
Enveloppe linéaire
Théorème 6.4 et dé…nition: Soit P une famille non vide d’éléments de E:
Alors l’ensemble des comb lin d’éléments de E est un s.e.v appelé l’enveloppe
linéaire ou le s.e.v engendré par P et noté L(P); vectfPg ou hPi
Système générateur
Soit F un s.e.v de E: Une partie non vide P est dite un système générateur
de F si on a F = L(f ) c’est-à-dire si:
tout vecteur de F est une comb lin d’éléments de P:
Famille libre
Une famille non vide P = fv1 ; :::; vn g de vecteurs de E est dite libre si
8 1 ; 2 ; :::; n 2 R; 1 v1 + ::: + n vn = 0E =) 1 = 2 = ::: = n = 0
Autrement dit P est libre si toute comb lin d’éléments de P est nulle si
et seulement si les coe¢ cients de la comb lin sont tous nuls
Exemple 8
- Une famille constitué d’un seul vecteur non nul est libre
- E = R2 ; P = fv1 ; v2 g avec v1 = ( 1; 2); v2 = (3; 5)
montrer que P est une famille libre
Résolution
8 ; 2 R; v1 + v2 = 0E ) ( 1; 2) + (3; 5) = (0; 0)
) ( ; 2 ) + (3 ; 5 ) = (0; 0)
)(
+ 3 ; 2 + 5 ) = (0; 0)
)
+3 =0
2 +5 =0
(1)
(2)
2(1) + (2) ) 11 = 0 , = 0
d’où (2) ) 2 = 0 ) = 0
6.2. ESPACE VECTORIEL
99
On a montré que 8 ; 2 R;
v1 + v2 = 0E ) = = 0 donc P est une famille libre
Base
Une base de E est une partie de E qui est à la fois une famille libre et un
système générateur de E
Théorème 6.5: On suppose que E admet une base de n éléments (n 2
N ): Alors toutes les bases de E ont également le même nombre n éléments.
Dimension
— Si E admet une base ayant un nombre …ni d’éléments, alors on appelle
dimension de E le nombre d’éléments d’une base quelconque de E: Si E 6= f0g
et n’admet aucune base ayant un nombre …ni d’éléments, on dit que E est de
dimension in…nie. Par convention la dimension de f0E g est 0:On note dim E,
la dimension de E
- Un espace vectoriel de dimension 1 est appelé une droite vectoriel.
- Un espace vectoriel de dimension 2 est appelé un plan vectoriel.
Théorème 6.6 et dé…nition: Soit B = (u1; u2 ; ::; un ) une base de E.
n
X
Alors 8v 2 E; 9!( 1 ; 2 ; :::; n ) 2 Rn tel que v =
k vk :
k=1
0
1 ; 12 ; :::;
n
1
sont appelés les coordonnées de v dans la base B, et X =
B .. C
@ . A est appelé la matrice colonne de coordonnées (en abregé mcc) de v
n
dans la base B:
Donc étant donné une base B = (u1; u2 ; ::; un ) de E et v un vecteur de E;
alors:
1
0
1
n
X
B .. C
v a pour mcc X = @ . A dans B () v =
k vk :
n
Exemples 9
- base canonique de Rn :
k=1
100CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
Soit u = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Rn : on a:
u = (x1 ; 0; :::; 0) + (0; x2 ; 0; :::; 0) + ::: + (0; ::; 0; xn )
= x1 (1; 0; :::; 0) + x2 (0; 1; 0; :::; 0) + ::: + xn (0; :::; 0; 1)
on pose: e1 = (1; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; :::; 0); :::; en = (0; :::; 0; 1):
Alors on a: u = x1 e1 + x2 e2 + ::: + xn en .Donc la famille, B=(e1 ; e2 ; :::; en )
est une famille génératrice de Rn
Montrer que la famille B est une famille libre
8 1 ; 2 ; :::; n 2 R; 1 e1 + 2 e2 + ::: + n en = 0Rn
) 1 (1; 0; :::; 0) + 2 (0; 1; 0; :::; 0) + ::: + n (0; :::; 0; 1) = (0; 0; :::; 0)
) ( 1 ; 0; :::; 0) + (0; 2 ; 0; :::; 0) + ::: + (0; :::; 0; n ) = (0; 0; :::; 0)
) ( 1 ; 2 ; :::; n ) = (0; 0; :::; 0)
) 1 = 2 = ::: = n = 0
donc B est une famille libre
conclusion: Etant une famille libre et une famille génératrice de E; alors
B est une base de Rn .
On a: dim Rn = n
Remarque 1: 8u = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Rn ; u = x1 e1 + ::: + xk ek + ::: + xn en
les composantes du u sont en même temps les cordonnées de u dans la
base B. C’est pourquoi on dit que la base B ci-dessus est la base canonique
de Rn :
- base canonique de Rn [X]:
Soit P =
n
X
k=0
ak X k = a0 + a1 X + ::: + an X n 2 Rn [X]; alors P = a0
1+
a1 X + ::: + an X n donc la famille B = (1; X; X 2 ; :::; X n ) est un système
générateur de Rn [X]
Montrons qu’elle est libre
8 0 ; 1 ; :::; n 2 R; 0 + 1 X + ::: + n X n = 0 ) 0 = 1 = 2 = ::: =
n = 0 (car un polynôme est nul ,si et seulement si ses coe¢ cients sont tous
nuls):Donc B est libre.
conclusion: B = (1; X; X 2 ; :::; X n ) est une base de Rn [X]:
par conséquent on a:
dim Rn [X] = n + 1:
6.2. ESPACE VECTORIEL
101
Remarque 2: En posant Pk = X k pour 0
k
n (avec P0 = X 0 =
n
1),8P = a0 + a1 X + ::: + an X ; on a:
P = a0 P0 + a1 P1 + ::: + an Pn , donc les coordonnées de P dans la base
B; a sont a0 ; a1 ; ::; an , donc B est la base canonique de Rn [X]:
Théorème 6.7: Soit F un sev de E; alors on a:
0 dim F dim E
dim E = 0 , F = f0E g; dim F = dim E , E = F
Théorème 6.8: Soit E un K-e:v de dimension …nie n, B une famille
de vecteurs de E: Alors:
B base de E () card(B) = n et B est une famille libre , card(B) = n
et B est un système générateur de E:
6.2.5
Somme d’espaces vectoriels
Dé…nition
Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E: la
somme de F et de G est:
F + G = fu + v; u 2 F et v 2 Gg
F + G est un s.e.v de E:
On dit que E est somme de F et G si on a: E = F + G
Somme directe d’espaces vectoriels
- Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E: On dit que la somme
F + G est directe si on a: F \ G = f0g :
Propriété: la somme F + G est directe si et seulement si dim (F + G) =
dim F + dim G:
On dit que E est somme directe de F et G si on a: E = F + G et
F \ G = f0g :
On écrit alors: E = F G
102CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
Théorème: Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E: Les assertions suivantes sont équivalentes:
i) E = F G;
ii) E = F + G et dim E = dim F + dim G;
iii) Tout vecteur de E s’écrit de manière unique sous la forme:
w = u + v; avec u 2 F et v 2 G;
iv) Pour toute base B1 de F et pour toute base B2 de G; B1 [ B2 est une
base de E:
6.2.6
Matrice d’une famille de vecteurs
On suppose que E possède une base …nie B = (u1; u2 ; ::; un ): La matrice d’une
famille F = (w1 ;...; wp ) de vecteurs de E est la matrice de format (n; p) dont
pour 1 j p; la colonne Cj est la mcc de wj .dans B
noté matB (F)
En posant matB (F) = (aij ) 2 Mnp (R) ;
1
0
a11 a12
a1p
B a21 a22
a2p C
B
C
on a matB (F) = B ..
..
.. C
@ .
.
. A
an1 an2
anp
w1 :: w2 ::: wp
On a pour 1
j
u1
u2
..
.
un
n; wj = a1j u1 + a2j u2 + ::: + anj un
si E = Rn et B est la base canonique de Rn alors matB (F) est appelée
simplement la matrice de f et notée mat(F)
Exemple 10: E = R3 ; F = (w1 ; w2 ) avec w1 = (2; 3; 1); w2 = (2; 1; 1)
0
1
2
2
1 A
On a mat(F) = @ 3
1
1
Matrice de passage
Soient B; B 0 deux bases de E, on appelle matrice de passage de B à B 0 la
matrice de la famille B dans la base B 0 notée PBB0 :
6.2. ESPACE VECTORIEL
103
Si dim E = n; PBB0 est une matrice carrée d’ordre n inversible.
Propriété: On a:
PB0 B = PBB10
Théorème 6.9 (de l’indépendance linéaire dans R3 ):
- une famille de trois vecteurs de R3 est libre ssi le déterminant de sa
matrice est non nul
- une famille Fde deux vecteurs de R3 est libre si le déterminant d’ordre
2 obtenus en supprimant une ligne de la matrice de F est non nul.
Exemple 11: Montrer que les familles F1 et F2 de R3 sont libres
F1 = (v1 ; v2 ; v3 ) et F2 = (u1 ; u2 )
avec:v1 = (2; 5; 3); v2 = (1; 2; 0); v3 = ( 4; 0; 0)
u1 = (3; 5; 2); u2 = (1; 5; 2)
Résolution
f1 est libre , det(mat(F1 )) 6= 0
2 1
5 2
3 0
det(mat (F1 )) =
donc F1 est libre
0
3
on a: mat(f2 ) = @ 5
2
4
0
0
1
1
5 A
2
=3
8 = 24 6= 0
le determinant d’ordre 2 obtenu en supprimant L2 est :
3 1
2 2
= 8 6= 0
donc F2 est libre
104CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
6.3
6.3.1
APPLICATION LINEAIRE
Dé…nition
Soient E et E 0 deux R-e.v
Une application f : E ! E 0 est dite linéaire si
8u; v 2 E; 8 2 R; f (u + v) = f (u) + f (v) et f ( u) = f (u)
Propriété: Soit f : E ! E 0 une application. Alors:
f est linéaire () 8u; v 2 E; 8 2 R; f ( u + v) = f (u) + f (v)
() 8u; v 2 E; 8 ; 2 R; f ( u + v) = f (u) + f (v)
- si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme
- un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E
- un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif.
Exemple 12:
E ! E0
IdE :
u7 !u
6.3.2
est un automorphisme de E
Noyau, Image
Soit f : E ! E 0 une application linéaire
le noyau de f est ker(f ) = fu 2 E; f (u) = 0g
l’image de f est Im(f ) = f (E) = ff (u) ; u 2 Eg = fu0 2 E; 9u 2 E tel
que f (u) = u0 g
ker(f ) est un s.e.v de E et Im(f ) est un s.e.v de E 0 :
Propriétés: Soit f : E ! E 0 linéaire. Alors:
f (0E ) = 0E 0
f injective () ker(f ) = f0E g
f surjective , Im(f ) = E 0
si f est bijective alors f 1 est une application linéaire
la composée de deux applications linéaires est une application linéaire
6.3.3
Matrice d’une application linéaire
E et E 0 étant deux espaces vectoriels de dimensions …nies respectives n er
m soient f : E ! E 0 une application linéaire, B = (u1 ; :::; un ) une base de
E; B 0 = (u01 ; :::; u0m ) une base de E 0
6.3. APPLICATION LINEAIRE
105
la matrice de f relativement aux bases B et B 0 est la matrice de la famille
F = (f (u1 ); :::; f (un )) dans la base B 0 notée matBB0 (f ).
C’est donc la matrice de format (m; n) dont pour 1 j n; la colonne
Cj est la mcc de f (uj ) dans la base B 0 :
Si matBB0 (f ) = (aij ) ; alors:
0
a11
a1j
..
B ..
.
B .
B
aij
matBB0 (f ) = B ai1
B .
..
@ ..
.
am1
amj
f (u1 )
f (uj )
1
a1n
u01
.. C
. C
C
ain C ui
.. C
. A
u0m
amn
f (un )
avec f (uj ) = aij u01 + a2j u02 + ::: + amj u0m
Exemple 13: f :
R3 ! R2
(x; y; z) 7 ! (x0 ; y 0 )
x0 = 2x y + z
y 0 = x 5z
avec:
Déterminer la matrice de A de f relativement aux base canonique de R3
et R2 :
Résolution
Soit B = (e1 ; e2 ; e3 ) la base canonique de R3 et B 0 = (e01 ; e02 ); la base
canonique de R2
e1 = (1; 0; 0) ) f (e1 ) = (2 1 0 + 0; 1 5 0) = (2; 1)
e2 = (0; 1; 0) ) f (e2 ) = (2 0 1 + 0; 0 5 0) ( 1; 0)
e3 = (0; 0; 1) ) f (e3 ) = (2 0 0 + 1; 0 5 1) (1; 5)
)A=
2
1
1
0
1
5
Théorème 6.10: Soit f : E ! E 0 une application linéaire,B une base
de E; B 0 une base de E 0 ; A = matBB0 (f ):
8w 2 E; si w a pour mcc X dans la base B alors f (w) a pour mcc AX
dans la base B 0 :
Exemple 14: Soit f l’application de l’exemple précédent
calculer f (w) avec w = (2; 3; 1)
106CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
0
1
0
1
2
2
mcc
mcc
w ! @ 3 A ) f (w) ! A @ 3 A =
1
1
2
1
1
0
=
0
7
1
5
0
1
2
@ 3 A
1
Donc f (w) = (0; 7)
Théorème 6.11: (de la dimension): Soit f : E ! E 0 une application linéaire.
Alors on a:
dim(ker f ) + dim(Im f ) = dim E
Dé…nition 4: Le rang d’une application linéaire est rg(f ) = dim(Im(f ))
On a donc: dim(ker f ) + rg (f ) = dim E
Théorème 6.12: Soit f : Rn ! Rm une application linéaire, A sa
matrice relativement aux bases canoniques de .Rn et Rm :
On suppose que dim (Im (f )) = p: Alors Im (f ) a pour base une famille
libre constituée de p vecteurs colonnes de A:
Cas des endomorphismes
Soit f : E ! E un endomorphisme de E; B une base de E, la matrice de
f dans la base B est matBB (f ); noté matB (f ): Donc si B = (u1 ; ::; un ) alors
on a:
0
a11
B ..
B .
B
matB (f ) = B ai1
B .
@ ..
an1
f (u1 )
a1j
..
.
aij
..
.
amj
f (uj )
avec f (uj ) = a1j u1 + a2j u2 ::: + anj un
1
a1n
u1
.. C
. C
C
ain C ui
.. C
. A
un
ann
f (un )
6.4. EXERCICES CORRIGES
107
Formule de changement de base
Théorème 6.13: Soient E un R-ev; et B 0 deux bases de E; P = PBB0 la
matrice de passage de B à B 0 ;
f : E ! E un endomorphisme de E; A = matB (f ) et A0 = matB0 (f ).Alors
on a:
A0 = P
1
AP
Théorème 6.14: Soit f : E ! E un endomorphisme de E: Alors:
f est un automorphisme ( c’est-à-dire bijective) si et seulement si sa
matrice dans une base quelconque de E est de déterminant non nul.
Corollaire:. Soit f un endomorphisme de E: Les conditions suivantes
sont équivalentes:
i) f est un automorphisme de E :
ii) ker(f ) = f0E g ;
iii) Im(f ) = E:
6.4
EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
1 Résoudre le système d’équations linéaires:
8
< 2x + y + z = 5
2x + 13y 7z = 1
:
x y+z =1
2 Résoudre,suivant les valeurs réelles du paramètre,le système d’équations
linéaires suivant:
8
< ax + y + az = a
ax ay + z = a2
:
ax ay + az = 0
Exercice 2
0
2
@
1
On considère la matrice suivante A =
3
2
1
2
4
1
2 A
3
108CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
1- La matrice A est-elle inversible?
2- Déterminer la matrice inverse A 1 de A
3- En déduire l’ensemble des solutions de chacun des systèmes suivants:
8
< 2x 3y + 4z = 0
x + y 2z = 1
1
:
2x + 2y 3z = 2
Exercice 3
Dans R3 muni de sa base canonique (e1 ; e2 ; e3 ), on considère les vecteurs
v1 = (1; 1; 0) ; v2 = (0; 1; 1) et v3 = (1; 0; 1) :
1- Montrer que les vecteurs v1 ; v2 et v3 forment une base de R3
2- Exprimer les vecteurs e1 ; e2 et e3 dans la base (v1 ; v2 ; v3 )
Exercice 4
On considère les sous espaces vectoriels suivants de R4 :
F = f(x; y; z; t) 2 R4 x + y z = 0 et y + z t = 0g ;
G = f(x; y; z; t) 2 R4 x + y = 0 et z + t = 0g ;
H = f(x; y; z; t) 2 R4 y = 0 et x = z = tg ;
1- Trouver une base de chacune des sous espaces vectoriels F; G; et H
2- Déterminer F \ G; F \ H et H \ G
3- A-t-on F G = R4 ?; F H = R4 ?; H G = R4 ?
Exercice 5
On considère l’application linéaire f dé…nie de R3 dans R4 par:
8 (x; y; z) 2 R3 : f (x; y; z) = (x + y; y + z; z + x; x + y + z)
1- Calculer l’image de la base canonique de R3 par f . En déduire la
matrice A associée à f:
2- Déterminer le noyau ker (f ) de f; l’image Im (f ) et le rang rg (f ) de f:
Exercice 6
Soit R2 [X] ; l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et
B0 = (1; X; X 2 ) sa base canonique.
1- Montrons que les systèmes B1 = (1; 1 + X; 1 + X 2 ) et B2 = (1; 1 X; X X 2 )
sont des bases de R2 [X] et donner la matrice de passage PB0 B1 de B0 à B1 ,
puis la matrice de passage PB1 B2 de B1 à B2
2- Véri…ons que PB0 B2 = PB0 B1 PB1 B2
3- Décomposer le polynôme P (X) = 1 + X + X 2 dans les bases B1 et B2 :
Exercice 7
Dans R2 muni de la base canonique B = (e1 ; e2 ) ;on dé…nit l’endomorphisme
f par:
f (e1 ) = e1 + e2
f (e2 ) = e1 + e2
6.4. EXERCICES CORRIGES
109
1- Déterminons la matrice associée A de f dans la base canonique B.
2- Pour quelles valeurs du paramètre ;f est-il un automorphisme de R2
?
3- Déterminer,suivant les valeurs du paramètre , le noyau ker (f ) et
l’image Im (f ) de R2 par f
Exercice 8
Dans R3 muni de la base canonique B = (e1 ; e2 ; e3 ), on dé…nit l’endomorphisme
fm par:
8
< f (e1 ) = me1 + e2 + e3
f (e2 ) = 2e1 2me2 2e3
:
f (e3 ) = e1 + e2 + me3
1- Determinons la matrice Am de fm dans B
2- Pour quelles valeurs réelles de m,fm est un automorphisme?
3- Determinons le nohau et l’image de fm suivant les valeurs du paramètre
m:
Résolution
Exercice 1
8
8
< 2x + y + z = 5
< 2x + y + z = 5
12y + 8z = 4
1- 2x + 13y 7z = 1 () L1 L2
:
:
x y+z =1
L1 2L3
3y z = 7
8
8
< 2x + y + z = 5
< 2x + y + z = 5
12y + 8z = 4 ()
12y + 8z = 4
()
:
:
L + 4L3
4z = 32
z= 8
82
8
< 2x + y + z = 5
< x=4
y= 5
y= 5
()
()
:
:
z= 8
z= 8
SR3 = f(4; 5; 8)g
8
8
< ax + y + az = a
< ax + y + az = a
2
ax ay + z = a ()
(a + 1) y + (a 1) z = a
2:
:
(a + 1) y = a
ax ay + az = 0
Si a + 1 6= 0; a 1 6= 0 et a 6= 0 c’est à dire a 2
= f 1; 1; 0g
a
L3 =) y =
a+1
L2 =) z (a 1) = a a2 (a + 1) y
a2
110CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
=) z (a
a2
1) = a
(a + 1)
a
a+1
1) = a2
a2
=) z =
a 1
L1 =) ax = a y az
a2
a
a
=) ax = a
a+1
a 1
a (a + 1) (a 1)
a (a 1)
a2 (a + 1)
=) ax =
+
(a + 1) (a 1)
(a + 1) (a 1) (a + 1) (a 1)
3
2
4
a
a a + a + a + a3
=) ax =
(a + 1) (a 1)
a4 + 2a3 a2
=) ax =
(a + 1) (a 1)
a2 (a2 + 2a 1)
=) ax =
(a + 1) (a 1)
a (a2 + 2a 1)
=) x =
a2 1
a (a2 + 2a 1) a
a2
SR3 =
;
;
a2 1
a+1 a 1
=) z (a
- Pour a = 0, le système devient:
y=0
=)
y=z=0
y=0
z=0
SR3 = f(x; 0; 0) ; x 2 Rg
- Pour a = 1, le système devient:
8
< x+y+z =1
2y = 0
:
2y = 1
L2 =) y = 0
1
L3 =) y =
Cela est absurde alors on a: SR3 = ?
2
- Pour a =
8
<
1, le système devient:
x+y z =
2y = 2
:
0= 1
1
absurde
6.4. EXERCICES CORRIGES
111
SR3 = ?
Exercice 2
0
2
3
@
1
1
A=
2 2
4
1
2 A
3
1- La matrice A est elle inversible?
Pour qu’elle soit inversible il faut et il su¢ t que det (A) 6= 0
Calculons det (A)
det (A) =
2
1
3
2
1
2
4
2
3
=( 6
12 + 8) ( 8
8 + 9) =
10+ 7 =
3
det (A) 6= 0 alors la matrice A est inversible
Determinons A 1
1
t
On sait que A 1 =
com (A)
det (A)
0
1
0
2
1
2
1
2
t
2 A =)t com (A) = @ 7 2
A=@ 3 1
4
2
3
4 2
0
1
1
2 2
1@
1
7 2
8 A
A =
3
4 2
5
8
< 2x 3y + 4z = 0
x + y 2z = 1
a:
2x + 2y 3z = 2
1
2
8 A
5
Donnons l’écriture matricielle du 0
système
1
0 1
x
0
Soit M la matrice associée; X = @ y A et B = @ 1 A
z
2
0
1
2
3 4
@
1
1
2 A=A
La matrice du système est: M =
2 2
3
L’écriture matricielle est: AX = B
Comme A est inversible, on a: A 1
AX = A 1 B; or A
1
A=I
112CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
D’où X = A 1 B
0
0
1
x
1
@ y A= 1@ 7
3
z
4
0
1
x
@ y A
z
2
2
2
0
10 1
2
0
8 A@ 1 A
5
2
1
3
1@
18 A
=
3
12
0
1
1
=@ 6 A
4
D’où SR3 = f( 1; 6; 4)g
2-
0
10
x
1
@ y A@ 7
z
4
1
2
2
1 0 1
0
2
@
A
0 A
8
=
0
5
Comme la matrice associée au système est inversible, alors le système
admet une solution unique. En outre c’est unsystème homogène donc (0; 0; 0)
est solution d’où:
SR3 = f(0; 0; 0)g
Exercice 3
v1 = (1; 1; 0) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (1; 0; 1)
1- Montrer que les vecteurs v1 = (1; 1; 0) ; v2 = (0; 1; 1) et v3 = (1; 0; 1)
forment une base de R3
On a Card (B) = 3 = dim R3 alors B base de R3 si et seulement si B est
une famille libre. B est une famille libre si det B 6= 0
1 0 1
det B = 1 1 0 = (1 + 1) 0 = 2 6= 0 =) d’où B est une base une
0 1 1
famille libre,alors B = (v1 ; v2 ; v3 ) est une base de R3
2- Exprimons les
8
< v1 = e1 + e2
v2 = e2 + e3
:
v3 = e1 + e3
vecteurs e1 ; e2 ; e3 dans la base B
(1)
(2)
(3)
6.4. EXERCICES CORRIGES
113
(1) + (2) + (3) =) v1 + v2 + v3 = 2e1 + 2e2 + 2e3
1
=) e1 + e2 + e3 = (v1 + v2 + v3 ) (4)
2
1
(4) (2) : e1 = (v1 + v2 + v3 ) v2
2
1
e1 = (v1 v2 + v3 )
2
1
(4) (3) : e2 = (v1 + v2 + v3 ) v3
2
1
e1 = (v1 + v2 v3 )
2
1
(4) (1) : e3 = (v1 + v2 + v3 ) v1
2
1
e3 = ( v1 + v2 + v3 )
2
Soit w = (2; 5; 1)
3- exprimons w dans la base B
B étant une base de R3 ,alors il existe ( 1 ;
tel que w = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3
w = 1 (1; 1; 0) + 2 (0; 1; 1) + 3 (1; 0; 1)
= ( 1 ; 1 ; 0) + (0; 2 ; 2 ) + ( 3 ; 0; 3 )
(2; 5; 1) = ( 1 + 3 ; 1 + 2 ; 2 + 3 )
Par identi…cation on a:
2;
8
=2
<
=
5
=)
2
1
:
:
(L1 + L2 + L3 )
3 = 1
2
L3 L1 : 2 = 3
=) L3 L2 : 3 = 4
L1 : 1 + 4 = 2 =) 1 = 2
8
<
+
1+
2+
1
3
Donc w =
2v1
3)
2 R3 ,
+
1+
1+
1
=2
5
2 =
2+ 3 =
3
3v2 + 4v3
Exercice 4
- F = [(x; y; z; t) 2 R4 x + y
v = (x; y; z; t) 2 F ()
()
x+y
y+z
z = 0; y + z
t = 0]
z=0
t=0
x+y =z
()
y = z+t
x=z y
y = z+t
1
114CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
()
()
x = z ( z + t)
y = z+t
x = 2z t
y = z+t
() v = (2z
t; z + t; z; t) = (2z; z; z; 0) + ( t; t; 0; t)
= z (2; 1; 1; 0) + t ( 1; 1; 0; 1)
Posons u1 = (2; 1; 1; 0) et u2 = ( 1; 1; 0; 1)
Alors une base de F est B1 = (u1 ; u2 )
Par conséquent, dim F = 2
- G = f(x; y; z; t) 2 R4 x + y = 0 et z + t = 0g
0
1
x
B y C
x+y =0
x= y
C
v=B
()
@ z A 2 G ()
z+t=0
t= z
t
0
1 0
1 0
1 0
1
x
y
y
0
B y C B y C B y C B 0 C
C B
C B
C B
C
() v = B
@ z A=@ z A=@ 0 A+@ z A
t
z
0
z
0
1
0
1
1
0
B 1 C
B 0 C
C
B
C
v = yB
@ 0 A+z@ 1 A
0
1
0
1
0
1
1
0
B 1 C
B
C
C et v2 = B 0 C
Soit v1 = B
@ 0 A
@ 1 A
0
1
Alors une base de G est B2 = (v1 ; v2 )
Par conséquent, dim G = 2
- H = f(x; y; z; t) 2 R4 y = 0 et x = z = tg
0 1
0
0
1
x
t
B
B y C
B 0 C
y=0
C 2 H ()
B C = tB
v=B
()
v
=
@ t A
@
@ z A
x=z=t
t
t
Posons w = (1; 0; 1; 1) : Alors une base de H est B3 = (w) :
Par conséquent, dim H = 1
2- Determinons:
- F \G
1
1
0 C
C
1 A
1
6.4. EXERCICES CORRIGES
F \G=
0
x
B y
v=B
@ z
t
(x; y; z; t) 2 R4 x + y z = 0 et
y + z t = 0 et x + y = 0 et z + t = 0
8
1
x + y z = 0 L1
>
>
<
C
y
+ z t = 0 L2
C 2 F \ G ()
A
x+y =0
L3
>
>
:
z+t=0
L4
L1 L3 =) z = 0
D’où L4 =) t = 0
d’où L2 =) y = 0
d’où L1 =) x = 0
Alors F \ G = f0R4 g
F \H =
0
x
B y
v=B
@ z
t
115
0
1
0
B 0 C
C
=) v = B
@ 0 A
0
(x; y; z; t) 2 R4 x + y z = 0 et
y + z t = 0 et y = 0 et x = z = t
8
1
x + y z = 0 L1
>
>
<
C
y + z t = 0 L2
C 2 F \ H ()
A
y=0
L3
>
>
:
x=z=t
L4
L4 =) z + y z = 0 =) y = 0
Le système devient: y = 0 et x = z = t
C’est le même système qui dé…nit H
Donc F \ H = H
NB: On aurait pu remarquer que H est inclus dans F: En e¤et, si
v = (x; y; z; t) 2 H; alors on a y = 0 et x = z = t; il s’ensuit que x + y z = 0
et y + z t = 0: On obtient que les composantes de v véri…ent l’équation de
F donc v 2 F: on en déduit que H F; d’où F \ H = H:
- H \G
H \G=
(x; y; z; t) 2 R4 y = 0 et
x = z = t et x + y = 0 et z + t = 0
116CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
8
1
x
>
>
<
B y C
B
C
v=@
2
H
\
G
()
z A
>
>
:
t
0
y=0
x=z=t
x+y =0
z+t=0
L1 =) x =) x + y = 0 =) x = 0
L1
L2
L3
L4
0
1
0
B 0 C
C
D’où L2 =) z = 0 et t = 0: Alors v = B
@ 0 A
0
Donc H \ G = f0R4 g
3- On rappelle que K et L étant deux s.e.v. d’un espace vectoriel E; on
a K L = E si et seulement si K \ L = f0E g et dim K + dim L = dim E:
- A -t-on F G = R4 ?
On a F \ G = f0R4 g (1) et dim F + dim G = dim R4 (2)
(1) et (2) impliquent que F G = R4
- A -t-on F H = R4 ?
On a F \ H = H 6= f0R4 g donc F H 6= R4
- A -t-on H G = R4 ?
On a dim H = 1 et dim G = 2 donc dim H + dim G = 3
3 6= 4 alors H G 6= R4
Exercice 5
f (x; y; z) = (x + y; y + z; z + x; x + y + z)
1- Calculons l’image de la base canonique de R3
Soient B = (e1 ; e2 ; e3 ) la base canonique de R3
On a e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1) ;
*f (e1 ) = (1; 0; 1; 1)
*f (e2 ) = (1; 1; 0; 1)
*f (e3 ) = (0; 1; 1; 1)
Déduisons la matrice A de f
1
0
1 1 0
B 0 1 1 C
B
C
A=
@ 1 0 1 A
1 1 1
f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )
Determinons le noyau ker (f )
ker (f ) = fw = (x; y; z) 2 R3 tel que f (w) = 0R4 g
6.4. EXERCICES CORRIGES
f (w) = 0R4
8
x+y =0
>
>
<
y+z =0
()
z+x=0
>
>
:
x+y+z
117
L1
L2
L3
L4
L4 L1 =) z = 0 d’où L2 =) y = 0; d’où L1 =) x = 0
d’où (x; y; z) = (0; 0; 0) = 0R3 . Donc ker (f ) = f0R3 g
Determination de Im f
dim R3 = dim ker (f ) + dim Im f
3 = 0 + dim Im f =) dim Im f = 3
D’où Im (f ) est égal au sous espace vectoriel de R4 dont une baseest la
famille formée par les 3 vecteurs collones de la matrice A: Donc Im0f est1le
1
B
0 C
C
sous espace vectoriel de R4 dont une base est F = (u; v; w) avec:u = B
@ 1 A;
1
0 1
0 1
1
0
B 1 C
B 1 C
C
B C
v=B
@ 0 A; w = @ 1 A
1
1
Determinons le rang de f
rg (f ) = dim (Im (f )) or dim (Im (f )) = 3
Donc rg (f ) = 3
Exercice 6
R2 (x) l’ensemble des polynômes à coe¢ cients réels de degré 2; B0 =
(1; X; X 2 ) sa base canonique, B1 = (1; 1 + X; 1 + X 2 ) et B2 = (1; 1 X; X X 2 ) :
1- Montrons que B1 est une base de R2 (X) :
On a card (B) = 3 = dim R2 (X) : Donc base de R2 (X) () B1 est une
famille libre() det
1 ) 6= 0
0 (B1
1
@
0 A dans B0
1 a pour mcc
0
0 1
1
1 + X a pour mcc @ 1 A dans B0
0
0 1
1
1 + X 2 a pour mcc @ 0 A dans B0
1
118CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
det (B1 ) =
1
0
0
1 1
1 0
0 1
= 1 6= 0 Alors B1 est une base de R2 (X)
Montrons que B2 est une base de R2 (X)
On a card (B2 ) = 3 = dim R2 (X) donc B2 est une base() B2 est une
famille libre() det B2 6= 0 0 1
1
1 a pour mcc a pour mcc @ 0 A dans B0
0
0
1
1
@
1 A dans B0
1 X a pour mcc
0
0
1
0
X X 2 a pour mcc @ 1 A dans B0
1
1 1
0
1 1
det (B2 ) = 0
= 1 6= 0
0 0
1
Donc B2 est une base de R2 (X)
- Matrice de passage PB0 B1 de B0 à B1
0
1
1 1 1
Q1
@
A
0 1 0
Q2
PB0 B1 =
0 0 1
Q3
P1 P 2 P3
*Matrice de passage PB1 B2 de B1 à B2
1
0
1 a0 b 0
P0
PB1 B2 = @ 0 a1 b1 A P1
P2
0 a2 b 2
Determinons a0 ; a1 ; a2 ; b0 ; b1 et b2
- Q1 = a0 P0 + a1 P1 + a2 P2
= a0 :1 + a1 (1 + X) + a2 (1 + X 2 )
= a0 + a1 + a1 X + a2 + a2 X 2
1 X = a0 + a1 + a1 X + a2 + a2 X 2
Par identi…cation on a:
6.4. EXERCICES CORRIGES
8
8
< a0 + a1 + a2 = 1
< a0 = 2
a1 = 1
a1 = 1
=)
:
:
a2 = 0
a2 = 0
- Q2 = b0 P0 + b1 P1 + b2 P2
X 2 = b0 + b1 + b1 X + b2 8
+ b2 X 2
8
< b0 + b1 + b2 = 0
< b0 = 0
b1 = 1
b1 = 1
=)
=)
:
:
b2 = 1
a = 1
0
12
1 2
0
@
0
1 1 A
Alors PB1 B2 =
0 0
1
X
2- Véri…ons que PB1 B2 = PB0 B1 PB1 B2
0
1
1 1
0
e1
1 1 A e2
On a: PB0 B2 = @ 0
0 0
1
e3
Q1 Q2 Q3
0
10
1
1 1 1
1 2
0
1 1 A
PB0 B1 PB1 B2 = @ 0 1 0 A @ 0
0 0 1
0 0
1
0
1
1 1
0
1 1 A
=@ 0
0 0
1
= PB0 B2
- Décomposons P (x) = 1 + X + X 2 dans B1
P (x) = a0 P0 + a1 P1 + a2 P2
1 + X + X 2 = a0 + a1 (1 + X) + +a2 (1 + X 2 )
()1 + X + X 2 = a0 + a1 + a1 X + +a2 + a2 X 2
8
8
< a0 + a1 + a2 = 1
< a0 = 1
a1 = 1
a1 = 1
()
()
:
:
a2 = 1
a2 = 1
Donc P (x) =
1P0 + 1P1 + 1P2
- Décomposons P (x) = 1 + X + X 2 dans B2
P (x) = b0 Q0 + b1 Q1 + b2 Q2
= b0 + b1 (1 X) + b2 (X X 2 )
119
120CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
= b0 + b1 b 1 X + b2 X b2 X 2
1 + X8+ X 2 = b0 + b1 + ( b8
b2 X 2
1 + b2 ) X
< b0 + b1 = 1
< b0 = b1 + 1 = 3
b1 + b2 = 1 ()
b1 = b2 1 = 2
()
:
:
b2 = 1
b2 = 1
Donc: P (x) = 3Q0
2Q1
Q2
Exercice 7
B = (e1 ; e2 ) on dé…nit l’endomorphisme f par:
f (e1 ) = e1 + e2
f (e2 ) = e2 + e1
1- Determinons la matrice de A
A =
1
1
2- Pour quelles valeurs de ,f est il un automorphisme
f est un automorphisme si et seulement si det (A ) = 0
2
On a det (A ) = 1
= (1
) (1 + )
(1
) (1 + ) 6= 0 () 6= 1 et 6= 1
est un automorphisme si et seulement si 2 R f 1; 1g
3 - ker (f ) et Im (f )
- Pour 2 R f 1; 1g
f étant un automorphisme,alors ker (f ) = f0R2 g et Im (f ) = R2
- Pour = 1
A
1
1
1
=
1
1
W = (x; y) 2 ker f
1
1
1
() A 1 W = 0
x
y
1
y
y
() W =
Donc ker f
1
1
=y
0
0
=
()
x
y=0
() xs = y
x+y =0
1
1
est la droite vectorielle engendrée par U =
On sait que: dim R3 = dim (ker f 1 ) + dim (Im f 1 )
2 = 1 + dim (Im f 1 )
1
1
6.4. EXERCICES CORRIGES
121
D’où dim (Im f 1 ) = 1
Im f 1 est la droite engendrée par un vecteur colonne non nul de A
1
exemple C1 =
1
- Pour
=1
A1 =
1 1
1 1
U = (x; y) 2 ker f1 () A1 U = 0
1
1
1
1
x
y
() U =
0
0
=
y
=y
y
()
x+y =0
() x =
x+y =0
1
1
Donc ker f1 est la droite vectorielle engendrée par U =
On sait que: dim R2 = dim (ker f1 ) + dim (Im f1 )
2 = 1 + dim (Im f1 )
D’où dim (Im f1 ) = 1
Im f1 est la droite engendrée par le vecteur V =
1
1
Exercice 8
1- Determinons Am
0
m
@
1
Am =
1
2m
2m
2
1
1
1 A
m
2- Valeurs pour lesquelles fm est un automorphisme
fm est un automorphisme si et seulement si det (Am ) 6= 0
det (Am ) =
=
m
1
1
m+2
1
1
y
2
1
2m 1
2
m
4m
2m
2
L1 + L2 + L3
2 m+2
1
m
1
1
1
par
122CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
= (m + 2)
= (m + 2)
1
2
1
1
2m 1
L2 L1
1
2
m L3 L1
1
2
1
0
2m + 2 0
0 0
m 1
det (Am ) = 2 (m + 2) (m 1)2
det (Am ) 6= 0 () 2 (m + 2) (m 1)2 6= 0
() m + 2 6= 0 et m 1 6= 0
() m 6= 2 et m 6= 1
Donc fm est un automorphisme si et seulement si m 2 R f 2; 1g
3- Determinons suivants les valeurs réelles de s.e.v ker fm et Im fm
- Pour m 2 R f 2; 1g
fm est bijectif donc :
ker fm = f0R3 g et Im fm = R3
- Pour m = 2
0
1
2 4
1
4
1 A
A 2=@ 1
1
2
2
W = (x; y; z) 2 ker f 2 () A:W = 0
8
0
10
1 0 1
2 4
1
x
0
< 2x + 4y + z = 0
@
A
@
A
@
A
1
4
1
y
0
x + 4y + z = 0
()
=
()
:
1
2
2
z
0
x 2y 2z = 0
8
< 2x + 4y + z = 0
2x + 4y + z = 0
6y + 3z = 0
()
()
6y + 3z = 0
:
6y 3z = 0
z = 2y
z = 2y
()
()
2x 4y = 0
x = 2y
0
1
0
1
2y
2
A = y@ 1 A
() W = @ y
2y
2
Donc ker f 2 est la droite engendrée par U1 = (2; 1; 2)
On a dim R3 = dim (ker f 2 ) + dim (Im f 2 )
3 = 1 + dim (Im f 2 )
D’où dim (Im f 2 ) = 2
Im f 2 est le plan vectoriel vectoriel de base deux vecteurs colonnes linéairements indépendants de A 2
6.4. EXERCICES CORRIGES
0
2
4
4
1
1
123
1
A
=@ 1
1
2
2
2 4
M1 =
= 6 6= 0: Donc (C1 ; C2 ) est une famille libre donc
1
4
Im f 2 est le plan vectoriel de base (V2 ; V3 ) avec
0
1
0
1
2
4
V2 = @ 1 A , V3 = @ 4 A
1
2
A
2
- pour m = 1
0
1
2
@
1
2
A1 =
1
2
ker f1 ?
1
1
1 A
1
0
1
@
1
W = (x; y; z) 2 ker f1 () A1 W = 0 ()
1
0 1
0
@ 0 A
0
8
< x
x
()
:
x
10
1
2 1
x
2 1 A@ y A =
2 1
z
2y + z = 0
2y + z = 0
2y + z = 0
() x 2y + z = 0; x = 2y z
1 0
1
0
1 0
z
2y z
2y
A=@ y A+@ 0 A
=) W = @ y
z
0
z
0 1
0
1
2
1
@
A
@
1
0 A
=
y
+z
0
1
0 1
0
1
2
1
Donc ker f est le plan de base (V1 ; V2 ) avec V1 = @ 1 A et V2 = @ 0 A
0
1
Im f =?
On sait que: dim R3 = dim (ker f1 ) + dim (Im f1 )
124CHAPITRE 6. SYSTEME D’EQUATIONS - ESPACE VECTORIEL - APPLICATION L
3 = 2 + dim (Im f1 )
D’où dim (Im f1 ) = 1
Im f1 est la droite engendrée par un vecteur colonne non nul de A1 par
exemple C1 = (1; 1; 1) :