CHAPITRE II RÉGIME ALTERNATIF Ce chapitre traite de l’étude des circuits électriques alimentés par des sources alternatives sinusoïdales. SSoom mm maaiirree I. II. COURANT ALTERNATIF I.1 INTRODUCTION I.2 DÉFINITIONS CIRCUITS EN RÉGIME ALTERNATIF II.1 NOTION D’IMPÉDANCE II.2 NOTION DE DÉPHASAGE a. Déphasage entre deux courants ou de tensions b. Déphasage d’un circuit II.3 NOTION DE PUISSANCE EN ALTERNATIF III. CIRCUITS RÉSONNANTS III.1 DÉFINITION III.2 RÉSONANCE RLC SÉRIE III.3 RÉSONANCE RLC PARALLÈLE III.4 CIRCUITS RÉSONNANTS LC ANNEXE 1 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF I. GÉNÉRALITÉS I.1 Introduction : L’immense majorité de l’électricité utilisée aujourd’hui dans l’industrie, le commerce et à domicile est en courant alternatif. L’énergie électrique correspondante est produite dans de grandes centrales électriques par des générateurs électromagnétiques de Faraday, appelés générateurs alternatifs ou alternateurs. Ces alternateurs dont le fonctionnement repose sur le principe de l’induction électromagnétique sont entraînés par des turbines à vapeur, hydrauliques, à gaz, … . Ce sont des machines tournantes qui transforment l’énergie mécanique en énergie électrique. L’électricité produite dans les centrales passe par des transformateurs élévateurs qui élèvent sa tension jusqu’au domaine de la très haute tension (THT) (de l'ordre de 400 kV). Elle va être acheminée vers les lieux de consommation où la tension sera abaissée en deux étapes : une première amène la tension jusqu’à 20 kV ; avec la seconde la tension descend de 20 kV au niveau de la basse tension (220 V ou 380 V). 2 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Qu’est-ce que le courant alternatif ? On appelle courant alternatif (CA ou plus communément AC pour "Alternative Current") un courant électrique où les électrons circulent alternativement dans une direction puis dans l'autre à intervalles réguliers appelés cycles. Le courant alternatif est produit par la rotation d’un alternateur, que l’on peut schématiser par une bobine de fil conducteur tournant dans un champ magnétique. Cette rotation génère dans la bobine un courant alternatif, c’est-à-dire un mouvement de va-etvient des électrons, dont la fréquence varie en fonction de la vitesse de rotation de la bobine. Ainsi, une bobine tournant à 3000 tours/mn ou 50 tours/s génère un courant alternatif de 50 Hz : les électrons changent de direction 100 fois par seconde ! Chez nous, en Europe et dans la plupart des autres régions du monde, il est de 50 cycles par seconde (soit une fréquence de 50 Hz). Au Canada et aux USA, il est de de 60 Hz. Rappelons qu’un courant électrique est produit par le déplacement d’électrons quasilibres dans un milieu conducteur (métal) sous l’impulsion d’une tension électrique (f.é.m.) appliquée à ses bornes. Si cette tension est continue, le flux d’électrons (de charges négatives) s’écoule uniquement vers la borne positive (caractérisée par un déficit de charges négatives) à laquelle il communique de l’énergie. Bien que la vitesse de déplacement de chaque électron soit très lente : 0.037 cm/s (quelques mètres par heure), le mouvement se répercute sur tous les autres électrons présents dans le conducteur à la vitesse de la lumière. Cette lenteur a quelque chose de surprenant et il faut alors expliquer la rapidité des transmissions électriques (de l’ordre de vitesse de la lumière). Celle-ci est simplement due à la vitesse de propagation de l’ébranlement et non pas à la vitesse de déplacement des électrons. On peut comparer ce phénomène à celui qui se produit lorsque l’on ouvre le robinet d’alimentation d’un tuyau déjà rempli d’eau : celle-ci s’écoule immédiatement à l’autre extrémité du tuyau, quoique la vitesse d’écoulement de l’eau puisse être très lente. Si cette tension est alternative (sinusoïdale), les électrons oscillent alternativement dans un sens et dans l’autre autour de leurs positions moyennes sur une distance de quelques microns : 0.00166 mm (millièmes de millimètres). Ils répercutent l’énergie vibrationnelle reçue vers l’extrémité positive du conducteur. On voit donc que l’on ne peut pas parler d’un écoulement d’électrons dans un sens (alternance positive), puis dans l’autre (alternance négative), mais plutôt de vibration des électrons, avec une amplitude de l’ordre du micron (à 50 Hz). Principe du générateur (alternateur) de f.é.m. sinusoïdale : Soit une bobine plate, en rotation, avec une vitesse angulaire constante autour d’un axe de son plan et située dans un champ magnétique B générant un flux magnétique . 3 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF bobine est le siège (à ses bornes) d’une f.é.m. d’induction d e M sin t E max sin t (voir annexe A). dt La f.é.m. induite et le courant induit varient sinusoïdalement dans le temps avec une 2 période égale à T . Cette Remarque : On obtient le même résultat si la bobine est fixe et si le champ tourne à la vitesse angulaire . Schémas simplifiés du principe de l’alternateur Dans un alternateur, la bobine tourne à une vitesse constante formant ainsi un mouvement périodique. La tension induite le sera également. Cependant, la valeur de la tension induite n'est pas constante, puisqu'elle est définie en fonction du sinus de l'angle formé par le déplacement de la bobine et les lignes du champ magnétique. À l'instant où le déplacement de la bobine est perpendiculaire aux lignes de champs, la tension induite dans la bobine est maximale. Par contre, lorsque le déplacement de la bobine est parallèle aux lignes de champs, la tension induite est nulle. Quant à la polarité de la tension induite, elle change à chaque demi-rotation de la bobine. Un demi-tour de la bobine, c'est-à-dire de 0° à 180°, induit une tension positive, appelée alternance positive, tandis que l'autre demi-tour, soit de 180° à 360°, induit une tension négative nommée alternance négative. 4 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF 5 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF I.2 Définitions : Un courant (tension) alternatif(ive) est un (une) courant (tension) sinusoïdal(e) dont l’intensité est régie par l’une ou l’autre des fonctions sinusoïdales du temps suivantes : Courant : i (t ) I M sin t Courant : i (t ) I M cos t Tension : e (t ) E M sin t Tension : e (t ) E M cos t i (t ) e (t ) : valeur instantanée du courant (de la tension) c'est la valeur à un instant donné. Elle se note toujours par une lettre minuscule. I M EM : valeur ou amplitude maximale (crête) du courant (de la tension) atteinte par période. [rad/s] : pulsation ou vitesse angulaire de la fonction périodique. T 2 [s] : période. C’est l’intervalle de temps pendant lequel la forme d'onde périodique se reproduit. f [Hz] : fréquence. C'est le nombre de périodes par seconde. 2 t rad : phase instantanée. rad : phase initiale (à l’origine) ou déphasage ou décalage angulaire (décalage de temps). C’est la valeur de la phase instantanée lorsque t 0 . Valeur efficace I eff V eff : c’est la valeur principale utilisée pour mesurer (appareil de mesure) des tensions et des courants alternatifs. On définit la valeur efficace d’un courant alternatif (ou d’une tension) comme la valeur d’un courant continu équivalent qui produirait dans une même résistance R la même puissance dissipée par effet Joule (échauffement). C'est cette valeur qui est pertinente dans les circonstances (applications) impliquant la puissance, l'éclairage, le chauffage, ... . On démontre que : V eff 1 T T 0 v 2 (t )dt V max / 2 et I eff 1 T T 0 i 2 (t )dt I max / 2 . (Voir démonstration en Annexe B). 6 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Remarque : Il existe un autre terme pour désigner la valeur efficace d'une tension ou d'un courant alternatif : "valeur r.m.s" (r.m.s abréviation de l'expression anglaise root mean square, c-à-d : racine de la moyenne du carré). Valeur moyenne I moy V moy : la valeur moyenne d’une onde sinusoïdale sur un cycle (une période T ) de l'onde est nulle. Toutefois, elle se calcule sur un demi-cycle (demi-période T 2 ) comme étant le module moyen d’un demi cycle commençant avec un module nul : V moy 1 T T 0 V max sin t dt 0 V moy 1 T 2 T 2 0 V max sin t dt 2V max 0.63 V max (Voir démonstration en Annexe B). Indications des appareillages L'oscilloscope visualise la mesure des phénomènes alternatifs (ondes alternatives de tension ou de courant) en valeurs maximales. L'oscilloscope est l'outil adapté pour visualiser une tension alternative. Grâce à lui, nous pouvons voir la forme de la courbe, mesurer sa période et la valeur maximale de la tension. En réalité un oscilloscope est un voltmètre en continu qui varie en fonction du temps. Donc un voltmètre en continu nous permet de suivre l'évolution de la tension au fur et à mesure. Le multimètre donne les valeurs mesurées (courant ou tension) en valeurs efficaces. Le voltmètre en alternatif (voir figure ci-contre) affiche une valeur constante alors que nous savons que cette tension varie. C'est ce qu'on appelle la tension efficace notée V eff . Par exemple, la tension efficace du secteur (prise de la maison) est V eff 230V . 7 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Déphasage ou différence de phase : Soit deux fonctions périodiques (de même fréquence) s (t ) et s (t ) représentant des courants ou des tensions : cos t s (t ) S max cos t et s (t ) S max Le déphasage (différence de phase) entre ces deux fonctions est la quantité t t : Si 0 , le signal s (t ) est en retard de phase sur s (t ) . C’est le cas illustré par la figure ci-dessous (cas (a)). Si 0 , le signal s (t ) est en avance de phase sur s (t ) . C’est le cas illustré par la figure ci-dessous (cas (b)). Si 0 , les signaux s (t ) et s (t ) sont en phase. Exemple : i(t) et u(t) en avance de phase par rapport à l’origine. i(t) en retard de phase sur u(t). 8 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF I.3 Représentation des grandeurs alternatives : Tout phénomène alternatif sinusoïdal régi par l'expression générale du type u (t ) U max sin t peut être représenté par un vecteur tournant à la vitesse angulaire . Notation complexe : Pour profiter de la souplesse des calculs dans le plan complexe, on fait souvent appel à la représentation complexe des fonctions sinusoïdales. Considérons les deux fonctions sinusoïdales de même pulsation suivantes : v (t ) V max cos t et i (t ) I max cos t . En notation complexe exponentielle, ces deux fonctions peuvent s’écrire : j t j t v (t ) V max e et i (t ) I max e avec j 2 1 (la notation j est adoptée pour éviter la confusion avec le courant i ). Or, comme on travaille à pulsation constante commune, le facteur e j t sera commun dans tous les calculs et développements. Alors, il est plus commode de l'ignorer en simplifiant la notation exponentielle précédente pour obtenir la notation polaire exponentielle donnée comme suit : v (t ) V max e j et i (t ) I max e j avec et en radians ; V max , et I max , : coordonnées polaires ou bien sous la notation de Kennelly : v (t ) V max et i (t ) I max avec et en degrés. On a aussi la notation polaire trigonométrique (à partir de la notation polaire exponentielle grâce aux formules d'Euler*) : v (t ) V max cos j sin et i (t ) I max cos j sin . Cette dernière peut être aussi exprimée par la notation algébrique ou cartésienne, comme suit : V v (t ) A 2 B 2 I A 2 B 2 max max A A A A cos v (t ) A jB et i (t ) A jB avec cos et . v (t ) V max v (t ) I max sin B B sin B B v (t ) V max v (t ) I max e j e j j sin 2 e cos j sin j *Formules d’Euler : . j j e cos j sin cos e e 2j 9 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF II. CIRCUITS EN RÉGIME ALTERNATIF Nous admettrons comme principe que toutes les lois générales de l’électricité, à savoir celles d’Ohm, de Joule, de la conservation de charge et de Kirchhoff restent applicables en régime alternatif. Rappelons les relations tension-courant (lois d’Ohm) dans le cas de dipôles simples (tableau ci-contre). Considérons un générateur de f.é.m. sinusoïdale u (t ) UM sin t relié à un circuit comprenant des R éléments R , L , C en série. Un courant d’intensité L sinusoïdal i (t ) de même pulsation est alors débité. C Son expression est donnée par : i (t ) IM sin t avec : I M : valeur maximale du courant. : déphasage du courant par rapport à la tension. I M et peuvent être déterminés en adoptant la démarche qui va suivre. L'expression de la tension aux bornes (A et B) du circuit RLC série est donnée par (loi d'Ohm) : di (t ) 1 i (t )dt (Υ) dt C On se propose de faire appel à la notation complexe vue précédemment pour récrire cette loi u AB u (t ) u R (t ) u L (t ) uC (t ) R i (t ) L j t d'Ohm dans le domaine complexe : u (t ) U M e j t et i (t ) I M e . En remplaçant les expressions de u (t ) et i (t ) par leurs notations complexes dans (Υ), on a : 1 1 j t j t j t U M e j t R I M e L I M j e IM e C j u (t ) u R (t ) u L (t ) uC (t ) j j t R jL I M e C i (t ) ce qui permet d'établir la relation importante suivante : u (t ) R jL j i (t ) . C II.1 Notion d’impédance : Le résultat établi dans le paragraphe précédent nous permet de définir une nouvelle grandeur complexe, qu'on notera Z, dite impédance complexe du circuit. La relation finale établie s’écrit : u (t ) Z .i (t ) avec Z R jL j 1 R j L . C C 10 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF On définit : Z u (t ) i (t ) Y 1 i (t ) représentation symbolique : admittance complexe [Siemens] Z u (t ) : impédance complexe [Ω] représentation symbolique U M e j t U u (t ) M e j Z e j Z e j Z j t i (t ) I M e IM voir la remarque ® : u (t ) U max U eff : module de l'impédance complexe appelé "impédance" . Z i (t ) I max I eff : "déphasage" entre le courant et la tension introduit par l'impédance complexe Z . : "argument" du nombre complexe r eprésentant l'impédance complexe Z . L’impédance complexe d’un circuit électrique s’écrit, sous forme cartésienne : Z R jX où R est sa résistance et X sa réactance, ou bien sous forme polaire : Z Z e j voir la remarque ® avec Z R 2 X 2 X et arg Z arctan . R si X 0 : le circuit est dit inductif (prédominance inductive) si X 0 : le circuit est dit capacitif (prédominance capacitive) si X 0 : le circuit est dit purement résistif . L’inverse de l’impédance est appelé admittance et est noté Y : Y G jX où G est sa conductance et X sa susceptance. Remarque ® : Il faut distinguer le déphasage entre le courant et la tension (certes introduit par la présence de l'impédance complexe Z) noté et l'argument propre à l'impédance complexe Z (apparaissant dans l'écriture de Z sous forme exponentielle) noté : u (t ) Z i (t ) U M e j 0 Z e j I M e j = Z I M e j . UM e j 0 APPLICATION À DES CAS SIMPLES Résistance : Impédance complexe Impédance Déphasage Z R 0 rad Z R R e j 0 R 0 11 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF i R (t ) et u R (t ) sont en phase : 0 . Ils s'annulent en même temps, passent par un maximum ou un minimum en même temps, ainsi que l'illustre la figure ci-contre. Self ou inductance ou bobine : Impédance complexe Impédance Z L jL L e i L (t ) u (t ) ZL j u (t ) jL 2 Z L L L 90 U M 0 L 90 U M e j 0 L e avec j 2 Déphasage 2 rad I L 90 I L e M UM ZL UM L IL ou bien, sachant que u L (t ) L i L (t ) 1 L U M sin t dt UM L j 2 M I L sin t 2 M M di L (t ) dt , on a : cos t I L sin t 2 . M I LM Tension et courant ont toujours la même pulsation, mais ils ne sont plus en phase : ils sont déphasés de 2 . Cette situation est illustrée par la figure ci-contre. Elle montre que le courant i L (t ) est en retard de 2 sur la tension u L (t ) : le courant s'annule et passe par un extremum à un temps t plus grand que pour la tension ; il est en retard. Quand il s'annule, la tension passe par un extremum, quand il passe par un extremum, la tension s'annule : le déphasage est bien d'un quart de cycle (T 4 ), soit 2 . Remarques : Une bobine de fil conducteur constitue une inductance, encore appelée self. On la rencontre dans les moteurs, dans les ballasts des tubes néons, les transformateurs, … . Cette bobine réagit constamment aux variations du courant qui la traverse, suite à un phénomène magnétique. Si cette bobine est soumise à un courant continu, elle n’aura aucun effet sur celui-ci. Si par contre, on veut lui faire passer du courant alternatif, elle va réagir en opposant une résistance au passage du courant. L’importance de ce "frein" est mesurée par la valeur de l’inductance L, exprimée en Henry (H). Ce type d’impédance aura, donc, un deuxième effet sur le courant : une bobine retarde le courant par rapport à la tension. On dit qu’elle déphase le courant. Ainsi, une inductance pure verra son courant déphasé de 2 en retard sur la tension. Explication : Quand on applique une tension aux bornes d’une self, le courant ne s'établit pas instantanément. À un certain instant t, la tension aux bornes de la self est maximale et l'intensité est nulle. Quand la bobine se charge en énergie, la tension à ses bornes décroit et l'intensité augmente. Une fois la self "chargée", la tension à ses bornes est nulle et l'intensité est maximale. En régime alternatif la tension et l'intensité se retrouvent donc déphasées : le courant est en retard sur la tension. 12 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Condensateur : Impédance complexe 1 ZC i C (t ) jC 1 C u (t ) ZC 1 j e C j 2 u (t ) 1 Impédance Déphasage jC 1 C ZC 90 U M 0 1 C 90 1 U M e 1 C avec e - 2 rad C j j0 2 UM ZC I C 90 I C e j M UM 1 C 1 ou bien, sachant que u C (t ) i C (t ) C du C (t ) dt C d U M sin t dt C M IC 2 I C sin t 2 M M i C (t ) dt , on a : C U M cos t UM 1 cos t I C sin t 2 M C IC M Tension et courant sont cette fois-ci déphasés de 2 . Cette situation est illustrée par la figure ci-contre. Elle montre que cette fois, le courant est en avance de 2 par rapport à la tension. Remarques : Explication : Un condensateur est un réservoir de charges électriques. S'il est soumis à la tension d’un générateur, il va accumuler des charges. Ces charges seront restituées au réseau lorsque la tension d’alimentation diminuera. S’il s’agit d’une tension alternative, le condensateur se charge et se décharge au rythme de la fréquence alternative. Ce type d’impédance aura également un effet de déphasage du courant par rapport à la tension, mais cette fois le Quand on applique une tension aux bornes d’un condensateur la tension ne peut pas s'établir instantanément. À un certain instant t, la tension à ses bornes est nulle et l'intensité est maximale le condensateur commence sa charge. Au fur et à mesure que le condensateur se charge, la tension augmente et l'intensité décroit. Quand le condensateur est chargé, la tension à ses bornes est maximale et l'intensité est considérée comme nulle. Lors de la décharge, le même phénomène se produit. En régime alternatif la tension et l'intensité se retrouvent donc déphasées, quand l'une est nulle l'autre est maximum : le courant est en avance sur la tension. courant est déphasé en avance de 2 sur la tension. 13 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Association d'impédances en série : Si n impédances, Z 1 , Z 2 , …, Z n , sont montées en série, l’impédance équivalente est la n somme des impédances : Z eq Z k . k 1 Association d'impédances en parallèle : Si n impédances, Z 1 , Z 2 , …, Z n , sont montées en parallèle, l’impédance équivalente est donnée par : n 1 1 . Néanmoins, il est plus commode de travailler avec les Z eq k 1 Z k n admittances. L'admittance équivalente est alors donnée par : Y eq Y k . k 1 II.2 Déphasage d’un circuit : a) Rappels : Rappelons qu’on ne peut parler de déphasage (décalage) que si les grandeurs comparées sont de même fréquence. La relation de temps qui existe entre deux tensions ou entre deux courants ou encore entre une tension et un courant, de même fréquence, dans un même circuit, est appelée déphasage. Elle est exprimée à l’aide d’un angle appelé angle de déphasage " ". Si t est le décalage temporel et T la période, le déphasage se détermine par : t 2 rad . T Soient deux fonctions de même fréquence S 1 (t ) et S 2 (t ) : S 1 (t ) S 1max sin t 1 et S 2 (t ) S 2max sin t 2 t1 t 2 t .2 .2 1 2 : déphasage de S 1 (t ) par rapport à S 2 (t ) . T T 0 0 S 1 (t ) en retard de phase par rapport à S 2 (t ) 0 S 1 (t ) en avance de phase par rapport à S 2 (t ) 0 S 1 (t ) et S 2 (t ) en phase 0 S 1 (t ) et S 2 (t ) en opposition de phase S 1 (t ) et S 2 (t ) en quadrature 2 de phase. 14 b) Déphasage d’un circuit : L’angle de déphasage d’un circuit est l’angle de déphasage entre la tension totale u (t ) et le courant total i (t ) dans le circuit, en prenant la tension comme référence. Il est noté : u (t ) i (t ) . j u (t ) u (t ) e u U max j (u i ) e i (t ) i (t ) e j i I max j Z Z eq e eq Z eq Z eq Z eq u (t ) i (t ) U max U eff et I max I eff Z eq e j Z eq U max j (u i ) e . On alors : I max Z u i : déphasage du circuit. eq Exemples d’application : Déterminer le déphasage introduit par un circuit RLC série, RC série et RL parallèle. Exercice : Une source de tension sinusoïdale v (t ) d’amplitude V max 150 V de fréquence 60 HZ est appliquée à un circuit RC série où R 20 et C 400 pF . 1. Calculer I max , V R max et V C max . 2. Donner les expressions de i (t ) , v R (t ) et v C (t ) . Solution : 1. Calcul de I max , V Rmax , VC max : I max V max Z eq 2 Z eq 1 1 1 1 A.N R R j Z eq R 2 Z eq 202 12 jC C C 400 10 2 60 2 → Z eq 6.63 106 I max V max Z eq A.N I max 150 → I max 2.26 105 A . 6.63 106 4 A.N V Rmax Z R I max R I max V Rmax 20 2.26 105 → V Rmax 4.52 10 V . V C max Z C I max 1 1 A.N I max V C max 2.26 105 → 12 C 400 10 120 V C max 149.87 V . 1 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF 2. Expressions de i (t ), v R (t ) et v C (t ) : i (t ) ? Soit v (t ) V max sin t A.N v (t ) 150 sin120t . Par ailleurs, on a : i (t ) V v (t ) V max e j t j t max e I max sin t j Z eq Z eq e Z eq ? I max 1 C 1 R j arccos C R 1 C arctan R A.N Z eq 89.99 rad . 2 a arccos si b 0 z Formule intéressante : z a jb z z cos j sin . arccos a si b 0 z 5 A.N i (t ) I max sin t i (t ) 2.26 10 sin 120 t . 2 v R (t ) ? A.N v R (t ) Z R i (t ) R i (t ) v R (t ) 4.52 104 sin 120 t . 2 v C (t ) ? v C (t ) Z C i (t ) Z C e j 2 I max e j t = Z C I max e j t 2 ou bien v C (t ) V C max v C (t ) 149.87 e A.N j t 2 2 1 C i (t )dt 149.87 e j t → v C (t ) 149.87 sin120t . II.3 Notion de puissance en alternatif : Soit le circuit ci-contre avec : u (t ) U max sin t et i (t ) I max sin t On détermine la puissance instantanée par : p (t ) u (t ) i (t ) p (t ) U max I max sin t sin t 1 p (t ) U max I max cos cos 2t 2 . U eff I eff cos U eff I eff cos 2t cos a b cos a b Rappel : sin a sin b . 2 16 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Remarques : La puissance instantanée p (t ) varie à chaque instant et s'exprime en Watts [W]. On distingue deux termes : le 1er, indépendant du temps, est appelé puissance active. Quant au 2nd, il prend la dénomination de puissance fluctuante. La pulsation de l’onde de puissance est le double de celle de la tension et du courant. À cause du déphasage entre u (t ) et i (t ) sur le dipôle, nous allons identifier plusieurs notions de puissance : la puissance active (puissance moyenne) notée "P " la puissance réactive notée "Q " la puissance apparente notée "S " . 1. Puissance active : La puissance active ou la puissance moyenne consommée est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période. Elle s’exprime en Watts. La puissance active est la puissance utile ou réelle : c’est celle qui produit un travail utile dans les appareils électriques. P Pmoy 1 T T 0 U I 1 U max I max cos cos 2t dt max max 2 2T → P T 0 cos cos 2t dt U max I max cos ou P U eff I eff cos (formule à retenir). 2 : déphasage du circuit ║ cos : appelé facteur de puissance. Remarques : Si le circuit est purement résistif, alors 0 et donc cos 1 : 1 p (t ) U max I max 1 cos 2t et P U eff I eff R .I eff2 . 2 Dans ce cas, la puissance active est maximale. Si le circuit est purement réactif (pas de résistance), purement inductif ou purement capacitif, alors 2 et donc cos 0 → P 0 . 17 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF On ne peut parler de puissance active dans les réactances. En effet, dans le cas des circuits RC, RL ou RLC, la puissance active est parfois carrément dite "puissance résistive" vu qu'il n’y a de dissipation de puissance que dans la résistance R. 2. Puissance réactive : La puissance réactive est la puissance définie par la relation : Q U eff I eff sin . Elle s’exprime en VAR (Volt Ampère réactif). C’est une puissance fictive (imaginaire) permettant de caractériser l'échange d'énergie non utilisée en chaleur ou en travail par une charge réactive. Remarques : Si le circuit est résistif, alors 0 et donc sin 0 → Q 0 . En fait, on ne peut parler de puissance réactive dans une résistance. Si le circuit est capacitif (prédominance capacitive), alors 0 → sin 0 → Q 0 : la puissance réactive est négative. Cas particulier : circuit purement capacitif alors 2 → sin 1 : 1 p (t ) U max I max 0 cos 2t 2 2 1 U max I max sin 2t 2 et Q U eff I eff → la puissance réactive est maximale (négative). On considère que la source reçoit de la puissance réactive de la capacité. Si le circuit est inductif (prédominance inductive), alors 0 et donc sin 0 → Q 0 : la puissance réactive est positive. Cas particulier : circuit purement inductif alors 2 → sin 1 : 1 p (t ) U max I max 0 cos 2t 2 2 1 U max I max sin 2t 2 et Q U eff I eff → la puissance réactive est maximale (positive). On considère que la source fournit de la puissance réactive à l’inductance. 18 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Théorème de Boucherot : Si un circuit contient N composants, absorbant chacun une puissance active Pi et une puissance réactive Qi , alors : La puissance active absorbée par les N composants est égale à la somme des puissances N actives absorbées par chaque composant : P Pi . i 1 La puissance réactive absorbée par les N composants est égale à la somme des puissances N réactives absorbées par chaque composant : Q Q i (somme algébrique). i 1 La puissance active est celle qui est la plus généralement utilisée car elle correspond à la réalité du travail ou de la chaleur fournie par la charge en tenant compte du déphasage entre la tension et le courant. N.B : On peut réécrire l'expression générale de la puissance instantanée dans un circuit présentant un déphasage sous une forme y faisant apparaître les parties "puissance active instantanée" et "puissance réactive instantanée" : 1 1 p (t ) U max I max cos cos 2t U max I max cos cos cos 2t sin sin 2t 2 2 → p (t ) 1 1 U max I max cos 1 cos2t U max I max sin sin 2t . 2 2 0 : puissance instantanée active alternativement positive ou négative : puissance instantanée réactive 3. Puissance apparente : La puissance apparente S représente l'amplitude des fluctuations de la puissance instantanée p (t ) par rapport à sa valeur moyenne P . Elle correspond au produit des valeurs efficaces de la tension u (t ) et du courant i (t ) . S U eff I eff Elle s’exprime en VA (Volt Ampère). Ce produit est apparemment une puissance, mais il ne fournit pas de travail. C'est donc bien une puissance apparente. 19 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF ILLUSTRATION PAR LES GRAPHES DE FRESNEL : En prenant la tension u (t ) comme référence et en positionnant le courant i (t ) par rapport à celle-ci, le graphe de Fresnel de la situation donne : U U I. cos I. sin I I Le courant, en retard d’un angle de déphasage , Peut être graphiquement décomposé en deux composantes. U P Il est alors possible de superposer l’image de la puissance active P = U.I.cos à la composante I cos I. sin I U P On peut ensuite superposer l’image de la puissance réactive Q = U.I.sin à la composante I sin Q S On peut superposer l’mage de la puissance apparente S =U.I à I U P On obtient ainsi un triangle rectangle à partir duquel, en s’appuyant sur le théorème de Pythagore, on tire la relation entre P, Q et S Q S La relation entre les trois puissances peut s’écrire : S 2 P 2 Q 2 . On peut également, en appliquant les règles de trigonométrie relatives au triangle rectangle, extraire les formules suivantes : cos P S sin Q S tan Q . P 20 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Tableau récapitulatif Notion Symbole Unité Formule Puissance apparente S Volt Ampère [VA] S U eff I eff Puissance active P Watt [W] P U eff I eff cos Puissance réactive Q Volt Ampère réactif [var] S U eff I eff sin Facteur de puissance cos - P S Commentaire Correspond au produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Appelée aussi Puissance Moyenne (moyenne de la puissance instantanée). Elle correspond à la fourniture réelle d'énergie transmise au circuit récépteur et convertible en chaleur ou en travail. Elle est mesurée par un Wattmètre. Correspond à la puissance fictive qui caractérise les échanges énergétiques non exploitables pour fournir une chaleur ou un travail (pertes). Correspond au ratio entre la puissance active et la puissance apparente. Il rend compte de l'efficacité qu'a un récepteur pour consommer de la puissance lorsqu'il est traversé par un courant. III. CIRCUITS RÉSONNANTS III.1 Définition de la résonance - circuit résonnant : Physiquement, la résonance est l'augmentation de l'amplitude d'oscillation d'un système physique, sous l'influence d'impulsions régulières de fréquence voisine de la fréquence propre du système. On dit qu'un circuit électrique est résonnant ou en résonance si la tension qui lui est appliquée et le courant résultant sont en phase. Ce circuit se comporte alors comme une résistance. III.2 Résonance d'un circuit RLC série : Soit un circuit RLC série (voir figure ci-contre). 1 1 R j L u (t ) Z i (t ) avec Z R jL . jC C À la résonance, l’effet inductif et l’effet capacitif s’annulent entre eux X L X C . La tension u (t ) et le courant i (t ) sont en phase (déphasage nul) le circuit devient purement résistif : 21 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF L'impédance complexe Z vaut R , L'impédance Z est minimale et vaut Z R 2 0 R , Im Z 0 L 1 1 0 r : pulsation de résonance, C LC Le courant qui traverse le circuit est maximal : I eff U eff U eff , Z R 0 cos 1 : facteur de puissance maximum, La puissance dissipée est maximale : P U eff I eff S (puissance réactive nulle). III.3 Résonance d'un circuit RLC parallèle : Soit un circuit RLC parallèle (figure ci-contre). u (t ) Z i (t ) avec Z R //Z L //Z C 1 1 1 1 1 jC j C Z R jL R L R Z 1 1 jR C L ou bien Y Y R Y L Y C 1 1 1 1 jC j C R jL R L À la résonance, la tension u (t ) et le courant i (t ) sont en phase (déphasage nul) l’effet inductif et l’effet capacitif s’annulent entre eux X L X C le circuit devient purement résistif : L'impédance complexe Z vaut R , L'impédance Z est maximale et vaut Z R , Im Z 0 Im Y 0 C 1 1 0 r : pulsation de résonance, L LC Le courant qui traverse le circuit est minimal : I eff 0 U eff U eff , Z R cos 1 : facteur de puissance maximum. III.4 Circuits résonnants LC : Circuit LC parallèle ou circuit bouchon * : u (t ) Z i (t ) ou bien i (t ) Y u (t ) 22 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF 1 1 jC Z jL L 1 LC 2 1 → Z j j C j L L 1 LC 2 j LC 2 1 1 1 Y jC j C ou bien Y Y L Y C → L jL L À la résonance, la tension u (t ) et le courant i (t ) sont en phase (déphasage nul) l’effet inductif et l’effet capacitif s’annulent entre eux Y L Y C X L X C : Im Y 0 → LC 2 1 0 → r 1 : pulsation de résonance LC L’admittance est nulle L’impédance est infinie Le courant total est nul. * Remarque : Le circuit est dit "bouchon" car il réduit à zéro certaines fréquences souvent indésirables pour l'appareil dans lequel il est intégré, permettant par exemple d'éliminer les parasites dans un récepteur. Circuit LC série : u (t ) Z i (t ) Z Z C Z L jL → Z j 1 1 j L jC C LC 2 1 . C À la résonance, la tension u (t ) et le courant i (t ) sont en phase (déphasage nul) l’effet inductif et l’effet capacitif s’annulent entre eux X L X C : Im Z 0 → LC 2 1 0 → r 1 : pulsation de résonance. LC L’impédance est nulle. La tension totale est nulle. Remarque : De nombreux circuits fonctionnent grâce à des circuits résonants, tels que la télévision, la radio, l'imagerie par résonance magnétique, les instruments de musique. Pour l'exemple d'un récepteur radio, parmi le mélange de transmissions désirables et indésirables, le récepteur sélectionne la transmission utile et rejette le reste. Cette sélection et ce rejet se font grâce aux circuits résonnants. 23 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Annexe A I. Introduction : Rappel sur le Magnétisme Lorsque les charges électriques sont immobiles, on parle d’action à distance entre les charges ; il s’agit des forces électrostatiques. L’espace qui entoure ces charges est modifié. Pour décrire cette modification on parle de champ, de potentiel et d’énergie électrostatique. Lorsque ces mêmes charges sont en mouvement, les lois de l’électrostatique sont modifiées ; de nouvelles interactions et de nouvelles forces apparaissent. L’analyse de ces phénomènes constitue en partie l’électromagnétisme. 1. Définitions Le magnétisme est un phénomène physique par lequel se manifestent des forces attractives ou répulsives d’un corps sur un autre. Par exemple, l’oxyde de fer qui existe dans la nature a la propriété d’attirer le fer. Un tel corps est dit aimant naturel. Un corps est dit magnétique s’il a la propriété d’attirer du fer. Les aimants exercent les uns sur les autres, des forces dites forces magnétiques. Toutes les régions d’un aimant ne sont pas également actives. Le magnétisme se concentre dans les extrémités appelées pôle nord et pôle sud. Deux pôles de même nature se repoussent et deux pôles de nature différente s’attirent. De plus, un aimant s’oriente toujours à la surface de la terre selon la direction Nord / Sud. Un aimant modifie les propriétés de l’espace qui l’entoure. Un autre aimant réagit à cette modification. Cette modification est traduite par la présence d’un champ magnétique B désigné aussi sous le nom d’induction magnétique. Ce champ est définie en tout point l’espace : il constitue un champ de vecteurs. 2. Vecteur champ magnétique (ou induction magnétique). Le but du magnétisme est de déterminer avant toute chose, la valeur du champ B en tout point du voisinage d’un aimant (s’exprime en Tesla [T]), ou dans un espace où règne un champ magnétique. Pour mettre en évidence l’existence d’un tel champ ; il suffit de prendre une aiguille aimantée qui prend toujours une direction bien déterminée en présence d’un champ magnétique. Pour visualiser les lignes de ce champ, on prend une feuille sur laquelle on met de limaille de fer. En absence de champ magnétique la limaille prend une orientation quelconque. Mais, lorsqu’on met au milieu de cette feuille un aimant ; la limaille s’oriente selon des courbes allant du pôle nord au pôle sud (Fig. 1.1). N S Orientation quelconque en absence de champ B . Lignes de champ B crées par l’aimant. Fig. 1.1 Visualisation des lignes d’un champ magnétique. 24 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF 3. Champ électromagnétique. L’expérience montre que les modifications des propriétés de l’espace apportées par la présence des aimants (naturels ou artificiels), sont identiques aux effets qui apparaissent au voisinage de courants électrique ou de charges en mouvement. En effet, une boussole placée parallèlement à un conducteur rectiligne dévie lorsque celui-ci est traversé par un courant électrique (Fig. I.2 : expérience d’Oersted). I La boussole reste immobile en absence de I. Le passage de I fait dévier la boussole Fig. I.2 Expérience d’Oersted. Le passage du courant électrique donne naissance à un champ magnétique qui fait dévier la boussole. 4. Action d’un champ magnétique sur une charge en mouvement. Soit une charge q qui, à un instant donné, traverse avec une vitesse v , un domaine de l’espace où règne un champ B . Cette charge est soumise à une force : F q.v B Cette force est appelée force magnétique. Si en plus, dans cet espace règne un champ électrique E , cette charge est soumise à une force dite force de Lorentz. F qE q.v B . 5. Flux magnétique. Le flux magnétique, noté Φ, est une grandeur physique mesurable caractérisant l’intensité et la répartition spatiale du champ magnétique. Cette grandeur est égale au flux du champ magnétique à travers une surface orientée. Par définition cette grandeur est donnée par la relation : d B.ds d B . ds . cos est l’angle entre les lignes du champ B et le vecteur normal au plan de la surface S. le flux à travers la surface S est alors : B.ds . 6. Induction électromagnétique. L’induction électromagnétique est un phénomène, qui est régi par les lois de l’induction, se manifeste par des courants induits, ou des f.é.m. induites dans diverses conditions expérimentales. Ce phénomène a été découvert et étudié par le physicien anglais Faraday au début du dix-neuvième siècle. On peut citer comme expériences : 25 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF Expérience 1 : un circuit dépourvu de générateurs, qui comporte une bobine de fil déformable et un galvanomètre, est déformé ou placé dans une région où règne un champ magnétique (Fig I.3). Un courant apparaît dans le circuit malgré l’absence de générateur. Le courant ne circule que pendant la déformation ou le déplacement du circuit et s’annule dès que le circuit redevient immobile. B G Fig. I.3 Expérience 2 : le circuit précédent est maintenu immobile et l’aimant créant le champ magnétique est déplacé. Comme précédemment un courant apparaît dans le circuit. Conclusion : dans les deux expériences citées, un courant est apparu dans un circuit ne comportant pas de pile : on dira qu’un courant a été induit dans le circuit. Le sens et la grandeur du courant induit dépendent des variations en fonction du temps : 1- de la surface du circuit, 2- du champ d’induction dans lequel se trouve placé le circuit, 3- de l’orientation du circuit par rapport au champ. 7. Loi de Faraday. Un circuit soumis à un flux magnétique , issu d’un champ magnétique variable B , subit une force électromotrice e (en volts) : e d . dt Cette f.é.m. est déterminée indépendamment des conditions expérimentales. 8. Auto-induction ou self inductance d’un circuit. L’auto-induction est la propriété électromagnétique qu’a un conducteur parcouru par un courant électrique de s’opposer aux variations de celui-ci. Soit un circuit électrique quelconque, parcouru par un courant d’intensité I. Il est traversé par un flux de champ magnétique ; avec : L I L : représente le coefficient d’auto-induction du circuit, ou inductance propre du circuit. Il ne dépend que de la configuration géométrique du circuit, il est toujours positif, et il s’exprime en Henry (H). Si I varie dans le temps, il en sera de même pour . Donc, le circuit est le siège d’une f.é.m. induite e dite f.é.m. de self induction. e d LdI dI L dt dt dt 26 CHAPITRE II : RÉGIME ALTERNATIF On peut dire donc, que toute variation du courant produit une tension qui s’oppose à la variation du champ, donc qui s’oppose à la variation du courant. e L i A Tension aux bornes de la bobine : V AB L B VAB f.é.m. induite : e L di dt di . dt Annexe B Valeur efficace - Démonstration : V eff 1 T 1 0 v (t )dt T T V max 2 2T 2 0 T 0 V max 2 V max sin(t ) dt T 2 V max 2 T T 2T 4 V max 2 2T 0 2 dt T V max 2 T 1 sin(2t ) 1 cos(2t )dt t 0 2T 2 0 T V max 2 V max 2 T 1 t sin(2 t ) 2T 0 4 2T T 0 sin(t ) T T T sin(2t ) 0 T 4 2 sin(2 T T ) sin(2 0) V max 2 V max 2 V max T T sin(4 ) sin(2 0) T . 4 0 2 T 2 2 0 Valeur moyenne - Démonstration : V moy 1 T 2 T 2 0 T T 2 1 2 2 T 2 V max sin t dt V max cos t V max cos t T 0 T 2 0 V V T max cos cos 0 max 2 2 T cos T 2 cos 0 2V V max max cos cos 0 . 1 1 27
