TC 04 Equ-Inéqu-Sys Cr1Fr Ammari

Tronc CS
I.
Equations-Inéquations-Systèmes
Cours Complet : Cr1F
Page : 1/3
Equations et inéquations du premier degré à une inconnue:
1) Equations:
Une équation du premier degré à une seule inconnue x
Est toute équation de la forme x  IR  ; ax  b  0 . Soit S son l’ensemble solution
Si a  0
Si a  0
b
ax  b  0  a  
a
 b
S   
 a
Si b  0
ax  b  0  0.x  0
Tout réel est solution, d’où:
S  IR
Si b  0
ax  b  0  0.x  b
Il y a contradiction, donc
l’équation n’a pas de solution,
d’où :
S
2) Inéquations:
Une inéquation du premier degré à une seule inconnue x
Est toute inéquation possédant l’une des formes :
x  IR ; ax  b  0 ou x  IR ; ax  b  0 ou x  IR ; ax  b  0 ou x  IR ; ax  b  0
Pour déterminer S ensemble solution de l’une des inéquations,on étudie le signe de P(x)  ax  b
(a  0) :
Si : a  0
ax  b  0  ax  b  x  
Signe de
ax  b
II.
b

x
-
:a  0
Si
0
b
a
ax  b  0  ax  b  x  

a
x
Signe de
ax  b

b


b
a

a
0
-
Système à deux inconnues ( méthode de Cramer ) :
1) Déterminant :
Le déterminant joue un rôle important dans la solution des systèmes d’équations et dans la
géométrie . le déterminant est tout simplement un nombre qu’on écrit sous forme d’un tableau
tel que :
2 3
a c
 ad  bc ; on a par exemple :
 ( 2)(5)  (7)(3)  10  21  11
b d
7
5
2) Méthode de résolution d’un système:
ax  by  c
Considèrons le système (S) à deux inconnues x et y suivant :  '
'
'
a x  b y  c
Pour résoudre ce système , on utilise trois déterminant :
a b
Le déterminant principal : D  '
a b'
Le déterminant en x : Dx 
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a c
c b
et le Le déterminant en Dy  ' '
'
'
c b
a c
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[email protected]
06 49 11 33 23
Tronc CS
Equations-Inéquations-Systèmes
Si : D  0
Page : 2/3
Si : D  0
Si Dx  0 et Dy  0
Dans ce cas les deux équations du
système sont équivalentes et le
système est équivalent à l’équation
ax  by  c
Dy
D
x  x et y 
D
D
Le système admet un couple
solution unique
III.
Cours Complet : Cr1F
Si Dx  0 ou Dy  0
Le système n’a pas de solution
Equations et inéquations de second degré:
1) Méthode de résolution :
Essayons de factoriser le polynôme suivant P( x )  ax 2  bx  c en utilisant les identités remarquables.
En général, on a : (u  v)2  u 2  2uv  u 2
d’où : u 2  2uv  (u  v) 2  v 2  (u  v  v)(u  v  v)  u(u  2v)
d’où :



b2
4ac 
b
b2 c 
b
b2 
b
b 

P( x)  ax 2  bx  c  a x 2  x   c  a ( x  ) 2  2   c  a ( x  ) 2  2    a ( x  ) 2  2  2 





2a
a
2a
2a
a 

4a
4a 
4a
4a 




b 2  4ac 
b
P( x)  a ( x  ) 2 

2a
4a 2 

Posons
x1 
  b 2  4ac
b 2  

: P( x )  a ( x  )  2 
2a
4a 

D’où
Premier cas :   0 on pose :
:
b 
2a
et x 2 
b 
2a



 
 2 
 
  
 b   
 b   
b
b
b
b
P( x)  a ( x  ) 2  2   a ( x  ) 2  (
)  a x 

x

a x
x




2a
2a
2a 
2a 2a 
2a 2a  
2a
2a
4a 





On en déduit la forme canonique de P( x) : P(x)  ax  x1 x  x2 

x
Signe de f(x)
x1
Signe de a
0

x2
Signe contraire de a
0
Signe de a
b
0 
b 


P( x)  a ( x  )2  2   a x  
Deuxième cas
2a
4a 
2a 


2
On en déduit la forme canonique de P( x) : f ( x)  ax  x 0 
:   0 on pose : x 0  b
2a
x

Signe de f(x)
Troisième cas :   0

x0
Signe de a
0
2
Signe de a
b
b
  


f ( x)  a ( x  ) 2  2   a ( x  ) 2  2 
2a
2a
4a 
4a  


Dans ce cas, on a   0 d’où   0 donc  ( x 

b 2 
)  2   0 on
2a
4a 
en déduit que P(x)  0 n’a pas de solutions
et que f (x) est de même signe que a .
On en déduit la forme canonique de P( x) : P(x) s’écrit sous la forme
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b


f ( x )  a ( x  )2    avec   0
2a


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Equations-Inéquations-Systèmes
Tronc CS
x
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
Signe de f(x)
Page : 3/3

Signe de a
2) Conclusion générale :
Signe du polynôme P(x)  ax 2  bx  c (a  0)
Signe de 
0
0
On pose :   b 2  4ac
Solutions de P(x)  0
Signes de P(x)
Signe de a à l’extérieur
b 
b 
des racines
et x 2 
x1 
2a
2a
Signe contraire de a à
l’intérieur des racines
Signe de a pour tout
b
x0 
x  x0
2a
0
Forme canonique de P(x)
f ( x)  ax  x1 x  x 2 
f ( x )  ax  x 0 2
b


f ( x )  a ( x  ) 2    ‫ مع‬  0 .
2
a


Signe de a pour tout
x  IR
Pas de solutions
3) Relations entre les racines de l’équation :
Considèrns l’équation de second degré : ax 2  bx  c  0
si   0 cette équation admet deux solutions différentes
x1 
b 
2a
et x 2 
b 
2a


P( x )  ax 2  bx  c  ax  x1 x  x 2   a x 2  ( x1  x 2 )x  x1x 2  ax 2  a( x1  x 2 )x  ax1x 2
On en déduit que :
b

 x 1  x 2  - a
 a( x1  x 2 )  b
 

ax1x 2  c
x x  c
 1 2 a
4) Système particulier :
 x  y  S : (1)
Considèrons le système : I  : 
 x.y  P : (2)
On a successivement :
I   
y Sx
y  S  x
 2
: (2)  x  Sx  P
: (1)
x.(S  x)  P
y  S  x
 2
: (2)
x  Sx  P  0
: (1)
: (1)
: (2)
 x  y  S : (1)
Ainsi on remarque que la résolution du système I  : 
 x.y  P : (2)
Se réduit à la résolution de l’équation : x 2  Sx  P  0
Bonne Chance
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