Ch 09 PRODUIT SCALAIRE I – PRODUIT SCALAIRE DE 2 VECTEURS A – Quatre définitions du produit scalaire Soit (O ; i , j ) un repère orthonormé du plan. Soient u = AB et v = AC 2 vecteurs non nuls tels que u(x, y) et v (x', y') . Leur produit scalaire est noté : u⋅ v . € BAC 1. u⋅ v = u × v × cos( u, v ) = AB × AC × cos € € € € 2. Si € € et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) alors u⋅ v = AB⋅ AH et € 3. 4. u⋅ v = xx'+yy' € expression analytique du produit scalaire. B – Propriétés du produit scalaire Pour tous vecteurs • , , de l’espace et tout réel α, on a : Symétrie : u ⋅ v = v ⋅ u . avec • • ( u€+ v ) 2 = u 2 + 2 u ⋅ v + v 2 . (u − v ) 2 = u 2 − 2u ⋅ v + v 2. (u − v ) ⋅ ( u + v ) = u 2 − v 2 . • Linéarité : • • € € € , . u ⋅ (αv ) = . II – APPLICATION AU CALCUL DE LONGUEURS ET D’ANGLES A- Théorème de la médiane € Théorème Soit A, B, M trois points du plan et I le milieu du segment [AB], alors : MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2IA 2 . Ch. 09 Produit scalaire € 1 B- Théorème d’AL-Kashi ou de Pythagore généralisé Théorème Soit ABC un triangle. On pose a = BC, b = CA, c = AB , alors : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos Aˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos Bˆ € 2 2 2 c = a + b − 2abcos Cˆ € € Remarques € III – ORTHOGONALITE A- Vecteurs orthogonaux Théorème • • et sont orthogonaux ssi . Deux droites de vecteurs directeurs et sont orthogonales ssi . B- Vecteur normal à une droite Propriété et définition Soit un vecteur non nul et A un point du plan. L’ensemble des points M du plan tels que AM ⋅ n = 0 est une droite D, passant par A et dirigée par un vecteur u orthogonal à . On dit que est un vecteur normal à la droite D. € € Conséquence Soit (a ; b) un couple de réels, distinct du couple (0 ; 0). € ⎛ a⎞ Dans un repère orthonormé, le vecteur n⎜ ⎟ est normal à une droite D si et seulement si D admet ⎝ b ⎠ une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 , où c est un réel quelconque. € € Ch. 09 Produit scalaire 2 C- Equation d’un cercle de diamètre [AB] Propriété Soit A et B deux points distincts du plan et (O, I, J) un repère orthonormé. L’ensemble des points M du plan tels que AM ⋅ BM = 0 est le cercle C de diamètre [AB]. Une équation cartésienne de C dans le repère (O, I, J) est : (x − x A )(x − x B ) + (y − y A )(y − y B ) = 0 . € D- Equation d’un cercle défini par son centre et son rayon € Propriété Soit Ω un point du plan, R un réel strictement positif et (O, I, J) un repère orthonormé. Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que ΩM = R , ou encore ΩM 2 = R 2 . Une équation cartésienne de C dans le repère (O, I, J) est : € € € (x − x Ω ) + (y − y Ω ) = R . 2 2 2 III – APPLICATION AUX FORMULES DE TRIGONOMETRIE A- Formules d’addition du cosinus et du sinus Propriétés Pour tous réels a et b, on a les formules : • cos(a − b) = cos a cosb + sin a sinb • cos(a + b) = cos a cosb − sin a sinb € • sin(a − b) = sin a cosb − cos a sinb € • sin(a + b) = sin a cosb + cos a sinb € € B- Formules de duplication du cosinus et du sinus Propriété Pour tous réels a, on a les formules : • cos2a = cos2 a − sin 2 a • cos2a = 2cos2 a −1 € • cos2a = 1 − 2sin 2 a € • sin2a = 2sin a cos a € € Ch. 09 Produit scalaire 3
