Ch. 09 Produit scalaire
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Ch 09 PRODUIT SCALAIRE
I – PRODUIT SCALAIRE DE 2 VECTEURS
A – Quatre définitions du produit scalaire
Soit
€
(O ;
i ,
j )
un repère orthonormé du plan. Soient
€
u =AB
et
€
v =AC
2 vecteurs non nuls tels
que
€
u (x,y)
et
€
v (x', y')
. Leur produit scalaire est noté :
€
u ⋅
v
.
1.
€
u ⋅
v =
u ×
v ×cos(
u ,
v )=AB ×AC ×cosBAC
2. Si et et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) alors
€
u ⋅
v =AB⋅AH
3.
4.
€
u ⋅
v =xx'+yy'
expression analytique du produit scalaire.
B – Propriétés du produit scalaire
Pour tous vecteurs , , de l’espace et tout réel
α
, on a :
• Symétrie :
€
u ⋅
v =
v ⋅
u
.
• avec .
•
€
(
u +
v )2=
u
2+2
u ⋅
v +
v
2
.
•
€
(
u −
v )2=
u
2−2
u ⋅
v +
v
2
.
•
€
(
u −
v ) ⋅(
u +
v )=
u
2−
v
2
.
• Linéarité : ,
€
u ⋅(
α
v )=
.
II – APPLICATION AU CALCUL DE LONGUEURS ET D’ANGLES
A- Théorème de la médiane
Théorème
Soit A, B, M trois points du plan et I le milieu du segment [AB], alors :
€
MA2+MB2=2MI 2+2IA2
.
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B- Théorème d’AL-Kashi ou de Pythagore généralisé
Théorème
Soit ABC un triangle. On pose
€
a=BC, b=CA, c=AB
, alors :
€
a2=b2+c2−2bc cos ˆ
A
€
b2=a2+c2−2ac cos ˆ
B
€
c2=a2+b2−2abcos ˆ
C
Remarques
III – ORTHOGONALITE
A- Vecteurs orthogonaux
Théorème
• et sont orthogonaux ssi .
• Deux droites de vecteurs directeurs et sont orthogonales ssi .
B- Vecteur normal à une droite
Propriété et définition
Soit un vecteur non nul et A un point du plan. L’ensemble des points M du plan tels que
€
AM ⋅
n =0
est une droite D, passant par A et dirigée par un vecteur
€
u
orthogonal à .
On dit que est un vecteur normal à la droite D.
Conséquence
Soit
€
(a ; b)
un couple de réels, distinct du couple (0 ; 0).
Dans un repère orthonormé, le vecteur
€
n
a
b
"
#
$
%
&
'
est normal à une droite D si et seulement si D admet
une équation cartésienne de la forme
€
ax +by +c=0
, où c est un réel quelconque.
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C- Equation d’un cercle de diamètre [AB]
Propriété
Soit A et B deux points distincts du plan et (O, I, J) un repère orthonormé. L’ensemble des points M
du plan tels que
€
AM ⋅BM =0
est le cercle C de diamètre [AB].
Une équation cartésienne de C dans le repère (O, I, J) est :
€
(x−xA)(x−xB)+(y−yA)(y−yB)=0
.
D- Equation d’un cercle défini par son centre et son rayon
Propriété
Soit Ω un point du plan, R un réel strictement positif et (O, I, J) un repère orthonormé.
Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que
€
ΩM=R
, ou
encore
€
ΩM2=R2
.
Une équation cartésienne de C dans le repère (O, I, J) est :
€
(x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2
.
III – APPLICATION AUX FORMULES DE TRIGONOMETRIE
A- Formules d’addition du cosinus et du sinus
Propriétés
Pour tous réels a et b, on a les formules :
•
€
cos(a−b)=cos a cosb+sin a sinb
•
€
cos(a+b)=cos a cosb−sin a sinb
•
€
sin(a−b)=sin a cosb−cosa sinb
•
€
sin(a+b)=sin a cosb+cosa sinb
B- Formules de duplication du cosinus et du sinus
Propriété
Pour tous réels a, on a les formules :
•
€
cos2a=cos2a −sin2a
•
€
cos2a=2 cos2a −1
•
€
cos2a=1−2sin2a
•
€
sin2a=2sin a cos a
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