www.etude-generale.com
Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
TCSI
Le produit scalaire dans le plan
Le produit scalaire de deux vecteurs
La norme du vecteur
Dé…nition 1 .
!
Soit un vecteur !
u et deux points A et B tels que !
u = AB: La norme du vecteur !
u,
!
notée k u k est la distance AB:
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.
Dé…nition 2 .
Soient !
u et !
v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs
!
u et !
v , le nombre réel noté !
u :!
v:
Si les veteurs !
u et !
v sont de même sens alors : !
u :!
v = k!
u k k!
v k:
Si les vecteurs !
u et !
v sont de sens contraires alors : !
u :!
v =
k!
uk
k!
v k:
Formule trigonométrique du produit scalaire
Dé…nition 3 Soient A, B et C trois points du plan tels que A 6= C et A 6= B:
!
!
Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est le nombre :
! !
[
AB:AC = AB AC cos(BAC):
Soient !
u et !
v deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de deux vecteurs !
u et !
v est
le nombre :
!
u :!
v = k!
uk
k!
vk
1
cos !
u ;!
v
Exemple 4 .
! !
[ = : Calculer AB:
Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC
AC:
4
On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire :
! !
AB:AC = AB
= 3
= 6
AC
2 cos
4
p
p
2
=3 2
2
Exemple 5 .
Soient !
u et !
v deux vecteurs tels que :
Calculer !
u :!
v:
!
u :!
v = k!
uk
= 2
[
cos(BAC)
!
u ;!
v
k!
vk
3
[2 ] et k!
u k = 2 et k!
v k = 4.
cos !
u ;!
v
cos( )
3
4
= 4
Vecteurs orthogonaux
Propriété 6 .
Soient !
u et !
v deux vecteurs non nuls.
!
Les vecteurs u et !
v sont orthogonaux si et seulement si !
u :!
v = 0:
Démonstration 7 .
Soient !
u et !
v deux vecteurs non nuls.
!
u :!
v = 0
eq :
k!
uk
eq
:
eq
:
u ;!
v =0
cos !
!
!
u ;!
v =0 =!
u 6= 0 et !
v 6= 0
cos !
k!
vk
!
u ;!
v
2
[2 ]
donc les vecteurs !
u et !
v sont orthogonaux si et seulement si !
u :!
v = 0:
Propriétés du produit scalaire
Propriété 8 .
Soient !
u; !
v et !
w trois vecteurs et pour tout k dans R on a :
!
u :!
v =!
v :!
u (On dit que le produit scalaire est commutatif):
(!
u +!
v )!
w =!
u :!
w +!
v :!
w et (k:!
u ):!
v =!
u :(k:!
v ) = k:(!
u :!
v ): (Linéarité du produit
scalaire):
2
!
u :!
u =!
u 2 = k!
u k (c’est un nombre positif):
2
Conclusion 9 .
On conclut les résultats suivants :
2
2
1. (!
u +!
v )2 = !
u 2 + 2!
u :!
v +!
v 2 = k!
u k + 2!
u :!
v + k!
vk
2. (!
u
2
!
v )2 = !
u 2 2!
u :!
v +!
v 2 = k!
uk
i
h
2
2
2
3. !
u :!
v = 21 k!
u +!
vk
k!
uk
k!
vk
4. (!
u +!
v )(!
u
!
v)=!
u2
2
!
v 2 = k!
uk
2
2!
u :!
v + k!
vk
k!
vk
2
Exemple 10 Soient !
u et !
v deux vecteurs tels que : !
u :!
v = 5 et k!
u k = 3 et k!
v k = 2:
!
!
!
!
!
2
Calculer ( u + v ) u et ( u + v ) :
2
2
| (!
u +!
v )2 = k!
u k + 2!
u :!
v + k!
vk =9+2
5 + 4 = 23
2
| (!
u +!
v )!
u =!
u :!
u +!
v :!
u = k!
uk +!
u :!
v = 9 + 5 = 14
Applications du produit scalaire
Les relations métriques dans le triangle rectangle
Théorème 11 :
Si ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 .
Démonstration 12 .
Soit ABC est rectangle en A, on a
!
!
!
!
! !
!2
BC 2 = BC 2 = (BA + AC)2 = BA2 + 2BA:
AC
+
AC
= BA2 + AC 2 = AB 2 + AC 2
| {z }
=0
Propriété 13 .
Si ABC est un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal du point A sur la
droite (BC) alors
AH 2 = HB
HC
et
BA2 = BH
Démonstration 14 Admis.
3
BC
avec H 2 [BC]
Théorème d’Al Kashi
Théorème 15 .
Dans un triangle ABC, on a : BC 2 = BA2 + AC 2
Par la même façon on obtient : AC 2 = AB 2 + BC 2
b
BC 2 2AC:BC: cos(C)
b
2AB:AC: cos(A):
b et AB 2 = AC 2 +
2AB:BC: cos(B)
Démonstration 16 .
Soit ABC un triangle, on a
!
BC 2 = BC 2
!
!
= (BA + AC)2
!
! !
!
= BA2 + 2BA:AC + AC 2
! !
= BA2 2AB:AC + AC 2
b
= BA2 + AC 2 2AB:AC: cos(A)
donc BC 2 = BA2 + AC 2
b
2AB:AC: cos(A):
Remarque 17 .
b = il s’agit de la généralisation du
On retrouve le théorème de pythagore si l’on fait A
2
théorème de pythagore.
p
b = : Calculer BC
Exemple 18 Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB = 3 et A
6
b
et cos(C):
On a d’apès le théorème d’AL Kashi :
b
BC 2 = BA2 + AC 2 2AB:AC: cos(A)
p
p
= ( 3)2 + 22 2
3 2 cos( )
6
p
p
3
= 3+4 4 3
2
= 1
Donc : BC = 1:
4
On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :
b
AB 2 = AC 2 + BC 2 2AC:BC: cos(C)
p 2
2
2
2
2
2
AC
+
BC
AB
2
+
1
(
3)
1
b =
=
=
eq : cos(C)
2AC:BC
2 2 1
2
b = 1:
donc : cos C
2
Théorème de la médiane
Théorème 19 .
Soit ABM un triangle si I est le milieu de [AB] alors :
1
M B 2 + M A2 = 2M I 2 + AB 2
2
Démonstration 20 .
Soit ABM un triangle et I est le milieu de [AB] ; on a
!
!
M B 2 + M A2 = M B 2 + M A2
!
!
! !
= (M I + IB)2 + (M I + IA)2
!
! !
!
!
! ! !
= M I 2 + 2M I:IB + IB 2 + M I 2 + 2M I:IA + IA2!
!
!2
! AB
!2
! ! !
= 2M I + 2M I(IB
+ IA}) + 2IB ; IB =
| {z
2
!
=0
!
1 !
= 2M I 2 + AB 2
2
1
2
= 2M I + AB 2
2
1
donc M B 2 + M A2 = 2M I 2 + AB 2
2
Exemple 21 .
Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB] : On donne : BC = 5, AC = 7 et
AB = 8: Calculer CK:
On a d’après le théorème de la médiane dans le triangle ABC :
2
CA + CB
2
eq
eq
eq
donc : CK =
p
AB 2
= 2CK +
2
2
:
2CK 2 = CA2 + CB 2
CA2 + CB 2
2
:
CK =
:
2
72 + 52
CK =
21:
FIN
5
2
AB 2
2
AB 2
2
2
64
2 = 21
Pr : Yahya MATIOUI
www:etude
generale:com
6
