Chapitre 4 : Nombres complexes

ECS1B Carnot Chapitre 4 2013/2014
Chapitre 4 : Nombres complexes
Objectifs :
– Savoir calculer avec les nombres complexes, en notation algébrique ou exponentielle.
– Formule d’Euler et de Moivre.
– Révision de trigonométrie.
– Savoir que si n>1et α6= 0 alors l’équation zn=αa exactement nsolutions dans C.
1 Définitions, interprétation géométrique.
1.1 Le corps C
On admet l’existence d’un ensemble C, contenant Ret un nombre inon réel vérifiant
i2=−1. Tout élément zde Cs’écrit de manière unique z=a+ib avec a, b ∈R. Dans ce
cas, on appelle ala partie réelle de zet bsa partie imaginaire. Dans ce cas on dit que
zest donné sous forme algébrique, et on note a=Re zet b=Im z.
On définit une addition et une multiplication : si z=a+ib, z =a′+ib′avec a, a′, b, b′∈
R, alors
z+z′= (a+a′) + i(b+b′) et zz′= (aa′−bb′) + i(ab′+a′b)
Remarque. Ces opérations étendent l’addition et la multiplication de R.
Proposition 1.1.1
Si z=a+ib et z′=a′+ib′sont donnés sous forme algébrique, alors z=z′si et
seulement si a=a′et b=b′.
Démonstration : En effet si a+ib =a′+ib′et b6=b′, alors i=a′−a
b−b′∈R, ce qui est
contradictoire.
Proposition 1.1.2 (Propriétés de +)
–Associativité : ∀u, v, w ∈C, u + (v+w) = (u+v) + w.
–Existence d’un élément neutre : ∀z∈C, z + 0 = 0 + z=z
–Existence d’un symétrique (=opposé) : ∀z=a+ib ∈C,∃−z=−a−ib ∈
C, z −z=−z+z= 0
–Commutativité : ∀z, z′∈C, z +z′=z′+z
Démonstration : Exercice.
Proposition 1.1.3 (Propriétés de ×)
–Associativité : ∀u, v, w ∈C, u ×(v×w) = (u×v)×w
–Existence d’un neutre : ∀z∈C,1×z=z×1 = z
–Existence d’un symétrique (=inverse) : ∀z=a+ib ∈C∗, z ×a−ib
a2+b2=
a−ib
a2+b2×z= 1
–Commutativité : ∀z, z′∈C, z ×z′=z′×z
–Distributivité sur +:∀u, v, w ∈C, u ×(v+w) = u×v+u×w
Démonstration : Exercice.
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Proposition 1.1.4 (Cest intègre)
∀z, z′∈C, zz′= 0 ⇒(z= 0 OU z′= 0)
Démonstration : Exercice, utiliser l’existence d’un inverse.
Remarque. 1. z∈R⇔Im z= 0
2. z∈iR(i.e. zest « imaginaire pur ») ⇔Re z= 0.
3. 0est le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur.
4. On peut montrer qu’il n’existe pas de relation d’ordre sur Csompatible avec +et ×.
5. Un ensemble Emuni de deux opérations +et ×comme ci-dessus (i.e. des applications
E×E→E, appelées « lois de composition interne ») telles que +est associatif, admet
un élément neutre 0E, un symétrique et est commutatif, ×est assiciatif, admet un
neutre, tout élément de Er{0E}est inversible est commutatif s’appelle un corps.
On remarquera que Q,R,Csont des corps. On notera souvent cette année Kpour
désigner un (au choix) des corps Rou C.
1.2 Interprétation géométrique
Le plan Pest rapporté à un repère (0,−→ u , −→ v)orthonormé. On identifie Cavec Pà
l’aide de l’application qui à z=x+iy ∈C,w, y ∈Rassocie le point Mde coordonnées
(x, y).
Dans ce cas on dit que le point M(x, y)a pour affixe zM=x+iy ∈C.
Si A, B ∈ P, on dit que le vecteur −−→ AB a pour affixe le nombre complexe z−−→
AB =zB−zA.
2 Conjugaison et module
2.1 Conjugaison d’un nombre complexe
Définition 2.1.1 (Conjugaison)
Soit z=a+ib ∈Cavec a, b ∈R. On appelle conjugué de zle nombre complexe
¯z=a−ib.
Interprétation géométrique : si Mest le point d’affixe z,¯zest l’affixe du symétrique
(orthogonal) de Mpar rapport à l’axe (O, −→ u)des abscisses.
Proposition 2.1.1
1. ∀z∈C, z = ¯z⇔z∈Ret z=−¯z⇔z∈iR.
2. z7→ ¯zest involutive : ∀z∈C,¯ ¯z=z.
3. Compatibilité avec +et ×:∀z, z′∈C,z+z′= ¯z+z′et zz′= ¯z×z′.
4. ∀z∈C,Re z=z+ ¯z
2et Im z=z−¯z 2i.
Démonstration : Exercice.
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2.2 Module d’un nombre complexe
Définition 2.2.1 (Module)
Soit z=a+ib ∈Cavec a, b ∈R.Le module de zest le nombre réel |z|défini par
|z|=pa2+b2=√z¯z
Remarquons que cette notation n’est pas ambigüe : si a∈Ret z=a+i×0, on a
|z|=|a|.
Interprétation géométrique : Soit Mle point du plan d’affixe z. Alors |z|=OM.
Si zest l’affixe du vecteur −−→ AB, alors |z|est la longueur AB.
Proposition 2.2.1
1. ∀z∈C,|z|>0et (|z|= 0 ⇔z= 0).
2. ∀z∈C,|Re z|6|z|et |Im z|6|z|.
3. ∀z∈C,Re z6|z|et Re z=|z| ⇔ z∈R+.
4. ∀z∈C,Im z6|z|et Im z=|z| ⇔ z∈iR+.
5. ∀z∈C,|z|=|¯z|
6. ∀z∈C∗,1
z=¯z z¯z=¯z
|z|2. En particulier si |z|= 1,1
z= ¯z.
7. ∀z∈C,|zz′|=|z||z′|.
Démonstration : Seul le dernier point n’est pas évident, et illustre une méthode concernant
les calculs sur les modules à savoir cconsidérer les carrés. Soit z, z′∈C. Alors |zz′|2=
zz′zz′=zz′¯zz′=z¯zz′z′=|z|2|z′|2. Comme |z|>0on en déduit le résultat en prenant la
racine carrée.
Proposition 2.2.2 (Inégalité triangulaire)
Pour tout z, z′∈C, on a
z+z′6|z|+z′
De plus on a l’équivalence
z+z′=|z|+z′⇔(zz′= 0 ou z′
z∈R+)
Démonstration : On compare les carrés : on a
|z+z′|2= (z+z′)(z+z′) = (z+z′)(¯z+z′)
=z¯z+zz′+z′¯z+z′z′
=|z|2+ ¯zz′+¯zz′+|z′|2
=|z|2+ 2 Re (¯zz′) + |z′|2
Mais (|z|+|z′|)2=|z|2+ 2 |z||z′|+|z′|2et Re (¯zz′)6|z||z′|. Comme tous les termes
sont positifs, on déduit l’inégalité du passage à la racine carrée.
Montrons le cas d’égalité : la seule inégalité que nous avons utilisé est Re (¯zz′)6|z||z′|.
On sait qu’il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si ¯zz′∈R+(c’est le point 3.
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de la proposition ci-dessus). Si zz′6= 0 on a z′
z=¯zz′
|z|2∈R+⇔¯zz′∈R+.
Proposition 2.2.3
1. ∀z, z′∈C,||z| − |z′|| 6|z−z′|
2. ∀z1,...,zn∈C,
n
P
k=1
zk
6
n
P
k=1 |zk|
Démonstration : Pour le 1., adapter la preuve de la proposition analogue dans R. Le 2.
s’obtient par récurrence.
Interprétation géométrique : DESSIN
3 Argument, notation exponentielle
3.1 Groupe des nombres complexes de module 1
Définition 3.1.1 (Groupe U)
Soit U={z∈C,|z|= 1}. Alors
1. U⊂C∗
2. 1∈U
3. Uest stable par multiplication et passage à l’inverse.
On dit que Uest un sous-groupe de (C∗,×).
Remarque. Si z∈U, alors 1
z=z.
Interprétation géométrique : DESSIN
3.2 Exponentielle complexe
Définition 3.2.1
Pour tout θ∈R, on pose eiθ = cos θ+isin θ.
Interprétation géométrique : Dans le plan orienté, eiθ est l’affixe du point Mdu
cercle unité tel que l’angle orienté (−→ u , −−→ OM )admette pour mesure θ. DESSIN
Proposition 3.2.1
Pour tous θ, θ′∈R
1. eiθ= 1
2. ei(θ+θ′)= eiθ ×eiθ′. En particulier e−iθ =1
eiθ .
3. eiθ = 1 ⇔θ∈2πZ
4. eiθ = eiθ′⇔θ−θ′∈2πZ.
5. eiθ = e−iθ.
Démonstration : Les deux premiers points proviennent des formules de trigonométrie cos2θ+
sin2θ= 1,cos(θ+θ′) = cos θcos θ′−sin θsin θ′et sin(θ+θ′) = sin θcos θ′+ sin θ′cos θ.
Le troisième point provient de l’équivalence (cos θ, sin θ) = (1,0) ⇔θ∈2πZ.
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Pour tout couple (a, b)∈R2tel que a2+b2= 1, on a nécessairement a, b ∈[−1,1] et
on sait (par définition !) qu’il existe θ∈Rtel que a= cos θet b= sin θ. On en déduit
∀z∈U,∃θ∈R, z = eiθ
Quelques formules :
Proposition 3.2.2 (Formule de Moivre)
On a par récurrence sur n
∀θ∈R,∀n∈Z,(eiθ)n= einθ
Ou encore
∀θ∈R,∀n∈Z,(cos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ
Exemple. Exprimons cos 3θet sin 3θen fonction de cos θet sin θ.
On utilise la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton :
cos 3θ+isin 3θ= (cos θ+isin θ)3= cos3θ+ 3icos2θsin θ+ 3i2cos θsin2θ+i3sin3θ
= (cos3θ−3 cos θsin2θ) + i(3 cos2θsin θ−sin3θ)
D’où cos 3θ= cos3θ−3 cos θsin2θ= 4 cos3θ−3 cos θ
sin 3θ= 3 cos2θsin θ−sin3θ= 3 sin θ−4 sin3θ
Exercice. Exprimer cos 5θen fonction de cos θet sin θ.
Proposition 3.2.3 (Formule d’Euler )
cos θ=eiθ + e−iθ
2et sin θ=eiθ −e−iθ 2i
Démonstration : Immédiat par définition de l’exponentielle complexe...
Exemple. Linéarisons cos3θ.
On a cos3θ=1
8(eiθ + e−iθ)3, donc
cos3θ=1
8(e3iθ + 3eiθ + 3e−iθ + e−3iθ)
et cos3θ=1
8(e3iθ + e−3iθ + 3eiθ + 3e−iθ). D’où
cos3θ=1
8(2 cos 3θ+ 6 cos θ)
Exercice. Soit θ∈Ret n∈N. Calculer
n
P
k=0
cos kθ et
n
P
k=0
sin kθ.
3.3 Argument d’un nombre complexe non nul
Théorème 3.3.1 (Définition d’un argument )
Soit z∈C∗et r=|z| ∈ R+∗. Alors il existe θ0∈Rtel que z=reiθ0. Tout réel θ
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