9782729874933 extrait

résumés de coursexercicescontrôlescorrigés
1Compléments
de trigonométrie
FORMULES D'ADDITION
cos a b cosa cos b sin asin b 
cos a b cosa cosb sina sin b 
sin a b sina cosb cosa sin b 
sin a b sina cosb cosasin b 
22 2 2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a   
sin2a 2sina cosa
FORMULES DE LINÉARISATION
2
1
cos a 1 cos2a
2
2
1
sin a 1 cos2a
2

6 1. Compléments de trigonométrie
 Exercice 1
PLQ
Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y.
Asinxy sinxy  Bcosxy cosxy 
Csinxy sinxy u Dcosxy cosxy u
 Exercice 2 PLQ
1. Calculer cos 3x en fonction de cos x, en déduire la résolution dans
>@
ʌ0;2 
de l'équation
3
8cos x–6cosx–1 0 .
2. Résoudre dans
>@
ʌ 0;2  les équations et inéquations suivantes :
a)
4sinxcosx 1 0 .
b)
2
2cos x 1 sin3x 
.
c)
3
sin2xcosx–sinxcos2x 2
.
d)
2
cos3x cosx sin3x sin x 2
t.
 Exercice 3 PLQ
Sachant que ʌʌ ʌ
3412
 , déterminer les valeurs exactes de sin ʌ
12 et cos ʌ 12 .
 Exercice 4 PLQ
x est un réel vérifiant
>@
ʌx0;2 .
1. On donne 23
cosx 2  , calculer
cos2x
, en déduire x.
2. On donne
51
cosx 4
, en déduire la valeur de
cos2x
puis celle de
cos4x . Comparer les résultats obtenus. Peut-on alors déterminer x ?

résumés de courscontrôlescorrigés
1. Compléments de trigonométrie 7
exercices
 Exercice 5
PLQ
Dans chacun des cas suivants, linéariser
i
f(x) :
1.
2
1
f(x) 3sin 2x . 2.
4
2
f(x) 2cosx .
3.
ʌ
2
3
f(x) sin x 3
§·
¨¸
©¹
. 4.
22
4
f(x) sinxcosx
.
 Exercice 6 PLQ
On considère la fonction f définie sur
>@
ʌ0;2  par :
f(x) cosx 3sinx
.
1. Montrer que pour tout
>@
ʌx0;2 ,
ʌ
f(x) 2cos x 3
§·
¨¸
©¹
.
2. Calculer
f(x)
c. Déterminer le signe de la dérivée, en déduire les variations
de la fonction f.
3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse S.
5. Tracer la courbe C représentative de f et la tangente T dans un repère
orthogonal.
 Exercice 7 PLQ
Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de
centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A.
Soit a la mesure en radians de l'angle
n
HOB ; on suppose ʌ
0a 2 dd .
A
B
H
C
O a

8 1. Compléments de trigonométrie
1. a) Exprimer BC et AH en fonction de a.
b) En déduire, en fonction de a, l'aire $
$$
$du triangle ABC.
2. On considère la fonction f définie sur
ʌ
0;2
ªº
«»
¬¼
par : f(a) sina 1 cosa  .
Calculer la dérivée
fc de la fonction f.
3. a) Vérifier que
2
f (a) 2cos a cosa 1 cos2a cosa
c  
.
b) En déduire le signe de f(a)
c sur l'intervalle
ʌ
0; 3
ªº
«»
¬¼
puis sur
ʌʌ
;
32
ªº
«»
¬¼
.
c) Établir le tableau de variation de la fonction f.
4. Montrer qu'il existe une valeur de a, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire
du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la
nature du triangle ABC ?

résumés de coursexercicescorrigés
1. Compléments de trigonométrie 9
contrôles
PLQ SRLQW
V
Exercice 1
S
RLQW
V
D
éterm
i
ner
l
es
v
a
l
eurs exactes
d
e
ʌ
7
c
os 1
2
et
ʌ
7
s
i
n
1
2
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ili
sant
l
'éga
li
té
ʌʌʌ
7
12 4
3
.
E
x
e
r
cice
2
S
RLQW
V
Si
mp
lifi
er
l
es express
i
ons su
i
vantes :
A(x) cos3xcosx sin3xsinx
cos3xcosx
cos3xcosx
.
B(x) sin4xcos2x sin2xcos4x
sin 4x cos2x
sin 4x cos2x
.
sin3x cos3x
C
(x)
s
in2x
cos
2
x
p
our
x
ºª
ʌ
0
«
0;
ª
ª
0
¼¬
4
««
0;
4
.
Exercice 3
S
RLQW
V
L
inéariser
:
22
f(x) 2cos x – 3sin x – 4
22
.
2
g(x) sin x cosx – 5cos x
2
.
Exercice 4 SRLQW
V
Résoud
r
e
da
n
s
>
@
0;2
ʌ
:
1
.
2
2cos x 1 sinx
2
§·
ʌ
ʌ
1
1
¸
x
x
ʌ
©¹
4
¨¸
¨¸
4
.
2.
1
si
n4
§·§·
ʌʌ
ʌ
t
¸
xcosx
xcos
··
ʌ
ʌ
cos xcos
··
ʌ
ʌ
©¹©¹
333
¨¸¨¸
¨¸¨¸
cos
cos
cos
cos
33333
.
Ex
e
r
c
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ce
5
S
RLQW
V
S
oit la fonction h définie sur
>
@
0;
ʌ
par
2
h(x) 2sin x 3
2
2sin x
2sin x
2
.
1
. Montrer
q
ue
h(x) 2sin2x
c
.
2
. Déterminer sur
>
@
0;
ʌ
le si
g
ne de
h(x)
c
,
en déduire les variations de h.
3
.
T
racer, dans un repère ortho
g
onal, la courbe repré
s
entative de la fonction h.
4
.
Déterminer une équation de la tan
g
ente T à la cou
r
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p
résentative de h au
p
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x
6
.