Systemes lineaires

Universit´e de Rouen
L2 Math´ematiques / L2 Informatique
Ann´ee 2011-2012
Analyse Num´erique
Fiche n◦2. Syst`emes lin´eaires
Exercice 1. Soient A= (aij )1≤i,j≤3et
E1=
1 0 0
α1 0
β0 1
, E2=
1 0 0
0 1 0
0γ1
.
Calculer E−1
1,E−1 2,E1E2,E2E1,E1Aet AE1.
Exercice 2. Soit le syst`eme lin´eaire suivant :
3x1−2x2+x3= 2
2x1+x2+x3= 7
4x1−3x2+ 2x3= 4
(a) R´esoudre ce syst`eme par la m´ethode de Gauss.
(b) Factoriser la matrice Adu syst`eme en produit LU o`u Lest une matrice triangulaire inf´erieure (avec des 1 sur la
diagonale) et Utriangulaire sup´erieure, puis r´esoudre ce syst`eme.
Exercice 3. R´esoudre par Gauss direct, puis par factorisation LU de la matrice le syst`eme :
x+y
2+z 3= 1
x
2+y 3+z 4= 0
x
3+y 4+z 5= 0
Exercice 4. Soit le syst`eme lin´eaire Ax =bo`u
A=
1 0 −3
0 1 2
4−3 0 
et b=
2
5
−1
Factoriser la matrice Aen produit LU puis r´esoudre le syst`eme.
Exercice 5. Soit le syst`eme lin´eaire Ax =bo`u
A=
2 3 −1
4 4 −3
−2 3 −1
et b=
2
0
−1
(a) Factoriser la matrice Aen produit LU puis r´esoudre le syst`eme.
(b) Trouver A−1(on rappelle que si Met Nsont deux matrices carr´ees inversibles, alors (M N)−1=N−1M−1.
Exercice 6. M´ethode de Gauss–Jordan
La m´ethode de Gauss–Jordan consiste pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire `a ´eliminer, `a chaque ´etape k, les termes en
xkdes lignes lipour i≥k+ 1 (comme dans la m´ethode de Gauss) et des lignes lipour 1 ≤i≤k−1. On suppose que
tout se passe bien. On aboutit alors `a un syst`eme diagonale (facile `a r´esoudre).
(a) Compter le nombre de multiplications–divisions requises pour la r´esolution du syst`eme Ax =bpar la m´ethode
de Gauss–Jordan. On compte
n3
2+n2−n 2multiplications–divisions
(b) Comparer ce r´esultat avec la m´ethode de Gauss qui compte
n3
3+n2−n 3multiplications–divisions

2
Exercice 7. D´ecomposer par la m´ethode LU (si c’est possible) la matrice
A=
2−140
4−151
−2 2 −2 3
0 3 −9 4
Exercice 8. Effectuer la factorisation de Cholesky de la matrice Aet r´esoudre Ax =bavec
A=
9−3 3 12
−3 26 −1−14
3−1 5 −2
12 −14 −2 30
et b=
−27
−51
−15
2
Exercice 9. Soit Aune matrice (pleine) d´efinie positive.
(a) On effectue sa factorisation de Cholesky, A=BBto`u Best une matrice r´eelle triangulaire inf´erieure. Reprendre
le cours et calculer le nombre d’op´erations ´el´ementaires requises pour calculer les coefficients de B. (distinguer
multiplications–divisions et extraction de racines)
(b) On r´esout le syst`eme Au =ben r´esolvant successivement les deux syst`emes lin´eraires Bw =bet Btu=w.
Donner le nombre d’op´erations n´ecessaires.
(c) Donner le nombre total d’op´erations de la m´ethode de Cholesky pour r´esoudre Au =bet comparer avec celui de
la m´ethode de Gauss.
Exercice 10. [Impact num´erique sur le choix du pivot]
Soit le syst`eme
(10−4x1+x2= 1
x1+x2= 2
(a) Calculer la solution exacte et donner une valeur approch´ee `a 10−3pr`es.
On suppose que l’on effectue les calculs sur machine avec 3 chiffres significatifs avec arrondi (i.e. 90883 = 9,0883.106'
9,09.106).
(b) Montrer que pour la machine −104+ 1 ' −10000. On choisit 10−4comme pivot. Montrer que le syst`eme en
machine devient (10−4x1+x2= 1
−10000x2=−10000
En conclure que le calcul approch´e donne x2'1 et x1'0. Est-ce satisfaisant par rapport `a la solution exacte ?
(c) On choisit 1 comme pivot. Montrer qu’on aboutit (en machine) au syst`eme
x1+x2= 2
x2= 1
d’o`u les valeurs approch´ees x1'1 et x2'1. Est-ce satisfaisant ? Pour ´eviter les probl`emes d’erreur d’arrondi
(dˆus `a des pivots trop petits donc d’inverse trop grands) il est d’usage d’utiliser la m´ethode du pivot partiel.