Chapitre 14 Espaces vectoriels Objectifs – Rappeler la définition d’espace vectoriel et les exemples de référence. – Définir la notion d’application linéaire, le vocabulaire lié à cette notion et les propriétés. – Définir la notion de sous-espace vectoriel, la notion d’équation linéaire, la notion de sous-espace engendré par une famille de vecteurs. – Définir et étudier la somme de deux sous-espaces vectoriels. – Étudier deux exemples d’endomorphismes particulièrement importants : les projections et les symétries. Sommaire I) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II) Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . IV) Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 8 Dans ce chapitre, K désigne un sous-corps de C. I) Rappels 1) definition Soit E un ensemble non vide, on dit que E est un K - espace vectoriel (ou K-e.v.) lorsque E possède une addition et un produit par les scalaires (loi de composition externe, notée « . », c’est une application : K×E → (λ, x) 7→ λ.x E ), avec les propriétés suivantes : −→ – (E, +) est un groupe abélien (l’élément neutre est noté 0E ou 0E et appelé vecteur nul de E). – La loi . (ou produit par les scalaires) doit vérifier : ∀ λ, µ ∈ K, ∀ x, y ∈ E : – 1.x = x MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Applications linéaires Chapitre 14 : Espaces vectoriels – λ.(x + y) = λ.x + λ.y – (λ + µ).x = λ.x + µ.x – λ.(µ.x) = (λµ).x Si ces propriétés sont vérifiées, on dit que (E, +, .) est un K - e.v., les éléments de K sont appelés les scalaires et les éléments de E sont appelés vecteurs (parfois notés avec une flèche). 2) Exemples de référence – Un corps K est un K-e.v.. – R est un Q-e.v., C est un Q-e.v., C est un R-e.v. Plus généralement si K est corps inclus dans un autre corps L, alors L est un K-e.v.. – L’ensemble Kn muni des opérations suivantes : (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) et λ.(x 1 , . . . , x n ) = (λx 1 , . . . , λx n ), est un K-e.v., le vecteur nul est le n-uplet : (0, . . . , 0). – Si I est un ensemble non vide, alors l’ensemble des applications de I vers K : F (I, K), pour les opérations usuelles (addition de deux fonctions et produit par un scalaire) est un K-e.v., le vecteur nul étant l’application nulle. En particulier (C n (I, K), +, .) sont des K-e.v., ainsi que l’espace des suites à valeurs dans K. Plus généralement, si E est un K-e.v., l’ensemble des applications de I vers E : F (I, E), pour les opérations usuelles sur les fonctions, est un K-e.v.. – Espace produit : Soient E et F deux K-e.v., on définit sur E×F l’addition : (x, y)+(x 0 , y 0 ) = (x +x 0 , y + y 0 ), et un produit par les scalaires : λ.(x, y) = (λ.x, λ.y). On peut vérifier alors que (E × F, +, .) est un K-e.v., le vecteur nul étant (0E , 0F ). 3) Règles de calculs Soit E un K-e.v. : → − → − → − − − – ∀→ x ∈ E, 0.→ x = 0 , et ∀ λ ∈ K, λ. 0 = 0 . − − − − – ∀→ x ∈ E, ∀ λ ∈ K, −(λ.→ x ) = (−λ).→ x = λ.(−→ x ). → − → − → − → − → − – ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ K, λ. x = 0 =⇒ λ = 0 ou x = 0 . II) Applications linéaires 1) Définition . . D ÉFINITION 14.1 (application linéaire ou morphisme de K-espaces vectoriels) Soient E et F deux K-e.v. et soit f : E → F une application, on dit que f est une application linéaire lorsque : . ∀ x, y ∈ E, ∀ λ ∈ K, f (x + y) = f (x) + f (y) et f (λ.x) = λ. f (x). Si de plus, f est bijective, alors on dit que f est un isomorphisme (d’espaces vectoriels). L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté L (E, F). Remarques : – Une application linéaire est en particulier un morphisme de groupes additifs, donc si f ∈ L (E, F) alors : f (0E ) = 0F et ∀ x ∈ E, f (−x) = − f (x). De plus on peut parler du noyau de f : ker( f ) = {x ∈ E / f (x) = 0F }, et f est injective ssi ker( f ) = {0E }. – L’application nulle (notée 0) de E vers F est linéaire. – L’application identité de E : idE : E → E définie par idE (x) = x, est linéaire bijective (et (idE )−1 = idE ). – Soit λ ∈ K∗ , l’homothétie de rapport λ : h λ : E → E, définie par h λ (x) = λ.x, est linéaire et bijective. Sa réciproque est l’homothétie de rapport 1/λ. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 2 Sous-espaces vectoriels . . Chapitre 14 : Espaces vectoriels D ÉFINITION 14.2 (vocabulaire) – Une application linéaire de E vers E est appelée un endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E) (on a donc L (E) = L (E, E)). . – Un isomorphisme de E vers E est appelé un automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E) et appelé groupe linéaire de E. – Une application linéaire de E vers K est appelée une forme linéaire sur E. L’ensemble des formes linéaires sur E est noté E∗ et appelé dual de E (on a donc E∗ = L (E, K)). 2) Propriétés – La composée de deux applications linéaires est linéaire. On en déduit que GL(E) est stable pour la loi ◦. – Si f ∈ L (E, F) est un isomorphisme, alors f −1 ∈ L (F, E). On en déduit que GL(E) est stable par symétrisation, i.e. si f ∈ GL(E), alors f −1 ∈ GL(E). – (GL(E), ◦) est un groupe (non abélien en général), c’est en fait un sous-groupe du groupe des permutations de E : (S E , ◦). – f ∈ L (E, F) est injective ssi ker( f ) = {0E }. – Si f , g ∈ L (E, F) et si λ ∈ K, alors f + g ∈ L (E, F) et λ. f ∈ L (E, F). On en déduit que (L (E, F), +, .) est un K-e.v. (inclus dans F (E, F)). – (L (E), +, ◦) est un anneau, la loi ◦ jouant le rôle d’une multiplication. Remarques : – En général, l’anneau L (E) n’est pas commutatif. Le groupe des inversibles de cet anneau est GL(E). – La loi ◦ jouant le rôle d’une multiplication, on adopte les notations usuelles des anneaux pour les puissances, de plus si u, v ∈ L (E) commutent (i.e. u ◦ v = v ◦ u), alors on peut utiliser le binôme de n ∑ Newton : (u + v)n = Ckn u k ◦ v n−k . k=0 – L (E) n’est pas un anneau intègre. III) Sous-espaces vectoriels 1) definition . . . D ÉFINITION 14.3 Soit E un K-e.v. et soit H un ensemble, on dit que H est un sous-espace vectoriel de E (ou s.e.v de E) lorsque : . – H ⊂ E, H 6= ;. – ∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H (H est stable pour l’addition). – ∀ x ∈ H, ∀ λ ∈ K, λ.x ∈ H (H est stable pour la loi .). Si c’est le cas, alors il est facile de vérifier que (H, +, .) est lui-même un K-e.v. . THÉORÈME 14.1 (noyau et image d’une application linéaire) . Si f ∈ L (E, F) alors ker( f ) est un s.e.v de E et Im( f ) est un s.e.v de F. . Remarque : Soit f ∈ L (E, F) alors f est un isomorphisme ssi ker( f ) = {0E } et Im( f ) = F. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 3 Sous-espaces vectoriels . Chapitre 14 : Espaces vectoriels . THÉORÈME 14.2 (image d’un s.e.v par une application linéaire) . Soit H un s.e.v de E et f ∈ L (E, F), alors f < H > (ensemble des images par f des éléments de H) est . un s.e.v de F. . THÉORÈME 14.3 (image réciproque d’un s.e.v par une application linéaire) . Soit H un s.e.v de F et soit f ∈ L (E, F) alors f −1 <. H > (ensemble des antécédents des éléments de H . par f ) est un s.e.v de E. . .. . THÉORÈME 14.4 (intersection de sous-espaces vectoriels) . ∩ Soit (Hi )i ∈I une famille de s.e.v de E (I est un ensemble d’indices), alors Hi est un s.e.v de E. i ∈I . D ÉFINITION 14.4 (hyperplan) . Soit H un s.e.v de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsqu’il existe une forme linéaire φ sur E, non identiquement nulle, telle que H = ker(φ). 2) Équations linéaires .. D ÉFINITION 14.5 . Une équation linéaire est une équation du type : u(x) = b avec u ∈ L (E, F), b ∈ F et x ∈ E (inconnue). L’équation u(x) = 0F est appelée équation homogène associée. . THÉORÈME 14.5 (structure des solutions d’une équation linéaire) . Soit u ∈ L (E, F) et soit b ∈ F, l’équation linéaire u(x) = b avec x ∈ E a des solutions ssi b ∈ Im(u). Si . c’est le cas, et si x 0 ∈ E désigne une solution particulière (i.e. u(x 0 ) = b ), alors l’ensemble de toutes les solutions est : S = {y + x 0 / y ∈ ker(u)} = x 0 + ker(u). . 3) Sous-espace engendré . D ÉFINITION 14.6 (combinaisons linéaires) Soit E un K-e.v et soit x 1 , . . . , x n des vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de la famille (x i )16i 6n , tout vecteur x de E pour lequel il existe des scalaires λ1 , . . . , λn tels que : . x= ∑ .n i =1 λi x i . L’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (x i )16i 6n est noté Vect[x 1 , . . . , x n ]. Deux vecteurs x et y de E sont dits colinéaires lorsque l’un des deux est combinaison linéaire de l’autre, i.e. ∃ λ ∈ K, x = λy ou y = λx . MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 4 Sous-espaces vectoriels Chapitre 14 : Espaces vectoriels . THÉORÈME 14.6 (image d’une combinaison linéaire par une application linéaire) . Soit E un K-e.v et soit (x i )16i 6n une famille de. vecteurs de E. Soit f ∈ L (E, F), alors l’image par f d’une combinaison linéaire de la famille (x i )16i 6n et une combinaison linéaire de la famille . ( f (x i ))16i 6n (dans F) avec les mêmes coefficients. . THÉORÈME 14.7 (sous-espace engendré) . Soit (x 1 , . . . , x n ) une famille de vecteurs de E, l’ensemble des combinaisons linéaires de cette famille : . Vect[x 1 , . . . , x n ] est un s.e.v de E. C’est même le plus petit (pour l’inclusion) s.e.v de E qui contient tous les vecteurs de cette famille. On l’appelle s.e.v engendré par (x 1 , . . . , x n ). . 4) Somme de deux sous-espaces vectoriels D ÉFINITION 14.7 (somme de deux s.e.v) . . . F et G l’ensemble noté F + G et défini par : Soient F et G deux s.e.v de E, on appelle somme de F + G = {x ∈ E / ∃ u ∈ F, v ∈ G, x = u + v}. . . THÉORÈME 14.8 . . La somme de deux s.e.v de E est un s.e.v de E. D ÉFINITION 14.8 (somme directe) . Soient F et G deux s.e.v de E, on dit que la somme F + G est directe lorsque F ∩ G = {0E }. Si c’est le cas on note F ⊕ G au lieu de F + G. .. . THÉORÈME 14.9 (caractérisation des sommes directes) Soient F et G deux s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes : a) F et G sont en somme directe. . b) ∀ z ∈ F + G, ∃ x ∈ F, y ∈ G, uniques, z = x + y (i.e. tout vecteur de F + G s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G). . c) ∀ x, ∈ F, y ∈ G, si x + y = 0E alors x = y = 0E . . . . d) L’application linéaire φ : F × G → E définie par φ(x, y) = x + y est injective. D ÉFINITION 14.9 (s.e.v supplémentaires) . supplémentaires lorsque F ⊕ G = E. Ce qui signifie Soient F et G deux s.e.v de E , on dit que F et G sont que E = F + G et la somme F + G est directe, ou encore : tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 5 Projections, symétries Chapitre 14 : Espaces vectoriels . THÉORÈME 14.10 (caractérisations des hyperplans) Soit H un s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes : . a) H est un hyperplan de E (i.e. le noyau d’une forme linéaire sur E non nulle). . b) ∃ x 0 ∈ E \ H tel que H ⊕ Vect[x 0 ] = E. . c) ∀ x 0 ∈ E \ H, H ⊕ Vect[x 0 ] = E. IV) Projections, symétries 1) Projecteurs .. D ÉFINITION 14.10 . Soit E un K-e.v, une projection dans E (ou un projecteur de E) est un endomorphisme p de E tel que p 2 = p (i.e. p ◦ p = p ). . THÉORÈME 14.11 (caractérisation des projections) . p ∈ L (E) est un projecteur ssi : E = ker(p) ⊕ ker(p − idE ). Si c’est le cas, on a Im(p) = ker(p − idE ) et on . dit que p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p). Tout vecteur x de E se décompose de la manière suivante : x = (x − p(x)) + p(x). . On retiendra la figure suivante pour schématiser une projection p : ker(p) x x − p(x) p(x) . ker(p − id) . THÉORÈME 14.12 (projection associée à une décomposition) . Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E = F ⊕ G), alors il existe une unique projection p telle . que Im(p) = F et ker(p) = G, i.e. qui soit la projection sur F parallèlement à G. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 6 Projections, symétries Chapitre 14 : Espaces vectoriels 2) Symétries D ÉFINITION 14.11 . . Soit E un K-e.v, une symétrie de E est un endomorphisme s tel que s 2 = idE (involution linéaire). . THÉORÈME 14.13 (caractérisation des symétries) Soit s ∈ L (E), s est une symétrie ssi E = ker(s−idE )⊕ker(s+idE ). Ce qui revient à dire que l’application 1 p = (idE + s) est une projection. Si c’est le cas, on dit que s est la symétrie par rapport à ker(s − idE ) 2 . (ensemble des invariants) et parallèlement à ker(s + idE ), et on dit que p est la projection associée à s . Tout vecteur x de E se décompose de la manière suivante : . 1 1 x = (s(x) + x) + (x − s(x)). 2 2 . On retiendra la figure suivante pour schématiser une symétrie : ker(p) = ker(s + id) x x − p(x) p(x) ker(s − id) p(x) − x s(x) . THÉORÈME 14.14 (symétrie associée à une décomposition) . Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E. = F ⊕ G), alors il existe une unique symétrie s telle . que ker(s − idE ) = F et ker(s + idE ) = G, i.e. qui soit la symétrie par rapport à F et parallèlement à G. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 7 Exercices Chapitre 14 : Espaces vectoriels V) Exercices F Exercice 14.1 Dans les cas suivants, dire si F est un s.e.v de E : a) E = F (R, R) (T > 0 est fixé) : i) F = { f ∈ E / f (1) − f (0) = 0} ii) F = { f ∈ E / f (1) = 2 f (0)} iii) F = { f ∈ E / ∀ x ∈ R, f (x + T) = f (x)} iv) F = { f ∈ E / lim f = 0} ±∞ v) F = { f ∈ E / f est croissante}. − b) E = Kn , → x = (x 1 , . . . , x n ) : − i) F = {→ x ∈ E / x = x = 0}. 1 2 − ii) F = {→ x ∈ E / x 1 + x 2 = 0}. − iii) F = {→ x ∈ E / x 1 6= 0}. − iv) F = {→ x ∈ E / x 1 = 0 ou x 2 = 0}. − v) F = {→ x ∈ E / x 1 = x 2 }. − vi) F = {→ x ∈ E / x 12 + x 23 = 0}. c) E = F (N, R) : i) F = {u ∈ E / lim u n = 0}. ii) F = {u ∈ E / (u n ) est convergente}. iii) F = {u ∈ E / (u n ) est bornée}. iv) F = {u ∈ E / (u n ) est périodique}. F Exercice 14.2 Soit f : K2 → K2 définie par f (x, y) = (−x + y, −y). a) Montrer que f ∈ L (K2 ), déterminer ker( f ) et Im( f ). b) Montrer que f + idE est nilpotente, en déduire f n pour n ∈ N, puis pour n ∈ Z. x n+1 = −x n + y n c) Soient (x n ) et (y n ) deux suites vérifiant pour tout n ∈ N : . Expliciter x n y n+1 = −y n et y n en fonction de n, x 0 et y 0 . F Exercice 14.3 Soit f : K3 → K3 définie par f (x, y, z) = (y, z, 0). a) Montrer que f ∈ L (K3 ). Déterminer ker( f ) et Im( f ). b) Vérifier que f est nilpotente. En déduire idE − f ∈ GL(E) et expliciter (idE − f )−1 . x n+1 = x n − y n c) Soient (x n ), (y n ), (z n ) trois suites telles que ∀ n ∈ N : y n+1 = y n − z n . Expliciter x n , y n et z n+1 = z n z n en fonction de n et des premiers termes x 0 , y 0 , z 0 . MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 8 Exercices Chapitre 14 : Espaces vectoriels F Exercice 14.4 Soit E l’espace des suites réelles, on note F = {u ∈ E / ∀ n ∈ N, u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n }. Pour u ∈ F, on pose D(u) la suite définie par D(u)n = u n+1 . a) Montrer que F est un s.e.v de E, que D ∈ L (F) et que (D2 + D + idF ) ◦ (D − 2idF ) = 0. b) Soit H = ker(D2 + D + idF ) et G = ker(D − 2idF ). i) Soit u ∈ F, montrer que (D2 + D + idF )(u) ∈ G et que (D − 2idF )(u) ∈ H. ii) Montrer que la somme H + G est directe. Montrer que H est un plan vectoriel et que G une droite vectorielle. 1 a bX + c = + 2 . iii) Trouver trois réels a, b, c tels : 2 (X − 2)(X + X + 1) X − 2 X + X + 1 iv) En déduire deux polynômes U et V tels que 1 = U × (X − 2) + V × (X 2 + X + 1). c) Déduire de ce qui précède que G et H sont supplémentaires dans F, et donner toutes les suites (u n ) éléments de F. F Exercice 14.5 − − − Soit E un K-e.v et soit f ∈ L (E). Montrer que f est une homothétie ssi : ∀ → x ∈ E, f (→ x ) ∈ Vect[→ x ]. F Exercice 14.6 Soient u, v ∈ L (E) : a) Montrer que ker(u) ⊂ ker(v ◦ u). b) Montrer que Im(v ◦ u) ⊂ Im(v). c) Montrer que Im(u) ⊂ ker(v) ⇐⇒ v ◦ u = 0. F Exercice 14.7 Soient F et G deux s.e.v supplémentaires dans E. Soit u ∈ L (F) et v ∈ L (G), montrer qu’il existe un unique endomorphisme f de E tel que : ∀ x ∈ F, f (x) = u(x) et ∀ x ∈ G, f (x) = v(x). F Exercice 14.8 Soit E un K-e.v et soit f ∈ L (E), montrer que : a) ker( f ) = ker( f 2 ) ⇐⇒ la somme ker( f ) + Im( f ) est directe. b) Im( f ) = Im( f 2 ) ⇐⇒ E = Im( f ) + ker( f ). c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que ker( f ) et Im( f ) soient supplémentaires dans E. Donner un exemple pour f qui vérifie cette condition, mais qui ne soit pas un projecteur. F Exercice 14.9 Soient u, v ∈ L (E), montrer que u◦v v ◦u = u = ssi u et v sont deux projecteurs de même noyau. v F Exercice 14.10 Soient p ∈ L (E) un projecteur, et soit u ∈ L (E). Montrer que u et p commutent ssi ker(p) et Im(p) sont stables par u. F Exercice 14.11 Soit E = K3 , F = {(x, y, z) ∈ E / z = 0}, et G = Vect[(1, 1, 1)]. Montrer que F et G sont supplémentaires. Déterminer l’expression analytique de la projection sur F parallèlement à G, puis celle de la symétrie par rapport à F parallèlement à G. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 9 Exercices Chapitre 14 : Espaces vectoriels F Exercice 14.12 Soit K un sous-corps de C. a) Montrer que Q ⊂ K, on peut donc considérer K comme un Q-e.v. b) Soit σ : K → K un morphisme de corps. Montrer que σ est Q-linéaire. Soit P ∈ Q[X], et soit α ∈ K une racine de P, montrer que σ(α) est également racine de P. p p c) Exemple : Soit K = Q[ 2] = {a + b 2 / a, b ∈ Q}. Vérifier que K est un sous-corps de C, et déterminer tous les morphismes de corps de K dans K. MPSI LYCÉE G UEZ D E B ALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 10