espace vectoriel

Chapitre 14
Espaces vectoriels
Objectifs
– Rappeler la définition d’espace vectoriel et les exemples de référence.
– Définir la notion d’application linéaire, le vocabulaire lié à cette notion et les propriétés.
– Définir la notion de sous-espace vectoriel, la notion d’équation linéaire, la notion de sous-espace engendré par
une famille de vecteurs.
– Définir et étudier la somme de deux sous-espaces vectoriels.
– Étudier deux exemples d’endomorphismes particulièrement importants : les projections et les symétries.
Sommaire
I)
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II) Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . .
IV) Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
6
6
7
8
Dans ce chapitre, K désigne un sous-corps de C.
I) Rappels
1) definition
Soit E un ensemble non vide, on dit que E est un K - espace vectoriel (ou K-e.v.) lorsque E possède
une addition et un produit par les scalaires (loi de composition externe, notée « . », c’est une application :
K×E
→
(λ, x)
7→ λ.x
E
), avec les propriétés suivantes :
−→
– (E, +) est un groupe abélien (l’élément neutre est noté 0E ou 0E et appelé vecteur nul de E).
– La loi . (ou produit par les scalaires) doit vérifier : ∀ λ, µ ∈ K, ∀ x, y ∈ E :
– 1.x = x
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1
Applications linéaires
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
– λ.(x + y) = λ.x + λ.y
– (λ + µ).x = λ.x + µ.x
– λ.(µ.x) = (λµ).x
Si ces propriétés sont vérifiées, on dit que (E, +, .) est un K - e.v., les éléments de K sont appelés les
scalaires et les éléments de E sont appelés vecteurs (parfois notés avec une flèche).
2) Exemples de référence
– Un corps K est un K-e.v..
– R est un Q-e.v., C est un Q-e.v., C est un R-e.v. Plus généralement si K est corps inclus dans un autre
corps L, alors L est un K-e.v..
– L’ensemble Kn muni des opérations suivantes :
(x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) et λ.(x 1 , . . . , x n ) = (λx 1 , . . . , λx n ),
est un K-e.v., le vecteur nul est le n-uplet : (0, . . . , 0).
– Si I est un ensemble non vide, alors l’ensemble des applications de I vers K : F (I, K), pour les opérations usuelles (addition de deux fonctions et produit par un scalaire) est un K-e.v., le vecteur nul étant
l’application nulle. En particulier (C n (I, K), +, .) sont des K-e.v., ainsi que l’espace des suites à valeurs
dans K.
Plus généralement, si E est un K-e.v., l’ensemble des applications de I vers E : F (I, E), pour les opérations usuelles sur les fonctions, est un K-e.v..
– Espace produit : Soient E et F deux K-e.v., on définit sur E×F l’addition : (x, y)+(x 0 , y 0 ) = (x +x 0 , y + y 0 ),
et un produit par les scalaires : λ.(x, y) = (λ.x, λ.y). On peut vérifier alors que (E × F, +, .) est un K-e.v.,
le vecteur nul étant (0E , 0F ).
3) Règles de calculs
Soit E un K-e.v. :
→
−
→
− →
−
−
−
– ∀→
x ∈ E, 0.→
x = 0 , et ∀ λ ∈ K, λ. 0 = 0 .
−
−
−
−
– ∀→
x ∈ E, ∀ λ ∈ K, −(λ.→
x ) = (−λ).→
x = λ.(−→
x ).
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
– ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ K, λ. x = 0 =⇒ λ = 0 ou x = 0 .
II) Applications linéaires
1) Définition
.
.
D ÉFINITION 14.1 (application linéaire ou morphisme de K-espaces vectoriels)
Soient E et F deux K-e.v. et soit f : E → F une application, on dit que f est une application linéaire
lorsque :
.
∀ x, y ∈ E, ∀ λ ∈ K, f (x + y) = f (x) + f (y) et f (λ.x) = λ. f (x).
Si de plus, f est bijective, alors on dit que f est un isomorphisme (d’espaces vectoriels). L’ensemble
des applications linéaires de E vers F est noté L (E, F).
Remarques :
– Une application linéaire est en particulier un morphisme de groupes additifs, donc si f ∈ L (E, F)
alors : f (0E ) = 0F et ∀ x ∈ E, f (−x) = − f (x). De plus on peut parler du noyau de f : ker( f ) = {x ∈
E / f (x) = 0F }, et f est injective ssi ker( f ) = {0E }.
– L’application nulle (notée 0) de E vers F est linéaire.
– L’application identité de E : idE : E → E définie par idE (x) = x, est linéaire bijective (et (idE )−1 = idE ).
– Soit λ ∈ K∗ , l’homothétie de rapport λ : h λ : E → E, définie par h λ (x) = λ.x, est linéaire et bijective. Sa
réciproque est l’homothétie de rapport 1/λ.
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2
Sous-espaces vectoriels
.
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Chapitre 14 : Espaces vectoriels
D ÉFINITION 14.2 (vocabulaire)
– Une application linéaire de E vers E est appelée un endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E) (on a donc L (E) = L (E, E)).
.
– Un isomorphisme de E vers E est appelé un automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes
de E est noté GL(E) et appelé groupe linéaire de E.
– Une application linéaire de E vers K est appelée une forme linéaire sur E. L’ensemble des formes
linéaires sur E est noté E∗ et appelé dual de E (on a donc E∗ = L (E, K)).
2) Propriétés
– La composée de deux applications linéaires est linéaire. On en déduit que GL(E) est stable pour la loi
◦.
– Si f ∈ L (E, F) est un isomorphisme, alors f −1 ∈ L (F, E). On en déduit que GL(E) est stable par symétrisation, i.e. si f ∈ GL(E), alors f −1 ∈ GL(E).
– (GL(E), ◦) est un groupe (non abélien en général), c’est en fait un sous-groupe du groupe des permutations de E : (S E , ◦).
– f ∈ L (E, F) est injective ssi ker( f ) = {0E }.
– Si f , g ∈ L (E, F) et si λ ∈ K, alors f + g ∈ L (E, F) et λ. f ∈ L (E, F). On en déduit que (L (E, F), +, .) est
un K-e.v. (inclus dans F (E, F)).
– (L (E), +, ◦) est un anneau, la loi ◦ jouant le rôle d’une multiplication.
Remarques :
– En général, l’anneau L (E) n’est pas commutatif. Le groupe des inversibles de cet anneau est GL(E).
– La loi ◦ jouant le rôle d’une multiplication, on adopte les notations usuelles des anneaux pour les
puissances, de plus si u, v ∈ L (E) commutent (i.e. u ◦ v = v ◦ u), alors on peut utiliser le binôme de
n
∑
Newton : (u + v)n =
Ckn u k ◦ v n−k .
k=0
– L (E) n’est pas un anneau intègre.
III) Sous-espaces vectoriels
1) definition
.
.
.
D ÉFINITION 14.3
Soit E un K-e.v. et soit H un ensemble, on dit que H est un sous-espace vectoriel de E (ou s.e.v de E)
lorsque :
.
– H ⊂ E, H 6= ;.
– ∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H (H est stable pour l’addition).
– ∀ x ∈ H, ∀ λ ∈ K, λ.x ∈ H (H est stable pour la loi .).
Si c’est le cas, alors il est facile de vérifier que (H, +, .) est lui-même un K-e.v.
. THÉORÈME 14.1 (noyau et image d’une application linéaire)
.
Si
f
∈
L
(E,
F)
alors
ker(
f
)
est
un
s.e.v
de
E
et
Im(
f ) est un s.e.v de F.
.
Remarque : Soit f ∈ L (E, F) alors f est un isomorphisme ssi ker( f ) = {0E } et Im( f ) = F.
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3
Sous-espaces vectoriels
.
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
. THÉORÈME 14.2 (image d’un s.e.v par une application linéaire)
.
Soit H un s.e.v de E et f ∈ L (E, F), alors f < H > (ensemble des images par f des éléments de H) est
. un s.e.v de F.
. THÉORÈME 14.3 (image réciproque d’un s.e.v par une application linéaire)
. Soit H un s.e.v de F et soit f ∈ L (E, F) alors f −1 <. H > (ensemble des antécédents des éléments de H
. par f ) est un s.e.v de E.
.
..
. THÉORÈME 14.4 (intersection de sous-espaces vectoriels)
.
∩
Soit (Hi )i ∈I une famille de s.e.v de E (I est un ensemble d’indices), alors Hi est un s.e.v de E.
i ∈I
.
D ÉFINITION 14.4 (hyperplan)
.
Soit H un s.e.v de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsqu’il existe une forme linéaire φ sur E, non
identiquement nulle, telle que H = ker(φ).
2) Équations linéaires
..
D ÉFINITION 14.5
.
Une équation linéaire est une équation du type : u(x) = b avec u ∈ L (E, F), b ∈ F et x ∈ E (inconnue).
L’équation u(x) = 0F est appelée équation homogène associée.
. THÉORÈME 14.5 (structure des solutions d’une équation linéaire)
.
Soit u ∈ L (E, F) et soit b ∈ F, l’équation linéaire u(x) = b avec x ∈ E a des solutions ssi b ∈ Im(u). Si
.
c’est le cas, et si x 0 ∈ E désigne une solution particulière (i.e. u(x 0 ) = b ), alors l’ensemble de toutes les
solutions est :
S = {y + x 0 / y ∈ ker(u)} = x 0 + ker(u).
.
3) Sous-espace engendré
.
D ÉFINITION 14.6 (combinaisons linéaires)
Soit E un K-e.v et soit x 1 , . . . , x n des vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de la famille
(x i )16i 6n , tout vecteur x de E pour lequel il existe des scalaires λ1 , . . . , λn tels que :
.
x=
∑
.n
i =1
λi x i .
L’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (x i )16i 6n est noté Vect[x 1 , . . . , x n ].
Deux vecteurs x et y de E sont dits colinéaires lorsque l’un des deux est combinaison linéaire de
l’autre, i.e. ∃ λ ∈ K, x = λy ou y = λx .
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Sous-espaces vectoriels
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
. THÉORÈME 14.6 (image d’une combinaison linéaire par une application linéaire)
.
Soit E un K-e.v et soit (x i )16i 6n une famille de. vecteurs de E. Soit f ∈ L (E, F), alors l’image par
f d’une combinaison linéaire de la famille (x i )16i 6n et une combinaison linéaire de la famille
. ( f (x i ))16i 6n (dans F) avec les mêmes coefficients.
. THÉORÈME 14.7 (sous-espace engendré)
.
Soit (x 1 , . . . , x n ) une famille de vecteurs de E, l’ensemble
des combinaisons linéaires de cette famille :
.
Vect[x 1 , . . . , x n ] est un s.e.v de E. C’est même le plus petit (pour l’inclusion) s.e.v de E qui contient
tous
les vecteurs de cette famille. On l’appelle s.e.v engendré par (x 1 , . . . , x n ).
.
4) Somme de deux sous-espaces vectoriels
D ÉFINITION 14.7 (somme de deux s.e.v)
.
.
. F et G l’ensemble noté F + G et défini par :
Soient F et G deux s.e.v de E, on appelle somme de
F + G = {x ∈ E / ∃ u ∈ F, v ∈ G, x = u + v}.
.
. THÉORÈME 14.8
.
. La somme de deux s.e.v de E est un s.e.v de E.
D ÉFINITION 14.8 (somme directe)
.
Soient F et G deux s.e.v de E, on dit que la somme F + G est directe lorsque F ∩ G = {0E }. Si c’est le cas
on note F ⊕ G au lieu de F + G.
..
. THÉORÈME 14.9 (caractérisation des sommes directes)
Soient F et G deux s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes :
a) F et G sont en somme directe.
.
b) ∀ z ∈ F + G, ∃ x ∈ F, y ∈ G, uniques, z = x + y (i.e. tout vecteur de F + G s’écrit de manière unique
comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G).
.
c) ∀ x, ∈ F, y ∈ G, si x + y = 0E alors x = y = 0E .
.
.
.
d) L’application linéaire φ : F × G → E définie par φ(x, y) = x + y est injective.
D ÉFINITION 14.9 (s.e.v supplémentaires)
. supplémentaires lorsque F ⊕ G = E. Ce qui signifie
Soient F et G deux s.e.v de E , on dit que F et G sont
que E = F + G et la somme F + G est directe, ou encore : tout vecteur de E s’écrit de manière unique
comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.
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5
Projections, symétries
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
. THÉORÈME 14.10 (caractérisations des hyperplans)
Soit H un s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes :
.
a) H est un hyperplan de E (i.e. le noyau d’une forme linéaire sur E non nulle).
.
b) ∃ x 0 ∈ E \ H tel que H ⊕ Vect[x 0 ] = E.
.
c) ∀ x 0 ∈ E \ H, H ⊕ Vect[x 0 ] = E.
IV) Projections, symétries
1) Projecteurs
..
D ÉFINITION 14.10
.
Soit E un K-e.v, une projection dans E (ou un projecteur de E) est un endomorphisme p de E tel que
p 2 = p (i.e. p ◦ p = p ).
. THÉORÈME 14.11 (caractérisation des projections)
.
p ∈ L (E) est un projecteur ssi : E = ker(p) ⊕ ker(p − idE ). Si c’est le cas, on a Im(p) = ker(p − idE ) et on
.
dit que p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p). Tout vecteur x de E se décompose de la
manière suivante :
x = (x − p(x)) + p(x).
.
On retiendra la figure suivante pour schématiser une projection p :
ker(p)
x
x − p(x)
p(x)
.
ker(p − id)
. THÉORÈME 14.12 (projection associée à une décomposition)
.
Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E = F ⊕ G), alors il existe une unique projection p telle
. que Im(p) = F et ker(p) = G, i.e. qui soit la projection sur F parallèlement à G.
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6
Projections, symétries
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
2) Symétries
D ÉFINITION 14.11
.
.
Soit E un K-e.v, une symétrie de E est un endomorphisme s tel que s 2 = idE (involution linéaire).
. THÉORÈME 14.13 (caractérisation des symétries)
Soit s ∈ L (E), s est une symétrie ssi E = ker(s−idE )⊕ker(s+idE ). Ce qui revient à dire que l’application
1
p = (idE + s) est une projection. Si c’est le cas, on dit que s est la symétrie par rapport à ker(s − idE )
2
.
(ensemble des invariants) et parallèlement à ker(s + idE ), et on dit que p est la projection associée à
s . Tout vecteur x de E se décompose de la manière suivante :
.
1
1
x = (s(x) + x) + (x − s(x)).
2
2
.
On retiendra la figure suivante pour schématiser une symétrie :
ker(p) = ker(s + id)
x
x − p(x)
p(x)
ker(s − id)
p(x) − x
s(x)
. THÉORÈME 14.14 (symétrie associée à une décomposition)
. Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E. = F ⊕ G), alors il existe une unique symétrie s telle
. que ker(s − idE ) = F et ker(s + idE ) = G, i.e. qui soit la symétrie par rapport à F et parallèlement à G.
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7
Exercices
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
V) Exercices
F Exercice 14.1
Dans les cas suivants, dire si F est un s.e.v de E :
a) E = F (R, R) (T > 0 est fixé) :
i) F = { f ∈ E / f (1) − f (0) = 0}
ii) F = { f ∈ E / f (1) = 2 f (0)}
iii) F = { f ∈ E / ∀ x ∈ R, f (x + T) = f (x)}
iv) F = { f ∈ E / lim f = 0}
±∞
v) F = { f ∈ E / f est croissante}.
−
b) E = Kn , →
x = (x 1 , . . . , x n ) :
−
i) F = {→
x ∈ E / x = x = 0}.
1
2
−
ii) F = {→
x ∈ E / x 1 + x 2 = 0}.
−
iii) F = {→
x ∈ E / x 1 6= 0}.
−
iv) F = {→
x ∈ E / x 1 = 0 ou x 2 = 0}.
−
v) F = {→
x ∈ E / x 1 = x 2 }.
−
vi) F = {→
x ∈ E / x 12 + x 23 = 0}.
c) E = F (N, R) :
i) F = {u ∈ E / lim u n = 0}.
ii) F = {u ∈ E / (u n ) est convergente}.
iii) F = {u ∈ E / (u n ) est bornée}.
iv) F = {u ∈ E / (u n ) est périodique}.
F Exercice 14.2
Soit f : K2 → K2 définie par f (x, y) = (−x + y, −y).
a) Montrer que f ∈ L (K2 ), déterminer ker( f ) et Im( f ).
b) Montrer que f + idE est nilpotente, en déduire f n pour n ∈ N, puis pour n ∈ Z.

 x n+1 = −x n + y n
c) Soient (x n ) et (y n ) deux suites vérifiant pour tout n ∈ N :
. Expliciter x n

y n+1 = −y n
et y n en fonction de n, x 0 et y 0 .
F Exercice 14.3
Soit f : K3 → K3 définie par f (x, y, z) = (y, z, 0).
a) Montrer que f ∈ L (K3 ). Déterminer ker( f ) et Im( f ).
b) Vérifier que f est nilpotente. En déduire idE − f ∈ GL(E) et expliciter (idE − f )−1 .



x n+1 = x n − y n



c) Soient (x n ), (y n ), (z n ) trois suites telles que ∀ n ∈ N :
y n+1 = y n − z n . Expliciter x n , y n et




 z n+1 = z n
z n en fonction de n et des premiers termes x 0 , y 0 , z 0 .
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Exercices
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
F Exercice 14.4
Soit E l’espace des suites réelles, on note F = {u ∈ E / ∀ n ∈ N, u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n }. Pour u ∈ F,
on pose D(u) la suite définie par D(u)n = u n+1 .
a) Montrer que F est un s.e.v de E, que D ∈ L (F) et que (D2 + D + idF ) ◦ (D − 2idF ) = 0.
b) Soit H = ker(D2 + D + idF ) et G = ker(D − 2idF ).
i) Soit u ∈ F, montrer que (D2 + D + idF )(u) ∈ G et que (D − 2idF )(u) ∈ H.
ii) Montrer que la somme H + G est directe. Montrer que H est un plan vectoriel et que G
une droite vectorielle.
1
a
bX + c
=
+ 2
.
iii) Trouver trois réels a, b, c tels :
2
(X − 2)(X + X + 1) X − 2 X + X + 1
iv) En déduire deux polynômes U et V tels que 1 = U × (X − 2) + V × (X 2 + X + 1).
c) Déduire de ce qui précède que G et H sont supplémentaires dans F, et donner toutes les suites
(u n ) éléments de F.
F Exercice 14.5
−
−
−
Soit E un K-e.v et soit f ∈ L (E). Montrer que f est une homothétie ssi : ∀ →
x ∈ E, f (→
x ) ∈ Vect[→
x ].
F Exercice 14.6
Soient u, v ∈ L (E) :
a) Montrer que ker(u) ⊂ ker(v ◦ u).
b) Montrer que Im(v ◦ u) ⊂ Im(v).
c) Montrer que Im(u) ⊂ ker(v) ⇐⇒ v ◦ u = 0.
F Exercice 14.7
Soient F et G deux s.e.v supplémentaires dans E. Soit u ∈ L (F) et v ∈ L (G), montrer qu’il existe un
unique endomorphisme f de E tel que : ∀ x ∈ F, f (x) = u(x) et ∀ x ∈ G, f (x) = v(x).
F Exercice 14.8
Soit E un K-e.v et soit f ∈ L (E), montrer que :
a) ker( f ) = ker( f 2 ) ⇐⇒ la somme ker( f ) + Im( f ) est directe.
b) Im( f ) = Im( f 2 ) ⇐⇒ E = Im( f ) + ker( f ).
c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que ker( f ) et Im( f ) soient supplémentaires dans E. Donner un exemple pour f qui vérifie cette condition, mais qui ne soit pas un
projecteur.
F Exercice 14.9
Soient u, v ∈ L (E), montrer que

 u◦v

v ◦u
= u
=
ssi u et v sont deux projecteurs de même noyau.
v
F Exercice 14.10
Soient p ∈ L (E) un projecteur, et soit u ∈ L (E). Montrer que u et p commutent ssi ker(p) et Im(p)
sont stables par u.
F Exercice 14.11
Soit E = K3 , F = {(x, y, z) ∈ E / z = 0}, et G = Vect[(1, 1, 1)]. Montrer que F et G sont supplémentaires.
Déterminer l’expression analytique de la projection sur F parallèlement à G, puis celle de la symétrie
par rapport à F parallèlement à G.
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Exercices
Chapitre 14 : Espaces vectoriels
F Exercice 14.12
Soit K un sous-corps de C.
a) Montrer que Q ⊂ K, on peut donc considérer K comme un Q-e.v.
b) Soit σ : K → K un morphisme de corps. Montrer que σ est Q-linéaire. Soit P ∈ Q[X], et soit α ∈ K
une racine de P, montrer que σ(α) est également racine de P.
p
p
c) Exemple : Soit K = Q[ 2] = {a + b 2 / a, b ∈ Q}. Vérifier que K est un sous-corps de C, et
déterminer tous les morphismes de corps de K dans K.
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