Le calcul par résolution au premier ordre

Le calcul par résolution au premier ordre
Soit Γun ensemble de clauses. Supposons que ∀(Γ)n’a pas de modèle. Le
calcul par résolution est un système formel permettant de déduire 2de Γ.
Le système a deux règles
1. la factorisation qui de la prémisse
C=P(x,f(y)) ∨P(g(z),z)∨Q(z,x)permet de déduire
D=P(g(f(y)),f(y)) ∨Q(f(y),g(f(y))). La clause déduite est
obtenue en calculant la solution principale de P(x,f(y)) = P(g(z),z)
2. la résolution binaire qui des 2 prémisses P(x,a)∨Q(x)et
¬P(b,x)∨R(f(x)) permet de déduire le résolvant Q(b)∨R(f(a)).
On obtient ce résolvant en renommant la deuxième prémisse en
¬P(b,y)∨R(f(y)) et en calculant la solution principale de
P(x,a) = P(b,y)
1

Solution principale ?
1. On définit ce qu’on entend par solution principale d’un système
d’équations
2. On montre comment la calculer
3. On prouve que l’algorithme faisant ce calcul est correct
2

Substitution et solution
Soit E l’ensemble de tous les termes et littéraux (sur une signature
donnée) et soit T l’ensemble des termes de E. Soit X l’ensemble des
variables. Dans la suite une variable est un élément de X, un terme est un
élément de T, une expression est un élément de E.
Une substitution est une application des variables dans les termes. Soit σ
une substitution, l’application de σà la variable xest notée xσ.
Soit eune expression et σune substitution, eσest l’expression obtenue en
remplaçant dans etoute variable xpar xσ.
Une substitution σest solution de l’équation e1=e2entre deux
expressions si e1σet e2σsont deux expressions identiques.
Une substitution est solution d’un ensemble d’équations si elle est
solution de chaque équation de l’ensemble.
3

Substitution à support fini
Le support d’une substitution σest l’ensemble des variables xtelles que
xσ6=x. Dans la suite, on s’intéresse seulement aux substitutions à support
fini.
Une substitution σà support fini est notée <x1:=t1,...,xn:=tn>. Les
variables x1,...,xnsont distinctes et la substitution vérifie :
– pour ide 1 à n,xiσ=ti
– pour tout yvariable et y6∈ {x1,...,xn},yσ=y
Cette notation nous est déjà connue pour n = 1.
4

Exemple
La substitution<x:=g(f(y)),z:=f(y)>est une solution de l’équation
P(x,f(y)) = P(g(z),z).
Elle est aussi solution du système d’équations : x=g(z),f(y) = z.
La substitution<x:=g(a),z:=f(g(a),b),u:=h(f(g(a)),b)>est une
solution de l’équation P(x,f(x,b),u) = P(g(a),z,h(z)).
Elle est aussi solution du système d’équations :
x=g(a),f(x,b) = z,u=h(z).
5