Utilisation 018

1
UTILISATION DES CARRES PARFAITS DANS LA
RECHERCHE D’UN DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL.
LA METHODE DES CARRES PARFAITS.
Dr Diallo Souleymane au département des Mathématiques de l’Université de Kankan
République de Guinée (Conakry)
E-mail: [email protected]
Tél: ( 224 ) 664881588 / ( 224) 622745399
INTRODUCTION
Il existe plusieurs méthodes pour calculer le diviseur d’un entier naturel. Pourtant, nous
pesons qu’une de plus ne va pas faire éclater le vase.
Dans le présent travail, nous nous proposons de présenter un autre algorithme qui utilise
les carrés parfaits pour chercher les diviseurs d’un entier naturel : C’est la méthode des
carrés parfaits.
Par cette méthode, non seulement nous donnons un nouveaux rôle aux carrés parfaits,
mais aussi et surtout, nous divisons les nombres entiers impairs en deux catégories :
a) Les nombres entiers impairs dont on calcule les diviseurs en utilisant des
carrés parfaits pairs: 5; 9; 13; 17; …
b) Les nombres entiers impairs dont on calcule les diviseurs
carrés parfaits impairs: 3; 7; 11; 15; 19; …
en utilisant des
2
Ainsi, les carrés parfaits jouent un nouveau rôle en Mathématiques.
Ce qui nous apporte quelques nouvelles connaissances en théorie des nombres.
Abstract: Where are several method for computing divisors of an integer n. But a new one
will not overflow the vase.
Then, in the present work, we want to saw an author method of computing divisors of an
integer n by using perfect squares: The perfect squares method.
By this method, we give a new role to perfect squares and divide integers into two part.
a) The set of integers for which we must use odd squares perfect for computing their
divisors
b)
The set of integers for which we must use even squares perfect for computing their
divisors.
Therefore, we bring a new light in numbers theory.
Thus, perfect squares play a new role in Mathematics.
§1 : GENERALITES.
Lemme 1: Quels que soient les entiers naturels A et B, A – B et A + B sont de même parité.
Démonstration: En effet, on a A – B =A + B- 2B . Donc, 2divise A + B s’il divise A – B et
réciproquement.
D’où le lemme.
Lemme 2: Quelques soient les entiers naturels 𝐴 et 𝐵, si le nombre naturel premier n divise
𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 , alors 𝑛2 divise 𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 [1]
Démonstration : Supposons que n = 2; alors on a : 𝐴2 - 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵). Si maintenant 2
divise 𝐴2 - 𝐵2 , il divise (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) ; ce qui signifie qu’au moins un des facteurs 𝐴 − 𝐵 et 𝐴 + 𝐵
est pair. Ils sont alors tous pairs d’après le lemme 1. Donc 𝐴2 - 𝐵2 est divisible par 4.
Donc le théorème est vrai si n = 2.
Si n est un nombre premier supérieur à 2, il est impair ; et alors on a :
𝑖 𝑖 𝑛−𝑖 𝑖
(𝐴 − 𝐵)𝑛 = 𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 +∑𝑛−1
𝐵
𝑖=1 (−1) 𝐶 𝑛 𝐴
(1)
𝑖 𝑖 𝑛−𝑖 𝑖
Alors, n étant premier, il divise 𝐶 𝑛𝑖 si 1 < i < n; n divise donc ∑𝑛−1
𝐵
𝑖=1 (−1) 𝐶 𝑛 𝐴
𝑛
𝑛
𝑛
Alors, la relation ( 1 ) montre que n divise (𝐴 − 𝐵) s’il divise 𝐴 - 𝐵 ; comme n est premier il divise
3
𝐴 − 𝐵.
Donc si le nombre premier n divise 𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 , il divise nécessairement 𝐴 − 𝐵.
En posant 𝐴 − 𝐵 = 𝑟, nous obtenons: 𝐴 = 𝐵 + 𝑟. Ce qui nous donne 𝐴𝑛−1 + 𝐴𝑛−2 𝐵 +
+ … + 𝐴𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1 = (𝐵 + 𝑟)𝑛−1 + (𝐵 + 𝑟)𝑛−2 𝐵 + ⋯ + (𝐵 + 𝑟)𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1 =
𝑖 𝑛−1−𝑖 𝑖
𝑖 𝑛−2−𝑖 𝑖
= 𝐵𝑛−1 + ∑𝑛−1
𝑟 + 𝐵𝑛−1 + ∑𝑛−2
𝑟 +… + 𝐵𝑛−1 + 𝑟𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
𝑖 𝑛−1−𝑖 𝑖
𝑖 𝑛−2−𝑖 𝑖
= 𝑛𝐵𝑛−1 + ∑𝑛−1
𝑟 + ∑𝑛−2
𝑟 +… + 𝑟𝐵𝑛−2 .
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
𝑖 𝑛−1−𝑖 𝑖
𝑖 𝑛−2−𝑖 𝑖
𝐴𝑛−1 + 𝐴𝑛−2 𝐵 + … + 𝐴𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1 = 𝑛𝐵𝑛−1 + ∑𝑛−1
𝑟 + ∑𝑛−2
𝑟 +…
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
𝑖=1 𝐶 𝑛 𝐵
+ 𝑟𝐵𝑛−2.
(2)
Comme 𝑟 = 𝐴 − 𝐵 est divisible par n, la relation ( 2 ) montre que n divise
𝐴𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1 aussi.
𝐴𝑛−1 + 𝐴𝑛−2 𝐵 + … +
Alors, étant donné que 𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 = (𝐴 − 𝐵)( 𝐴𝑛−1 + 𝐴𝑛−2 𝐵 + … + 𝐴𝐵𝑛−2 + 𝐵𝑛−1 ), ce que
nous venons de faire, montre que, si 𝐴𝑛 - 𝐵𝑛 est divisible par n, il est aussi divisible par n 2 si n est
un nombre naturel premier supérieur à 2.
D’où le lemme.
Considérons le nombre naturel 𝑁; supposons qu’il soit divisible par l’entier x et que x ne dépasse pas
la partie entière de √𝑁. On peut poser
𝑁
𝑥
− 𝑥 = 𝜃 , 𝜃 étant un entier naturel positif.
Alors on obtient : 𝑁 − 𝑥 2 = 𝜃𝑥 ou 𝑥 2 + 𝜃𝑥 − 𝑁 = 0
(1)
Nous avons ainsi transformé le problème de la recherche d’un diviseur d’un entier naturel en la
résolution de l’ équation du second degré 𝑥 2 + 𝜃𝑥 − 𝑁 = 0
En effet, la relation ( 1 ) est une équation du second degré dont l’inconnue x est un diviseur de
𝑁 ( par hypothèse ).
Evidement cette équation n’admet de solutions entières que si son discriminant ∆= 𝜃 2 + 4𝑁
est un carré parfait.
Car, les solutions de cette équation s’obtiennent selon les relations :
𝑥=
−𝜃+√∆
2
et
𝑥′ =
− 𝜃 − √∆
2
(2).
En effet, si dans la relation ( 2 ), ∆= 𝜃 2 + 4𝑁 n’est pas un carré parfait, les solutions ne sont pas
des entiers naturels.
Si dans la relation ( 2 ) nous posons 𝜃 = 𝑁 − 1, nous obtenons:
𝑥=
−𝜃+√∆
2
=
−(𝑁−1)+√(𝑁−1)2 +4𝑁
2
=
−(𝑁−1)+√𝑁2 −2𝑁+1+4𝑁
2
=
−(𝑁−1)+𝑁+1
2
= 1.
4
Et 𝑥′ =
− 𝜃 − √∆ −(𝑁−1)−√(𝑁−1)2 +4𝑁
=
2
2
=
−(𝑁−1)−√𝑁2 −2𝑁+1+4𝑁
2
=
−(𝑁−1)−𝑁−1
2
= −𝑁
Donc on a le théorème suivant :
Théorème 1 : Un nombre entier naturel 𝑁 admet au moins un diviseur propre x, si et seulement s’il
existe un entier 𝜃 strictement inférieur à 𝑁 - 1 tel que 𝜃 2 + 4𝑁 soit un carré parfait.[2]
Démonstration : La nécessité de la condition résulte de ce qu’on a dit plus haut.
Elle est aussi suffisante car, si 𝜃 2 + 4𝑁 est un carré parfait, en posant
𝜃 2 + 4𝑁 = 𝛽 2 , on obtient : 𝑁 =
⟹ 𝑁=
(𝛽 − 𝜃)
(𝛽+𝜃)
2
2
𝜃2 −𝛽 2
4
=
(𝛽 − 𝜃)(𝛽+𝜃)
4
=
(𝛽 − 𝜃)
(𝛽+𝜃)
2
2
⟹
(3)
Comme 𝜃 2 + 4𝑁 = 𝛽 2 , les nombres 𝜃 et 𝛽 sont pairs ou impairs en même temps. Donc les
nombres 𝛽 − 𝜃 et 𝛽 − 𝜃 sont pairs ; et alors, les nombres
(𝛽 − 𝜃)
2
et
(𝛽+𝜃)
2
sont des entiers qui
divisent 𝑁 d’après la relation (3). Ce qui montre que la condition est suffisante.
Montrons maintenant que  ne dépasse pas 𝑁 - 1. En effet, 𝜃 > 𝑁 − 1 ⟹ 𝜃 ≥ 𝑁.
Mais la relation 𝜃 2 + 4𝑁 = 𝛽 2 ⟹ 𝜃 2 < 𝛽 2 ⟹ 𝜃 < 𝛽 . Ce qui nous donne 𝑁 ≤ 𝜃 < 𝛽 ⟹
𝑁<
𝛽+𝜃
2
.
La relation ( 3 ) montre alors que 𝑁 se met sous la forme d’un produit d’entiers naturels tels
qu’au moins l’ un des facteurs est plus grand que lui; ce qui est impossible.
Donc 𝜃 < 𝑁 − 1.
Ce qui achève la démonstration du théorème.
Ainsi, on voit que les diviseurs propres de 𝑁 sont obtenus si et seulement si 𝜃 < 𝑁 − 1.
Nous illustrerons ce théorème par des exemples donnés sous forme de tableau.
5
Exemple1: Pour 𝑁 =12, on a :
𝑥=
𝜃2
𝜃 2 + 4𝑁
√𝜃 2 + 4𝑁
0
0 + 48 = 48
6, 92
1
1 + 48 = 49
7
4
4 + 48 = 52
7, 21
9
9 + 48 = 57
7, 54
16
16 + 48 = 64
8
25
25 + 48 = 73
8, 54
36
36 + 48 = 84
8,16
49
49 + 48 = 97
9, 84
64
64 + 48 = 112
10, 58
81
81 + 48 = 129
11, 35
100
100 + 48 = 148
12, 16
121
121 + 48 = 169
13
−𝜃+√𝜃2 +4𝑁
2
ou 𝑥′ = |
−𝜃+√𝜃2 +4𝑁
|
2
x  3 ou x’ = 4
x = 2 ou x’ = 6
x = 1 ou x’ = 12
Dans ce tableau, la première colonne contient les carrés parfaits de 0 à ( 12 - 1 )² = 11² = 121.
La deuxième contient les sommes 𝜃 2 + 4𝑁 quand 𝜃 varie ; et la troisième la racine carrée de 𝜃 2 +
4𝑁.
En fin, la dernière colonne contient les solutions en nombres entiers de l’équation du second degré
𝑥 2 + 𝜃𝑥 − 𝑁 = 0 ; c'est-à-dire, les diviseurs du nombre entier 12.
Le tableau suivant est établi de la même manière.
6
Exemple2: Pour N = 17, on a:
𝜃2
𝜃 2 + 4𝑁
√𝜃 2 + 4𝑁
𝑥=
−𝜃+√𝜃2 +4𝑁
2
ou 𝑥′ = |
0
0 + 68 = 68
8,24
1
1 + 68 = 69
8, 30
4
4 + 68 = 72
8, 48
9
9 + 68 = 77
8,77
16
16 + 68 =84
9, 16
25
25 + 68 = 93
9,64
36
36 + 68 = 104
10,19
49
49 + 68 = 117
10,81
64
64 + 68 = 132
11,48
81
81 + 68 = 149
12,20
100
100 +68 = 168
12,96
121
121 + 68 = 189
13,74
144
144 + 68 = 212
14,56
169
169 + 68 = 237
15,39
196
196 + 68 = 264
16,24
225
225 + 68 = 293
17,11
256
256 + 68 =324
18
−𝜃+√𝜃2 +4𝑁
|
2
x = 1 ou x = 17
7
Nous voyons ainsi que la formule ( 3 ) nous permet de trouver tous les diviseurs d’un entier naturel
donné 𝑁. Mais, ce processus est évidemment très long, surtout lorsqu’il s’agit de trouver tous les
diviseurs du nombre donné ou de montrer que celui- ci est premier.
Dans la suite de ce travail, nous allons chercher comment améliorer cet algorithme.
En effet, le problème est alors de trouver le nombre entier 𝜃 tel que 𝜃 2 + 4𝑁 soit un carré parfait.
Ce problème se pose surtout pour les nombres impairs ; car, si 𝑁 est pair, on a :
2
𝑁
2
𝑁
2
𝑁
2
𝑁
( 2 − 2 ) + 4𝑁 = ( 2 + 2 ) . Donc, ( 2 − 2 ) est un carré parfait tel que ( 2 − 2 ) + 4𝑁 est aussi
un carré parfait.
𝑁
2
Alors, en posant 𝜃 = − 2, nous obtenons: 𝑥 =
−𝜃+√𝜃2 +4𝑁
2
= 𝑥=
𝑁
2
𝑁
2
−( −2)+ +2
2
= 2.
C’est pour cette raison que, nous allons supposer que 𝑁 est impair dans toute la suite de ce
travail.
𝑁
Alors chaque diviseur de 𝑁 est impair aussi, et la différence 𝜃 = 𝑥 − x est paire.
En posant donc 𝜃 = 2𝛼, la relation ∆= 𝜃 2 + 4𝑁 précédente devient ∆= 4(𝛼 + 𝑁).
Alors le théorème 1 peut être énoncé comme suit:
Théorème 2 : Le nombre entier impair 𝑁 possède des diviseurs propres si et seulement s’il existe un
entier naturel 𝛼 <
𝑁−1
2
tel que 𝛼 2 + 𝑁 soit un carré parfait.
Remarquons que, ce théorème permet de réduire, de moitié le processus de recherche d’un diviseur
d’un entier naturel en utilisant les carrés parfaits.
Ainsi, ce théorème montre que les diviseurs propres de tout entier impair s’obtient pour 0 ≤ 𝛼 <
𝑁−1
.
2
C’est-à-dire que 𝛼 ≤
𝑁−1
−
2
1=
𝑁−1
2
−1 =
𝑁−3
.
2
En posant maintenant 𝛿 = 𝛼 2 + 𝑁 , les relations ( 2 ) deviennent :
x = −𝛼 + √𝛿 et x’ = −𝛼 − √𝛿
Où 𝛼 ≤
(4)
𝑁−3
2
Exemples : 1°) Si 𝑁 = 15, , on a : 12 + 15 = 16 = 42 ; ainsi, la relation ( 4 ) nous donne:
x = -1 + 4 = 3
2°) Si 𝑁 = 13 329 737, on a 13 329 737 + 82 =13 329 737 + 64 = 36512. Ce qui nous donne :
x = -8 + 3651 = 3643.
3°) Si 𝑁 = 2 039 183, on a 1 + 2 039183 = 2039184 = 13482 ; ce qui nous donne :
x = -1+ 1348 = 1347.
8
De plus, comme tout diviseur de 𝑁 s’obtient pour une valeur de 𝛼 ≤
𝑁−1
−
2
𝛼=
𝑘 où k est un entier naturel compris entre 0 et
𝑁−1
,
2
on peut poser
𝑁−1
.
2
Ainsi, d’après la relation ( 10 ), nous obtenons:
𝑁−1
−
2
x = −𝛼 + √𝛿 = − (
𝑁−1
2
𝑘) + √𝛿 = −
+ 𝑘 + √𝛿
2
( 5)
2
𝑁−1
𝑁−1
 s’écrit: 𝛿 = 𝛼 2 + 𝑁 = ( 2 − 𝑘) + 𝑁 = ( 2 ) − (𝑁 − 1)𝑘 + 𝑘 2 + 𝑁
Et
2
𝑁+1
2
De même, on a (
𝑁−1 2
)
2
−(𝑁 + 1)𝑘 + 𝑘 2 = (
𝑁+1
−
2
2
(
2
𝑁−1 2
)
2
𝑘) = (
𝑁+1 2
)
2
− 𝑘) = (
𝑁−1
2
− (𝑁 + 1)𝑘 + 𝑘 2 = (
− [(𝑁 − 1) + 2]𝑘 + 𝑘 2= (
𝑁−1 2
)
2
𝑁−1 2
)
2
+𝑁−1+1−
− (𝑁 − 1)𝑘 − 2𝑘 + 𝑘 2 + 𝑁 ⟹
𝑁+1
−
2
− (𝑁 − 1)𝑘 − 2𝑘 + 𝑘 2 + 𝑁 ⟹ (
2
+ 1) = (
(*)
2
𝑁−1 2
)
2
𝑘) + 2𝑘 = (
− (𝑁 − 1)𝑘 +
+𝑘 + 𝑁.
En tenant maintenant compte de la relation ( *), nous nous obtenons:
2
𝑁+1
2
𝛿=(
− 𝑘) + 2𝑘
(6)
𝑁+1 2
)
2
On remarquera alors que, pour k = 0, on a (
et x= −𝛼 + √𝛿 = −
𝑁−1
𝑁+1
+ 2
2
= 1 quel que soit
le nombre naturel 𝑁.
𝑁+1
2
Exemples : 10) Si 𝑁= 15 on a = (
2
15+1
−
2
2
− 𝑘) + 2𝑘 = (
2
𝑘) + 2𝑘 = (8 − 𝑘)2 + 2𝑘 . En prenant
k = 6, on obtient 𝛿 = (8 − 6)2 + 2 ∙ 6 = 4 + 12 = 16 = 4 . Ce qui nous donne le diviseur de 15
𝑁−1
−
2
suivant : 𝑥 = − (
𝑘) + √𝛿 = −
𝑁−1
2
+ 6 + 4 = −7 + 6 + 4 = 3
20) Si 𝑁 = 21, on a 𝛿 = (11 − 𝑘)2 + 2𝑘. Alors, pour k = 8, nous obtenons 𝛿 = 25 et le
diviseur 𝑥 = 3.
Aussi, la relation 𝛿 = 𝛼 2 + 𝑁 montre que la valeur minimale de 𝛿 est 𝑁 et que sa valeur maximale
𝑁+1 2
)
2
est (
𝑁+1 2
)
2
c’est à dire qu’on a 𝑁 ≤ 𝛿 ≤ (
quel que soit l’entier naturel 𝑁.
En effet, la plus petite valeur de 𝛿 est obtenue pour 𝛼 = 0 et sa plus grande valeur est obtenue pour
𝑁−1
.
2
𝛼=
Supposons maintenant que, dans la relation ( 11 ), 𝛿 est connu; on obtient :
𝑁+1
−
2
𝛿=(
2
𝑁+1 2
) .
2
𝑘) + 2𝑘 = 𝑘 2 − (𝑁 − 1)𝑘 + (
𝑁+1 2
)
2
degré suivante: 𝑘 2 − (𝑁 − 1)𝑘 + (
−𝛿 = 0
𝑁−1 2
)
2
Dans l’équation ( 7 ) nous avons: ∆′ = (
Ce qui nous donne l’équation du second
(7)
𝑁+1 2
)
2
−(
+𝛿 =
𝑁 2 −2𝑁+1
𝑁 2 2+2𝑁+1
−
4
4
= 𝛿 − 𝑁.
9
Ce qui nous donne : 𝑘 =
𝑁−1
2
+ √𝛿 − 𝑁.
Alors la relation ( 10 ) nous donne: 𝑥 = −
𝑁−1
+
2
𝑘 + √𝛿 = = −
𝑁−1
2
+
𝑁−1
+
2
√𝛿 − 𝑁 + √𝛿 ⟹
𝑥 = √𝛿 + √𝛿 − 𝑁 et 𝑥′ = √𝛿 − √𝛿 − 𝑁
(8)
On a donc le théorème suivant :
Théorème 3 : Tout diviseur d’un entier impair 𝑁 s’obtient suivant l’une des formules suivantes :
𝑥 = √𝛿 + √𝛿 − 𝑁 et 𝑥′ = √𝛿 − √𝛿 − 𝑁
où 𝛿 est un carré parfait supérieur à 𝑁 tel que 𝛿 − 𝑁 est aussi un carré parfait.
En remarquant que, selon la relation ( 8 ),on a 𝑥𝑥 ′ = 𝑁, nous voyons que la même valeur de 𝛿 donne
les deux diviseurs x et x’ de 𝑁 dont le produit est égal à 𝑁.
Exemple : Pour 𝑁 = 27, en prenant 𝛿 = 36 = 6 2, on obtient 36 – 27 = 9 = 3 2. Ce qui nous donne les
diviseurs de 27 suivants :
𝑥 = √𝛿 + √𝛿 − 𝑁 = 6 + 3 = 9 et 𝑥′ = √𝛿 − √𝛿 − 𝑁 = 6 – 3 = 3
Nous avons maintenant les propriétés suivantes pour les carrés parfaits de la forme
𝑁+1
−
2
𝛿=(
2
𝑘) + 2𝑘.
𝑁+1
−
2
Théorème 4 : 𝑁 et k étant deux entiers naturels donnés, si le nombre 𝛿 = (
2
𝑘) + 2𝑘 est un
carré parfait, alors, k est un entier pair.
𝑁+1
−
2
Démonstration : En effet, on a 2k = 𝛿 − (
2
𝑘) ; alors, si 𝛿 est un carré parfait, 2k devient une
différence paire de deux carrés parfaits. Ainsi, 2k est un multiple de 4 ; c'est-à-dire que k est pair.
D’où, le théorème.
2
𝑁+1
−
2
Corollaire1 : Si 𝛿 = (
𝑘) + 2𝑘 est un carré parfait, on a les propriétés suivantes :
_____ 𝛿 est pair si et seulement si
𝑁+1
2
_____ 𝛿 est impair si et seulement si
𝑁+1
−
2
En effet, si 𝛿 = (
2
𝑁+1
2
est impair.
𝑘) + 2𝑘 est un carré parfait, k étant pair d’après le théorème 4,
n 1
sont de même parité;
2
D’où le corollaire.
est pair.
 et
10
Ce corollaire réduit à son tour la longueur de la méthode de recherche d’un diviseur d’un entier en
utilisant les carrés parfaits. Car, si
diviseurs de 𝑁 sont tous pairs. Et si
𝑁+1
2
𝑁+1
2
est impair, les carrés parfaits permettant d’obtenir les
est impair, les carrés parfaits permettant d’obtenir les
diviseurs de 𝑁 sont tous impairs.
Ainsi, pour un entier naturel 𝑁 donné, tous les carrés parfaits permettant d’obtenir les diviseurs de
celui-ci peuvent être calculés à partir de l’un d’entre eux.
Exemples : Soit 𝑁 = 1649 ; alors on obtient :
𝑁+1
2
=
1649+1
2
=
1650
2
= 825 qui est impair. Donc tout
carré parfait permettant d’obtenir un diviseur de1649 est impair. Et comme 1681= 41 2 est le carré
parfait impair qui vient immédiatement après 1649, et comme 8232 est le dernier carré parfait
1649−1 2
)
2
impair avant (
1648 2
)
2
= (
= 8242 , on a : 412 ≤ 𝛿 ≤ 8242 .
Donc tous les autres carrés parfaits cherchés s’obtiennent par la relation :  = (41 +2q)2 où
0≤𝑞≤
823−41
2
= 441. Ce sont donc des carrés parfaits tels que 412 = 1681; 43 2 = 1849;
45 2 = 2025; 2029; 2041; 2601; 2809; 3025; 3249…
De même si 𝑁 = 2563, on a :
𝑁+1
2
=
2563+1
2
=
2564
2
= 1282 qui est un nombre pair ; donc les carrés
parfaits cherchés sont tous pairs. Comme 2704 = 52 2 est le carré parfait pair qui vient
immédiatement après 2563, et comme 12802 est le dernier carré parfait pair avant 12812, on
a: 522 ≤ 𝛿 ≤ 12802 . Ce sont donc des carrés parfaits de la forme (52 + 2q)2 où
0≤𝑞≤
1280−52
2
= 614. Ce sont les nombres tels que 52 2 = 2704 ; 54 2 = 2916 ; 3136 ; 3364 ; 3600 ;
3844 ; 4096; …122 2 = 14884 ; ….12802.
En tenant alors compte des relations (13), on ne prendra que les seuls carrés parfaits qui, diminués
du nombre 𝑁, donnent un carré parfait.
Par exemple, si 𝑁 = 1649, on a : 57 2 – 𝑁 = 3249 – 1649 = 1600 = 40 2 .
Ce qui nous donne ( voir les relations ( 13 ) ): 𝑥 = √572 + √572 − 3249 = 57 + 40 = 97
et
𝑥′ = √𝛿 − √𝛿 − 𝑁 = 57 − 40 = 17 .
De même, si 𝑁 = 2563, on a : 122 2 – 𝑁 = 14884 – 2563 =12321= 1112. Et les diviseurs cherchés sont:
𝑥 = 133 et 𝑥 ′ = 11.
Evidemment, ce processus est quelquefois très long, surtout lorsqu’il s’agit de trouver tous les
diviseurs du nombre entier donné, ou de savoir si celui-ci est premier. Alors, nous indiquons un
théorème permettra de réduire la tâche.
11
Théorème 5 : Soient 𝛿1 et 𝛿2 les carrés parfaits permettant d’obtenir les diviseurs 𝑥1 et 𝑥2 du
nombre entier impair n; alors on a : 𝑥1 < 𝑥2 < √N ⟹ 𝛿1 > 𝛿2 .
1
1 𝑁
Démonstration : Nous savons que 𝛿 = 𝛼 2 + 𝑁 où 𝛼 = 2 𝜃 = 2 ( 𝑥 − 𝑥). Donc, on a:
1
2
𝑁
1
2
𝑁
𝛿1 = 4 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑁 et 𝛿2 = 4 (𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑁.
1
2
𝑁
𝑁
2
1
En remarquant alors que 𝑥1 < 𝑥2 < √N ⟹ 𝑥 < 𝑥 , nous voyons que
1
2
𝑁
1
𝑁
𝑁
𝑥1
𝑁
− 𝑥1 > 𝑥 − 𝑥2 . Alors,
2
2
on obtient: 𝛿1 = 4 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑁 > 𝛿2 = 4 (𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑁.
1
2
D’où le théorème.
Corollaire : Si le nombre entier impair 𝑁 n’admet aucun diviseur inférieur ou égal à un entier 𝑥 tout
𝑁+𝑥 2 2
) .
2𝑥
carré parfait 𝛿 qui donne un diviseur de 𝑁 ne dépasse pas la partie entière de (
Il suffit en effet de savoir que, si le nombre entier 𝑁 possède dans ce cas un diviseur propre 𝑦, on a
𝑥 < 𝑦 <√N ; alors on applique le théorème 2 – 5.
Ce corollaire aussi permet de réduire la longueur de l’algorithme permettant d’obtenir les diviseurs
d’un entier naturel en utilisant des carrés parfaits.
Exemple : Considérons le nombre naturel 𝑁 = 13329737. On a:
𝑁+1
2
=
13329737+1
2
= 6664849 qui
est impair. Donc nous devons chercher des carrés parfaits impairs qui vont de 36512 à 133297372 .
Mais, en remarquant que le nombre donné n’est divisible par aucun entier inférieur ou égal à 1000,
on peut alors calculer
13329737+1000000
2000
= 7164,8685. Ce qui montre qu’on peut se limiter à 71632
§2: La méthode des carrés parfaits
Ce que nous venons de faire nous conduit à un algorithme que nous présentons maintenant.
Pour chercher les diviseurs propres d’un entier naturel impair n, on peut utiliser l’algorithme suivant
que nous avons appelé la méthode des carrés parfaits.
Si le nombre 𝑁 est un carré parfait, on considère que le diviseur cherché est √𝑁; si non, on procède
comme suit :
10) Calculer
a) Si
𝑁+1
2
𝑁+1
2
est pair, on cherche entre 𝑁 et
𝑁−3
2
des carrés parfaits pairs ( d’après le corrollaire1 du
théorème 4 ) tels que, le plus petit, que nous notons par 𝛿𝑚 , peut être déterminé de la manière
suivante.
2
__ 𝛿𝑚 = [𝐸(√𝑁) + 1] si 𝐸(√𝑁) est impair.
12
__ 𝛿𝑚 = [𝐸(√𝑁) + 2]
𝑁.
2
si 𝐸(√𝑁) est pair où 𝐸(√𝑁) est la partie entière de la racine carrée de
La plus grande valeur de 𝛿, que nous noterons par 𝛿𝑀 , est aussi obtenue comme suit :
𝑁−3
2
𝛿𝑀 = (
2
𝑁−3
2
) (d’après le corollaire du théorème 2 - 5). Au lieu de: 𝛿𝑀 = (
𝑁+𝑥 2
)]
2𝑥
2
) , on peut prendre
2
comme valeur de 𝛿𝑀 le carré parfait pair le plus proche de [𝐸 (
si 𝑁 n’est divisible par aucun
entier inférieur ou égal à 𝑥 ( d’après le corollaire du théorème 2-5 )
2
Dans ce cas, ces carrés parfaits pairs se mettent sous la forme : 𝛿 = (√𝛿𝑚 + 2𝑞) où
0≤𝑞≤
𝛿𝑀 −𝛿𝑚
.
2
c) Si
𝑁+1
2
est impair, on cherche des carrés parfaits impairs tels que 𝛿𝑚 et 𝛿𝑀 sont obtenus
comme suit :
2
__ 𝛿𝑚 = [𝐸(√𝑁) + 1] si 𝐸(√𝑁) est impair.
__ 𝛿𝑚 = [𝐸(√𝑁) + 2]
2
𝑁−3
2
si 𝐸(√𝑁) est pair ). Au lieu de: 𝛿𝑀 = (
valeur de 𝛿𝑀 le carré parfait pair le plus proche de [𝐸 (
𝑁+4 2
)] (
4
2
) , on peut prendre comme
d’après le corollaire du
théorème 5). Car, le nombre donné étant impair, celui-ci n’est pas divisible par 2.
2
Dans ce cas, ces carrés parfaits pairs se mettent sous la forme : (√𝛿𝑚 + 2𝑞) où 0 ≤ 𝑞 ≤
𝛿𝑀 −𝛿𝑚
.
2
20) Calculer les différences 𝛿 − 𝑁 et prendre celles qui sont des carrés parfaits.
30) Calculer alors les diviseurs de 𝑁 suivant les relations ( 13 )
40) S’il n’existe aucune différence 𝛿 − 𝑁 qui soit un carré parfait, le nombre donné est premier.
𝑁+4 2
)]
4
On remarquera qu’on peut prendre le carré parfait pair ou impair le plus proche de [𝐸 (
𝑁−3
2
au lieu de 𝛿𝑀 = (
2
) . Car, le nombre donné étant impair, celui-ci n’est pas divisible par 2.
Dans ce cas, ces carrés parfaits pairs se mettent sous la forme : 𝛿 = (𝛿𝑀 − 𝛿𝑚 )2 où 0 ≤ 𝑞 ≤
Exemple: Calculons les diviseurs de 45.
Nous allons utiliser le tableau suivant:
𝛿𝑀 −𝛿𝑚
.
2
13
𝑁+1
𝑁
2
𝛿
𝐸(√𝑁)
√𝑁
𝛿−𝑁
Diviseurs
cherchés
45
23
6,70
6
72
4
2
{
{
92
36
6
112
76
8,71
𝑥 =7+2=9
𝑥′ = 7 − 2 = 5
𝑥 = 9 + 6 = 15
𝑥′ = 9 − 6 = 3
Pas de diviseurs.
b) Considérons le nombre 𝑁 = 89988000391. Alors nous pouvons établir le tableau
suivant: √𝑁
𝑁
𝑁+1
2
89988000391
44994000196
√𝑁
𝐸(√𝑁)
299979,9 299979
𝛿
2999802
𝛿
−𝑁
√𝛿 − 𝑁
Diviseurs cherchés
9
3
x = 299980 + 3
{
x’ = 299980 − 3
Chacun des nombres 299980 + 3 = 299983 et 299980 – 3 = 299977 étant premier, nous voyons
que cette méthode est, pour certains entiers, plus rapide que l’algorithme habituel.
Nous voyons alors que la méthode des carrés parfaits permet de trouver les diviseurs d’un entier
naturel quelconque. Et en tenant compte de la définition de 𝛿, nous voyons que l’algorithme
ainsi obtenu permet de trouver, en premier lieu, les diviseurs de 𝑁 les plus proches de
√𝑁.
Nous donnons maintenant l’organigramme et le programme en basic de la méthode des carrés
parfaits dans lesquels, 𝛿𝑚 , 𝛿𝑀 et 𝛿 ont étés remplacés par D1, D2 et D respectivement. N est
un entier naturel impair et X un entier tel que N n’est pas divisible par un nombre entier inférieur
ou égal à X ; X1 est le diviseur cherché du nombre naturel N donné.
14
Organigramme de la méthode des carrés parfaits
Début
N=?
X=?
B1= N^ (1/2)
B = FIX( B1)
0
1
B1 = B
B2 = B / 2
PRINT ’’N est un
carré parfait’’
PRINT’’X1=’’; X1
X1=B
B3 = FIX (B2); A = (N+1)/2; A1 = A /2; A2 = FIX( A1)
1
B2= B3
0
B2 = B3
A1=A2
0
1
D1 = B + 2
1
0
D1 = B + 1
1
D1 = B + 2
D1 = B + 1
GOSUB30
C1 = (N+X^2) /2*X; C= FIX(C1);C2 = C/2; C3 = FIX(C2)
1
0
0
1
D2 = C + 2
C2 = C3
A1=A2
C2 = C3
0
D2 = C + 1
1
D2 = C + 2
D2 = C + 1
RETURN
PRINT” X1 = “, X1
E=(D2-D1)/2
X1 = D-G
1
END
E(G)=G
0
q=q+1
PRINT “ N est premier”
q=0
D = D1 +2*q
G = F ^ (1 / 2)
q<E
0
F = D^2 - N
1
15
Programme en GW-basic de la méthode des carrés parfaits :
10 REM Recherche d’un diviseur d’un entier naturel impair N
20 REM X un entier tel que N n’est divisible par aucun nombre entier < = X
30 REM X1 est le diviseur cherché de N.
40 INPUT “Donner les valeurs de X et N”;X,N
50 REM Calcul
60 M = SQR(N): M1= INT( M)
70 REM Test de la valeur de M1– Sauts conditionnels et inconditionnels
80 IF M= M1 THEN 90 ELSE 120
90 PRINT ‘’Le nombre’’ ;N ;’’est un carré parfait’’
100 REM Saut inconditionnel
110 GOTO 470
120 REM Calcul
130 N1=(N+1)/2 : N2=N1/2 :N3=INT(N2)
140 M2=M1/2: M3=INT(M2)
150 REM Test des valeurs de N3 et M3 – Sauts conditionnes
160 IF ( N2=N3) AND ( M2 = M3) THEN 200
170 IF ( N2=N3) AND ( M2 <> M3) THEN 210
180 IF ( N2 <>N3) AND ( M2 = M3) THEN 210
190 IF ( N2 <>N3) AND ( M2 <> M3) THEN 200
200 B= M1 + 2 : GOTO 220
210 B = M1 +1
220 REM Calcul
230 A1= X^2:A2=N+A1: A3= 2*X: A4= A2/A3:A5=INT(A4):A6=A5/2: A7=INT(A6)
240 Test de la valeur de A7 – Sauts conditonnels
250 IF ( N2=N3) AND ( A6 = A7) THEN 290
16
260 IF ( N2<>N3) AND ( A6 = A7) THEN 300
270 IF ( N2=N3) AND ( A6 <> A7) THEN 300
280 IF ( N2<>N3) AND ( A6 <> A7) THEN 290
290 B1= A5 + 2 : GOTO 320
300 B1 = A5 +1
310 REM Calcul
320 C= B1 - B :C1= C/2
330 FOR q = 0 TO C1 STEP 1
340 REM Test de la valeur de q- Sauts conditionnel et inconditionnel
350 IF q=C1 THEN 360 ELSE 390
360 Print’’Le nombre’’;N;’’ est premier’’
370 REM Saut inconditionnel
380 GOTO 470
390 REM Calcul
400 Dq = B + 2 * q : E = Dq^2: E1= E – N: E2 = SQR(E1): E3= INT(E2)
410 REM Test de la valeur de E3 – Sauts conditionnels et inconditionnels
420 IF E2=E3 THEN ELSE 460
425 X1 = Dq –E2
430 PRINT Le nombre’’; N ;’’ est divisible par ‘’;X1;’’
440 REM Saut inconditionnel
450 GOTO 470
460 NEXT q
470 END
BIBLIOGRAPHIE
[ 1 ] S. Diallo: Recherche d’un diviseur d’un entier naturel. Revue scientifique de l’université de
Kankan ( RESUK ) N° 000 Juin 01. P14 -15.
[ 2 ] S. Diallo: Utilisation des carrés parfaits dans la recherche d’un diviseur d’un entier naturel.
Revue scientifique de l’université de Kankan ( RESUK) N° 006 Juin08. P52-57.