Utilisation 018
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UTILISATION DES CARRES PARFAITS DANS LA
RECHERCHE D’UN DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL.
LA METHODE DES CARRES PARFAITS.
Dr Diallo Souleymane au département des Mathématiques de l’Université de Kankan
République de Guinée (Conakry)
E-mail: sapbergsdiallo@gmail.com
Tél: ( 224 ) 664881588 / ( 224) 622745399
INTRODUCTION
Il existe plusieurs méthodes pour calculer le diviseur d’un entier naturel. Pourtant, nous
pesons qu’une de plus ne va pas faire éclater le vase.
Dans le présent travail, nous nous proposons de présenter un autre algorithme qui utilise
les carrés parfaits pour chercher les diviseurs d’un entier naturel : C’est la méthode des
carrés parfaits.
Par cette méthode, non seulement nous donnons un nouveaux rôle aux carrés parfaits,
mais aussi et surtout, nous divisons les nombres entiers impairs en deux catégories :
a) Les nombres entiers impairs dont on calcule les diviseurs en utilisant des
carrés parfaits pairs: 5; 9; 13; 17; …
b) Les nombres entiers impairs dont on calcule les diviseurs en utilisant des
carrés parfaits impairs: 3; 7; 11; 15; 19; …
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Ainsi, les carrés parfaits jouent un nouveau rôle en Mathématiques.
Ce qui nous apporte quelques nouvelles connaissances en théorie des nombres.
Abstract: Where are several method for computing divisors of an integer n. But a new one
will not overflow the vase.
Then, in the present work, we want to saw an author method of computing divisors of an
integer n by using perfect squares: The perfect squares method.
By this method, we give a new role to perfect squares and divide integers into two part.
a) The set of integers for which we must use odd squares perfect for computing their
divisors
b) The set of integers for which we must use even squares perfect for computing their
divisors.
Therefore, we bring a new light in numbers theory.
Thus, perfect squares play a new role in Mathematics.
§1 : GENERALITES.
Lemme 1: Quels que soient les entiers naturels A et B, A – B et A + B sont de même parité.
Démonstration: En effet, on a A – B =A + B- 2B . Donc, 2divise A + B s’il divise A – B et
réciproquement.
D’où le lemme.
Lemme 2: Quelques soient les entiers naturels et , si le nombre naturel premier n divise
- , alors divise -
Démonstration : Supposons que n = 2; alors on a : - . Si maintenant 2
divise - , il divise ; ce qui signifie qu’au moins un des facteurs et
est pair. Ils sont alors tous pairs d’après le lemme 1. Donc - est divisible par 4.
Donc le théorème est vrai si n = 2.
Si n est un nombre premier supérieur à 2, il est impair ; et alors on a :
- +
( 1 )
Alors, n étant premier, il divise
si 1 < i < n; n divise donc
Alors, la relation ( 1 ) montre que n divise s’il divise - ; comme n est premier il divise
3
.
Donc si le nombre premier n divise - , il divise nécessairement .
En posant nous obtenons: Ce qui nous donne + +
+ … + +
… +
… .
+ + … +
…
. ( 2 )
Comme est divisible par n, la relation ( 2 ) montre que n divise + + … +
aussi.
Alors, étant donné que - = , ce que
nous venons de faire, montre que, si - est divisible par n, il est aussi divisible par
2
n
si n est
un nombre naturel premier supérieur à 2.
D’où le lemme.
Considérons le nombre naturel ; supposons qu’il soit divisible par l’entier x et que x ne dépasse pas
la partie entière de. On peut poser
, étant un entier naturel positif.
Alors on obtient : ( 1 )
Nous avons ainsi transformé le problème de la recherche d’un diviseur d’un entier naturel en la
résolution de l’ équation du second degré
En effet, la relation ( 1 ) est une équation du second degré dont l’inconnue x est un diviseur de
Evidement cette équation n’admet de solutions entières que si son discriminant
est un carré parfait.
Car, les solutions de cette équation s’obtiennent selon les relations :
et
( 2 ) .
En effet, si dans la relation ( 2 ), n’est pas un carré parfait, les solutions ne sont pas
des entiers naturels.
Si dans la relation ( 2 ) nous posons , nous obtenons:
= 1.
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Et
=
=
Donc on a le théorème suivant :
Théorème 1 : Un nombre entier naturel admet au moins un diviseur propre x, si et seulement s’il
existe un entier strictement inférieur à - 1 tel que soit un carré parfait.
Démonstration : La nécessité de la condition résulte de ce qu’on a dit plus haut.
Elle est aussi suffisante car, si est un carré parfait, en posant
, on obtient :
( 3 )
Comme , les nombres et sont pairs ou impairs en même temps. Donc les
nombres et sont pairs ; et alors, les nombres
sont des entiers qui
divisent d’après la relation (3). Ce qui montre que la condition est suffisante.
Montrons maintenant que
ne dépasse pas - 1. En effet,
Mais la relation . Ce qui nous donne
.
La relation ( 3 ) montre alors que se met sous la forme d’un produit d’entiers naturels tels
qu’au moins l’ un des facteurs est plus grand que lui; ce qui est impossible.
Donc .
Ce qui achève la démonstration du théorème.
Ainsi, on voit que les diviseurs propres de sont obtenus si et seulement si .
Nous illustrerons ce théorème par des exemples donnés sous forme de tableau.
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Exemple1: Pour =12, on a :
ou
0
0 + 48 = 48
6, 92
1
1 + 48 = 49
7
3x
ou x’ = 4
4
4 + 48 = 52
7, 21
9
9 + 48 = 57
7, 54
16
16 + 48 = 64
8
x = 2 ou x’ = 6
25
25 + 48 = 73
8, 54
36
36 + 48 = 84
8,16
49
49 + 48 = 97
9, 84
64
64 + 48 = 112
10, 58
81
81 + 48 = 129
11, 35
100
100 + 48 = 148
12, 16
121
121 + 48 = 169
13
x = 1 ou x’ = 12
Dans ce tableau, la première colonne contient les carrés parfaits de 0 à ( 12 - 1 )² = 11² = 121.
La deuxième contient les sommes quand varie ; et la troisième la racine carrée de
.
En fin, la dernière colonne contient les solutions en nombres entiers de l’équation du second degré
; c'est-à-dire, les diviseurs du nombre entier 12.
Le tableau suivant est établi de la même manière.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
/
16
100%
