Poly chapitre1 Proba2019

Probabilités
Troisième année
Abdelghani GHAZDALI
ENSA Khouribga
Université Sultan Moulay Slimane

Septembre 2018

Table des matières
1Introduction aux probabilités ................................... 5
1.1 Rappels de théorie des ensembles 5
1.2 Analyse combinatoire 8
1.2.1 Quelquesdéfinitions .............................................. 8
1.2.2 Arbrededénombrement .......................................... 8
1.2.3 Factorield’unnombre............................................. 9
1.2.4 Arrangements ................................................... 9
1.2.5 Permutations ................................................... 11
1.2.6 Combinaisons .................................................. 12
1.3 Notions de Probabilités 13
1.3.1 LangagedeProbabilités .......................................... 13
1.3.2 Opérationssurlesévénements ..................................... 14
1.3.3 Langage probabiliste des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Tribus ......................................................... 14
1.3.5 Espacesprobabilisables .......................................... 15
1.3.6 Définition et propriétés d’une Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.7 Équiprobabilité ................................................. 17
1.3.8 Indépendance ................................................. 17
1.3.9 Probabilitésconditionnelles........................................ 18
A. Ghazdali USMS-ENSAK

1. Introduction aux probabilités
Historiquement, le calcul des probabilités s’est développé à partir du XVIIe siècle autour des
problèmes de jeux dans des situations où le nombre de cas possibles est fini. Les développements
plus récents concernant des espaces non nécessairement finis nécessitent les outils techniques de la
théorie de la mesure. Mais on peut introduire simplement sur les espaces finis toutes les notions
importantes de probabilités sans avoir besoin de cet outillage.
1.1 Rappels de théorie des ensembles
Nous considérerons les ensembles comme des collections d’objets appelés les éléments de cet
ensemble. Les ensembles de nombres les plus classiques sont N l’ensemble des entiers naturels, Z
l’ensemble des entiers relatifs, R l’ensemble des nombres réels. Ces ensembles sont tous infinis,
c’est-à-dire contiennent une infinité d’éléments. Un ensemble qui ne contient qu’un nombre fini
d’éléments est dit fini. Lorsque ce nombre fini n’est pas trop grand, on représente parfois cet
ensemble en écrivant tous les éléments qu’il contient de la façon suivante :
{a,b,c}
il s’agit ici d’un ensemble contenant seulement les trois lettres a , b , c . Soit E un ensemble, si a est
un élément de E, on écrit a∈Equi se lit a appartient à E.
Si un ensemble E contient tous les éléments d’un ensemble F , on dit que F est inclus dans E , ce
qui est noté F⊂E.
(Bien noter la différence entre l’appartenance (qui relie un élément à un ensemble qui le contient)
et l’inclusion (qui relie deux ensembles).
Définition 1.1.1 — Ensemble.
Un ensemble est entièrement défini par les éléments qui le constituent.
Un ensemble peut être défini en donnant la liste exhaustive de ses éléments. On parle
alors de définition en extension.
On peut aussi définir un ensemble en indiquant une propriété que vérifient tous les élé-
ments de l’ensemble, et aucun autre. Une telle propriété est dite propriété caractéristique,
et elle permet une définition en compréhension de l’ensemble.
A. Ghazdali USMS-ENSAK