Poly chapitre1 Proba2019

Probabilités
Troisième année
Abdelghani GHAZDALI
ENSA Khouribga
Université Sultan Moulay Slimane
Septembre 2018
Table des matières
1
Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1
Rappels de théorie des ensembles
1.2
Analyse combinatoire
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
Quelques définitions . . . .
Arbre de dénombrement
Factoriel d’un nombre . . .
Arrangements . . . . . . . . .
Permutations . . . . . . . . . .
Combinaisons . . . . . . . . .
5
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1.3
Notions de Probabilités
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.3.6
Langage de Probabilités . . . . . . . . . . . . .
Opérations sur les événements . . . . . . . .
Langage probabiliste des événements . .
Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . .
Définition et propriétés d’une Probabilité
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1.3.7
1.3.8
1.3.9
Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A. Ghazdali
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USMS-ENSAK
1. Introduction aux probabilités
Historiquement, le calcul des probabilités s’est développé à partir du XVIIe siècle autour des
problèmes de jeux dans des situations où le nombre de cas possibles est fini. Les développements
plus récents concernant des espaces non nécessairement finis nécessitent les outils techniques de la
théorie de la mesure. Mais on peut introduire simplement sur les espaces finis toutes les notions
importantes de probabilités sans avoir besoin de cet outillage.
1.1
Rappels de théorie des ensembles
Nous considérerons les ensembles comme des collections d’objets appelés les éléments de cet
ensemble. Les ensembles de nombres les plus classiques sont N l’ensemble des entiers naturels, Z
l’ensemble des entiers relatifs, R l’ensemble des nombres réels. Ces ensembles sont tous infinis,
c’est-à-dire contiennent une infinité d’éléments. Un ensemble qui ne contient qu’un nombre fini
d’éléments est dit fini. Lorsque ce nombre fini n’est pas trop grand, on représente parfois cet
ensemble en écrivant tous les éléments qu’il contient de la façon suivante :
{a, b, c}
il s’agit ici d’un ensemble contenant seulement les trois lettres a, b, c. Soit E un ensemble, si a est
un élément de E, on écrit a ∈ E qui se lit a appartient à E.
Si un ensemble E contient tous les éléments d’un ensemble F, on dit que F est inclus dans E, ce
qui est noté F ⊂ E.
(Bien noter la différence entre l’appartenance (qui relie un élément à un ensemble qui le contient)
et l’inclusion (qui relie deux ensembles).
Définition 1.1.1 — Ensemble.
Un ensemble est entièrement défini par les éléments qui le constituent.
Un ensemble peut être défini en donnant la liste exhaustive de ses éléments. On parle
alors de définition en extension.
On peut aussi définir un ensemble en indiquant une propriété que vérifient tous les éléments de l’ensemble, et aucun autre. Une telle propriété est dite propriété caractéristique,
et elle permet une définition en compréhension de l’ensemble.
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
Chapitre 1. Introduction aux probabilités
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Définition 1.1.2
Deux ensembles E et F sont égaux si tout élément de l’un est élément de l’autre, autrement dit
si a ∈ E alors a ∈ F et si b ∈ F alors b ∈ E.
Définition 1.1.3 — Sous-ensemble.
On dit qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F si tout élément de E est un élément de
F. Dans ce cas, on dit que E est un sous-ensemble de F.
Définition 1.1.4
On appelle ensemble vide, l’ensemble ne contenant aucun élément. On le note 0.
/
Définition 1.1.5 — Ensemble des parties d’un ensemble.
Soit E un ensemble. On appelle l’ensemble des parties de E, l’ensemble noté P(E) dont les
éléments sont les sous-ensembles de E.
Exemple 1.1
Soit E l’ensemble à deux éléments : E = {a, b}. Alors E admet comme sous-ensembles 0,
/ {a},
{b} et E lui même. En effet, par la définition de l’inclusion, on a toujours E ⊂ E. Ainsi
P(E) = {0,
/ E, {a}, {b}}.
Si E contient 2 éléments, P(E) contient 4 éléments.
Proposition 1.1.1
Soit E un ensemble. Si A est un sous-ensemble de E, on a alors les relations
A⊂E
et
A ∈ P(E).
Il est clair que ces deux relations veulent dire la même chose.
Définition 1.1.6 — Cardinal d’un ensemble.
On dit que E est un ensemble dénombrable si on arrive à compter ses éléments. Le nombre
d’éléments de E est noté Card(E) ou |E|.
Définition 1.1.7 — Réunion de deux ensembles.
Soient E et F deux ensembles. On appelle réunion de E et F, l’ensemble noté E ∪ F et dont les
éléments appartiennent à E ou à F.
La notation E ∪ F se lit aussi E union F. Notons qu’un élément de E ∪ F peut appartenir à E et
à F. Cette opération réunion peut être considérer comme une opération dans l’ensemble des parties
P(E) d’un ensemble donné E. En effet si A et B sont des sous-ensembles de E, c’est-à-dire si A,
B ∈ P(E), alors A ∪ B est encore un sous-ensemble de E. Il est défini par
A ∪ B = {x ∈ E, tels que x ∈ A ou x ∈ B}.
Définition 1.1.8 — Intersection de deux ensembles.
Soient E et F deux ensembles. On appelle intersection de E et F, l’ensemble noté E ∩ F et dont
les éléments appartiennent à E et à F.
La notation E ∩ F se lit aussi E inter F. Cette opération intersection peut être considérer comme
une opération dans l’ensemble des parties P(E) d’un ensemble donné E. En effet si A et B sont des
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
1.1 Rappels de théorie des ensembles
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sous-ensembles de E, c’est-à-dire si A, B ∈ P(E), alors A ∩ B est encore un sous-ensemble de E. Il
est défini par
A ∩ B = {x ∈ E, tels que x ∈ A et x ∈ B}.
Définition 1.1.9 — Ensembles disjoints.
Deux ensembles E et F sont dits disjoints si
E ∩ F = 0.
/
Définition 1.1.10 — Différence de deux ensembles.
Soient E et F deux ensembles. On appelle différence (ensembliste) de E et F, l’ensemble noté
E\F et dont les éléments appartiennent à E et n’appartiennent pas à F.
La notation E\F se lit aussi E moins F. Cette opération différence peut être considérer comme
une opération dans l’ensemble des parties P(E) d’un ensemble donné E. En effet si A et B sont des
sous-ensembles de E, c’est-à-dire si A, B ∈ P(E), alors A\B est encore un sous-ensemble de E. Il
est défini par
A\B = {x ∈ E, tels que x ∈ A et x ∈
/ B}.
Définition 1.1.11 — Produit cartésien.
Soient E et F deux ensembles. On note E × F (on lit E croit F) ou produit cartésien, l’ensemble
des couples (x; y) où x ∈ E et y ∈ F.
E × F = {(x; y)/x ∈ E et y ∈ F}
Exemple 1.2
Soient E et F telque E = {1, 2, 3} et F = {5, 6, 7} alors on a le produit cartésien
E × F = {(1; 5), (1; 6), (1; 7), . . . , (3; 7)}
Plus généralement si E1 , . . . , En désigne n ensembles. On note E1 × E2 × · · · × En , l’ensemble
formé des n-uplets de la forme (x1 ; . . . ; xn ) avec xi ∈ Ei pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Si E1 = E2 = · · · = En = E alors
E1 × E2 × · · · × En = E n .
Définition 1.1.12 — Complémentaire d’un sous-ensemble.
Soit A un sous-ensemble d’un ensemble donné E. On appelle complémentaire de A dans E le
sous-ensemble de E noté A dont les éléments sont ceux de E qui n’appartiennent pas à A. Ainsi
A = {x ∈ E tels que x ∈
/ A}
On a donc les propriétés suivantes :
1. A ∩ A = 0,
/
2. A ∪ A = E.
On dit, dans ce cas que les sous-ensembles A et A forment une partition de E. On généralisera,
dans le paragraphe suivant, cette notion.
Définition 1.1.13 — Partition d’un ensemble.
Soit (Ai )i∈I une famille de sous-ensembles de E. On dit qu’elle forme une partition de E si
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
Chapitre 1. Introduction aux probabilités
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1. ∪ Ai = E,
i∈I
2. Ai ∩ A j = 0/ dés que i 6= j ∈ I.
Propriété 1.1.2
Soit E un ensemble fini et A et B deux sous-ensemble de E alors on a :
1. Card(A) ≤ Card(E)
2. Card(A) = Card(E) si A = U
3. Card(A ∪ B) = Card(A) +Card(B) −Card(A ∩ B)
4. Card(A × B) = Card(A) ×Card(B)
Propriété 1.1.3
Soient A, B, C ∈ P(E). Alors
1. A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A
2. A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
3. A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
4. A ∪ A = A ; A ∩ A = A.
Propriété 1.1.4 — Lois de Morgan.
Soient A, B deux sous-ensembles de E Alors
1. A ∪ B = A ∩ B,
2. A ∩ B = A ∪ B.
1.2
Analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment dénombrer des
objets. Elle fournit des méthodes utiles en théorie de probabilités.
1.2.1
Quelques définitions
Disposition sans répétition : c’est une disposition où un élément peut apparaître 0 ou 1 fois.
Disposition avec répétition : un élément peut figurer plus d’une fois.
Disposition ordonnée : l’ordre d’obtention d’un élément est important.
Ex. les éléments constituant la plaque minéralogique d’un véhicule.
Disposition non-ordonnée : l’ordre d’obtention d’un élément n’est pas important, on n’en
tient pas compte dans la caractérisation de la disposition.
Ex. Les numéros issus d’un tirage du loto.
1.2.2
Arbre de dénombrement
Définition 1.2.1
Lorsqu’une situation comporte p étapes offrant respectivement n1 , n2 , · · · , n p possibilités (où
chaque nk ne dépend que de l’étape k), le nombre total d’issues est n1 , n2 , · · · , n p . Une telle
situation peut être représentée par un arbre.
Exemple 1.3
Soit E = {1, 2, 3, 4}. Dénombrer tous les nombres formés de 3 chiffres distincts de E et commençant
par 1. Une solution est représentée par un triplet ordonné de 3 chiffres choisis parmi les chiffres
1, 2, 3 et 4 sachant que le 1er chiffre doit être le «1» et que tous les chiffres sont distincts. Ainsi
le triplet (1, 3, 2) signifie qu’on a choisi en 1er le «1», en second le «3» puis enfin le «2». Ce
triplet correspond au nombre 132. le nombre total des triplets est n1 × n2 × n3 = 1 × 3 × 2 = 6,
123,124,132,134,142,143, Pour trouver les 6 triplets possible on construit un arbre :
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
1.2 Analyse combinatoire
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F IGURE 1.1 – Arbre de dénombrement
1.2.3
Factoriel d’un nombre
Définition 1.2.2
Si une action peut être obtenue par de n1 façon différentes, puis suivant cette action, de n2 façon
différentes indépendantes des précédentes et ainsi de suite jusqu’à la dernière façon, alors le
n
nombre de possibilités correspondant à l’ensemble de ces actions est N = ∏ ni . On appelle
i=1
factorielle et on le note
n
n! = ∏ i
i=1
par convention on a 0! = 1.
Exemple 1.4
Le nombre de façon de placer 5 étudiants dans 5 places différentes est 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Proposition 1.2.1
n! = n × (n − 1)!
= n × (n − 1) × (n − 2)!
= n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 1
Cette propriété permet de couper la factorielle en n’importe quelle partie de son développement.
R
Dès que n dépasse la dizaine, n! se compte en millier ; Il est bon des fois d’utiliser la formule
d’approximation dites de Sterling :
n n √
2πn
n! =
e
avec π ' 3.14 et e ' 2.71.
1.2.4
Arrangements
Définition 1.2.3
Etant donné un ensemble E de n éléments, on appelle arrangement de p éléments toute disposition ordonnée de p éléments pris parmi les n éléments. Le nombre d’arrangements de p
éléments pris parmi n éléments est noté Anp .
R
On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n, p ∈ N∗ . Si n < p alors Anp = 0.
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
Chapitre 1. Introduction aux probabilités
10
Deux arrangements de p élément sont donc distincts s’ils différent par la nature des éléments qui
les composent ou par leur ordre dans la suite.
Définition 1.2.4 — Arrangements avec répétition.
Lorsqu’un élément peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre d’arrangements avec répétition (ou avec remise) de p éléments pris parmi n est alors
Anp = n p .
R
Explication : Pour le premier élément tiré, il y a n manières de ranger l’élément parmi n.
Pour le second élément tiré, il existe également n possibilités d’arrangements car le premier
élément fait de nouveau parti des n éléments Ainsi pour les p éléments tirés parmi n, il y aura
n × n × · · · × n (p fois) arrangements possible, soit Anp = n p . En effet on a n possibilités pour
|
{z
}
p f ois
chaque place.
Réaliser un arrangement avec répétition des éléments d’ensemble E, c’est aussi définir une
application d’un ensemble F à p éléments dans E à n éléments.
Exemple 1.5
Si on considère une urne qui contient 9 boules (3 rouges, 3 noires et 3 blanches). On tire 4 boules
avec remise de cette urne. Combien de nombres de tirage possible ?
Exemple 1.6
Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet, si on peut réutiliser
les lettres ?
Exemple 1.7
Un cadenas à numéros a trois roues ; chacune porte les numéros 0 à 9. Combien de "nombres"
secrets y a-t-il ?
Définition 1.2.5 — Arrangements sans répétition.
Lorsque chaque objet ne peut être observé qu’une seule fois dans un arrangements, le nombre
d’arrangements sans répétition (sans remise) de p éléments parmi n est alors
Anp =
R
n!
(n − p)!
avec
1 ≤ p ≤ n.
Explication : Pour le premier élément tiré, il y a n manières de ranger l’élément parmi n.
Pour le second élément tiré, il n’existe que n − 1 manières de ranger l’élément, car le premier
élément ne plus être pris en compte. Ainsi pour les p éléments tirés parmi n, si 1 ≤ p ≤ n il
aura :
Anp = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)
(n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1
= n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)
(n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1
n!
=
(n − p)!
Réaliser un arrangement sans répétition des éléments d’ensemble E, c’est déterminer un p uplet
(x1 , . . . , x p ) d’éléments de deux à deux distincts. C’est aussi définir une application injective d’un
ensemble F à p éléments dans E à n éléments.
Exemple 1.8
Si on considère une urne qui contient 9 boules (3 rouges, 3 noires et 3 blanches). On tire 4 boules
sans remise de cette urne. Combien de nombres de tirage possible ?
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
1.2 Analyse combinatoire
11
Exemple 1.9
Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet si on utilise chaque
lettre une seule fois ?
Exemple 1.10
Un cadenas à numéros a trois roues ; chacune porte les numéros 0 à 9. Chaque secret est composé
de trois numéros différents. Combien de "nombres" secrets y a-t-il ?
1.2.5
Permutations
Définition 1.2.6 — Permutation.
Une permutation est un rangement ordonné de n objets distinguables. C’est également une
bijection d’un ensemble de n éléments vers lui même.
Définition 1.2.7 — Permutations sans répétition.
Etant donné un ensemble E de n éléments ; on appelle permutation de n éléments distincts,
toutes suites ordonnées de n éléments. Le nombre de permutation de n éléments est noté Pn = n!.
R
La permutation sans répétition constitue un cas particulier d’arrangement lorsque n = p.
Ann =
n!
= n!.
(n − n)!
Réaliser une permutation sans répétition des éléments d’ensemble E, c’est réaliser un tirage
exhaustif sans remise des éléments de E en tenant compte de l’ordre du tirage. C’est aussi définir
une bijection de ensemble E sur lui-même.
Exemple 1.11
Combien de mots différents peut on écrire en permutant les lettres du mot "Yasine".
Exemple 1.12
Combien de nombres différents peut-on écrire avec les chiffres 3,4,5,0 ?
Exemple 1.13
Combien de permutations possibles des lettres A, B et C ?
Définition 1.2.8 — Permutations avec répétition.
Soit E un ensemble tel que Card(E) = n et soit n1 , n2 , . . . , nr des entiers naturels tels que
∑ri=1 ni = n. On appelle permutations avec répétition de E une disposition ordonnée de n
éléments. Parmi les n éléments on trouve n1 éléments de a1 , n2 éléments de a2 ,. . ., nr de
éléments ar .




(a1 , . . . , a1 ); (a2 , . . . , a2 ); . . . ; (ar , . . . , ar )
| {z }
| {z } | {z }
n1
n2
nr
Le nombre de permutations est
Pn1 ,n2 ,...,nr =
n!
.
n1 !n2 ! . . . nr !
Exemple 1.14
Combien de mots différents peut on écrire en permutant les lettres du mot "Yassine".
Exemple 1.15
Combien de nombres différents peut-on écrire avec les chiffres 3,4,5,0,3 ?
A. Ghazdali
USMS-ENSAK
Chapitre 1. Introduction aux probabilités
12
Exemple 1.16
Combien de permutations possibles des lettres A, B, B, B et C ?
Exemple 1.17
Combien de permutations possibles des lettres A, B, B, C et C ?
1.2.6
Combinaisons
Définition 1.2.9 — Combinaisons.
Etant donné un ensemble de n éléments ; on appelle combinaison de p éléments, tout sousensemble de p éléments non ordonné pris parmi les n éléments.
Définition 1.2.10 — Combinaisons sans répétition.
On appelle combinaison sans répétition de p éléments pris parmi n et sans remise d’un ensemble
E toute disposition non ordonnée de p éléments de E. Le nombre de combinaison est
Cnp =
Anp
n!
=
,
p!
p!(n − p)!
avec p ≤ n.
.
R
Explication : Pour une disposition ordonnée de p éléments parmi n sans répétition.
n!
Il y a Anp possibilités de tirer p élément parmi n en les ordonnant : Anp = (n−p)!
Une fois les p élément tirés, il y a p! manières de les ordonner.
p
Il y a donc Cnp = Ap!n manières de tirer p élément parmi n sans les ordonner.
Cnp = Nombre de combinaisons possibles
Nombre d’arrangements possibles
=
Nombre de permutations possibles dans cet arrangement
Anp
n!
=
=
.
p!
p!(n − p)!
Exemple 1.18
Combien de couleurs peut-on obtenir en mélangeant deux couleurs non identiques des trois couleurs :
Rouge, Bleu, Jaune ?
Exemple 1.19
Dans un jeu de 32 cartes, on tire 4 cartes au hasard. Combien de tirages possibles.
Exemple 1.20
Nombre de tirages du Loto. Les boules sont numérotées de 1 à 49. On tire 6 boules. Combien le
nombre de tirages possibles
Exemple 1.21
On tire au hasard trois billes d’un sac contenant une bille rouge (R), une bille bleue (B), une bille
jaune (J) et une bille verte (V). Déterminer le nombre de combinaisons possibles
Définition 1.2.11 — Combinaisons avec répétition.
On appelle combinaison avec répétition de p p éléments parmi n éléments avec répétition
(remise) d’un ensemble E toute disposition non ordonnée de p éléments, non nécessairement
distincts de E. Le nombre de combinaison est
p
Cn+p−1
=
A. Ghazdali
(n + p − 1)!
.
p!(n − 1)!
USMS-ENSAK
1.3 Notions de Probabilités
13
Exemple 1.22
Combien de combinaisons avec répétition à deux éléments de l’ensemble {1, 2, 3}
Exemple 1.23
On tire au hasard trois billes dans une urne qui contient une bille rouge, deux billes bleues distinctes
et quatre billes vertes distinctes. Déterminer le nombre de combinaisons possibles si on effectue les
tirages avec remise.
Exemple 1.24
Après développement et réduction combien de termes comportera (a + b + c)3 ?
1.3
Notions de Probabilités
1.3.1
Langage de Probabilités
Définition 1.3.1 — Expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire est une épreuve que l’on peut répéter plusieurs fois et telle que :
l’ensemble des résultats (issues) possibles est connu ;
on ne peut pas prévoir, par avance lequel de ces résultats sera réalisés.
Définition 1.3.2 — Univers.
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire constitue l’espace échantillon ou univers de l’expérience ou encore l’espace des observable ; on le note habituellement
Ω.
Exemple 1.25
No Expérience
1 Jeter un dé et relever le nombre qui est
sur sa face supérieure
2 Jeter une pièce de monnaie
3 Compter le nombre de personnes entrant dans un magasin entre 8h et 22h
4 Jeter un dé deux fois de suite
5 Jeter une pièce de monnaie trois de fois
de suite
6 Observer la durée de vie d’une ampoule
électrique
Ensemble de résultats possibles (Univers)
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ω = {pile,face} = {P, F}
Ω = {1, 2, 3, . . .} = N
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 5), (6, 6)}
Ω = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}
Ω = R+
Définition 1.3.3 — Evénement.
Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements. On distingue les événements
simples ou événements élémentaires qui sont constitués d’un seul élément (autrement dit, un
singleton) et des événements composés.
Exemple 1.26
Dans l’expérience No 1 de l’exemple 1.25 :
Soit ω ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω.
ω est appelé une réalisation ou une "épreuve".
Soit A = {2}, A ⊂ Ω est appelé un événement simple.
Soit B = { " le nombre obtenu est pair " } est appelé un événement composé.
B est réalisé ⇐⇒ ω ∈ {2, 4, 6}.
A. Ghazdali
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Chapitre 1. Introduction aux probabilités
14
Exemple 1.27 — Quelques exemples d’événements.
L’espace échantillon (univers) Ω est l’événement qui est toujours réalisé, "événement certain".
L’ensemble vide 0/ est l’événement qui n’est jamais réalisé "événement impossible".
Si A est un événement, alors A est un événement aussi.
Si A et B sont deux événements, alors A ∪ B est un événement aussi.
Si A et B sont deux événements, alors A ∩ B est un événement aussi.
1.3.2
Opérations sur les événements
Événement impossible : A = 0/ ;
Événement certain :A = Ω ;
Événement contraire :A = Ω \ A ;
Événements incompatibles :A ∩ B = 0/ ;
Réalisation simultanée de deux événements : A ∩ B ;
Réalisation d’un événement au moins : A ∪ B ;
Événement A \ B = A ∩ B = A \ (A ∩ B). Cet événement est caractérisé par la réalisation de A
et la non réalisation de B.
1.3.3
Langage probabiliste des événements
Soient A et B deux événements d’un ensemble Ω.
A chaque événement A correspond son événement contraire.
"Non A" est réalisé si et seulement A ne l’est pas.
ω ∈ "Non A " ⇐⇒ ω ∈
/ A ⇐⇒ ω ∈ A.
L’événement " A et B " est réalisé si et seulement si A et B sont réalisés au cours de la même
expérience.
ω ∈ " A et B " ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∈ B ⇐⇒ ω ∈ A ∩ B.
A et B sont incompatibles ou disjoints si et seulement si A et B ne peuvent être réalisés
simultanément, ce qui est équivalent à A ∩ B = 0.
/
L’événement " A ou B " est réalisé si et seulement si A est réalisé ou B est réalisé.
ω ∈ " A ou B " ⇐⇒ ω ∈ A ou ω ∈ B ⇐⇒ ω ∈ A ∪ B.
A \ B = A ∩ B = A \ (A ∩ B, A ∪ B = A ∪ (B \ A), A ∩ (B \ A) = 0.
/
On dit que " A implique B " si la réalisation de A entraîne la réalisation de B. On a :
ω ∈ A =⇒ A est réalisé =⇒ B est réalisé ⇐⇒ ω ∈ B donc A ⊂ B.
A = B ⇔ A ∪ B et B ⊂ A.
On arrive au point essentiel de définir la probabilité d’un événement A (A ⊂ Ω), qui doit
mesurer la chance que l’événement A à de se réaliser lors qu’on effectue une expérience.
La complicité de la définition dépend de celle de Ω : Ω fini ; Ω infini dénombrable où Ω infini non
dénombrable.
1.3.4
Tribus
A. Ghazdali
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1.3 Notions de Probabilités
15
Définition 1.3.4 — Tribus.
Soient Ω un ensemble et P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. On appelle tribu de Ω un sousensemble
T ⊂ P(Ω)
vérifiant les conditions suivantes :
1. Ω ∈ T ,
2. 0/ ∈ T ,
3. A ∈ T ⇒ A ∈ T ,
4. (An )n∈N ⊂ T ⇒ ∪ ∈ T .
n∈N
Les éléments d’une tribu T de Ω sont donc des sous-ensembles de E. La troisième condition
précise que si un sous-ensemble est dans la tribu T , son complémentaire également. Un cas
particulier de la condition (4) est de dire que si deux sous-ensembles A et B sont dans la tribu T ,
alors leur réunion A ∪ B est aussi dans T .
Exemple 1.28
Soit Ω un ensemble. Alors T = P(Ω) est une tribu de Ω.
Soit Ω un ensemble. Alors T = {Ω, 0}
/ est une tribu de Ω. C’est la plus petite tribu que l’on
puisse construire sur Ω. Elle est souvent appelée la tribu triviale.
Soit Ω = {a, b, c} un ensemble à trois éléments. Considérons le sous-ensemble de P(Ω)
T = {Ω, 0,
/ {a}, {b, c}}.
Alors T vérifie les conditions pour être une tribu de Ω.
Définition 1.3.5
Soit C ⊂ P(Ω) un ensemble (quelconque) de parties de Ω. On appelle tribu engendrée par C
l’intersection de toutes les tribus de Ω contenant C
C’est en fait la plus petite tribu de Ω contenant C. On la note T (C). Il est évident que si C est déjà
une tribu, alors T (C) = C.
Exemple 1.29
Soit Ω = {a, b, c} un ensemble et C = {a}. Alors
T (C) = {Ω, 0,
/ {a}, {b, c}}.
1.3.5
Espaces probabilisables
Définition 1.3.6
Un espace probabilisable est un couple (Ω, T ) où Ω est un ensemble, T une tribu sur Ω.
Exemple 1.30
L’espace (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable.
Définition 1.3.7 — Vocabulaire.
Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. Alors
Ω est appelé l’espace des épreuves.
Les éléments de la tribu T sont les événements.
Un élément ω ∈ Ω est appelé résultat. Si ω ∈ Ω est un élément d’un événement A ∈ T ,
A. Ghazdali
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on dit que A est réalisé.
Le tableau suivant cite quelques exemples de vocabulaire
notations
vocabulaire ensembliste
vocabulaire probabiliste
Ω
ensemble plein
espace des épreuves (événement certain)
0/
ensemble vide
événement impossible
ω
élément de Ω
événement élémentaire
A
sous-ensemble de Ω
événement
ω ∈A
ω appartient à A
ω réalise A
A⊂B
A inclus dans B
A implique B
A∪B
réunion de A et B
A ou B
A∩B
intersection de A et B
A et B
Ac ou A
complémentaire de A
événement contraire de A
A ∩ B = 0/
A et B disjoints
A et B incompatibles
Exemple 1.31
Considérons l’ensemble à deux éléments
Ω = {p, f }
Cet espace des épreuves peut, par exemple, correspondre aux résultats d’un lancer d’une pièce de
monnaie. Prenons
T = P(Ω) = {{p, f }, 0,
/ {p}, { f }}.
Considérons le résultat p. Alors les événements suivants sont réalisés :
Ω, {p}
Notons que l’événement est toujours réalisé, quel que soit le résultat ω ∈ Ω.
1.3.6
Définition et propriétés d’une Probabilité
Définition 1.3.8
Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. Une application
P : T 7→ [0, 1]
est appelée une probabilité sur cet espace si
1. P(Ω) = 1,
2. 0 ≤ P(A) ≤ 1, pour tout événement A ⊂ Ω
3. Pour tout familles fini ou dénombrable (Ai )i i ∈ I d’événements deux-à-deux disjoints
(incompatibles) (Ai ∩ A j = 0/ pour i 6= j) on a :
P( ∪ Ai ) =
i∈N
∑ P(Ai ).
i∈N
Propriété 1.3.1
Soit P une probabilité sur l’espace (Ω, T ). Alors
1. P(Ω) = ∑ P(ω) = 1
ω∈Ω
2. P(0)
/ = 0,
3. Pour tout A ∈ T , P(A) = ∑ P(ω)
ω∈A
4. Pour tout A ∈ T , P(A) = 1 − P(A)
5. Pour tout A, B ∈ T , P(A\B) = P(A) - P(A ∩ B),
6. Pour tout A, B ∈ T , si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B) ;
A. Ghazdali
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7. Si A, B ∈ T sont deux événements pas nécessairement incompatibles, alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Exemple 1.32
Soit Ω = {p, f }. On Considère la tribu T = P(Ω). L’application
P(Ω) 7→ [0, 1]
définie par
P({p}) =
1
= P({ f }), P(Ω) = 1, P(0).
/
2
est une probabilité sur cet espace.
Exemple 1.33
Soit Ω = {pp, p f , f p, f f }. On considère la tribu T = P(Ω). L’application P définie à partir de
P({pp}) = P({p f }) = P({ f p}) = P({ f f }) =
1
4
s’étend en une probabilité. Ceci signifie qu’il existe une unique loi de probabilité sur (Ω, T ) dont
la restriction aux événements élémentaires est donnée par la relations ci dessus. En particulier si
A = {pp, p f , f p} qui correspond à l’événement d’avoir au moins pile dans deux lancers d’une
pièce, alors P(A) = 34 .
Définition 1.3.9
On appelle espace probabilisé un triplet (Ω, T, P) où (Ω, T ) est un espace probabilisable et P
une probabilité sur (Ω, T ).
Définition 1.3.10 — Evénements négligeables.
Soit (Ω, T, P) un espace probabilisé. Un événement A ∈ T est dit négligeable si sa probabilité
est nulle :
P(A) = 0.
1.3.7
Équiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque Ω est fini, de cardinal n, et tous les événements simples
sont de même probabilité c’est à dire elles ont la même chance de se réaliser (équiprobables). Dans
ce cas :
1
1
P({ω}) = =
, ∀ω ∈ Ω
n Card(Ω)
où Card(Ω) est le nombre d’élément de Ω. La probabilité P sur Ω est dite uniforme. Si les
événements simples sont équiprobables, la probabilité de tout événement A est donnée par :
P(A) =
1.3.8
Card(A)
Nombre de cas favorables à A
=
.
Card(Ω)
Nombre de cas possibles
Indépendance
Définition 1.3.11 — Événements indépendants.
Soit (Ω, T, P) un espace probabilisé. Deux événement A, B ∈ T sont dits indépendant si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Cette notion d’indépendance est fondamentale pour la suite. Elle ne concerne que deux événements.
Pour trois (ou plus) événements, nous avons la définition suivante
A. Ghazdali
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Chapitre 1. Introduction aux probabilités
18
Définition 1.3.12
Soit (Ω, T, P) un espace probabilisé. Un ensemble d’événements A1 , A2 , . . . , An ∈ T est dit
totalement indépendant si pour tout sous-ensemble I ⊂ {1, 2, . . . , n}
P( ∩ Ai ) = ∏P(Ai ),
i∈I
i∈I
Les événements sont deux à deux indépendants si pour tous indices i, j (i 6= j),
P(Ai ∩ A j ) = P(Ai )P(A j ).
Exemple 1.34
On considère l’expérience relative à un lancer de deux dés. On a alors
Ω = {(1, 1), (1, 2), · · · , (1, 6), (2, 1), (2, 2), · · · , (2, 6), (6, 1), · · · , (6, 6)}
Cet ensemble fini contient donc 6 × 6 = 36 éléments. On considère les événements
A = { la somme des dés vaut 7 }
B = { le premier dé affiche 4 }
C = { le second dé affiche 3 }
Calculer P(A ∩ B), P(A ∩C), P(B ∩C) et P(A | B ∩C).
Que pensez-vous des deux définitions ? Sont-elles équivalentes ?
Théorème 1.3.2 — Critère d’indépendance.
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Théorème 1.3.3
Si A et B sont des événements indépendants, alors :
A et B sont des événements indépendants ;
A et B sont des événements indépendants ;
A et B sont des événements indépendants.
Exemple 1.35 Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on
considère les événements
A="tirage d’un nombre pair”,
B="tirage d’un multiple de 3”.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
1.3.9
Probabilités conditionnelles
Définition 1.3.13 — Probabilités conditionnelles.
Soient (Ω, T, P) un espace probabilisé et A, B ∈ T deux événement tels que P(B) 6= 0. On appelle
probabilité conditionnelle de l’événement A sachant B le rapport
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Il est clair que la probabilité conditionnelle de A sachant l’événement total Ω est égal à P(A).
De même si B est un événement tel que B ⊂ A, alors A ∩ B = B et P(A|B) = 1.
R
Si A et B sont tels que P(A) > 0, P(B) > 0 on peut écrire :
P(A | B) =
A. Ghazdali
P(A ∩ B)
=⇒ P(A ∩ B) = P(A | B).P(B).
P(B)
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1.3 Notions de Probabilités
19
De même :
P(B | A) =
P(A ∩ B)
=⇒ P(A ∩ B) = P(B | A).P(A).
P(A)
A : l’événement dont on cherche à prévoir la probabilité.
B : l’élément additionnel qui aide à prévoir la probabilité de A.
P(A) : c’est la probabilité à priori.
P(A | B) : probabilité à posteriori de A contenu de B.
P(B) : à calculer par la formule des probabilités totale.
P(B | A) : fiabilité informationnelle de B par rapport à A.
Exemple 1.36
On tire au hasard une carte parmi 10 (numérotées de 1 à 10).
soit S l’événement "le numéro tiré est multiple de 3 à condition qu’il soit supérieur ou égal à 7"
Exemple 1.37 Une urne contient 10 boules noires et 15 boules blanches. On effectue deux
tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l’urne (tirage sans remise). Quelle est
la probabilité d’obtenir une boule noire au premier tirage et une boule blanche au deuxième tirage ?
R
1. L’événement contraire de A | B est Ā | B.
2. Cas particulier si A ⊂ B alors P(A) ≤ P(B) et P(A ∩ B) = P(A) d’où
P(A | B) =
P(A ∩ B) P(A)
=
.
P(B)
P(B)
Théorème 1.3.4 — Le théorème de Bayes. Soient (Ω, T, P) un espace probabilisé et A, B ∈
T deux événement tels que P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0. Alors
P(A|B) =
P(B|A)P(A)
.
P(B)
On remarque que P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A), ainsi
P(A | B) =
P(B | A)P(A)
.
P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
Ce résultat se généralise de la façon suivante
Théorème 1.3.5 — Le théorème de Bayes généralisé.
Soient (Ω, T, P) un espace probabilisé et {A1 , · · · , Ak } une partition de Ω telle que chaque Ai ∈ T ,
i = 1, · · · , k, et P(Ai ) 6= 0. Alors, pour tout événement B de T on a :
P(Ai |B) =
P(B|Ai )P(Ai )
,
∑ P(B|A j )P(A j )
pour i = 1, 2, ..., k
j=1
Exemple 1.38
Chez une banque 20% des employés ont un diplôme en Finance ; parmi ceux-si ; 70% ont des postes
de cadre. Toute fois, parmi ceux qui n’ont pas de diplôme en finance ; 15% occupent un poste de
cadre. Si un cadre de cette banque est sélectionné au hasard ; quelle est la probabilité qu’il soit un
diplômé de finance ?
A. Ghazdali
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20
Chapitre 1. Introduction aux probabilités
Exemple 1.39
Soient deux cages remplies de lapins. La première C1 contient dix 10 lapins gris et trente 30 blancs ;
la seconde C2 contient vingt 20 de chaque. On tire sans préférence particulière une des deux cages
au hasard et dans cette cage, on tire un lapin au hasard. Le lapin est blanc. Quelle est la probabilité
qu’on ait tiré ce lapin de la première cage ?
A. Ghazdali
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