Cours de résistance des matériaux 2

REPUBLIQUE TUNISIENNE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la recherche
Scientifique
Direction Générale des Etudes Technologiques
Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Gafsa
Département de Génie Civil
COURS DE RESISTANCE
DES MATERIAUX -2-
Najet BENAMARA
&
Ali MOUSSAOUI
A.U: 2013/2014
Révision : 2018/2019
.
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
SOMMAIRE
SOMMAIRE ............................................................................................................................................... I
LISTE DES FIGURES .................................................................................................................................. III
LISTE DES TABLEAUX ............................................................................................................................... IV
INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 1
CHAPITRE 1 : GENERALITES ...................................................................................................................... 2
1.1
NOTION DES POUTRES ............................................................................................................................ 2
1.2
NOTION DES CHARGES ............................................................................................................................ 3
1.3
NOTION DES APPUIS .............................................................................................................................. 4
1.4
NOTION DES REPERES ............................................................................................................................ 5
1.5
NOTION DE LA COUPE OU ELEMENTS DE REDUCTION...................................................................................... 6
1.6
LES ETAPES DE RESOLUTION D’UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE .......................................................................... 9
1.7
APPLICATIONS ..................................................................................................................................... 10
CHAPITRE 2 : DEFORMATIONS DES SYSTEMES ISOSTATIQUES ................................................................15
2.1
INTRODUCTION ................................................................................................................................... 15
2.2
CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LA METHODE D’INTEGRATION .................................................................... 15
2.3
CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES METHODES ENERGETIQUES................................................................... 19
2.4
CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES FORMULES DE NAVIER -BRESSE............................................................. 29
2.5
CALCUL DES DEFORMATIONS PAR TABLE DE MHOR ...................................................................................... 30
2.6
APPLICATIONS..................................................................................................................................... 30
CHAPITRE 3: INTRODUCTION AUX SYSTEMES HYPERSTATIQUES.............................................................36
3.1
DEFINITIONS ....................................................................................................................................... 36
3.2
DEGRE D'HYPERSTATICITE ...................................................................................................................... 36
3.3
APPLICATION....................................................................................................................................... 38
CHAPITRE 4 :
RESOLUTION DES SYSTEMES HYPERSTATIQUES PAR LA METHODE DES FORCES .............40
4.1
INTRODUCTION : PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES .............................................................................. 40
4.2
LES STRUCTURES ISOSTATIQUES EQUIVALENTES.......................................................................................... 40
4.3
PRINCIPE DE SUPERPOSITION .................................................................................................................. 41
4.4
PRINCIPE DE PROPORTIONNALITE ............................................................................................................ 42
4.5
PRINCIPE DE COMPATIBILITE DES DEFORMATIONS ....................................................................................... 43
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
i
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
4.6
DETERMINATION DES DEFORMATIONS ΔIJ ................................................................................................. 45
4.7
LES ETAPES DE LA METHODE DES FORCES .................................................................................................. 46
4.8
APPLICATIONS..................................................................................................................................... 46
CHAPITRE 5 : REOLUTION DES POUTRES CONTINUES PAR LA METHODE DES TROIS MOMENTS .............60
5.1
INTRODUCTION ................................................................................................................................... 60
5.2
DEFINITIONS ....................................................................................................................................... 60
5.3
DEGRE D’HYPERSTATICITE D’UNE POUTRE CONTINUE................................................................................. 61
5.4
THEOREME DES TROIS MOMENTS OU DE CLAPEYRON................................................................................ 61
5.5
EXPRESSIONS DU MOMENT FLECHISSANT, EFFORT TRANCHANT ET REACTIONS D’APPUIS ..................................... 63
5.6
LES ETAPES DE LA METHODE DES TROIS MOMENTS ...................................................................................... 64
5.7
APPLICATIONS..................................................................................................................................... 65
CHAPITRE 6 : LIGNES D’INFLUENCE .........................................................................................................76
6.1
DEFINITION DES LIGNES D’INFLUENCES ..................................................................................................... 76
6.2
LES LIGNES D’INFLUENCES D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE .............................................................................. 76
6.3
LES REPRESENTATIONS DES LIGNES D’INFLUENCES....................................................................................... 77
6.4
LECTURE D’UNE LIGNE D’INFLUENCE ........................................................................................................ 79
6.5
UTILISATION DE LA LIGNE D’INFLUENCE .................................................................................................... 80
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ...........................................................................................................81
ANNEXE ..................................................................................................................................................82
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
ii
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
LISTE DES FIGURES
Figure 1-1: Schématisation d’une poutre........................................................................................ 2
Figure 1-2 : Section transversale d’une poutre ............................................................................... 2
Figure 1-3: Schématisation d’appui simple ..................................................................................... 4
Figure 1-4: Schématisation d’articulation ....................................................................................... 5
Figure 1-5: Schématisation de l’encastrement ............................................................................... 5
Figure 1-6: Schématisation d’appui élastique. ................................................................................ 5
Figure 1-7: Repère global et repères locaux ................................................................................... 6
Figure 1-8 : Schéma d’une poutre chargée ..................................................................................... 7
Figure 1-9 : Eléments de réduction (N, V et M) .............................................................................. 7
Figure 1-10 : Relation entre q, V et M ............................................................................................. 8
Figure 1-11 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.1) ........................................................... 10
Figure 1-12 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.1) ...................................... 11
Figure 1-13 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.2) ........................................................... 11
Figure 1-14 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.2) ...................................... 12
Figure 1-15 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.3) ........................................................... 12
Figure 1-17 : Schéma statique de demi-portique (exercice 1.4) ................................................... 13
Figure 1-16 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.3) ...................................... 13
Figure 1-18: Les diagrammes des efforts internes de demi-portique (exercice 1.4) .................... 14
Figure 2-1: schéma de déflexion ................................................................................................... 17
Figure 2-2 : schéma statique de la poutre (exemple 2.1) ............................................................. 18
Figure 2-3 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle (exemple 2.2) ..................................... 22
Figure 2-4 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle et couple C (exemple 2.2) .................. 23
Figure 2-5 : schéma statique de la poutre (exemple 2.3) ............................................................. 24
Figure 2-6 : schéma statique de la poutre (exemple 2.4) ............................................................. 26
Figure 2-7: schéma du principe de réciprocité ............................................................................. 28
Figure 2-8: schéma statique de la poutre (exemple 2.5) .............................................................. 29
Figure 2-9: schéma statique de la poutre (exercice 2.1)............................................................... 30
Figure 2-10: Réactions des appuis (exercice 2.1) .......................................................................... 31
Figure 2-11: schéma statique de système virtuel (exercice 2.1) .................................................. 31
Figure 2-12 : schéma statique du principe de Castigliano (exercice 2.1) ..................................... 32
Figure 2-13 : schéma statique de la poutre (exercice 2.2) ............................................................ 32
Figure 2-14 : Réactions des appuis (exercice 2.2) ......................................................................... 33
Figure 2-15 : schéma statique du système virtuel (exercice 2.2) ................................................. 34
Figure 3-1 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des structures planes ..................... 37
Figure 3-2 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des treillis ....................................... 38
Figure 4-1 : Exemple 1 d’une structure isostatique équivalente .................................................. 40
Figure 4-2 : Exemple 2 d’une structure isostatique équivalente .................................................. 41
Figure 4-3 : Décomposition de la structure isostatique équivalente par le principe de
superposition................................................................................................................................. 42
Figure 4-4 : Décomposition de la structure isostatique équivalente selon le principe de
proportionnalité ............................................................................................................................ 43
Figure 4-5 : déplacements sens X1 ................................................................................................ 44
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
iii
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Figure 4-6 : déplacements sens X2 ................................................................................................ 44
Figure 4-7 : déplacements sens X3 ................................................................................................ 44
Figure 4-8 : schéma statique de structure (S) (exercice 4.1) ........................................................ 46
Figure 4-9 : structures isostatiques équivalentes à (S) (exercice 4.1)........................................... 47
Figure 4-10 : principe de superposition (exercice 4.1).................................................................. 47
Figure 4-11 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.1) ...................................................... 49
Figure 4-12 : schéma statique de la structure (ABC) (exercice 4.2) .............................................. 49
Figure 4-13 : structures isostatiques équivalentes à (ABC) (exercice 4.2) .................................... 50
Figure 4-14 : principe de superposition (exercice 4.2).................................................................. 50
Figure 4-15 : diagrammes des Mi (exercice 4.2) .......................................................................... 52
Figure 4-16 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.2)................................... 53
Figure 4-17 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.2) ...................................................... 54
Figure 4-18 : schéma statique de la structure (S) (exercice 4.3) ................................................... 55
Figure 4-19 : structure isostatique équivalente à (S) (exercice 4.3) ............................................. 55
Figure 4-20 : principe de superposition (exercice 4.3).................................................................. 56
Figure 4-21 : diagrammes des Mi (exercice 4.3) ........................................................................... 57
Figure 4-22 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.3)................................... 58
Figure 4-23 : schéma de détermination des efforts normaux dans les barres (exercice 4.3) ...... 59
Figure 4-24 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.3) ...................................................... 59
Figure 5-1 : schéma statique de la poutre continue ..................................................................... 60
Figure 5-2 : Schéma statique de deux travées successives d’une poutre continue ..................... 62
Figure 5-3 : Décomposition de la poutre continue en travées indépendantes ............................ 64
Figure 5-4 : Schéma statique de (S) (exercice 5.1) ........................................................................ 65
Figure 5-5 : Schéma statique de la poutre ABC (exercice 5.2) ...................................................... 67
Figure 5-6 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABC (exercice 5.2) ...................... 70
Figure 5-7 : Schéma statique de la poutre ABCD (exercice 5.3) ................................................... 71
Figure 5-8 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABCD (exercice 5.3) ................... 75
Figure 6-1 : Schéma statique de la poutre isostatique ................................................................. 76
Figure 6-2 : Les lignes d’influence d’une poutre isostatique ........................................................ 78
Figure 6-3 : la lecture de ligne d’influence pour une charge uniformément répartie .................. 79
Figure 6-4 : ligne d’influence de moment fléchissant à L/2 .......................................................... 79
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 4-1 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents (exercice 4.2) ............ 51
Tableau 4-2 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents ................................... 56
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
iv
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
INTRODUCTION
La résistance des matériaux est une discipline importante et indispensable
pour la
conception, le calcul, le dimensionnement et la vérification des structures de génie civil. Dans ce
contexte, un étudiant de cette spécialité doit apprendre à maitriser et résoudre manuellement
les problèmes des structures simples, malgré la diversité des programmes de calcul qui sont de
plus en plus perfectionnés.
Ce cours est destiné aux étudiants de deuxième année génie civil des instituts supérieurs
des études technologiques (ISET). Il comporte des parties diverses; Après avoir rappelé certaines
connaissances d'ordre générales et présenter les conventions qu’on adoptera dans ce cours, on
expose les méthodes de calcul des déformations des systèmes isostatiques. On introduit,
ensuite, les structures hyperstatiques avec une présentation des méthodes de calcul de leurs
degrés d’hyperstaticité. On développe, dans une autre partie, les méthodes de résolution des
structures hyperstatiques (méthode des forces, méthode des trois moments). Finalement, on
introduit la notion de charge mobile et donc une présentation de calcul des lignes d'influences
des structures isostatiques qui sera donnée par la suite.
Pour comprendre ce cours, l’étudiant doit maitriser :

les éléments mathématiques suivants: fonctions primitives, fonctions dérivées,
notion des matrices…

les notions de la mécanique statique.

les notions de la résistance des matériaux 1.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
1
Cours de Resistance Des Matériaux 2
1
A.U: 2013/2014
CHAPITRE 1 : GENERALITES
Dans ce chapitre on rappellera des notions vues ultérieurement et qui
seront utiles dans ce cours.
1.1 NOTION DES POUTRES
Une poutre est un solide dont une dimension est très grande par rapport aux deux
autres : généralement sa longueur est très grande par rapport aux dimensions de la section
droite S.
S
S0
Figure 1-1: Schématisation d’une poutre
Les poutres sont associées, entre elles ou à d'autres types d'éléments pour constituer
des systèmes ou structures, Une structure simple peut-être assimilée à une poutre.
Une poutre est engendrée par une section transversale plane (S) dont le centre de
gravité décrit une courbe G0G1. Le plan π contenant S reste normal à la courbe G0G1 (Figure
1.2).
S(s)
⃗⃗⃗ (𝑠)
𝑛
G1
G0
Plan ∏
Figure 1-2 : Section transversale d’une poutre
On note:






s : abscisse curviligne ;
G0G1 : ligne moyenne (fibre moyenne) ;
∏: plan de la section droite S(s) ;
S(s) : section droite (plane, perpendiculaire à la ligne moyenne) ;
G(s):centre de gravité de la section S(s) ;
n(s) : la normale à la section droite ;
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
2
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Si la fibre moyenne est plane, la poutre est dite plane (G0G1 Є plan) ;
Si la fibre moyenne est rectiligne, la poutre est dite droite (G0G1 = droite) ;
Si la fibre moyenne est plane et la section droite admet ce plan comme plan de symétrie, la
poutre est dite à plan moyen.
Si la section S est constante sur toute la poutre, dans ce cas la poutre est dite à section
constante ou poutre prismatique.
Dans ce cours on se limitera au cas des structures planes composées des tronçons des
poutres droites et prismatiques.
1.2 NOTION DES CHARGES
On appelle charge, toute action sollicitant une structure, généralement représentée
sous forme d'une force. On cite les types de charges suivantes :
1.2.1 Charges permanentes
Ces charges sont dites également fixes ou invariables, elles sont dues au poids propre
des divers éléments de la construction, qu'ils soient porteurs ou non, tels que : dalles, murs
revêtements etc…
1.2.2 Charges variables ou d'exploitation
Ces charges sont dites aussi charges utiles ou vives, Elles regroupent l'ensemble des
actions qui peuvent envahir la construction en fonction de sa destination, telles que meubles
personnes, machines etc…
1.2.3 Charges sous forme d'actions indirectes
Ce sont les charges qui ne peuvent se concrétiser sous forme de forces mais font
néanmoins naître des efforts internes dans une structure. Parmi ces charges on cite les
tassements différentiels, les dilatations et contractions forcées causées par des gradients
thermiques, retrait ou fluage des matériaux, frottement des appareils d'appui etc...
1.2.4 Charges dynamiques
Ce sont des charges qui entrent en interactions avec les oscillations possibles de la
construction (vent, séisme, machines, explosion, salle de danse) etc…
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
3
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
1.2.5 Charges exceptionnelles
Ce sont des actions spéciales, improbables mais possibles telles que chocs du aux
véhicules, navires grues, chute de rochers, déraillement de véhicules ferroviaires,
développement incontrôlé d'incendie, tornade etc…
1.2.6 Charges dues au vent
L'action du vent sur les constructions résulte de l'écoulement plus ou moins entravé de
la masse d'air autour et aux bords des constructions. Le vent produit :
-
des actions statiques qui se traduisent en forces globales agissant sur l'ensemble de la
construction ;
-
pressions et dépressions locales s'exerçant sur les parois de la construction ;
-
Pour les constructions souples, des actions dynamiques qui se manifestent par des
d’oscillations partielles ou totales de la construction.
1.3 NOTION DES APPUIS
Les constructions reposent sur leurs fondations par l'intermédiaire des dispositifs
spéciaux appelés appuis. Leur but principal est de prévenir le mouvement d'ensemble de la
structure pour garantir leur équilibre. Au niveau des appuis apparaissent des réactions qui
réagissent à l'action des forces appliquées.
La classification des appuis se fait d'après le nombre de degrés de liberté (ddl) c'est-àdire les possibilités de mouvement qu'ils laissent au système et d'après la nature des réactions
qu'ils peuvent exercer.
Pour les structures planes on cite ces quatre types d’appuis :
1.3.1 Appui simple
Le rôle essentiel de l’appui simple est de permettre la libre dilatation du système. Il
impose un seul blocage de translation, laissant libre, les autres degrés de liberté. La réaction
d'appui agit suivant la ligne d'action du blocage.
Figure 1-3: Schématisation d’appui simple
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
4
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
1.3.2 Articulation ou appui double
L’articulation s'oppose à toute translation du point d'appui, mais laisse au système une
libre rotation autour de ce point.
Figure 1-4: Schématisation d’articulation
Figure 1.10
1.3.3 Encastrement
L’encastrement ne permet aucun degré de liberté. La réaction d’appui a trois
composantes dans ce cas.
Figure 1-5: Schématisation de l’encastrement
Figure 1.10
1.3.4 Appui déformable (appui élastique)
C’est un appui qui peut subir des déformations dans la direction d’une composante de
réaction (exemple sol compressible). Si le déplacement est proportionnel à la réaction, l’appui
déformable est dit élastique.
Figure 1-6: Schématisation d’appui élastique.
Figure 1.10
1.4 NOTION DES REPERES
Dans ce cours on se limitera aux cas des structures planes composées des tronçons des
barres droites.
On fixe un repère OXYZ (ou repère statique) pour repérer le plan de la structure, c’est le repère
global fixe. Ensuite chaque tronçon (ou travée) AiAj de la poutre sera nommé et affecté d’un
repère local dont le système d’axes est choisi comme suit :
- Origine Ai (extrémité gauche) ;
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
5
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
- l’axe des x est tangent à la fibre moyenne ;
- l’axe des y fait un angle (+ /2) avec l’axe des x ;
- l’axe des z est défini pour compléter le système orthonormé Aixyz.
Aixyz est un repère local mobile.
Pour une section droite le système d’axes est centré en G. L’axe Gx est tangent à la fibre
moyenne, l’axe Gy est tel que l’angle (Gx, Gy) vaut + /2 et l’axe Gz est défini pour compléter le
système orthonormé Gxyz.
y
x
y
Y
y
x
X
O
x
x
x
y
x
y
y
Repère global
Structure 1
Structure 2
yy
La fibre moyenne
y
G
z
x

Section droite
Figure 1-7: Repère global et repères locaux
1.5 NOTION DE LA COUPE OU ELEMENTS DE REDUCTION
On considère la poutre chargée représentée par la figure 1-8. Celle-ci est en équilibre
sous l'action des charges extérieures et des réactions (supposées connues). Chaque partie de la
poutre se trouve également en équilibre.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
6
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
y
S
x
y

x
z
Figure 1-8 : Schéma d’une poutre chargée
z
On pratique une coupe fictive dans la poutre suivant le plan vertical [yz], de manière à
avoir deux tronçons.
y
M
M
N
N
V
x
V
Figure 1-9 : Eléments de réduction (N, V et M)
Figure 1.8
On s’intéresse au tronçon à gauche (par exemple) ; celui-ci est en équilibre sous l'action
des sollicitations qui lui sont appliquées : composantes de réaction de l'appui A et de
composantes de l'action du tronçon à droite supprimé.
Les composantes de l’action du tronçon à droite sur le tronçon à gauche (ou
inversement) sont appelés efforts internes ou encore éléments de réduction.
1.5.1 Effort normal
L’effort normal N dans la section (S) est égal à la somme algébrique des projections sur
l'axe des x de toutes les forces (charges extérieures et réactions d'appui), agissant sur le
tronçon à gauche de (S).
𝑵 = ∑ 𝐅𝐱
Un effort normal exerçant une traction sur la section étudiée sera considéré comme
positif.
1.5.2 Effort tranchant
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
7
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
L'effort tranchant V dans la section (S) est égal à la somme algébrique des projections
sur l'axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre située à droite de la
section (S).
𝐕 = ∑ 𝐅y
On considérera un effort tranchant comme positif s'il a tendance à faire tourner la
section (S) dans le sens horaire.
1.5.3 Moment fléchissant
Le moment fléchissant M dans la section (S) est égal à la somme algébrique des
moments créés dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronçon à droite
de (S).
𝑴 = ∑ 𝑪 + ∑ 𝑭y. 𝒅
Où,
C représente un couple concentré ;
d le bras de levier de la composante transversale de la force F.
Un moment fléchissant qui provoque des tractions dans les fibres inférieures d'une
poutre horizontale sera considéré positif.
1.5.4 Relations différentielles entre q, V et M
q(x)
q.dx
y
M
x
M + dM
G0
G1
V
V+dV
x dx
Figure 1-10 : Relation entre q, V et M
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
Figure 1.8
8
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Sur le tronçon dx, les grandeurs V et M subissent les variations dV et dM, l'équilibre du
tronçon est régi par les équations de la statique :
∑ 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑉 − 𝑞𝑑𝑥 − 𝑉 − 𝑑𝑉 = 0 ⟹ 𝑞 = −
∑ 𝑀/𝐺1 = 0 ⟹ −𝑀 − 𝑉𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥
𝑞= −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑀
+ 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0 ⟹ 𝑉 =
2
𝑑𝑥
𝑑𝑉
𝑑𝑀
𝑑2𝑀
𝑒𝑡 𝑉 =
⟹𝑞=−
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
Pour faciliter la construction et le contrôle des diagrammes de l’effort tranchant V et du
moment fléchissant M. On peut en citer ces relations qui permettent de tirer quelques
renseignements :
 L'effort tranchant est la tangente de l'angle formé par la tangente au diagramme de
moment fléchissant M au niveau de la section considérée et l'axe longitudinal de la poutre ;
 La valeur absolue de la charge répartie représente la tangente de l'angle formé par la
tangente au diagramme de V et l'axe longitudinal de la poutre ;
 Lorsque l’effort tranchant V est nul, le moment fléchissant M a une valeur extrémale ;
 Lorsque l’effort tranchant V passe de façon discontinue par la valeur zéro, le diagramme
du moment fléchissant M perd son allure monotone ;
 Lorsque V subit un saut mais sans passer par zéro, le diagramme du moment fléchissant M
présente un point anguleux (M change de pente) ;
 La variation du moment fléchissant M sur un tronçon donné est égale à l'aire du
diagramme de V sur ce tronçon ;
 La concavité du diagramme de M est tournée dans le même sens que la charge q ;
 Le diagramme de l’effort tranchant V doit se refermer (en partant de l'extrémité gauche).
Ce corollaire exprime la nullité de la résultante des forces et permet en même temps de
retrouver les forces localisées ;
 Le diagramme du moment fléchissant M d'un système symétrique (géométrie et
chargement) est symétrique tandis que celui de l’effort tranchant V est antisymétrique.
1.6 LES ETAPES DE RESOLUTION D’UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE
1- Repérer la structure : le repère global et les repères locaux pour
chaque barre.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
9
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
2- Calculer les réactions d'appuis dans un repère global.
Pour chaque tronçon (ou barre)
3- Déterminer le nombre de coupes à effectuer et délimiter la barre en
sections ;
4- Représenter la partie gauche (ou droite) de la structure coupée sous
l’actions de la partie droite (ou gauche) et les réactions d’appuis;
5- Résoudre les équations d'équilibre pour chaque coupe afin de
déterminer les expressions de N, V et M en tout point de la barre ;
6- Calculer les valeurs aux limites de chaque section ;
7- Tracer les diagrammes de N, V et M à partir des équations trouvées et
des conditions aux limites.
1.7 APPLICATIONS
Déterminer, pour chacun des exercices ci dessous, les efforts internes (M, V, N) et tracer
leurs diagrammes.
EXERCICE 1.1
y
q
x
L
B
A
Figure 1-11 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.1)
REPONSE
Les réactions d’appuis
D’après le principe fondamental de la statique (PFS) on a :
HA = 0 et R A = R B =
qL
2
Les efforts internes
Pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
L’effort normal : 𝑁(𝑥) = 0
L’effort tranchant : 𝑉(𝑥) =
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
𝑞𝐿
2
− 𝑞𝑥
10
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) =
𝑞𝐿
2
𝑞
𝑥 − 𝑥2
2
Traçage des diagrammes
Coupe pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
Diagrammes
N(x)
M(x)
q
x
V(x)
N(x)
𝑞𝐿
2
Ax
𝑥=
𝐿
2
x
𝑞𝐿
−
2
V(x)
x
M(x)
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝑞𝐿2
8
Figure 1-12 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.1)
EXERCICE 1.2
P
y
x
a
A
b
B
L
Figure 1-13 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.2)
REPONSE
q
Les réactions d’appuis
D’après le principe fondamental de la statique (PFS) on a :
𝐻𝐴 = 0
𝑅𝐴 =
𝑃∗𝑏
𝐿
𝑒𝑡
𝑅𝐵 =
𝑃∗𝑎
𝐿
Les efforts internes
Pour 𝑥 ∈ [0, 𝑎]
L’effort normal : 𝑁(𝑥) = 0
L’effort tranchant : 𝑉(𝑥) =
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
𝑃∗𝑏
𝐿
11
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) =
𝑃∗𝑏
𝐿
𝑥
Pour 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑙]
L’effort normal : 𝑁(𝑥) = 0
L’effort tranchant : 𝑉(𝑥) = −
𝑃∗𝑎
𝐿
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) =
𝑃∗𝑎
𝐿
(𝐿 − 𝑥)
Traçage des diagrammes
Coupe 1 pour 𝑥 ∈ [0, 𝑎]
Diagrammes
N(x)
M(x)
x
N(x)
V(x)
𝑃𝑏
𝐿
x
A
V(x)
x
a
Coupe 2 pour 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑙]
−
M(x)
𝑃𝑎
𝐿
x
N(x)
L-x
M(x)
B
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
V(x)
𝑃𝑎𝑏
𝐿
Figure 1-14 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.2)
EXERCICE 1.3
P
y
x
A
B
L
Figure 1-15 : Schéma statique de la poutre (exercice 1.3)
REPONSE
q
Les réactions d’appuis
D’après le principe fondamental de la statique (PFS) on a :
𝐻𝐴 = 0
𝑅𝐴 = 𝑃
𝑒𝑡
𝑀𝐴 = −𝑃 ∗ 𝐿
Les efforts internes :
Pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
L’effort normal :
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
𝑁(𝑥) = 0
12
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
𝑉(𝑥) = 𝑃
L’effort tranchant :
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) = −𝑃(𝐿 − 𝑥)
Traçage des diagrammes
Coupe pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
Diagrammes
N(x)
x
MA
V(x)
M(x)
HA
𝑃
N(x)
A
x
x
𝑀𝑚𝑎𝑥 = −𝑃 ∗ 𝐿
V(x)
RA
x
M(x)
Figure 1-16 : Les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.3)
EXERCICE 1.4
L, EI
q
C
L, EI
B
A
Figure 1-17 : Schéma statique de demi-portique (exercice 1.4)
REPONSE
Les réactions d’appuis
D’après le principe fondamental de la statique (PFS) on a :
𝐻𝐴 = 0
𝑒t
𝑅𝐴 = 𝑅𝐶 = 𝑞𝐿/2
Les efforts internes
Barre AB pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
L’effort normal :
𝑁(𝑥) = −𝑞𝐿/2
L’effort tranchant :
𝑉(𝑥) = 0
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
13
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) = 0
Barre BC pour 𝑥 ∈ [0, 𝐿]
L’effort normal :
𝑁(𝑥) = 0
L’effort tranchant :
𝑉(𝑥) = −𝑞𝑥 + 𝑞𝐿/2
Le moment fléchissant : 𝑀(𝑥) = 𝑞(𝐿 − 𝑥)𝑥/2
Traçage des diagrammes
qL/2
C
B
C
B
L/2
qL²/8
-qL/2
A
A
C
B
A
-qL/2
Diagramme de M
Diagramme de V
Diagramme de N
Figure 1-18: Les diagrammes des efforts internes de demi-portique (exercice 1.4)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
14
Cours de Resistance Des Matériaux 2
2
A.U: 2013/2014
CHAPITRE 2 : DEFORMATIONS DES SYSTEMES ISOSTATIQUES
Dans ce chapitre on présentera les déformations qui peuvent
apparaitre dans une section d’une structure isostatique, puis on traitera les
méthodes de calcul de celles-ci.
2.1 INTRODUCTION
Une structure plane chargée, constituée des poutres à plan moyen prismatiques, se
déforme.
Si on considère le repère Gxyz comme repère local, chaque point M de la structure aura :
Un déplacement suivant l’axe (Gx) noté ‘’u’’ ;
Un déplacement suivant l’axe (Gy) noté ‘’v’’ : la flèche ;
Une rotation de la section droite autour de l’axe (Gz) noté ‘’’’.
2.2 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LA METHODE D’INTEGRATION
Cette méthode permet de déterminer les déformations en tout point de la poutre par
une simple intégration de l’effort interne par la rigidité de la poutre.
2.2.1 Poutre soumise à l’effort normal (N)
Pour déterminer l’expression de déformation longitudinale u, on traite l’exemple simple
d’une poutre de longueur l, de section droite d’aire A, soumise à un effort normal constant
N(x)=N.
On va exploiter les trois relations suivantes :
 La relation 1 : Effort-contrainte : 𝜎 =
𝑁
𝐴
 La relation 2 : Contrainte-déformation : Loi de Hooke 𝜎 = 𝐸. 𝜀
 La relation 3 : Déformation locale-allongement global : 𝜀 =
𝑢
𝑙
Où,
𝜎 : La contrainte normale ;
E : Le module d’Young ;
𝜀: La déformation locale.
A partir des ces relations on pourra écrire :
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
15
Cours de Resistance Des Matériaux 2
𝜀=
A.U: 2013/2014
𝑢
𝜎
𝑁 ′
𝑁
= =
𝑑 𝑜ù 𝑢 =
𝑙
𝑙
𝐸
𝐸𝐴
𝐸𝐴
Lorsque N est variable (pour un élément « dx » de la poutre, on a N(x) est constant), on aura la
déformation suivante: 𝒅𝒖 =
𝑵(𝒙)
𝑬𝑨
𝒅𝒙
Pour retrouver la déformation de toute la structure il suffit d’intégrer.
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
𝑠𝑡𝑟 𝐸𝐴
𝑢=∫
Donc la déformation longitudinale « u » est le résultat de simple intégration de l’effort normal
N(x) par la raideur longitudinale de la poutre EA.
2.2.2 Poutre soumise à la flexion (M)
Pour déterminer l’expression de déformation flexionnelle « θ », on traite l’exemple
simple d’une poutre, de section droite de moment quadratique I par rapport à l’axe Gz,
soumise à un moment fléchissant M par rapport à l’axe Gz.
Si on s’intéresse à un point de la section droite d’ordonnée y par rapport au centre de
gravité; (Voir figure 2-1) et en exploitant les relations suivantes :
𝑴𝒛

La relation 1 : contrainte - moment : 𝝈𝒙 = −

La relation 2 : contrainte - déformation : 𝝈𝒙 = 𝑬 ∗ 𝜺𝒙

La relation 3 : déformation - courbure C : 𝐶 = 𝑑𝑥
𝑰𝒛
𝒚
𝑑𝜃
Il vient,
𝜀𝑥 =
𝑑𝑢
𝑢
𝑜𝑟 𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑑′ 𝑜ù 𝑑𝑢 = −𝑦 . 𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑦
𝜀𝑥 = −𝑦 ∗
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝜃 𝑑 ² 𝑣
𝑑′𝑜ù
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥 ²
𝑑𝜃
𝜎
𝑀
𝜀𝑥 = −𝑦 ∗ 𝑑𝑥 = 𝐸 = − 𝐸𝐼𝑧 𝑦 = −
𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑧
𝑑𝜃
𝑑2 𝑣
𝐶 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 2 =
poutre.
𝑀
𝐸𝐼
𝑑² 𝑣
𝑑𝑥 ²
𝑦
C’est l’équation différentielle de la courbe de déflexion de la
Donc,
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
16
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
 La rotation « θ » se détermine par simple intégration du rapport du moment fléchissant
M(x) par la raideur flexionnelle de la poutre EI :
𝜃(𝑥) = ∫ 𝑑𝜃 = ∫
𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
𝐸𝐼
 v(x) se détermine par double intégration du rapport du moment fléchissant M(x) par la
raideur flexionnelle de la poutre EI :
𝑴(𝒙)
𝒅𝒙
𝑬𝑰
𝒗(𝒙) = ∫ 𝜽(𝒙)𝒅𝒙 = ∬
On aura des constantes d’intégration qui seront déterminées par les conditions aux limites.
dϴ : angle
de
courbure
O : centre de la
courbure
Rc rayon
courbure
de
x
x
v
v
dx
x
x
y
dx
dv
ϴ
u
C : courbure
C = 1/Rc = dϴ/ dx
tanϴ =dv/dx ϴ
y
x
ϴ
tanϴ =-u/y ϴ
u =-y.ϴ
du =-y.dϴ
Figure 2-1: schéma de déflexion
Figure 1.8
2.2.3 Poutre soumise à un effort tranchant (V)
De même pour une poutre soumise à effort tranchant V(x) on retrouve la déformation
transversale « v » par simple intégration de l’effort tranchant par la raideur transversale de la
poutre GAt.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
17
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
v(𝑥) = ∫
𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
𝐺𝐴t
Où,
G : module de coulomb
At : aire de la section droite réduite.
Exemple2.1
Soit une poutre isostatique sur deux appuis, de portée L et de rigidité flexionnelle EI,
soumise à une charge repartie uniformément q sur toute sa portée, (voir figure 2-2).
y
q
x
L, EI
A
B
Figure 2-2 : schéma statique de la poutre (exemple 2.1)
L’expression du moment fléchissant est : 𝑀(𝑥) =
𝑞𝐿
2
𝑞
𝑥 − 2 𝑥2
D’après la relation moment courbure on a :
𝑞𝐿
𝑞
𝑥 − 2 𝑥2
𝑴
2
𝑪=
=−
=
𝑬𝑰
𝑬𝑰
𝒅𝒙²
𝒅² 𝒗
En intégrant une fois, on obtient :
𝒅𝒗
𝑞𝐿 2
𝑞 3
= 𝜽(𝒙) =
𝑥 −
𝑥 +𝜶
𝒅𝒙
4𝐸𝐼
6𝐸𝐼
En intégrant une seconde fois :
𝒗(𝒙) =
𝑞𝐿 3
𝑞
𝑥 −
𝑥 4 + 𝜶𝒙 + 𝜷
12𝐸𝐼
24𝐸𝐼
Pour trouver les constantes 𝜶 et 𝜷 il suffit d’écrire les conditions aux limites, c'est-à-dire les
déplacements et rotations connus aux extrémités :
 Au point A d’abscisse x=0, on a une articulation, alors le déplacement vertical est bloqué
qL
q
vA = v(x = 0) = 12EI 03 − 24EI 04 + α ∗ 0 + β = 0
d’où
𝛽=0
 Au point B d’abscisse x=L, on a un appui simple, alors le déplacement vertical est bloqué
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
18
Cours de Resistance Des Matériaux 2
vB = v(L) =
qL
12EI
L3 −
q
24EI
A.U: 2013/2014
L4 + α ∗ L = 0
d’où
α=−
qL3
24EI
D’où l’équation de déplacement vertical est la suivante :
𝑣(𝑥) =
𝑞𝐿 3
𝑞
𝑞𝐿3
𝑥 −
𝑥4 −
𝑥
12𝐸𝐼
24𝐸𝐼
24𝐸𝐼
La flèche maximale est donnée pour x=L/2
𝑳
𝟓𝒒𝑳𝟒
𝒗( ) = −
𝟐
𝟑𝟖𝟒 𝑬𝑰
Et l’équation de rotation de sections est la suivante :
𝜽(𝒙) =
𝑞𝐿 2
𝑞 3
𝑞𝐿3
𝑥 −
𝑥 −
4𝐸𝐼
6𝐸𝐼
24𝐸𝐼
La rotation maximale est donnée pour x=0 (en A) et x=L (en B) :
𝜽𝑨 = 𝜽(𝟎) = −
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
𝑒𝑡
𝜽𝑩 = 𝜽(𝑳) =
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
2.3 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES METHODES ENERGETIQUES
Soit une structure en équilibre ; déformée sous l'action des charges extérieures, ces
déformations sont causées par les efforts internes (N, V, M) résultant de l'action des charges.
En supposant que :
- Le comportement de matériau est élastique et linéaire ;
- L’effet thermique est négligé ;
- La transformation est réversible ;
- Les charges sont appliquées lentement.
2.3.1 Potentiel interne
Le premier principe de la thermodynamique précise qu’il y a conservation de l’énergie
dans la transformation faisant passer de l’état initial à l’état final :
𝐝𝐰𝐞𝐱𝐭 + 𝐝𝐰𝐢𝐧𝐭 + 𝐝𝐐 − 𝐝𝐜 = 𝟎
On a :
dwext : potentiel externe
dwint : potentiel interne : énergie de déformation
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
19
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
dQ : apport de chaleur de l’extérieur = 0
dc : variation de l’énergie cinétique = 0 car le système est en équilibre.
𝒅𝒘𝒊𝒏𝒕 = − 𝒅𝒘𝒆𝒙𝒕
D’où :
Le potentiel interne est égal à l’opposé du travail des forces extérieures.
Pendant le chargement d’une structure, les points où les forces sont appliquées se
déplacent et les sections où agissent les moments subissent des rotations. En d’autres termes
les forces et les moments appliqués produisent un travail externe W e. Ce travail sera
emmagasiné par la structure sous forme d’énergie potentielle dite travail interne W i.
2.3.2 Expression du travail externe
Pour un système soumis à n forces (F1, F2 , ….Fi…..Fn ) extérieures, on définit :
δi : déplacement sous Fi suivant sa direction. Ce déplacement est causé par toutes les forces
extérieures.
𝑛
𝑛
𝑑𝑤𝑒𝑥𝑡 = ∑ 𝐹𝑖 ∗ 𝑑𝛿𝑖
𝑒𝑡
𝑊𝑒𝑥𝑡
𝑖=1
1
= ∑ 𝐹𝑖 ∗ 𝛿𝑖
2
𝑖=1
Remarque :
Le travail total effectué par la force F1 au cours du déplacement 1 est obtenu par
sommation des travaux élémentaires, c'est-à-dire :
δ
We    1 Fdδ   
0
F1
1
δ dδ   F1 .δ 1 = aire sous la courbe F=f().
δ1
2
2.3.3 Expression de potentiel interne en fonction des efforts internes
Pour une structure constituée des poutres droites, on calculera le travail interne
(énergie de déformation) en fonction des efforts internes N, M et V.
Soit un élément infinitésimal (ds)
𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡 =
1
(𝑁 ∗ 𝑑𝑢 + 𝑉 ∗ 𝑑𝑣 + 𝑀 ∗ 𝑑𝜃)
2
La déformation longitudinale ou axiale : 𝑑𝑢 =
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑠
20
Cours de Resistance Des Matériaux 2
La déformation transversale: 𝑑𝑣 =
La déformation flexionnelle : 𝑑𝜃 =
A.U: 2013/2014
𝑉
𝐺𝐴𝑡
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑠
𝑑𝑠
D’où L’énergie totale de déformation dite encore potentiel interne est :
𝑾𝒊𝒏𝒕
𝟏
𝑵𝟐 𝑴𝟐
𝑽𝟐
= ∫ (
+
+
)𝒅𝒔
𝟐 𝒔𝒕 𝑬𝑨 𝑬𝑰 𝑮𝑨𝒕
2.3.4 Calcul des déformations par le théorème de Castigliano
Soit une structure soumise à un chargement externe. Si à une section donnée (i) on a un
effort concentré (Pi : force ou Ci : couple), Castigliano a montré que :
La dérivée partielle du potentiel interne par rapport à la force P i est égale au déplacement du
point (i) suivant la ligne d'action de la charge Pi :
𝛿𝑖 =
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡
𝜕𝑃𝑖
Si l’effort est un couple Ci, la rotation 𝜃𝑖 de la section i où agit le couple Ci est donnée par :
𝜃𝑖 =
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡
𝜕𝐶𝑖
NB :
Le déplacement 𝛿𝑖 de la section i est de même direction et sens que la force Pi ;
La rotation 𝜃𝑖 de la section i est de même sens que le couple Ci.
Pour une poutre sollicitée, Le travail interne ou potentiel emmagasiné WInt est donné par :
𝑊𝑖𝑛𝑡
1
𝑁(𝑥)2 𝑀(𝑥)2 𝑉(𝑥)2
= ∫ (
+
+
)𝑑𝑠
2 𝑠𝑡 𝐸𝐴
𝐸𝐼
𝐺𝐴𝑡
Si l'on ne tient compte que des déformations de flexions qui sont en général les plus
importantes,
𝑊𝑖𝑛𝑡
1
𝑀2
= ∫ ( )𝑑𝑠
2 𝑠𝑡 𝐸𝐼
Où M est le moment fléchissant en un point quelconque de la poutre causé par la
charge Pi (charge appliquée à la section i).
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
21
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
D’où
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡 1
𝜕𝑀2
1
𝑀 𝜕𝑀
𝑀 𝜕𝑀
𝛿𝑖 =
= ∫ (
)𝑑𝑠 = ∫ 2( ∗
)𝑑𝑠 = ∫ ( ∗
)𝑑𝑠
𝜕𝑃𝑖
2 𝑠𝑡 𝐸𝐼 ∗ 𝜕𝑃𝑖
2 𝑠𝑡 𝐸𝐼 𝜕𝑃𝑖
𝑠𝑡 𝐸𝐼 𝜕𝑃𝑖
Et
𝜃𝑖 =
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡
𝑀 𝜕𝑀
=∫ ( ∗
)𝑑𝑠
𝜕𝐶𝑖
𝑠𝑡 𝐸𝐼 𝜕𝐶𝑖
Remarque : On ne peut appliquer le théorème de Castigliano qu’à l’endroit d’un effort
concentré (F → déplacement, C → rotation). Pour trouver les déplacements et les rotations à
un endroit quelconque, on applique une force fictive (ou un moment fictif) qu’on annule après
calcul de déformation.
δ
W
,
 F /F  0
θ
W
C/C  0
Exemple 2.2
Soit une poutre console encastrée en A, libre en B, de portée L et de rigidité flexionnelle
EI, la poutre est chargée par une force concentrée F appliquée en B.
F
y
x
A
B
L, EI
Figure 2-3 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle (exemple 2.2)
q de la flèche vB au point B.
1. Déterminer l’expression
2. Déterminer l’expression de la rotation θB au point B.
REPONSE
1. Comme la force F, qui provoque vB, est appliquée en B ; donc on peut écrire directement :
M(x) M(x)
.
dx
EI
F
0
L
vB  
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
22
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Où,
M(x)  F(L  x)
et
M(x)
 (L  x)
F
 F(L  x)
F
FL3
.[(L  x)]dx   (L  x)²dx 
EI
EI 0
3EI
0
L
L
D’où : v B  
2. Comme il n’existe aucun moment appliqué en B, alors on va supposer un couple moment C
en ce point qu’on annulera ensuite. C aura le sens direct de x vers y.
F
y
x
C
A
B
L, EI
Figure 2-4 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle et couple C (exemple 2.2)
L
θB  
0
M(x) M(x)
.
dx
EI
C
Où,
M(x)  F(L  x)  C
M(x)
1
C
et
 F ( L  x)  C
1
FL² CL
.(1)dx 
( F ( L  x)  C )dx  


EI
EI 0
2EI EI
0
L
D’où :  B  
L
 FL2
Or C=0 donc  B 
2 EI
2.3.5 Théorème de Ménabrea
Pour une structure à appuis rigides et tels que Ri une réaction d’appui et Mi un moment
d’appui.
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡
𝜕𝑊𝑖𝑛𝑡
= 0 𝑒𝑡
=0
𝜕𝑅𝑖
𝜕𝑀𝑖
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
23
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Ces équations constituent le théorème de MENABREA qui est le théorème du potentiel
minimal et qui s'énonce comme suit :
« Les valeurs des réactions hyperstatiques, correspondant à l'équilibre du système, rendent
minimal le potentiel WI. »
Exemple 2.3
Soit une poutre console encastrée en A, simplement appuyée en B, de portée L et de
rigidité flexionnelle EI, soumise à une charge repartie uniformément q sur toute sa portée,
(voir figure 2-5).
y
q
x
A
L, EI
B
RA
Figure 2-5 : schéma statique de la poutre (exemple 2.3)
q
1. Déterminer l’expression de potentiel interne en fonction de la réaction RA.
2. En utilisant le théorème de MENABREA, déduire l’expression de la réaction RA au point A.
REPONSE
1. L’expression de potentiel interne en fonction de la réaction RA:
L
M²(x)
dx
EI
0
WI  
Où,
M(x)  R A x -
qx²
2
L
L
D’où : WI   [R A x - qx²/2]² dx   ( RA2 * x²  q ² * x 4 / 4  RA * q * x 3 )dx
0
0
WI  RA2 * L3 / 3  q² * L5 / 20  q * RA * L4 / 4
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
24
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
2. L’expression de la réaction RA
𝜕𝑊
D’après le théorème de MENABREA, nous avons 𝜕𝑅 𝐼 = 0
𝐴
D’où :
2 * RA * L3 / 3  0  q * L4 / 4  0
𝑹𝑨 = 𝟑
𝒒𝑳
𝟖
2.3.6 Calcul des déformations par la méthode du travail virtuel
On définit le travail virtuel comme étant le travail produit par une force réelle qui agit
suivant un déplacement virtuel, ou bien une force virtuelle qui agit suivant un déplacement
réel.
Soit i la déformation (rotation ou déplacement) à calculer (à la section i de la structure
et causée par des charges extérieures) par la méthode des travaux virtuels. Pour cela on
applique un effort unitaire ( P =1) virtuel à la section (i) dans la direction et sens de i.
Le travail externe correspondant au produit de la charge virtuelle ( P = 1) par la
déformation réelle recherchée (i) est égal au travail interne correspondant au produit des
efforts internes virtuels ( N, V, M ) par les déformations internes réelles.
On a donc :
1
1
̅ ∗ 𝑑𝑢 + 𝑉̅ ∗ 𝑑𝑣 + 𝑀
̅ ∗ 𝑑𝜃)𝑑𝑠
𝑃̅ ∗ 𝛿𝑖 = ∫ (𝑁
2
2
𝑠𝑡𝑟
Où,

̅ , 𝑉̅ 𝑒𝑡 𝑀
̅ : expressions des efforts internes virtuels dus à la charge virtuelle unitaire
𝑁
o ( P =1).

du, dv et d : déformations réelles dues à l'action de charges réelles.
Si on néglige l'effet de l'effort tranchant sur la déformation, on aura :
̅ ∗ 𝑑𝑢 + 𝑀
̅ ∗ 𝑑𝜃)𝑑𝑠
𝑃̅ ∗ 𝛿𝑖 = ∫ (𝑁
𝑠𝑡𝑟
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
25
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
En remplaçant P par sa valeur ( P = 1) ainsi que (du et d), on obtient l'expression suivante :
̅∗
𝛿𝑖 = ∫ (𝑁
𝑠𝑡𝑟
𝑁
𝑀
̅ ∗ )𝑑𝑠
+𝑀
𝐸𝐴
𝐸𝐼
Où,

N et M : expressions des efforts internes réels dus à l'action des charges réelles ;

E : module d’young ;

I : moment d’inertie de la section droite

A: l’aire de la section droite
Exemple 2.4
Soit une poutre console encastrée en A libre en B, de portée L et de rigidité flexionnelle
EI, la poutre est chargée par une force concentrée F appliquée en B.
F
y
x
A
B
L, EI
Figure 2-6 : schéma statique de la poutre (exemple 2.4)
Déterminer l’expression de laq flèche et la rotation au point B.
Réponse
Expression de la flèche vB au point B.
Pour déterminer la flèche δB au point B, on applique une force virtuelle unitaire et
dirigée vers le bas en ce point, puis on cherche les expressions des efforts internes
M(x) et N(x)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
26
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Système réel
Système virtuel
(chargement réel)
(chargement virtuel)
EI=cte
A
L
1
F
B
A
Les efforts internes réels
Les efforts internes virtuels
M(x)  F(L  x)  x  [0, L]
N(x)  0
 x  [0, L]
L
vB   (
0
B
L
M(x)  (L  x)
N(x)  0 

x  [0, L]
x  [0, L]
L  F(L  x).((L  x))
M(x).M(x) N(x).N(x)
F L
FL3

)dx  
dx 
 (L  x)²dx 
0
EI
EA
EI
EL 0
3EI
Remarque : La flèche vB est positive alors le point B se déplace vers le bas dans le même sens
que la force virtuelle.
Expression de la rotation θB au point B.
Pour déterminer la rotation θB au point B, on applique un moment virtuel unitaire au
point B, puis on cherche les expressions des efforts internes M(x) et N(x) .
Système réel
Système virtuel
(chargement réel)
(chargement virtuel)
EI=cte
A
L
F
B
A
M(x)  F(L  x)  x  [0, L]
N(x)  0
 x  [0, L]
B
L
M(x)  1  x  [0, L]
N(x)  0  x  [0, L]
M(x). M(x) N(x).N(x)
 F(L  x).( 1)
F
FL²
θB   (

)dx  
dx 
(L  x)dx 

EI
EA
EI
EL 0
2EI
0
0
L
L
L
Remarque : La rotation θB est positive alors au point B la section tourne dans le même sens que
le moment virtuel.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
27
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
2.3.7 Théorème de réciprocité de MAXWELL-BETTI
On considère une poutre droite reposant sur deux appuis simples. Sur la figure (2-6-a),
on montre la poutre déformée sous l’action d’une force verticale FA appliquée en A, qui
provoque au point B un déplacement  B . Sur la figure (2-6-b), on montre la poutre déformée
sous l’action d’une force verticale FB appliquée en B, qui provoque au point A un déplacement
A .
B
A
A
B
FA
FB
A
(a)
B
(b)
Figure 2-7: schéma du principe de réciprocité
Le théorème de Maxwell-Betti s’écrit comme suit :
FA .δ A  FB .δ B t
Démonstration :
Pour calculer le déplacement  B de la poutre de la figure (2-6-a), on applique au point B
une force virtuelle unité qui provoque un moment m B (x) . En un point quelconque de cette
poutre, le moment a pour expression MA(x) (moment dû à la force FA appliquée en A)
M A (x) m B (x)
dx
str
EI
δB  
Pour calculer le déplacement  A de la poutre de la figure (2-6-b), on applique au point A
une force virtuelle unité qui provoque un moment m A (x) . En un point quelconque de cette
poutre, le moment a pour expression MB(x) (moment dû à la force FB appliquée en B)
M B (x) m A (x)
dx
str
EI
δA  
Or, on a :
MA (x)  FA .m A (x)
FA .δ A  
str
et MB (x)  FB .m B (x)
M B (x) FA m A (x)
F .m B (x).M A (x)
M (x). m B (x).
dx   B
dx  FB  A
dx  FB .δ B
EI
EI
EI
str
str
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
28
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
D’où :
FA .δA  FB.δB
2.4 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES FORMULES DE NAVIER -BRESSE
Les formules usuelles de Navier-Bresse donnent les déformations d'une section 2
par rapport à une section 1 :
u 2  u1  
x2
x1
N
dx
EA
    (x  x ) 
2
1
1
2
1
x2
M
 EI ( x
2
 x)dx
x1
  
2
1
x2
M
 EI dx
x1
Où,
u1 et u2 : déplacements longitudinaux des sections 1 et 2.
v1 et v2 : déplacements transversaux des sections 1 et 2.
θ1 et θ2 : rotations des sections 1 et 2.
Exemple 2.5
F
y
x
A
B
L, EI
Figure 2-8: schéma statique de la poutre (exemple 2.5)
M(x)  F(L  x)
 q x  [0, L]
Expression de la flèche vB au point B :
v B  v A  θ A (x B  x A ) 
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
xB
M(x)
(x B  x)dx
EI
xA

29
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Où, x A  0, x B  L, v A  0, θ A  0
 F(L  x)
F
FL3
(L  x)dx    (L  x)²dx  
EI
EI 0
3EI
0
L
L
D’où : v B  
Expression de la rotation θB au point B :
x
θB  θA 
M(x)
 F(L  x)
FL²
x EI dx  0 EI dx   2EI
L
B
A
Remarque : le signe des déformations respecte le repère local. On a la flèche vB négative car le
point B se déplace vers le bas alors que l’axe des (y) est positif vers le haut.
2.5 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR TABLE DE MHOR
Cette méthode se base sur des tables qui remplacent le calcul d’intégrale dans la
méthode des travaux virtuel par des multiplications des diagrammes des moments.
2.6 APPLICATIONS
EXERCICE 2.1
Soit la poutre AB, simplement appuyée en A et articulée en B, d’inertie flexionnelle E.I
constante et soumise à une charge uniformément répartie q.
y
q
x
L, EI
A
B
Figure 2-9: schéma statique de la poutre (exercice 2.1)
q
1. Déterminer les réactions d’appuis en A et B.
2. Déterminer les expressions des efforts internes.
3. Déterminer l’expression de la rotation θA au point A.
a. En utilisant les formules de Bresse.
b. En appliquant le théorème des travaux virtuels.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
30
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
c. En utilisant le théorème de Castigliano.
REPONSE
1.
y
q
x
A
B
RB
L, EI
RA
HB
Figure 2-10: Réactions des appuis (exercice 2.1)
HB  0
RA  RB  q
L
2
x
L
2. Pour 0  x  L : N(x)  0 , M(x)  q (L  x) et V(x)  q.x  q
2
2
L
3.a) θ B  θ A  
0
M(x)
dx et θ B  θ A
EI
L
Ce qui donne : θ A  
1 M(x)
q
qL3
dx


(Lx

x²)dx


2 0 EI
4EI 
24EI
3.b) On applique sur la structure un couple C=1 virtuel au point A et on détermine les efforts
internes qu’on appelle : M (x) et N(x)
y
x
C
L, EI
A
B
Figure 2-11: schéma statique de système virtuel (exercice 2.1)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
31
Cours de Resistance Des Matériaux 2
Les réactions d’appuis sont : R A  
N(x)  0 et M(x) 
A.U: 2013/2014
1
1
et H B  0
,RB 
L
L
1
(L - x)
L
x
1
L q
.(L  x). (L  x)
M(x). M (x) N(x). N(x)
qL3
L
θA   (

)dx   2
dx 
EI
EA
EI
24EI
0
0
L
3.c) On applique au point A un couple C qu’on annulera ensuite et on écrit :
L
θA   (
0
M(x) M(x)
.
dx et C  0
EI
C
y
x
q
C
L, EI
A
B
Figure 2-12 : schéma statique du principe de Castigliano (exercice 2.1)
x
C
M(x) 1
Pour 0  x  L : N(x)  0 , M(x)  q (L  x)  (L  x) et
 (L  x)
2
L
C
L
x
(L - x) 1
qL3
. (L  x)dx 
D’où, θ A   ( 2
EI
L
24EI
0
L
q
EXERCICE 2.2
Soit la poutre AB, ci-dessous, simplement appuyée en A et articulée en B avec console
de coté de A, d’inertie flexionnelle E.I constante et soumise à une charge uniformément
répartie q.
q
y
x
L, EI
L/4
A
B
Figure 2-13 : schéma statique de la poutre (exercice 2.2)
q
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
32
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
1. Déterminer les réactions d’appuis en A et B.
2. Déterminer les expressions des efforts internes le long de la poutre.
3. En négligeant l’effet de l’effort tranchant sur les déformations, déterminer :
a) la flèche δ de l’extrémité libre de la poutre.
b) la rotation θA de l’appui A.
c) la rotation θB de l’appui B.
REPONSE
1.
q
y
x
L, EI
L/4
B
RB
A
RA
HB
Figure 2-14 : Réactions des appuis (exercice 2.2)
HB  0
RA  RB 
R B .L  q
5qL
4
L²
L L
 q. .  0
2
4 8
Ce qui donne : R A 
2. Pour 0  x 
Pour
L
:
4
25
qL
32
,RB 
15
qL et H B  0
32
N(x)  0 et M(x)  q
x²
2
L
5L
x²
L
x² 25
25
qL²
: N(x)  0 et M(x)  q  R A .(x  )  q  qLx 
x
2
4
2 32
128
4
4
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
33
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
3.a) Principe des travaux virtuels : Pour déterminer δ par le PTV, on applique une force virtuelle
unitaire dirigée vers le bas à l’extrémité libre de la poutre et on détermine les efforts internes
qu’on appelle : M (x) et N(x)
y
1
x
L, EI
L/4
B
A
Figure 2-15 : schéma statique du système virtuel (exercice 2.2)
Les réactions d’appuis seront : R A 
5
4
, RB  
1
et H B  0
4
Expressions de M (x) et N(x)
Pour 0  x 
Pour
5L/4
δ  (
0
L
:
4
N(x)  0 et M(x)  x
L
5L
:
x
4
4
1 5L
N(x)  0 et M(x)   (  x)
4 4
M(x).M(x) N(x).N(x)

)dx  
0
EI
EA
L/4
-q
x² 25
25
1 5L
x²
(-q  qLx 
qL²).(  (
 x))
.(x)
5L/4
2 32
128
4 4
2
dx  
dx
L/4
EI
EI
4
Ce qui donne ; δ  15q.L
2048.EI
3.b) Pour déterminer θA, on va appliquer la 2ème formule de Bresse entre la section d’abscisse
x2=0 (extrémité libre) et la section d’abscisse x1=L/4 (point A)
x1
δ  δ A  θ A (x 1  x A ) 

x
0
δ  δ A  θ A (0 
M(x)
(x 1  x)dx
EI
A
L
M(x)
L
) 
(0  x)dx  - θ A 
4
EI
4
L/4
L/4

0
M(x)
( x)dx
EI
Ce qui donne :
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
34
Cours de Resistance Des Matériaux 2
θA  
4
4
δ
L
LEI
A.U: 2013/2014
L/4
 M(x).xdx 
0
4 qL4
4
.

L 128EI LEI
L/4

0
qx 3
qL3
dx  
2
32EI
3.c) Pour d’terminer θB, on va appliquer la 3ème formule de Bresse entre la section d’abscisse
x1=L/4 (point A) et la section d’abscisse x2=5L/4 (point B)
x
2
M(x)
θB  θ A  
dx  θ A 
EI
x
1
5L/4
x²
25
25
7
 (q 2  32 qLx  128 qL²)dx  192EI qL
3
L/4
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
35
Cours de Resistance Des Matériaux 2
3
A.U: 2013/2014
CHAPITRE 3: INTRODUCTION AUX SYSTEMES HYPERSTATIQUES
Dans ce chapitre on définira les structures hyperstatiques
puis on calculera leurs degrés d’hyperstaticité.
3.1 DEFINITIONS
Une structure est dite hyperstatique lorsque le nombre d’équations et d’efforts internes
connus sont insuffisants pour la résoudre. Elle comprend plus d’éléments ou de liaisons qu’il
n’est strictement nécessaire pour garantir l’équilibre.
Par exemple, une poutre plane chargée verticalement et fixée à trois appuis est une
structure hyperstatique car même avec la suppression d’un appui la structure reste stable.
Comparé au système isostatique, un système hyperstatique est :
 plus sensible aux déplacements différentiels et aux charges thermiques ;
 plus ductile et plus sécuritaire ;
 Plus raide et plus résistante ;
 plus difficile à réaliser.
3.2 DEGRE D'HYPERSTATICITE
3.2.1 Définition
Pour les structures hyperstatiques le nombre d’inconnues est supérieur au nombre
d’équations. Le nombre d’inconnues supplémentaires est appelé degré d’hyperstaticité, noté k.
3.2.2 Degré d'hyperstaticité des structures planes
D'une manière générale, le degré d'hyperstaticité k d'un système plan est donné par :
𝒌 = (𝒓 + 𝟑𝒏𝒄𝒇 ) − (𝒏 + 𝒒)
Où
r : nombre des réactions d’appuis ;
ncf : le nombre de cadres fermés ;
n : nombre d’équations de la statique (en plan n=3 et en espace n=6);
q : nombre d’équations supplémentaires.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
36
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Exemples 3.1
Structure 1 : k = (4+3*0)-(3+0)=1
Structure 3 : k = (6+2*3)-(3+1)=8
Structure 2 : k = (3+3*1)-(3+0)=3
Structure 4 : k = (4+1*3)-(3+1)=3
Figure 3-1 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des structures planes
q
3.2.3
Degré d'hyperstaticité des structures articulées ou treillis
On appelle treillis un assemblage de barres articulées entre elles de manière à ce
que chacune des barres ne soit sollicitée qu’en traction ou en compression.
Pour les treillis, le degré d'hyperstaticité est donné par :
𝒌 = 𝒃 + 𝒓 – 𝟐𝒏′
Où :
b : le nombre de barres ;
r : le nombre de réactions ;
n’ : le nombre de nœuds.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
37
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Exemples 3.2
Structure articulée 1 : k =4+13-2*8=1
…………………………….……………
Structure articulée 2 : k =4+25-2*14=1
…………………………….……………
Structure articulée 3 : k = 3+13-2*8=0
Figure 3-2 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des treillis
3.3 APPLICATION
Calculer les degrés d’hyperstaticité des structures suivantes :
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
38
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Structure 1 : k = ……………………………………..
Structure 2 : k = …………………………………
Structure 3 : k = ……………………………
Structure 4 : k = …………….…………
Structure 5 : k = ………………………………..…
Figure 3-3 : application pour le calcul de degré d'hyperstaticité
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
39
Cours de Resistance Des Matériaux 2
4
CHAPITRE 4 :
A.U: 2013/2014
RESOLUTION DES SYSTEMES HYPERSTATIQUES PAR LA
METHODE DES FORCES
Dans ce chapitre on présentera le principe de résolution
d’une structure hyperstatique par la méthode des forces.
4.1 INTRODUCTION : PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES
La résolution d’une structure hyperstatique par la méthode des forces consiste à la
remplacer par une structure isostatique équivalente en pratiquant des coupures choisies
judicieusement ; et à chaque coupure:

Faire introduire une force correspondante Xi.

Ecrire une condition de compatibilité des déformations.
Si la structure hyperstatique est de degré k, alors on aura k coupures à effectuer, k forces à
introduire (Xi inconnues) et k équations de compatibilité à écrire.
4.2 STRUCTURES ISOSTATIQUES EQUIVALENTES
Soit une structure hyperstatique (S) de degré d'hyperstaticité k, soumise à un
chargement initial X0 connu. On peut rendre (S) une structure isostatique en pratiquant k
coupures et en introduisant k forces inconnues (X1, X2, …,Xi…,…, Xk). Cette nouvelle structure est
une structure isostatique équivalente à (S) qu’on note (S0), dite aussi structure isostatique
associée à (S).
Pour une structure hyperstatique, il existe plusieurs structures isostatiques
équivalentes.
Exemple 4.1
F
F
F
B
A
(S)
Equivaut à
A
et
équivaut à
F
(S0)1
F
X1
F
X1
B
A
(S0)2
Figure 4-1 : Exemple 1 d’une structure isostatique équivalente
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
40
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Le degré d’hyperstaticité de la structure (S) est k=1
Dans la structure (S0)1, on a éliminé l’appui simple et on a introduit la réaction
correspondante X1 (X1=RB réaction de l’appui B).
Dans la structure (S0)2, on a remplacé l’encastrement par une articulation en
introduisant le couple X1.
Exemple 4.2
X0
(S)
0
Equivaut à
(S0)1
X0
X3
et Equivaut à
X2
X1
(S0)2
X3
X2
X1
Figure 4-2 : Exemple 2 d’une structure isostatique équivalente
Le degré d’hyperstaticité de la structure (S) est k=3
Dans la structure (S0)1, on a éliminé l’encastrement et on a introduit les réactions
correspondantes X1, X2 et X3.
Dans la structure (S0)2, on a remplacé le premier encastrement par une articulation et
un moment X3 et le deuxième encastrement par un appui simple et deux réactions X1 et X2.
Remarque : pour l’exemple 2, on n’a pas représenté toutes les structures isostatiques
équivalentes.
4.3 PRINCIPE DE SUPERPOSITION
En utilisant Le principe de superposition on peut mettre la structure isostatique
équivalente soumise à un ensemble de chargement (chargement extérieur connu X0 et les
chargements inconnus Xi) sous forme de somme de plusieurs structures dont chacune est
soumise à un seul chargement.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
41
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Exemple 4.3
X0
X0
(S)
(S0)
X3
X2
X1
X0
(0)
+
(1)
+
(2)
+
(3)
X3
X2
1
Figure 4-3 : Décomposition de la structure isostatique équivalente par le principe de superposition.
La structure hyperstatique initiale (S) est un portique bi-encastré soumis à un chargement initial
X0 et de degré d’hyperstaticité k=3.
La structure isostatique équivalente (S0) est soumise aux chargements X0 et aux k chargements
Xi.
D’après le principe de superposition on peut écrire : Le système (S0) est égal à la somme des
systèmes (0, 1, 2 et 3).
4.4 PRINCIPE DE PROPORTIONNALITE
Dans le domaine élastique linéaire, l’effet produit par une force Xi est égal à l’effet d’une
force unitaire multiplié par Xi.
Exemple 4.4
Dans la figure 4-4, on a représenté l’effet d’une force Xi par Xi multiplié par l’effet d’une force
unitaire Xi=1.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
42
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
X0
X0
(0)
(S)
+X1
(1)
X2
X3
(2)
(3)
1
1
Figure 4-4 : Décomposition de la structure isostatique équivalente selon le principe de proportionnalité
Si on note :

M(x) : l’expression du moment fléchissant de (S) soumise à X0 ;

M0(x) : l’expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X0 ;

M1(x) : l’expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X1=1;

M2(x) : l’expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X2=1;

M3(x) : l’expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X3=1.
On peut écrire :
M(x)  M 0 (x)  X1M1 (x)  X 2 M 2 (x)  X 3 M 3 (x)
De même pour l’effort tranchant et l’effort normal, on peut écrire :
V(x)  V0 (x)  X1 V1 (x)  X 2 V2 (x)  X 3 V3 (x)
N(x)  N 0 (x)  X1 N1 (x)  X 2 N 2 (x)  X 3 N 3 (x)
4.5 PRINCIPE DE COMPATIBILITE DES DEFORMATIONS
À fin que la compatibilité des déformations entre la structure (S) et la structure (S0) soit
assurée, on doit écrire pour chaque coupure de (S) une équation de compatibilité.
Si on note :
δi.j : les déformations (déplacements ou rotations) du point de coupure de (S 0), dans le
sens de Xi causés par le chargement Xj.
δi.0 : les déformations (déplacements ou rotations) du point de coupure de (S 0), dans le
sens de Xi causés par le chargement initial X0.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
43
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Pour l’exemple de portique bi-encastré, au point D on a un encastrement donc les trois
déformations en D sont nulles (uD=0, vD=0 et θD=0), or pour (S0) choisie, on a libéré le point D.
pour avoir une compatibilité des déformations :
Déplacement du point de coupure dans le sens X1:
X0
(S)
X0
+X1
(0)
X2
(1)
1.1
1.0
X3
(2)
1.2
(3)
1
1
1.3
1
Figure 4-5 : déplacements sens X1
vD  0  δ1.0  X1δ1.1  X2δ1.2  X3δ1.3 ou autrement
δ1.1X1  δ1.2X2  δ1.3X3  - δ1.0
Déplacement du point de coupure dans le sens X2 :
0
(S)
0
+X1
(0)
X2
(1)
2.2
2.1
2.0
X3
(2)
(3)
2.3
1
1
1
Figure 4-6 : déplacements sens X2
u D  0  δ2.0  X1δ2.1  X2δ2.2  X3δ2.3
δ2.1X1  δ2.2X2  δ2.3X3  - δ2.0
ou autrement
Déplacement du point de coupure dans le sens X3:
X0
(S)
X0
(0)
+X1
3.0
3.2
X2
3.1
(1)
(2)
3.3
X3
(3)
1
1
1
Figure 4-7 : déplacements sens X3
D  0  δ3.0  X1δ3.1  X2δ3.2  X3δ3.3 ou autrement
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
δ3.1X1  δ3.2X2  δ3.3X3  - δ3.0
44
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
On obtient finalement le système d’équations suivant:
δ1.1X1  δ1.2 X 2  δ1.3X3   δ1.0

δ 2.1X1  δ 2.2 X 2  δ 2.3X3   δ 2.0
δ X  δ X  δ X   δ
3.0
 3.1 1 3.2 2 3.3 3
Ou matriciellement :
 δ11 δ12 δ13   X1 
 10 

  
 
 δ 21 δ 22 δ 23   X 2      20 
δ δ δ  X 
 
 30 
 31 32 33   3 
En cas général, pour une structure de degré d’hyperstaticité k, on a :
δ11X1  δ12X 2  .............  δ1k X k   10
δ X  δ X  .............  δ X   
2k k
20
 21 1 22 2
.

 i1X1   i 2 X 2  ..............   ik X k    i0
.

δ k1X1  δ k2X 2  .............  δkk X k    k0
Ou matriciellement
  11  12

  21  22


  i1  i 2



 k1  k 2
Matrice de
souplesse
(Connue)
1 j
2 j
 ij
 kj
 1k   X 1 
  
 2k   X 2 


 ik 


 kk 
Vecteur forces
(Inconnu)
  10 
 
  20 
 
 . 
    
 Xi 
  i0 
 
 . 
 
 
X 
 
 k
 k0 
Vecteur
déformations
(connu)
4.6 DETERMINATION DES DEFORMATIONS δij
Pour la détermination des déformations δij et les δi.0 on peut appliquer l’une des
méthodes étudiées au chapitre 2 (déformations des systèmes isostatiques).
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
45
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
4.7 LES ETAPES DE LA METHODE DES FORCES
La résolution d’une structure hyperstatique (S) par la méthode des forces se fait comme suit :
1. déterminer le degré d’hyperstaticité k ;
2. associer à (S) une structure isostatique (S0) équivalente en supprimant k inconnues
hyperstatiques Xi, les inconnues hyperstatiques peuvent être des réactions d’appuis ou
des efforts intérieurs surabondants qu’on met en évidence en effectuant des coupures
aux appuis ou dans les barres de la structure ;
3. appliquer à (S0) les charges réelles initialement données X0. On note ce système état (0) ;
4. soumettre (S0) à l’action de charges (X1=1,X2=1,…..Xi=1….Xk=1) un par un, ces sont les k
états (i) ;
5. déterminer pour chaque état (i) les efforts internes Ni(x) ; Vi(x) et Mi(x) ;
6. Calculer à chaque point de (S0) où agit une inconnue hyperstatique :
 Les déformations δi.0 dues aux charges réelles données ;
 Les déformations δij dues aux charges ou couples Xi=1 ;
7. Déterminer les valeurs des Xi en résolvant le système suivant :
  X    
ij
i
i0
tels que (i=1 à k et j=0 à k) ;
8. Ecrire les équations des efforts internes de système hyperstatique (S) comme suit :
M(x)  M 0 (x)  X1M1 (x)  .......... ..  X M (x)
k
k
V(x)  V0 (x)  X1V1 (x)  .............  Xk Vk (x)
N(x)  N0 (x)  X1N1 (x)  ...........  Xk Nk (x)
4.8 APPLICATIONS
EXERCICE 4.1
Soit la structure (S) de la figure 4-8, simplement appuyée en A et encastrée en B,
d’inertie flexionnelle E.I constante et soumise à une charge uniformément répartie q.
A
L
Figure 4-8 : schéma statique de structure (S) (exercice 4.1)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
46
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de S.
2. Représenter toutes les structures isostatiques équivalentes à S.
3. En appliquant la méthode des forces, déterminer la réaction en A. En déduire les réactions en
B.
4. Déterminer les expressions des efforts internes le long de S puis représenter leurs
diagrammes.
REPONSE
1. k=(4+3x0) – (3+0) = 1
2. Les structures isostatiques équivalentes à (S) sont les structures (S0)1 et (S0)2 suivantes :
A
X1
X1
(S0)2
A
Figure 4-9 : structures isostatiques équivalentes à (S) (exercice 4.1)
X1 étant l’inconnu hyperstatique.
3. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0)1. Pour cette structure X1
représente la réaction en A (X1=RA).
A
+
B
(0)
A
X1
(1)
Figure 4-10 : principe de superposition (exercice 4.1)
D’après le principe de superposition, l’effet sur la structure (S) est la somme des effets sur les
structures (0) et (1).
Si M(x) est le moment de (S), M0(x) est le moment de (0) et M1(x) est le moment de (1)
soumise à X1=1 alors : M(x)=M0(x) + X1 M1(x).
Expression de M1
M1(x) = x
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
(avec x[0, L])
47
Cours de Resistance Des Matériaux 2
Expression de M0
M 0 (x)  
qx²
2
A.U: 2013/2014
(avec x[0, L])
Les équations de compatibilité s’écrivent : δ11.X1= - δ10 ce qui donne X 1  
L
δ1.0
δ1.1
L
M1 (x).M 1 (x)
x²
L3
dx   dx 
EI
EI
3EI
0
0
δ1.1  
L
(ici N0(x)=N1(x)=0)
L
M1 (x).M 0 (x)
- qx²
qL4
dx  
.x.dx  
EI
2EI
8EI
0
0
δ1.0  
D’où,
qL4
3
X1   8EI
 qL  R A
3
L
8
3EI

En écrivant l’équilibre de la structure (S0)1.
5
R A  R B  qL  0  R B  qL - R A  qL
8
R AL  MB  q
L²
L²
qL²
 0  MB  R AL - q  
2
2
8
(MB
est
pris
dans
le
trigonométrique)
4. M(x)  M 0 (x)  X1 M1 (x)  
V(x) 
qx² 3
 qLx
2 8
(avec x[0, L])
dM(x)
3
 qx  qL
dx
8
N(x)  0
Digramme de M :
allure parabolique
M(0) = MA = 0, M(L)  M B  
qL²
3
, M(x)=0 implique x=0 ou x  L ,
4
8
3
9
Mmax  M(x  L) 
qL²
8
128
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
48
sens
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Digramme de V :
allure linéaire
V(0) 
3q
5q
3
L, V(L)   L, V(x)  0  x  L
8
8
8
3qL/8
B
A
3L/8
- 5qL/8
-qL²/8
B
A
9qL²/128
M(x)
Figure 4-11 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.1)
EXERCICE 4.2
On considère la structure (ABC) de la figure 4-12, composée de deux barres AB et BC,
encastrée en A et articulée en C, d’inertie flexionnelle E.I variable et soumise à une charge
répartie q sur la demi-travée BC.
L/2
C
L, EI
B
A
Figure 4-12 : schéma statique de la structure (ABC) (exercice 4.2)
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de (ABC).
2. En appliquant la méthode des forces, déterminer les réactions en C. En déduire celles en A.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
49
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
3. Déterminer les expressions des efforts internes le long de ABC puis représenter leurs
diagrammes.
N.B : Dans le calcul des déformations, on ne tiendra compte que de moment fléchissant .
REPONSE
1. k=(5+3x0) – (3+0) = 2
2. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0) suivante :
q
B
C
SL
X2
X1
(S0)
A
Figure 4-13 : structures isostatiques équivalentes à (ABC) (exercice 4.2)
X1= RC et X2= HC
B
(S) L (S0)L
q
C
(0)
A
B
+ X1
C
1
B
C
1
(1)
A
+ X2
(2)
A
Figure 4-14 : principe de superposition (exercice 4.2)
On appelle,
M(x), N(x) et V(x) le moment fléchissant, effort normal et effort tranchant de (S),
Mi(x), Ni(x) et Vi(x) le moment fléchissant, effort normal et effort tranchant de l’état (i)
(i=0, 1 et 2)
On a :
M(x) = M0(x) + X1 M1(x) + X2 M2(x) de même pour N et V.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
50
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Le tableau 4-1, suivant, présente les expressions des efforts internes pour les trois
structures(0), (1) et (2) :
Tableau 4-1 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents (exercice 4.2)
Barres
x
(AB)
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
EI
V0 (x)
EI
L²
q
8
0
N 0 (x)
q
M1 (x)
V1 (x)
N1 (x)
L
L-x
0
-1
1
0
L-x
0
-1
0
0
-1
M 0 (x)
Etude De
système (0)
Etude De
système (1)
Etude De
système (2)
M2 (x)
V2 (x)
N 2 (x)
M(x)
2EI
0
0
0
q L
 (  x) 2 
2 2
27
qL
640
L
q(  x)
2

31qL
( L  x)
320
V(x)
N(x)
q
L 31
129

qL 
qL
2 320
320
𝐿
𝑥 ∈ [ , 𝐿]
2
q L
 (  x) 2
2 2
L
q(  x)
2
L² 31

qL * L 
8 320
27

qL * ( L  x)
640
Système
hyperstatique
𝐿
𝑥 ∈ [0, ]
2
L
2
q
Xi
(BC)

31qL
320

27qL
640
0
X1=
31qL/320
X2=
27qL/640
31qL
( L  x)
320

31qL
320

27qL
640
Les équations de compatibilité s’écrivent,
 δ11

δ
 21
δ12  X1 
δ 
     10 
δ 
δ 22  X 2 
 
 20 
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
51
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014

δij 
Mi (x).M j (x)
EI
str
dx
On va calculer les δij à l’aide des tables de Mohr, pour cela on doit tracer en 1èr lieu les
diagrammes de Mi.
-qL²/8
B
C
B
C
L
A
A
A
-qL²/8
B
C
L
Diagramme de M1
Diagramme de M0
L
Diagramme de M2
Figure 4-15 : diagrammes des Mi (exercice 4.2)
1
L
L L²
7L3
δ1.1 
 M1 (x).M 1(x)dx  EI (LxL)  2EI ( 3 )  6EI
EI str
δ1.2  δ2.1 
1
L 1
L3
M
(x).M
(x)dx

(
LxL)

0

2
 1
EI str
EI 2
2EI
δ2.2 
1
L 1
L3
M
(x).M
(x)dx

(
x2xLxL)

0

2
 2
EI str
EI 6
3EI
δ1.0 
1
L
L²
L 1
L²
L² L
M1 (x).M 0 (x)dx  [(-q )xL)] 
[ [2x( q )xL  (q )x ]]

EI str
EI
8
4EI 12
4
8 2
δ1.0  
δ2.0 
103.q.L4
768EI
1
L 1
L²
q.L4
M
(x).M
(x)dx

[
(-q
)xL)]

0


0
 2
EI str
EI 2
8
16EI
Les équations de compatibilité s’écrivent,
 7L3

 6EI
 L3

 2EI
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
 103.q.L4 
L3 



2EI  X1   768 EI 
 

L3  X 2   q.L4



3EI 
 16EI

52
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Plus simplement,
7

6
1

2
1
 103.q.L 
 X




2  1   768 


1  X 2   q.L



3
 16

La résolution de ce système donne :
X1 
31
qL  0.0969qL  R C
320
et
X2 
27
qL  0,0422qL  H C
640
q
B
X2
C
X1
A
MA
HA
RA
Figure 4-16 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.2)
H A  H C  
27
qL
640
RA  q
L
L 31
129
 RC  q 
qL 
qL
2
2 320
320
MA  q
L²
L² 31
27
9
 X1 .L  X 2 .L  q 
qL² 
qL²  
q.L²
8
8 320
640
640
3. Expressions des efforts internes
Voir tableau-4-1.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
53
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Diagrammes
129/320 qL
-9/320 qL²
-31/320 qL
0
L/2
L/2
31/640 qL²
9/640 qL²
-27/640 qL
Diagramme de M(x)
Diagramme de V(x)
-27/640 qL
129/320 qL
Diagramme de N(x)
Figure 4-17 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.2)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
54
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
EXERCICE 4.3
Soit la structure (S) ci dessous, encastrée en A et simplement appuyée en B, d’inertie
flexionnelle E.I constante et soumise à une charge répartie q sur la travée BC.
q
C
L, EI
B
A
Figure 4-18 : schéma statique de la structure (S) (exercice 4.3)
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de la structure (S).
2. En appliquant la méthode des forces, déterminer la réaction en C. En déduire celles en A.
3. Déterminer les expressions des efforts internes le long de S puis représenter leurs
diagrammes.
N.B : Pour le calcul des déformations, on ne tient compte que de moment fléchissant.
REPONSE
1. k=(4+3x0) – (3+0) = 1
2. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0) suivante :
q
B
SL
C
X1
(S0)
A
Figure 4-19 : structure isostatique équivalente à (S) (exercice 4.3)
X1= RC
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
55
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
q
B
(S) L (S0)L
C
(0)
B
+ X1
A
C
1
(1)
A
Figure 4-20 : principe de superposition (exercice 4.3)
On appelle,
M(x) le moment fléchissant de (S) ;
Mi(x) le moment fléchissant de l’état (i) ; (i=1 et 2)
On a :
M(x) = M0(x) + X1 M1(x).
Le tableau 4-2, suivant, présente les expressions des efforts internes pour les deux
structures (0) et (1) :
Tableau 4-2 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents
Barres
x
(AB)
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
(BC)
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
EI
EI
L²
q
8
0
EI
(L - x)²
q
2
M 0 (x)
Etude De
système (0)
V0 (x)
N 0 (x)
M1 (x)
V1 (x)
N1 (x)
Etude De
système (1)
q(L - x)
-qL
0
L
0
L-x
-1
1
0
Les équations de compatibilité s’écrivent : δ11 X 1  δ10 ou autrement X 1 
Avec : δij 

str
Mi (x).M j (x)
EI
 δ10
δ11
dx
On va calculer les δ11 δ10 à l’aide des tables de Mohr, pour cela on doit tracer en 1èr lieu
les diagrammes des Mi.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
56
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
-qL²/2
B
C
B
L
A
A
-qL²/2
C
L
Diagramme de M0
Diagramme de M1
Figure 4-21 : diagrammes des Mi (exercice 4.3)
δ1.1 
1
1
1
M1 (x).M 1 (x)dx 
M1 (x).M 1 (x)dx 


 M1 (x).M 1 (x)dx
EI str
EI AB
EI BC
3
L
L 1
 4L
 (LxL)   LxL)  
EI
EI  3
 3EI
δ1.0 

1
1
1
M1 (x).M 0 (x)dx 
M1 (x).M 0 (x)dx 


 M1 (x).M 0 (x)dx
EI str
EI AB
EI BC
L
L²
L 1
L²
5qL4

(-q xL)   (-q )(3L  0)  
EI
2
EI 12
2
8EI

D’où :
X1 
5qL4 /8EI 15

qL  R C
4L3/3EI
32
REMARQUE
X1 peut être aussi déterminé par calcul comme suit :
L
δ1.1 
1
L²
(L - x)²
L3
L3
4L3
M
(x).M
(x)dx

dx

dx



1
 1
0 EI
 EI
EI str
EI 3EI 3EI
BC
L
δ1.0 
1
 M1 (x).M 0 (x)dx  0
EI str
D’où : X1 
qL²
(L - x)²
)
(L - x)( q
)
5qL4
2 dx 
2
dx  

EI
EI
8EI
BC
L(-
5qL4 /8EI 15

qL
4L3/3EI
32
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
57
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
q
B
C
X1
A
MA
HA
RA
Figure 4-22 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.3)
D’après le PFS, on a :
HA  0
R A  qL  X1  qL 
MA  q
15
17
qL  qL
32
32
L²
L² 15
1
 X1.L  q  qL² 
q.L²
2
2 32
32
3. On a:
M(x)=M0(x)+X1M1(x)
V(x) 
dM(x)
d(x)
N(x) peut être déterminé en faisant l’équilibre du nœud B.
Barre AB : (x[0, L])
M AB (x)  q
L² 15
L²
 qL.L  -q
2 32
32
VAB (x)  0
Barre BC : (x[0, L])
M BC (x)  q
(L  x)² 15
 qL(L - x)
2
32
VBC (x)  q(L  x) 
15
qL
32
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
58
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Pour déterminer l’expression de l’effort normal, isolons le nœud B :
VBC(B)=-15qL/32
B
NBC
VAB(B)=0
NBA
Figure 4-23 : schéma de détermination des efforts normaux dans les barres (exercice 4.3)
On a:
NBA=-VBC(B)=-15ql/32
NBC=-VAB(B)=0
Diagrammes
VBC (x) = 0  x 
17
17
225
L  0,53L  MBC( L) 
qL²  0,1qL²
32
32
2048
17qL/32
-qL²/32
C
B
-qL²/32
C
B
0,1qL²
0,53L
-15qL/32
A
A
C
B
A
15qL/32
Diagramme de M
Diagramme de V
Diagramme de N
Figure 4-24 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.3)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
59
Cours de Resistance Des Matériaux 2
5
A.U: 2013/2014
CHAPITRE 5 : REOLUTION DES POUTRES CONTINUES PAR LA METHODE
DES TROIS MOMENTS
Dans ce chapitre on présentera le principe de résolution
des poutres continues par la méthode des trois moments.
5.1 INTRODUCTION
La méthode des trois moments est une méthode bien adaptée pour la résolution des
poutres continues, établie à partir de la méthode des forces. Elle consiste à découper une
poutre continue en travées indépendantes, et faire introduire des moments sur appuis (Mi)
comme des inconnus hyperstatiques.
La rotation de chaque appui intermédiaire de la poutre continue est nulle, c’est la
condition de compatibilité des déformations.
5.2 DEFINITIONS
Une poutre est dite continue si elle repose sur plus de deux appuis. Les appuis
intermédiaires sont obligatoirement des appuis simples alors que Les appuis aux extrémités,
dits aussi appuis de rive, peuvent être des encastrements.
0
1
L1, EI1
2
i-1
i
Li, EIi
L2, EI2
i+1
Li+1, EIi+1
n-1
Ln, EIn
n
Figure 5-1 : schéma statique de la poutre continue
q

On commence par la numérotation des appuis de zéro (0) à (n) ;

Une travée (i) est délimitée par les deux appuis (i-1) et (i), de portée Li et de rigidité EIi ;

on aura donc :
 n+1 appuis (0, 1,……..n) ;
 n travées : (1, 2,……n) ;
 Portée de la travée(i) : Li ;
 Rigidité flexionnelle de la travée(i): EIi.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
60
Cours de Resistance Des Matériaux 2

A.U: 2013/2014
Chaque travée (i) est repérée par un repère orthonormé local tel que :
 Origine : l’appui (i+1) ;
 l’axe des (x) est confondu avec la fibre moyenne de la poutre ;
 l’axe des y fait un angle (+ /2) avec l’axe des x ;
 l’axe des z est défini pour compléter le système orthonormé xyz.
5.3 DEGRE D’HYPERSTATICITE D’UNE POUTRE CONTINUE
Les équations : nombre d’équations de la statique est égal à 2 car les forces sont
perpendiculaires à l’axe des x.
Les inconnus : (réactions ou moments aux appuis)
n+1 inconnues si les appuis de rive sont des appuis simples ;
n+2 inconnues si un appui de rive est un encastrement ;
n+3 inconnues si les deux appuis de rive sont des encastrements.
D’où
le degré d’hyperstaticite K :
K= n-1 : si les appuis de rive sont des appuis simples ;
K= n : si un appui de rive est un encastrement ;
K= n+1 si les deux appuis de rive sont des encastrements.
5.4 THEOREME DES TROIS MOMENTS OU DE CLAPEYRON
5.4.1 Enoncé
On considère deux travées consécutives (i) et (i+1) d’une poutre hyperstatique à n
travées, d’inerties flexionnelles respectives EIi et EIi+1, de longueurs respectives Li et Li+1 et
soumises respectivement à des charges X0i et X0(i+1) (voir figure 5-2). De plus, on suppose que les
appuis (i-1), (i) et (i+1) subissent des déplacements respectifs vi-1, vi et vi+1 vers le bas,
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
61
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
X0,i+1
X0,i
Mi
Mi-1
i-1
Mi+1
i+1
i
vi-1
θi,g
vi
vi+1
θi,d
Li, EIi
Travée (i)
Li+1, EIi+1
Travée (i+1)
Figure 5-2 : Schéma statique de deux travées successives d’une poutre continue
ontinue
Où,
q
ϴid la rotation à droite de l’appui i pour la travée (i) considérée indépendante ;
ϴig la rotation à gauche de l’appui i pour la travée (i-1) considérée indépendante.
Les formules de Navier-Bresse pour deux travées consécutives s’écrivent :
dx
 0Li M ( x)
i
i
EI
i 1
i
dx
 

.L  0Li M ( x)( L  x)
i
i
i
EI
i 1 i 1 i
i
dx

    .L
 0Li  1 M
( x)( L
 x)
i
i i 1
EI
i 1
i 1
i 1
i 1
 
En effectuant
(1)
(2)
(3)
(3) (2)
, on obtient :

L i 1 L i
Cas général
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
62
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
bi M i 1  (ci  ai 1 ) M i  bi 1M i 1  id  ig  i  i 1
avec :
ai  
Li
0
2
x dx
(1  )
Li EIi
Li
bi   (1 
0
Li
ci   (
0
i 
x x dx
)( )
Li Li EIi
2
x dx
)
Li EIi
vi  vi 1
v v
; i 1  i 1 i : rotations rigides des appuis ( i) et (i  1)
Li
Li 1
Cas où l’inertie de la poutre est constante sur chaque travée (i) et sans dénivellation des
appuis
Li
L
L
, bi  i , ci  i
d ' où :
3EI
6 EI
3EI
Li
L
L
L
M i 1  2( i  i 1 ) M i  i 1 M i 1  6( id   ig )
EI i
EI i EI i 1
EI i 1
ai 
5.5 EXPRESSIONS DU MOMENT FLECHISSANT, EFFORT TRANCHANT ET REACTIONS D’APPUIS
Pour la travée (i) située entre les appuis (i-1) et (i), on peut écrire les relations suivantes:
Moment fléchissant :
M i ( x)  mi ( x)  M i 1 (1 
x
x
)  Mi
Li
Li
Où,
mi(x) : expression du moment fléchissant dû aux chargements extérieurs X0i de la travée
(i-1) supposée indépendante.
Mi : moment sur appui (i)
Effort tranchant :
Vi ( x)  vi ( x) 
M i  M i1
Li
Où,
vi(x) : expression de l’effort tranchant dû aux chargements extérieurs X0i de la travée (i)
supposée indépendante.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
63
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Mi : moment sur appui (i)
Réactions d’appuis :
g
R i  ri  rid 
M i 1  M i M i 1  M i

Li
L i 1
Où,
ri d: la réaction à droite de l’appui (i) de la travée isostatique (i)
ri g: la réaction à gauche de l’appui (i) de la travée isostatique (i+1)
5.6 LES ETAPES DE LA METHODE DES TROIS MOMENTS
1. Déterminer le degré d’hyperstaticité de la poutre k ;
2. Découper la poutre à (n) travées indépendantes (i) chacune de portée Li et de rigidité
flexionnelle EIi;
NB : si l’un des appuis de rive est un encastrement, on le remplace par une travée fictive de
rigidité flexionnelle infinie 𝐸𝐼 = ∞. (Voir figure 5-3)
0
0
1
2
L1, EI1 1
1
i-1
i
i-1 Li, EIi
L2, EI2
2
i+1
i
n
n-1
n
n-1
Ln, EIn
i+1
i
Li+1, EIi+1
n+1
n
Ln+1, EIn+1=∞
Travée
fictive
Figure 5-3 : Décomposition de la poutre continue en travées indépendantes
3. Pour chaque poutre isostatique de travée (i), déterminer :
𝑑
 les réactions des appuis : 𝑟𝑖−1
𝑒𝑡 𝑟𝑖
𝑔
 les expressions efforts internes : l’effort tranchant 𝑣𝑖 (𝑥) et moment fléchissant 𝑚𝑖 (𝑥) ;
𝑔
𝑑
 les rotations des appuis : 𝜃𝑖−1
𝑒𝑡 𝜃𝑖
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
64
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
4. Ecrire les k équations de 3 moments pour chaque deux travées consécutives (i) et (i+1):
𝐿𝑖
𝐿𝑖
𝐿𝑖+1
𝐿𝑖+1
𝑔
𝑀𝑖−1 + 2 ( +
) 𝑀𝑖 +
𝑀 = 6(𝜃𝑖𝑑 − 𝜃𝑖 )
𝐸𝐼𝑖
𝐸𝐼𝑖 𝐸𝐼𝑖+1
𝐸𝐼𝑖+1 𝑖+1
5. Résoudre ces équations pour déterminer les moments Mi sur appuis.
6. calculer les réactions et les efforts internes par les formules suivantes :
 Les réactions des appuis : Ri  ri g  ri d 
 L’effort tranchant : Vi ( x)  vi ( x) 
M i 1  M i M i 1  M i

Li
Li 1
M i  M i 1
Li
 Le moment fléchissant : M i ( x)  mi ( x)  M i 1 (1 
x
x
)  Mi
Li
Li
5.7 APPLICATIONS
EXERCICE 5.1
Soit la structure (S) de la figure (5-4), simplement
q
appuyée en A et encastrée en B, d’inertie flexionnelle
E.I constante et soumise à une charge uniformément
répartie q.
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de la structure S.
A
B
0
L
1
EI
Figure 5-4 : Schéma statique de (S)
(exercice 5.1)
2. Déterminer les expressions des moments aux appuis.
3. Déterminer les expressions des efforts internes le
long de S.
REPONSE
1. k = (4+3x0) – (3+0) = 1
2. les expressions des moments aux appuis
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
65
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
q
Schéma statique
0
Li
EIi
L1=L
EI1=EI
𝒈
𝒓𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝒓𝒊
travées
𝑟0𝑑 =
𝑞𝐿
− 𝑞𝑥
2
𝑞𝐿
𝑞𝑥 2
𝑚1 (𝑥) =
𝑥−
2
2
𝑣1 (𝑥) =
𝑚𝑖 (𝑥)
𝒈
𝜽𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝜽𝒊
Moments
sur
appuis Mi
𝜃0𝑑 =
−𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
1
𝑔
𝜃1 =
M0=0
2
L2, EI2=∞
L2=L
EI2=∞
𝑞𝐿
𝑔
𝑟1𝑑 = 0
𝑟1 =
2
-
𝑞𝐿
2
𝑣𝑖 (𝑥)
isostatiques
des
Etude
1
L1, EI1
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
𝜃1𝑑 = 0
-
M1 : inconnu hyperstatique
M2=0
𝐿1
𝐿2
𝐿2
𝒒𝑳𝟐
𝑔
𝑀0 + 2 (
+
) 𝑀1 +
𝑀2 = 6(𝜃𝑑1 − 𝜃1 ) → 𝑴𝟏 = −
𝐸𝐼1
𝐸𝐼1 𝐸𝐼2
𝐸𝐼2
𝟖
𝐿1
Les équations des
3 moments
3. Les expressions des efforts internes le long de S
0
Appuis
Mi
1
M0=0
𝑴𝟏 = −
Etude poutre continue
𝑅0
Ri
=
=
𝑞𝐿 𝑀0 − 𝑀1
+
2
𝐿1
𝟑𝒒𝑳
𝟖
𝑹𝟏 =
𝑉1 (𝑥) =
Vi(x)
𝑀1 (𝑥) =
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
-
-
-
-
-
𝒒𝑳
− 𝒒𝒙
𝟖
𝑞𝐿
𝑞𝑥 2
𝑥
𝑥
𝑥−
+ 𝑀0 (1 − ) + 𝑀0
2
2
𝐿1
𝐿1
𝑴𝟏 (𝒙) =
-
𝟓𝒒𝑳
𝟖
𝑞𝐿
𝑀1 − 𝑀0
− 𝑞𝑥 +
2
𝐿1
𝑽𝟏 (𝒙) = 𝟑
Mi(x)
M2=0
𝟖
𝑅1
𝑞𝐿 𝑀1 − 𝑀0
+
2
𝐿1
𝑹𝟎 =
𝒒𝑳𝟐
𝟑𝒒𝑳
𝒒𝒙
𝒙−
𝟖
𝟐
𝟐
66
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
EXERCICE 5.2
On considère la poutre continue ABC (figure 5-5) constituée de deux travées de mêmes
longueurs l et de même inerties flexionnelles EI.
q
A
0
L
B
1
C
L
2
Figure 5-5 : Schéma statique de la poutre ABC (exercice 5.2)
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de ABC.
2. Déterminer les moments aux appuis.
3. En déduire l’expression du moment fléchissant et l’effort tranchant le long de la poutre, ainsi
que les réactions aux appuis.
4. Tracer les diagrammes des efforts internes.
REPONSE
1. k = (5+0) – (3+0) = 2
2. Les moments aux appuis
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
67
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
q
Schéma statique
0
L1, EI1=∞
1
1
2
2
L2, EI2
Li
L1=L
L2=L
L3=L
EIi
EI1=∞
EI2= EI
EI3= EI
𝒈
Etude
des
isostatiques
travées
𝒓𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝒓𝒊
𝑔
𝑔
𝑟1 = 0 𝑟1𝑑 =
vi(x)
0
Mi(x)
0
𝑞𝐿
− 𝑞𝑥
2
𝑞𝐿
𝑞𝑥 2
𝑚2 (𝑥) =
𝑥−
2
2
3
−𝑞𝐿
𝑞𝐿3
𝑔
𝑔
𝜃1 = 0 𝜃1𝑑 =
𝜃2 =
24𝐸𝐼
24𝐸𝐼
𝒈
M0=0
M1 = ?
𝐿1
Equations
des
𝐸𝐼1
3
moments
𝐿2
𝐸𝐼2
Moments sur appuis Mi
M0=0
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
𝑟2 =
𝑞𝐿
𝑟2𝑑 = 0
2
𝑔
𝑟3 = 0
𝑣3 (𝑥) = 0
𝑣2 (𝑥) =
𝜽𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝜽𝒊
Moments sur appuis Mi
Les
𝑞𝐿
2
𝑟0𝑑 = 0
𝑚3 (𝑥) = 0
𝜃2𝑑 = 0
M2= ?
𝑀0 + 2 (
𝐿1
𝐸𝐼1
𝑀1 + 2 (
𝐿2
𝐸𝐼2
+
+
𝐿2
𝐸𝐼2
𝐿3
𝐸𝐼3
𝑴𝟏 = −𝟑
) 𝑀1 +
) 𝑀2 +
𝐿2
𝐸𝐼2
𝐿3
𝐸𝐼3
𝑀2 =
6(𝜃𝑑1
𝑀3 =
6(𝜃𝑑2
3
L3, EI3
M3=0
−
𝑔
𝜃1 )
−
𝑔
𝜃2 )
𝒒𝑳𝟐
→
2𝑀1 + 𝑀2 =
→ 𝑀1 + 4𝑀2 =
𝑴𝟐 = −
𝟐𝟖
68
𝒒𝑳𝟐
𝟐𝟖
−𝑞𝐿2
4
−𝑞𝐿2
4
( 1)
( 2)
M3=0
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
3. Les expressions des réactions aux appuis ainsi que le moment fléchissant et l’effort tranchant le long de la poutre:
Poutre continue
X
--
Ri
-
Vi(x)
-
Mi(x)
-
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
Travée 1-2 :
𝑹𝟏 =
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝟒𝒒𝑳
Travée 2-3 :
𝑹𝟐 = 𝟏𝟑
𝟕
4𝑞𝐿
𝑉2 (𝑥) =
− 𝑞𝑥
7
𝑞𝐿
𝑞𝑥 2
𝑞𝐿2
𝑥
𝑀2 (𝑥) =
𝑥−
−3
(1 − )
2
2
28
𝐿
𝑞𝐿
− 𝑥
28
69
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝒒𝑳
𝑹𝟑 = −
𝟐𝟖
𝑞𝐿
𝑉3 (𝑥) =
28
𝑀3 (𝑥) = −
𝑞𝐿2
𝑥
(1 − )
28
𝐿
𝒒𝑳
𝟐𝟖
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
4ql /7
ql /28
B
A
4l /7
- 3ql /7
l²/28
-ql²/28
B
A
M(x)
C
4l /7
C
11ql²/196
Figure 5-6 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABC (exercice 5.2)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
70
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
EXERCICE 5.3
On considère la poutre hyperstatique ABCD, ci-dessous, constituée de trois travées de
même inertie flexionnelle EI.
A
B
L
D
C
L
2L
Figure 5-7 : Schéma statique de la poutre ABCD (exercice 5.3)
1. Calculer le degré d’hyperstaticité de cette structure.
2. Déterminer les moments aux appuis.
3. En déduire l’expression du moment fléchissant et l’effort tranchant le long de la poutre, ainsi
que les réactions aux appuis.
4. Tracer les diagrammes des efforts internes.
REPONSE
1. k = (5+0) – (3+0) = 2
2. Les moments aux appuis
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
71
A.U:
2013/2014
Cours de Resistance Des Matériaux 2
q
q
Schéma statique
L1, EI1
0
2
1
1
2
L1=L
L2=L
L3=2L
EIi
EI1=EI
EI2= EI
EI3= EI
Etude des travées isostatiques
Li
𝒈
𝒓𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝒓𝒊
𝑟0𝑑 =
vi(x)
𝑞𝐿
2
𝑔
𝑟1 =
Mi(x)
𝑚1 (𝑥) =
𝒈
𝜽𝒅𝒊−𝟏 𝒆𝒕 𝜽𝒊
𝜃0𝑑 =
Moments sur appuis Mi
𝑞𝐿
𝑞𝑥 2
𝑥−
2
2
𝑚2 (𝑥) = 0
−𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
𝑔
𝜃1 =
M0=0
Equations
de
moments
𝐿2
𝐸𝐼2
Moments sur appuis Mi
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
M0=0
𝑚3 (𝑥) = 𝑞𝐿𝑥 −
𝑔
𝜃2 = 0 𝜃2𝑑 =
𝐿1
𝐸𝐼1
𝐿2
𝐸𝐼2
+
+
𝐿2
𝐸𝐼2
𝐿3
𝐸𝐼3
𝑴𝟏 =
) 𝑀1 +
) 𝑀2 +
𝐿2
𝑔
𝜃3 =
𝐿3
𝐸𝐼3
M3=0
𝑔
𝐸𝐼2
𝑀2 = 6(𝜃𝑑1 − 𝜃1 ) →
4𝑀1 + 𝑀2 =
𝑔
−𝑞𝐿2
4
𝑀3 = 6(𝜃𝑑2 − 𝜃2 ) → 𝑀1 + 6𝑀2 = −2𝑞𝐿2
𝒒𝑳𝟐
𝑴𝟐 = −
𝟒𝟔
72
𝑞𝑥 2
2
−𝑞𝐿3
3𝐸𝐼
M2= ?
𝑀0 + 2 (
𝑀1 + 2 (
𝑟3 = 𝑞𝐿
𝑣3 (𝑥) = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥
𝜃1𝑑 = 0
M1 = ?
𝐸𝐼1
3
𝑞𝐿3
24𝐸𝐼
𝑔
𝑔
𝑟2 = 0 𝑟2𝑑 = 𝑞𝐿
𝑣2 (𝑥) = 0
𝐿1
Les
𝑞𝐿
𝑟1𝑑 = 0
2
𝑞𝐿
− 𝑞𝑥
2
𝑣1 (𝑥) =
3
L3, EI3
L2, EI2
𝟑𝟏𝒒𝑳𝟐
𝟗𝟐
( 1)
( 2)
M3=0
𝑞𝐿3
3𝐸𝐼
Cours de Resistance Des Matériaux 2
A.U: 2013/2014
Poutre continue
3. Les expressions des réactions aux appuis ainsi que le moment fléchissant et l’effort tranchant le long de la poutre:
x
Travée (0-1) :
Ri
𝑹𝟎 = 𝟎. 𝟓𝟐𝒒𝑳
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝑥 ∈ [0, 𝐿]
𝑽𝟏 (𝒙) =
Mi(x)
𝑴𝟐 (𝒙) =
𝟏𝟐𝒒𝑳
− 𝒒𝒙
𝟐𝟑
𝟏𝟐𝒒𝑳
𝒒𝒙𝟐
𝒙−
𝟐𝟑
𝟐
Travée 2-3 :
𝑹𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟐𝟓𝒒𝑳
𝑹𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟐𝒒𝑳
Vi(x)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
Travée 1-2 :
𝑽𝟐 (𝒙) =
𝑴𝟐 (𝒙) =
−𝟑𝟑𝒒𝑳
𝟗𝟐
𝒒𝑳𝟐 −𝟑𝟑𝒒𝑳
+
𝒙
𝟒𝟔
𝟗𝟐
𝑥 ∈ [0,2𝐿]
𝑹𝟑 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟐𝒒𝑳
𝑽𝟑 (𝒙) =
𝑴𝟑 (𝒙) =
𝟐𝟏𝟓
𝒒𝑳 − 𝒒𝒙
𝟏𝟖𝟒
𝟐𝟏𝟓
𝒒𝒙𝟐 𝟑𝟏𝒒𝑳𝟐
𝒒𝑳𝒙 −
−
𝟏𝟖𝟒
𝟐
𝟗𝟐
73
Cours Resistance Des Matériaux 2
AU : 2013/2014
Traçage des diagrammes
Travée AB
VAB (x)   q x 
VAB (0) 
12q l
: V a une allure linéaire ;
23
12q l
11q l
12 l
 0,52ql ; VAB ( l )  
 - 0,48ql ; VAB (X)  0  X 
 0,52 l
23
23
23
M a une allure parabolique
M A  0; M B 
q l²
12 l
77 q l ²
 0,02ql 2 ; M max

M
(
)

 0,14ql 2
AB
AB
46
23
529
Travée BC
VBC (x)  
33q l
 0,36ql ( x  [0, l ] ) : V a une allure linéaire (constante)
92
M a une allure linéaire M B 
q l²
31ql ²
 0,02ql ²; M C  
 0,33ql ²
46
92
Travée CD
VCD (x)   q x 
VCD (0) 
215q l
: V a une allure linéaire
184
215q l
153q l
215 l
 1,17ql ; VCD (2 l )  
 0,83ql ; VCD (X)  0  X 
 1,17 l
184
184
184
M a une allure parabolique
31
ql ²  -0,33ql 2 ; M D  M CD (2 l )  0;
92
215 l
23409 q l ²
 M CD (
)
 0,69ql
184
33856
M C  M CD (0)  
max
M CD
x² 215
31q l 2
M CD (x)  0  q 
qlx 
 x  0,33l
2 184
92
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
ou x  2l
74
Cours Resistance Des Matériaux 2
AU : 2013/14
1,17qL
V(x)
0,52qL
A
0,52L
D
C
B
-0,358qL
1,17L
-0,48qL
-0,83qL
-0,33qL²
0,33L
0,52L
0,02qL² A
B
0,021qL²
0,14qL²
C
D
1,17L
M(x)
0,69qL²
Figure 5-8 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABCD (exercice 5.3)
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
75
Cours Resistance Des Matériaux 2
6
AU : 2013/14
CHAPITRE 6 : LIGNES D’INFLUENCE
Dans ce chapitre on définira les lignes d’influence, et on
les présentera pour une poutre isostatique.
6.1 DEFINITION DES LIGNES D’INFLUENCES
On définit une ligne d’influence Li(α) comme étant la représentation graphique d’un
effet en un point donné d’une structure, dû à une force mobile unité. Le terme effet désigne
une réaction d’appui, un effort intérieur ou un déplacement. L’ordonnée à l’abscisse  de la
ligne d’influence donne la valeur de l’effet en un point donné de la structure lorsque la force
unité est placée à l’abscisse.
6.2 LES LIGNES D’INFLUENCES D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE
Dans cette étude on se limitera aux lignes d’influence d’une poutre isostatique sur 2
appuis simples, sur laquelle est placée une force verticale unité à l’abscisse , puis on
déterminera la réaction à un appui, ou encore les efforts intérieurs ou le déplacement dus à
cette force en un point x donné de la poutre. La force verticale unité étant mobile, à chaque
valeur de l’abscisse  correspond une nouvelle valeur pour la réaction, les efforts intérieurs ou
le déplacement.
P
A
RA

1
L
RB
A
RA

L
RB
Figure 6-1 : Schéma statique de la poutre isostatique
6.2.1 Les lignes d’influence des réactions
Pour une charge ponctuelle P à la position α on a :
P


(l   )  P(1  )  P.Li( )  Li( )  1 
L
L
L
P


RB    P(1  )  P.Li( )  Li( ) 
L
L
L
RA 
6.2.2 Lignes d’influence de l’effort tranchant
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
76
Cours Resistance Des Matériaux 2
AU : 2013/14


 P(1  L ) pour   x
V ( x)  
 P  pour   x

L


 Li ( )  (1  L ) pour   x
V ( x)  P.Li ( )  
 Li ( )    pour   x

L
6.2.3 Lignes d’influence du moment fléchissant


Px(1  ) pour   x


L
M f ( x)  
 P  (L - x) pour   x
 L


Li ( )  x(1  ) pour   x


L
M f ( x)  P.Li ( )  
 Li ( )   (1  x ) pour   x

L
6.3 LES REPRESENTATIONS DES LIGNES D’INFLUENCES
Voir figure 6.2.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
77
Cours Resistance Des Matériaux 2
AU : 2013/14
P
A
C
à
x
B
yi
Ligne d’influence du Moment
fléchissant à la section x : Li Mx
y=x(L-x)/L
x= L/2
yi
Ligne d’influence du Moment
fléchissant à la section x =L/2
y=L/4
y= (L-x)/L
yi
A
y=1
à
Ligne d’influence de l’effort
tranchant à la section x : Li Tx
y=-1
y=-x/L
yi
y=1
Ligne d’influence de la réaction RA
yi
Ligne d’influence de la réaction RB
y=1
Figure 6-2 : Les lignes d’influence d’une poutre isostatique
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
78
Cours Resistance Des Matériaux 2
AU : 2013/14
6.4 LECTURE D’UNE LIGNE D’INFLUENCE
6.4.1 Charge ponctuelle
Effet = P.yi
yi : lecture directe sur la ligne d’influence
6.4.2 Charge uniformément répartie
b
b
a
a
Effet =  q. y.dx.  q. y.dx avec  y.dx l’aire sous la courbe de la ligne d’influence.
dq=qdx
q
dx
a
b
y
Ligne
d'influence
a
dx
b
Figure 6-3 : la lecture de ligne d’influence pour une charge uniformément répartie
6.4.3 Exemples
Ligne d’influence de MC
q=20KN/m
A
C
B
L=4m
1
MC
Figure 6-4 : ligne d’influence de moment fléchissant à L/2
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
79
Cours Resistance Des Matériaux 2
L
0
M C  q. y.dx  20.
MC 
AU : 2013/14
1x 4
 40KNm
2
qL ²
 40KNm
8
6.5 UTILISATION DE LA LIGNE D’INFLUENCE
Les lignes d’influence servent
à déterminer la valeur des effets dus à plusieurs
chargements verticaux mobiles qui peuvent être soit des charges concentrées ou des charges
réparties.
En appliquant le principe de superposition, on aura :
n
Effet =  Pi y i + q  y.dx
a
i 1
b
Avec


yi : ordonnée de la ligne d’influence sous charge Pi

b
a
y.dx : Surface sous ligne d’influence sous charge repartie de a à b.
Effet : Réaction d’appui, effort tranchant, moment fléchissant ou déplacement.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
80
Cours Resistance Des Matériaux 2
7
AU : 2013/14
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[1] Analyse et calcul des structures/ Aram Samikian.-̶ Paris : Gaëtan Morin Editeur,
1994. -̶ 580 pages ; 20cm x 25cm.
[2] Calcul des structures : cours avec problèmes résolus/Kaouther Ben Kaddour Machta,
Samir Ellouz.-Tunis : éditions centre de publication universitaire, 2007. -̶ 192 pages ;
16cm x 20cm.
[3] Comprendre simplement la résistance des matériaux : la structure, principes et
enjeux pour la conception / Rémy Mouterde et François Fleury.-̶ Paris : éditions du
Moniteur, 2007. -̶ 320 pages ; 24cm x 24cm.
[4] Conception et calcul des structures de batiment : formulaire / Henry Thonier -̶
Paris : éditions Presses Ponts et Chaussées, 1999. -̶ 295 pages ; 17cm x 24cm
[5] Formulaire de resistance des Materiaux / Youde Xiong -̶ Eroylles, Dalta , 2002. -̶
342 pages ; 20cm x 25cm
[6] Structural analysis / RC.Hibbeler. -̶ London : Person, 2006. -̶ 640 pages ; 20cm x
25cm.
[7] Cours calcul des structures / Khaled Maala. -̶ l’Ecole Nationale des Ingénieurs de
Gabes ; AU : 1997-1998.
[8] Cours résistance des matériaux / Nabil Belkahla. -̶ l’Ecole Nationale des Ingénieurs
de Gabes ; AU : 1997-1998.
[9] RDM6 7.01, logiciel gratuit . - Institut Universitaire de Technologie du Mans
Département Génie Mécanique et Productique. [Internet]. Disponible à l'adresse:
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/rdm_version_7.html#logiciel.
[10] Wikipédia, l'encyclopédie libre. - Contributeurs de Wikipédia. [Internet]. Disponible
à l'adresse: http://fr.wikipedia.org.
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
81
Cours Resistance Des Matériaux 2
8
AU : 2013/14
ANNEXE
Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI
82