Suites Numériques : Exercices Corrigés Terminale STI2D

Mathématiques Lycée de Villaroy
L’essentiel du
chapitre 2
Correction
Savoir calculer les premiers termes d’une suite
Exercice 1.
Les trois premières suites sont définies sur N. La quatrième est définie pour n≥1.
1. La suite (un) est définie de façon explicite.
On a : u0= 3 ×02+ 1 = 1. Donc u0= 1.
u1= 3 ×12+ 1 = 4. Donc u1= 4.
u2= 3 ×22+ 1 = 1. Donc u2= 13.
2. La suite (vn) est définie de façon explicite.
On a : v0=4
0 + 1 = 4. Donc v0= 4.
v1=4
1 + 1 =4 2= 2. Donc v1= 2.
v2=4
2 + 1 =4 3. Donc v2=4 3.
3. La suite (wn) est définie par une relation de
récurrence.
On a : w0= 6 (énoncé)
w1=−2×w0+ 5 = −2×6 + 5 = −7.
Donc w1=−7.
w1=−2×w1+ 5 = −2×(−7) + 5 = 19.
Donc w2= 19.
4. La suite (an) est définie par une relation de
récurrence.
On a : a1= 2 (énoncé)
a2= (−a1−3)2= (−2−3)2= (−5)2= 25.
Donc a2= 25.
a3= (−a2−3)2= (−25 −3)2= (−28)2=
784.
Donc a3= 784.
Savoir montrer qu’une suite est géométrique OU pas
Exercice 2.
1. Pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 3n+1 = 3n×3 = 3 ×3n= 3un.
On a obtenu la relation : un+1 = 3un.
La suite (un) est une suite géométrique de
raison 3.
2. Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 = 5 ×(−2)n+1 = 5 ×(−2)n×(−2) =
−2×5×(−2)n=−2×vn.
On a obtenu la relation : vn+1 =−2vn.
La suite (vn) est une suite géométrique de
raison −2.
Exercice 3.
1. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient u0=−2, u1= 3 et u2= 8.
u06= 0 et u1
u0
=3
−2=−3 2.
u16= 0 et u2
u1
=8
3.
Les rapports u1
u0
et u2
u1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (un) n’est pas géométrique.
2. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient v0= 4, v1= 5 et v2= 8.
v06= 0 et v1
v0
=5
4.
v16= 0 et v2
v1
=8
5.
Les rapports v1
v0
et v2
v1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (vn) n’est pas géométrique.
3. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient w0= 1, w1= 10 et w2= 37.
w06= 0 et w1
w0
=10
1= 10.
w16= 0 et w2
w1
=37
10 = 3,7.
Les rapports w1
w0
et w2
w1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (wn) n’est pas géométrique.
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Savoir utiliser une suite géométrique
Exercice 4.
1. La suite (un) est géométrique de raison q=
0,5. On sait donc que pour tout entier naturel
n,un+1 = 0,5un.
u2= 0,5×u1= 0,5×24 = 12. Donc u2= 12.
u3= 0,5×u2= 0,5×12 = 6. Donc u3= 6.
u1= 0,5×u0donc u0=u1
0,5=24 0,5= 48.
2. La suite (un) est une suite géométrique de
premier terme u0= 48 et de raison q= 0,5.
Pour tout entier naturel, on a :
un= 48 ×(0,5)n.
3. u12 = 48 ×(0,5)12 ≈0,0117.
Exercice 5.
1. u0est le nombre d’habitants pour l’année 2010 + 0, soit 2010. D’après l’énoncé, on a u0= 500.
2. Chaque année, la population diminue de 3%. Si unest le nombre d’habitants, le nombre d’habitants
un an après est donné par un+1.
On a : un+1 =un×(1 −3
100) = un×0,97 = 0,97 ×un. Donc un+1 = 0,97un.
La suite (un) est géométrique et sa raison est 0,97.
3. La suite (un) est géométrique de premier terme u0= 500 et de raison 0,97.
Pour tout entier naturel n, on a : un= 500 ×(0,97)n.
Savoir calculer la somme des termes d’une suite géométrique
Exercice 6.
1. La suite (un) est géométrique de raison q= 2. Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une
suite géométrique, on utilise la formule du cours :
S1= 1er terme de la somme ×1−qNombre de termes dans la somme
1−q.
Ici, cela donne : S1=u0+u1+···+u14 =u0×1−q15
1−q= 1 ×1−215 1−2= 32767.
2. La suite (vn) est de la forme v0×qndonc cette suite est géométrique de raison q= 0,5 et de
premier terme v0= 32.
On obtient ici : S2=v2+v3+···+v10 =v2×1−q9
1−q.
On a : v2= 32 ×(0,5)2= 8.
Donc : S2=v2×1−q9
1−q= 8 ×1−(0,5)9 1−0,5≈15,969.
Exercice 7.
1. S1= 1 + 3 + 9 + 81 + ···+ 177147.
On remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour
passer de 1 à 3, on multiplie par 3, pour passer de 3 à 9, on multiplie par 3, etc.
On peut réécrire S1de la façon suivante : S1=u0+u1+u2+u3+···+up, avec un= 1 ×3n= 3n.
Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que up= 177147. À l’aide de la calculatrice, on obtient
311 = 177147. Donc S1=u0+u1+u2+u3+···+u11.
La suite (un) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
S1=u0+u1+u2+u3+···+u11 =u0×1−q12
1−q= 1 ×1−312 1−3= 265720.
2. Comme pour la question précédente, on remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une
suite géométrique. En effet, pour passer de 0,4 à −2, on multiplie par −5, pour passer de −2 à 10,
on multiplie par −5, etc.
On peut réécrire S2de la façon suivante : S2=v0+v1+v2+v3+···+vp, avec vn= 0,4×(−5)n.
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Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que vp= 3906250.
Or, vp= 3906250 ⇐⇒ 0,4×(−5)p= 3906250 ⇐⇒ (−5)p= 9765625. À l’aide de la calculatrice,
on obtient (−5)10 = 9765625. Donc S2=v0+v1+v2+v3+···+v10.
La suite (vn) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
S2=v0+v1+v2+v3+···+v10 =v0×1−q11
1−q= (0,4) ×1−(−5)11 1−(−5) = 3255208,4.
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