Mathématiques Lycée de Villaroy L’essentiel du chapitre 2 Correction Savoir calculer les premiers termes d’une suite Exercice 1. Les trois premières suites sont définies sur N. La quatrième est définie pour n ≥ 1. 1. La suite (un ) est définie de façon explicite. On a : u0 = 3 × 02 + 1 = 1. Donc u0 = 1. u1 = 3 × 12 + 1 = 4. Donc u1 = 4. u2 = 3 × 22 + 1 = 1. Donc u2 = 13. 2. La suite (vn ) est définie de façon explicite. 4 = 4. Donc v0 = 4. On a : v0 = 0+1 4 4 = = 2. Donc v1 = 2. v1 = 1+1 2 4 4 4 v2 = = . Donc v2 = . 2+1 3 3 3. La suite (wn ) est définie par une relation de récurrence. On a : w0 = 6 (énoncé) w1 = −2 × w0 + 5 = −2 × 6 + 5 = −7. Donc w1 = −7. w1 = −2 × w1 + 5 = −2 × (−7) + 5 = 19. Donc w2 = 19. 4. La suite (an ) est définie par une relation de récurrence. On a : a1 = 2 (énoncé) a2 = (−a1 − 3)2 = (−2 − 3)2 = (−5)2 = 25. Donc a2 = 25. a3 = (−a2 − 3)2 = (−25 − 3)2 = (−28)2 = 784. Donc a3 = 784. Savoir montrer qu’une suite est géométrique OU pas Exercice 2. 1. Pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 3n+1 = 3n × 3 = 3 × 3n = 3un . On a obtenu la relation : un+1 = 3un . La suite (un ) est une suite géométrique de raison 3. 2. Pour tout entier naturel n, on a : vn+1 = 5 × (−2)n+1 = 5 × (−2)n × (−2) = −2 × 5 × (−2)n = −2 × vn . On a obtenu la relation : vn+1 = −2vn . La suite (vn ) est une suite géométrique de raison −2. Exercice 3. 1. Après calculs des trois premiers termes, on obtient u0 = −2, u1 = 3 et u2 = 8. u1 3 3 u0 6= 0 et = =− . u0 −2 2 8 u2 = . u1 6= 0 et u1 3 u1 u2 Les rapports et ne sont pas égaux. u0 u1 Donc la suite (un ) n’est pas géométrique. 2. Après calculs des trois premiers termes, on obtient v0 = 4, v1 = 5 et v2 = 8. 5 v1 = . v0 6= 0 et v0 4 8 v2 = . v1 5 v1 v2 Les rapports et ne sont pas égaux. v0 v1 Donc la suite (vn ) n’est pas géométrique. v1 6= 0 et 3. Après calculs des trois premiers termes, on obtient w0 = 1, w1 = 10 et w2 = 37. w1 10 w0 6= 0 et = = 10. w0 1 37 w2 = = 3, 7. w1 6= 0 et w1 10 w1 w2 Les rapports et ne sont pas égaux. w0 w1 Donc la suite (wn ) n’est pas géométrique. Page 1 sur 3 Terminale STI2D Mathématiques Lycée de Villaroy Savoir utiliser une suite géométrique Exercice 4. 1. La suite (un ) est géométrique de raison q = 0, 5. On sait donc que pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 5un . u2 = 0, 5 × u1 = 0, 5 × 24 = 12. Donc u2 = 12. u3 = 0, 5 × u2 = 0, 5 × 12 = 6. Donc u3 = 6. 24 u1 = = 48. u1 = 0, 5 × u0 donc u0 = 0, 5 0, 5 2. La suite (un ) est une suite géométrique de premier terme u0 = 48 et de raison q = 0, 5. Pour tout entier naturel, on a : un = 48 × (0, 5)n . 3. u12 = 48 × (0, 5)12 ≈ 0, 0117. Exercice 5. 1. u0 est le nombre d’habitants pour l’année 2010 + 0, soit 2010. D’après l’énoncé, on a u0 = 500. 2. Chaque année, la population diminue de 3%. Si un est le nombre d’habitants, le nombre d’habitants un an après est donné par un+1 . 3 ) = un × 0, 97 = 0, 97 × un . Donc un+1 = 0, 97un . On a : un+1 = un × (1 − 100 La suite (un ) est géométrique et sa raison est 0, 97. 3. La suite (un ) est géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison 0, 97. Pour tout entier naturel n, on a : un = 500 × (0, 97)n . Savoir calculer la somme des termes d’une suite géométrique Exercice 6. 1. La suite (un ) est géométrique de raison q = 2. Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique, on utilise la formule du cours : 1 − q Nombre de termes dans la somme . S1 = 1er terme de la somme × 1−q 1 − q 15 1 − 215 Ici, cela donne : S1 = u0 + u1 + · · · + u14 = u0 × =1× = 32767. 1−q 1−2 2. La suite (vn ) est de la forme v0 × q n donc cette suite est géométrique de raison q = 0, 5 et de premier terme v0 = 32. 1 − q9 On obtient ici : S2 = v2 + v3 + · · · + v10 = v2 × . 1−q On a : v2 = 32 × (0, 5)2 = 8. 1 − q9 1 − (0, 5)9 Donc : S2 = v2 × =8× ≈ 15, 969. 1−q 1 − 0, 5 Exercice 7. 1. S1 = 1 + 3 + 9 + 81 + · · · + 177147. On remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour passer de 1 à 3, on multiplie par 3, pour passer de 3 à 9, on multiplie par 3, etc. On peut réécrire S1 de la façon suivante : S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + up , avec un = 1 × 3n = 3n . Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que up = 177147. À l’aide de la calculatrice, on obtient 311 = 177147. Donc S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + u11 . La suite (un ) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient : 1 − 312 1 − q 12 =1× = 265720. S1 = u0 + u1 + u2 + u3 + · · · + u11 = u0 × 1−q 1−3 2. Comme pour la question précédente, on remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour passer de 0, 4 à −2, on multiplie par −5, pour passer de −2 à 10, on multiplie par −5, etc. On peut réécrire S2 de la façon suivante : S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + vp , avec vn = 0, 4 × (−5)n . Page 2 sur 3 Terminale STI2D Mathématiques Lycée de Villaroy Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que vp = 3906250. Or, vp = 3906250 ⇐⇒ 0, 4 × (−5)p = 3906250 ⇐⇒ (−5)p = 9765625. À l’aide de la calculatrice, on obtient (−5)10 = 9765625. Donc S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + v10 . La suite (vn ) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient : 1 − q 11 1 − (−5)11 S2 = v0 + v1 + v2 + v3 + · · · + v10 = v0 × = (0, 4) × = 3255208, 4. 1−q 1 − (−5) Page 3 sur 3 Terminale STI2D