Suites Numériques : Exercices Corrigés Terminale STI2D

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Mathématiques Lycée de Villaroy
L’essentiel du
chapitre 2
Correction
Savoir calculer les premiers termes d’une suite
Exercice 1.
Les trois premières suites sont définies sur N. La quatrième est définie pour n1.
1. La suite (un) est définie de façon explicite.
On a : u0= 3 ×02+ 1 = 1. Donc u0= 1.
u1= 3 ×12+ 1 = 4. Donc u1= 4.
u2= 3 ×22+ 1 = 1. Donc u2= 13.
2. La suite (vn) est définie de façon explicite.
On a : v0=4
0 + 1 = 4. Donc v0= 4.
v1=4
1 + 1 =4
2= 2. Donc v1= 2.
v2=4
2 + 1 =4
3. Donc v2=4
3.
3. La suite (wn) est définie par une relation de
récurrence.
On a : w0= 6 (énoncé)
w1=2×w0+ 5 = 2×6 + 5 = 7.
Donc w1=7.
w1=2×w1+ 5 = 2×(7) + 5 = 19.
Donc w2= 19.
4. La suite (an) est définie par une relation de
récurrence.
On a : a1= 2 (énoncé)
a2= (a13)2= (23)2= (5)2= 25.
Donc a2= 25.
a3= (a23)2= (25 3)2= (28)2=
784.
Donc a3= 784.
Savoir montrer qu’une suite est géométrique OU pas
Exercice 2.
1. Pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 3n+1 = 3n×3 = 3 ×3n= 3un.
On a obtenu la relation : un+1 = 3un.
La suite (un) est une suite géométrique de
raison 3.
2. Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 = 5 ×(2)n+1 = 5 ×(2)n×(2) =
2×5×(2)n=2×vn.
On a obtenu la relation : vn+1 =2vn.
La suite (vn) est une suite géométrique de
raison 2.
Exercice 3.
1. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient u0=2, u1= 3 et u2= 8.
u06= 0 et u1
u0
=3
2=3
2.
u16= 0 et u2
u1
=8
3.
Les rapports u1
u0
et u2
u1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (un) n’est pas géométrique.
2. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient v0= 4, v1= 5 et v2= 8.
v06= 0 et v1
v0
=5
4.
v16= 0 et v2
v1
=8
5.
Les rapports v1
v0
et v2
v1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (vn) n’est pas géométrique.
3. Après calculs des trois premiers termes, on
obtient w0= 1, w1= 10 et w2= 37.
w06= 0 et w1
w0
=10
1= 10.
w16= 0 et w2
w1
=37
10 = 3,7.
Les rapports w1
w0
et w2
w1
ne sont pas égaux.
Donc la suite (wn) n’est pas géométrique.
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Savoir utiliser une suite géométrique
Exercice 4.
1. La suite (un) est géométrique de raison q=
0,5. On sait donc que pour tout entier naturel
n,un+1 = 0,5un.
u2= 0,5×u1= 0,5×24 = 12. Donc u2= 12.
u3= 0,5×u2= 0,5×12 = 6. Donc u3= 6.
u1= 0,5×u0donc u0=u1
0,5=24
0,5= 48.
2. La suite (un) est une suite géométrique de
premier terme u0= 48 et de raison q= 0,5.
Pour tout entier naturel, on a :
un= 48 ×(0,5)n.
3. u12 = 48 ×(0,5)12 0,0117.
Exercice 5.
1. u0est le nombre d’habitants pour l’année 2010 + 0, soit 2010. D’après l’énoncé, on a u0= 500.
2. Chaque année, la population diminue de 3%. Si unest le nombre d’habitants, le nombre d’habitants
un an après est donné par un+1.
On a : un+1 =un×(1 3
100) = un×0,97 = 0,97 ×un. Donc un+1 = 0,97un.
La suite (un) est géométrique et sa raison est 0,97.
3. La suite (un) est géométrique de premier terme u0= 500 et de raison 0,97.
Pour tout entier naturel n, on a : un= 500 ×(0,97)n.
Savoir calculer la somme des termes d’une suite géométrique
Exercice 6.
1. La suite (un) est géométrique de raison q= 2. Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une
suite géométrique, on utilise la formule du cours :
S1= 1er terme de la somme ×1qNombre de termes dans la somme
1q.
Ici, cela donne : S1=u0+u1+···+u14 =u0×1q15
1q= 1 ×1215
12= 32767.
2. La suite (vn) est de la forme v0×qndonc cette suite est géométrique de raison q= 0,5 et de
premier terme v0= 32.
On obtient ici : S2=v2+v3+···+v10 =v2×1q9
1q.
On a : v2= 32 ×(0,5)2= 8.
Donc : S2=v2×1q9
1q= 8 ×1(0,5)9
10,515,969.
Exercice 7.
1. S1= 1 + 3 + 9 + 81 + ···+ 177147.
On remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour
passer de 1 à 3, on multiplie par 3, pour passer de 3 à 9, on multiplie par 3, etc.
On peut réécrire S1de la façon suivante : S1=u0+u1+u2+u3+···+up, avec un= 1 ×3n= 3n.
Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que up= 177147. À l’aide de la calculatrice, on obtient
311 = 177147. Donc S1=u0+u1+u2+u3+···+u11.
La suite (un) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
S1=u0+u1+u2+u3+···+u11 =u0×1q12
1q= 1 ×1312
13= 265720.
2. Comme pour la question précédente, on remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une
suite géométrique. En effet, pour passer de 0,4 à 2, on multiplie par 5, pour passer de 2 à 10,
on multiplie par 5, etc.
On peut réécrire S2de la façon suivante : S2=v0+v1+v2+v3+···+vp, avec vn= 0,4×(5)n.
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Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que vp= 3906250.
Or, vp= 3906250 0,4×(5)p= 3906250 (5)p= 9765625. À l’aide de la calculatrice,
on obtient (5)10 = 9765625. Donc S2=v0+v1+v2+v3+···+v10.
La suite (vn) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
S2=v0+v1+v2+v3+···+v10 =v0×1q11
1q= (0,4) ×1(5)11
1(5) = 3255208,4.
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