
Mathématiques Lycée de Villaroy
Savoir utiliser une suite géométrique
Exercice 4.
1. La suite (un) est géométrique de raison q=
0,5. On sait donc que pour tout entier naturel
n,un+1 = 0,5un.
u2= 0,5×u1= 0,5×24 = 12. Donc u2= 12.
u3= 0,5×u2= 0,5×12 = 6. Donc u3= 6.
u1= 0,5×u0donc u0=u1
0,5=24
0,5= 48.
2. La suite (un) est une suite géométrique de
premier terme u0= 48 et de raison q= 0,5.
Pour tout entier naturel, on a :
un= 48 ×(0,5)n.
3. u12 = 48 ×(0,5)12 ≈0,0117.
Exercice 5.
1. u0est le nombre d’habitants pour l’année 2010 + 0, soit 2010. D’après l’énoncé, on a u0= 500.
2. Chaque année, la population diminue de 3%. Si unest le nombre d’habitants, le nombre d’habitants
un an après est donné par un+1.
On a : un+1 =un×(1 −3
100) = un×0,97 = 0,97 ×un. Donc un+1 = 0,97un.
La suite (un) est géométrique et sa raison est 0,97.
3. La suite (un) est géométrique de premier terme u0= 500 et de raison 0,97.
Pour tout entier naturel n, on a : un= 500 ×(0,97)n.
Savoir calculer la somme des termes d’une suite géométrique
Exercice 6.
1. La suite (un) est géométrique de raison q= 2. Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une
suite géométrique, on utilise la formule du cours :
S1= 1er terme de la somme ×1−qNombre de termes dans la somme
1−q.
Ici, cela donne : S1=u0+u1+···+u14 =u0×1−q15
1−q= 1 ×1−215
1−2= 32767.
2. La suite (vn) est de la forme v0×qndonc cette suite est géométrique de raison q= 0,5 et de
premier terme v0= 32.
On obtient ici : S2=v2+v3+···+v10 =v2×1−q9
1−q.
On a : v2= 32 ×(0,5)2= 8.
Donc : S2=v2×1−q9
1−q= 8 ×1−(0,5)9
1−0,5≈15,969.
Exercice 7.
1. S1= 1 + 3 + 9 + 81 + ···+ 177147.
On remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. En effet, pour
passer de 1 à 3, on multiplie par 3, pour passer de 3 à 9, on multiplie par 3, etc.
On peut réécrire S1de la façon suivante : S1=u0+u1+u2+u3+···+up, avec un= 1 ×3n= 3n.
Il nous reste ensuite à déterminer p, tel que up= 177147. À l’aide de la calculatrice, on obtient
311 = 177147. Donc S1=u0+u1+u2+u3+···+u11.
La suite (un) étant géométrique, en utilisant la formule du cours, on obtient :
S1=u0+u1+u2+u3+···+u11 =u0×1−q12
1−q= 1 ×1−312
1−3= 265720.
2. Comme pour la question précédente, on remarque que c’est une somme de termes consécutifs d’une
suite géométrique. En effet, pour passer de 0,4 à −2, on multiplie par −5, pour passer de −2 à 10,
on multiplie par −5, etc.
On peut réécrire S2de la façon suivante : S2=v0+v1+v2+v3+···+vp, avec vn= 0,4×(−5)n.
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