Test-primalite bhloul

L3-LAC TESTS DE PRIMALITE —
— — — — — — — –(rédigé par Djiali Behloul-Avril-2020)— — — — — — — —
Plan du cours
I) Test de primalité de Wilson
II) Test de de non-primalité de Fermat
III) Test de de non-primalité de Miller
IV) Test de primalité probabiliste de Miller-Rabin
V) Test de primalité de Lucas-Lehmer
VI) Distribution des nombres premiers
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I) Test de primalité de Wilson
Théorème-1 (1770, Wilson )
Un entier p > 1est premier si et seulement si (p1)! + 1 0[p].
Preuve
Le résultat est clair pour p= 2;3. Supposons que p > 3:
(=
(p1)!+1 0[p]s’écrit (p1)!+1 = Ap où A2N, ainsi Ap(p1)! = 1.
Pour tout k2 f1;2; :::; p1g, il existe un entier mktel que (p1)! = kmk,
donc Ap kmk= 1 pour tout k2 f1;2; :::; p 1g, alors d’après Bézout
pgcd(p; k) = 1 pour tout k2 f1;2; :::; p 1g, donc pest premier.
)=
Dans le corps Z=pZ, les seuls éléments égaux à leur inverse sont 1et 1.
Car pour un x6= 0 de Z=pZ, si x=x1alors x2= 1 d’où x21 = 0 donc
(x1)(x+ 1) = 0 alors x= 1 ou x=1.
On a Z=pZ =f 0; 1; 2; :::; p 1g, que l’on peut écrire
Z=pZ =f 0; 1;1; x1; x1
1; x2; x1 2; :::; xr; x1
rgavec r=p3
2.
Ainsi
(p1)! 123::: (p2) (p1)[p]
1(1)x1x1
1x2x1 2:::xrx1
r[p]
 1[p]
II) Test de de non-primalité de Fermat
Notons par 'la fonction indicatrice d’Euler.
Théorème-1 (1761, Euler)
Soient n2N* et xun entier premier à n, alors
x'(n)1[n]
Preuve
1

Par dé…ntion, l’ordre du groupe ((Z=nZ);)est '(n)et d’après le
théorème de Lagrange, l’ordre de la classe xde x, dans Z=nZ, divise '(n)
donc x'(n)= 1d’où x'(n)1[n].
Théorème-2 (1640, le petit théorème de Fermat)
Ennoncé (a): Si pest un nombre premier alors pour tout entier xpremier
àp, on a
xp11[p]
Ennoncé (b) : si pest un nombre premier alors pour tout entier x, on a
xpx[p]
Preuve
Comme pest premier alors '(p) = p1, donc d’après le théorème d’Euler
xp11[p]
donc l’énnoncé (a) est vrai. Montrons l’énnoncé (b) :
Si pdivise xalors il est trivial que xpx[p]et si pne divise pas xalors
xp11[p]d’où xpx[p].
Dé…nition-1 (témoin de Fermat)
Soit n > 1un entier. On dit qu’un entier x; 0< x < n est un temoin de
Fermat pour nsi : xn16 1[n].
Proposition-1 (test de non primalité de Fermat)
Un entier n > 1est non premier, si et seulement si, il existe un entier x; 0<
x < n; tel que xest un témoin de Fermat pour n.
Preuve
)=
Soit n > 1non premier.
On peut écrire n=n1n2avec n1>1et n2>1:
Supposons que nn1
11[n], alors nn1 11 = kn avec k2N, d’où
(nn2
1)n1+ (k)n= 1, d’après Bézout, on obtient pgcd(n1; n)= 1, ce qui est
impossible car n=n1n2.
Ainsi nn1
16 1[n]d’où n1est un témoin de Fermat pour n.
(=
Soit xun entier, 0< x < n tel que xest un témoin de Fermat pour n, i.e
xn16 1[n].
Supposons que nest premier.
Comme 0< x < n, donc pgcd(x; n)= 1, alors d’après le petit théorème de
Fermat, on obtient xn11[n]ce qui est impossible, donc nest non premier.
2

Algorithme de non primalité de Fermat;
dédut
lire( n); f1< ng
1-choisir( x); f0< x < ng
sinon calculer xn1mod n
si xn1mod n6= 1 alors écrire( nest non premier) : sortir
sinon revenir à 1;
…n.
Exemple-1
n= 64657
1er choix de x:x= 5
xn1mod n= 564656 mod 64657 = 27 589 6= 1
conclusion n= 64657 est non premier
Dé…nition-2 (1910, nombres de Carmichael)
On dit que l’entier n > 1non premier est un nombre de Carmichael, si
xnx[n]pour tout entier x.
Remarque-1
Les nombres de Carmichael sont impairs car sinon comme pgcd(n; n1) =
1, alors (n1)n11[n]i.e 11[n], alors nj2ce qui est impossible car
n4.
Théorème-3 (1899, Korselt)
Soit n2N*, nest un nombre de Carmichael si et seulement si
i) n > 1non premier et sans facteur carré.
ii) Pour tout diviseur ppremier de n, on a p1divise n1:
Preuve
)=
Supposons que nest un nombre de Carmichael.
Soit pun facteur premier de n.
i) La congruence pnp[n]s’écrit pnkn =p, où k2N, on voit que
p2ne peut pas diviser n, car sinon p2va diviser p. Donc nest sans facteur
carré .
ii) Soit xun générateur du groupe cyclique ((Z=pZ);), donc xp1
1[p], comme xnx[n], alors xnx[p]d’où xn11[p], mais xest d’ordre
p1donc p1divise n1.
(=
Supposons que n > 1non premier et sans facteur carré et pour tout
diviseur ppremier de n, on a p1divise n1.
Soit pun diviseur premier de n.
3

Soit xun entier non divisible par palors xp11[p], comme p1divise
n1donc xn11[p]d’où xnx[p]. Si xest divisible par palors il est
clair que xnx[p], ainsi pour tout entier xon a xnx[p]. Mais nest sans
facteur carré, donc xnx[n].
Corollaire-1
Soit nun nombre de Carmichael. Alors xn11[n]pour tout entier x
premier à nsi et seulement si xnx[n]pour tout entier x.
Preuve
Si xnx[n]pour tout entier xet si de plus pgcd(n; x)=1alors d’après
le lemme de Gauss xn11[n]. Si xn11[n]pour tout entier xpremier à
nalors xn11[p]pour tout diviseur ppremier de net pour tout entier x
premier à n, donc xnx[p]pour tout entier x, mais nest sans facteur carré,
donc xnx[n]pour tout entier x.
Exercice-1
Tout nombre de Carmichael est un produit de nombres premiers impairs
2 à 2 distincts, en nombre 3:
Solution
Soit nun nombre de Carmichael. Si n=pq avec p < q où pet qsont
premiers, alors q1divise n1, mais n1 = pq 1 = p(q1) + (p1)
donc q1jp1ce qui est impossible car p<q. Donc nest le produit d’au
moins 3 facteurs premiers 2 à 2 distincts, mais comme nest impair alors tous
ses facteurs premiers sont impairs.
Exemples-2
i) n= 561 est le plus petit nombre de Carmichael.
On a n= 561 = 3 11 17;donc 561 est non premier et sans facteur
carré.
On a : 2divise 560;10 divise 560;16 divise 560:
ii) Les sept premiers nombres de Carmichael sont :
561, 1105 , 1729, 2465, 2821, 6601, 8911.
Propriétés-1 (à admettre)
i) il existe une in…nité de nombres de Carmichael (1994, Alford, Granville
et Pomerance)
ii) il existe une in…nité de nombres de Camichael dans toute suite arith-
métique fan +bgavec pgcd(a; b)= 1. (2013, Thomas Wright).
III) Test de de non-primalité de Miller
Théorème-1 (1976, Miller)
Soit n > 1un entier impair.
Posons n1 = 2stavec timpair et xix2it[n]; i = 0;1; :::; s.
4

S’il existe un entier x; 0< x < n tel que
i) x06 1[n]
ii) xi6 1[n]pour tout i= 0;1; :::; s 1
Alors nest non premier.
Preuve
Soit n > 1un entier impair.
Supposons que nest premier et véri…e les conditions du théorème de
Miller dont l’entier xest un témoin.
D’après le petit théorème de Fermat xn11[n], ainsi xsxn11[n].
Dans Z=nZ, les seuls racines carrés de 1sont 1et 1car nest premier.
On a x2
s1xs[n]d’où x2 s11[n]
donc 8
<
:
xs11[n]
ou
xs1 1[n]refusé
de même x2
s2xs1[n]d’où x2 s21[n]
donc 8
<
:
xs21[n]
ou
xs2 1[n]refusé
et ainsi de suite, on obtient xs1[n]; xs11[n]; ::::; x11[n]:
mais x2
0x1[n]d’où x2 01[n]
donc 8
<
:
x01[n]refusé
ou
x0 1[n]refusé
ce qui impossible car x06 1[n]et x06 1[n]:
Conclusion : nest non premier.
Dé…nition-1
Un entier xqui véri…e les conditions du théorème de Miller s’appelle un
témoin de Miller pour n. (l’entier xapporte une preuve de la non-primalité
de n).
Exercice-1 (les témoins triviaux)
Soit n > 1un entier impair. Montrer que tous les entiers xtels que
pgcd(n; x)>1sont des témoins de Miller pour n.
Solution
Soit x; 0< x < n tel que pgcd(n; x)>1:
Supposons que xn’est pas un témoin de Miller pour n:
Alors x01[n]ou xi 1[n]pour un certain i2 f0;1; :::; s 1g:
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